Serie 2 2013 2014 isecs prob gec

1. Institut Sup´rieur d’Electronique
e
et de Communication de Sfax
***
A.U. : 2013-2014
Section: 1 GEC
Date: Octobre 2013
Feuille d’excercices n◦ 2
Probabilit´s et statistique
e
Exercice 1.
Le nombre de magn´toscopes vendus en une semaine dans un magasin est une variable al´atoire
e
e
X dont la loi est donn´e dans le tableau suivant:
e
x
P (X = x)
0
0.2
1
0.4
2
3
0.1
1. Calculer P [X = 2] puis E(X) et var(X).
2. D´terminer la loi de probabilit´ de la v.a Y repr´sentant le nombre de magn´toscopes
e
e
e
e
vendus en deux semaines cons´cutives puis calculer E(Y ) et var(Y ).
e
Exercice 2.
Dans une usine, on fabrique des pi`ces. A chaque pi`ce i on associe une v.a Xi telle que Xi = 1
e
e
si la pi`ce est d´fectueuse, Xi = 0 si non. On d´signe par p la proportion des pi`ces d´fectueuses.
e
e
e
e
e
On choisit un ´chantillon de n pi`ces.
e
e
1. Quelle est la loi de Xi ? Donner son esp´rance et sa variance.
e
n
2. Interpr´ter Sn =
e
Xi puis identifier sa loi de probabilit´. D´terminer le nombre moyen
e e
i=1
des pi`ces d´fectueuses.
e
e
3. On pose n = 10 et p = 0.2,
(a) Calculer la probabilit´ d’avoir aucune pi`ce d´fectueuse dans cet ´chantillon.
e
e
e
e
(b) Calculer la probabilit´ d’avoir au moins 2 pi`ces d´fectueuses dans cet ´chantillon.
e
e
e
e
Exercice 3.
Une machine a une dur´e de vie X (en ann´es) qui suit une loi de poisson de param`tre λ > 0.
e
e
e
1. Sachant que la dur´e de vie moyenne est de 2 ans, quelle est la probabilit´ pour que la
e
e
dur´e de vie d’une machine d´passe strictement 2 ans.
e
e
2. On suppose que la loi de X peut ˆtre approch´e par une loi Normale dont on pr´cisera les
e
e
e
param`tres. D´terminer P (X > 2). Conclure.
e
e
Exercice 4.
Soit la fonction d´finie par p(X = x) =
e
1
n
si x ∈ {1, 2, 3, ..., n};
0 sinon.
1

2. 1. Montrer que P (X = x) est une loi de probabilit´ d’une variable al´atoire X.
e
e
2. D´terminer l’esp´rance math´matique et la variance de X.
e
e
e
Exercice 5.
Soit la fonction fX d´finie par: fX (x) =
e
x si 0 ≤ x ≤ 1 ;
2 − x si 1 < x ≤ 2 .
1. Montrer que fX est une densit´ de probabilit´ d’une variable al´atoire X.
e
e
e
2. D´terminer sa fonction de r´partition.
e
e
3. Calculer la probabilit´ que X ≥ 1.5 et calculer la probabilit´ que 0.5 ≤ X ≤ 1.5.
e
e
4. Calculer la probabilit´ que X ≥ 1.5, sachant que X > 1.
e
Exercice 6.
On suppose que le temps de service d’un individu ` un guichet de banque (en minutes) est une
a
variable al´atoire T dont la densit´ est
e
e
f (t) = kt(10 − t)1]0,10[ (t)
1. D´terminer k, puis calculer l’esp´rance E(T ) de T .
e
e
2. Quelle est la probabilit´ pour que le temps de service d’un individu d´passe 5 minutes?
e
e
3. D´terminer la fonction de r´partition FT de T .
e
e
4. D´terminer le temps de service le plus probable.
e
Exercice 7.
Dans tout l’exercice, X d´signe une variable al´atoire ` valeurs dans ]0, 1[ et de loi uniforme sur
e
e
a
1−X
]0, 1[. On pose Z =
.
X
1. Calculer explicitement la fonction de r´partition de la variable al´atoire positive Z
e
e
2. D´terminer la loi de Z.
e
3. Pour quelles valeurs du r´el a, la variable al´atoire Z a est-elle int´grable ?
e
e
e
4. On brise une tige de longueur 1 en choisissant au hasard le point de rupture suivant une loi
uniforme sur ]0, 1[. On notera X la longueur du morceau gauche. Quelle est la probabilit´
e
que l’un des deux morceaux soit plus de deux fois plus long que l’autre ?
Exercice 8.
Une entreprise ach´te un camion dont le prix d’aquisition est ´gal ` 100 millions de millimes.
e
e
a
La dur´e de vie du camion est une variable al´atoire X (exprim´e en dizaine d’ann´es) suivant
e
e
e
e
la loi exponentielle de param`tre λ = 1.
e
2

3. 1. Donner la fonction de rpartition de X.
2. En d´duire t0 tel que P [X ≤ t0 ] = 1.
e
3. Calculer P [X < 1], P [X = 1] et P [X ≥ 2].
4. Donner E(X) et V ar(X).
Exercice 9.
Soit Y une variable al´atoire repr´sentant la dur´e de vie d’un composant ´l´ctronique, exprim´e
e
e
e
ee
e
en heures. Sa fonction densit´ est donn´e par
e
e
f (y) =
c
y3
0
si y > 9
si y ≤ 9
1. Y est-elle une variable al´atoire discr`te ou continue? Justifier.
e
e
2. Calculer la valeur de la constante c.
3. D´terminer la fonction de r´partition FY de Y.
e
e
4. Quelle est la dur´e moyenne de fonctionnement du composant.
e
5. La variable Y admet-elle une variance? si oui la d´terminer.
e
6. Quelle est la probabilit´ que le composant fonctionne durant au moins 20 heures.
e
Exercice 10.
D’apr`s une ´tude r´cente, la taille des hommes est distribu´e selon une loi Normale de moyenne
e
e
e
e
m = 1, 58 et d’´cart-type σ = 0, 06. Pour produire un stock de vˆtements, un fabricant souhaite
e
e
utiliser cette loi.
1. Il commence par d´terminer un intervalle de la forme [m − a, m + a] (donc sym´trique
e
e
autour de la moyenne) contenant en moyenne 96, 6% (environ) des tailles des hommes.
calculer a.
2. Il en d´duit trois tailles, S, M et L, correspondant respectivement aux intervalles:
e
[m − a, m − a ], [m − a ; m + a ] et [m + a , m + a]. Calculer le pourcentage de la production
3
3
3
3
qui doit ˆtre affect´ ` chaque taille.
e
ea
3