Bdt tich phan-npk

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1
Chöùng minh raèng :
3
4
4
3
4
1
2
2
60
1
1. dx
3 2 sin x 2
3 cotg 1
2. dx
12 x 3
1 1
3. dx
2 61 x
ππππ
ππππ
ππππ
ππππ
π ππ ππ ππ π
−−−−
ππππ
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
4
1
0
2
5 4 3
1
4. ln2 dx
41 x x
1
5. dx
x x 1 8
x
6. dx
18 x x x 3 9 3
ππππ
< << << << <
++++
ππππ
+ ++ ++ ++ +
+ + ++ + ++ + ++ + +
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
1
0
1
0
Baøi giaûi :
3 3 3 3
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2 2
2
2 2
3 1 1 1 1
1. x sinx 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2 2 3 2 sin x2
1 1 1
dx dx dx dx
2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π π ππ π π ππ π π ππ π π π
π π π ππ π π ππ π π ππ π π π
−−−−
−−−−
− −− −− −− −∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
cotgx 1
3 cotgx 4 3 cotgx 4
2. x dx dx dx
4 x x3 1 4
x
3 cotgx 1
dx
12 x 3
π π ππ π ππ π ππ π π
π π ππ π ππ π ππ π π
ππππ
ππππ

π ππ ππ ππ π 

π π π ππ π π ππ π π ππ π π π
 π ππ ππ ππ π
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫∫∫∫
1
3
⇒ ⇒ ⇒
3
⇒
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm.
1 1
2 2
6 2 2 6 2 6 2 6
6 2 60
1
3. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
2
1 1 1
1 dx dx
1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −
− − −− − −− − −− − −
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Vôùi
1
2
20
1
I = dx
1- x
∫ Ñaët x sint ; t ; dx costdt
2 2
π ππ ππ ππ π    
= − == − == − == − =    
    
⇒∈
1 1
2 2
20 0
1x 0 costdt2 I dt
6t 0 1 sin t6
ππππ
= = == = == = == = =
ππππ −−−−
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒ Vaäy
1
2
60
1 1
dx
2 61 x
ππππ
−−−−
∫∫∫∫
2 2
4. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x+ + ++ + ++ + ++ + +⇒ ⇒ ⇒
(((( )))) [[[[ ]]]]2
1 1 1
1 ; x 0,1
x 1 1 x1 x x+ ++ ++ ++ +++++
⇒ ∀ ∈
Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi :
x = 0
x = 1



(1) (1)
(1) (1)
VT VG
x
VG VP
∅∅∅∅⇒ ∈
Do ñoù :
1 1 1 1
20 0 0 0
1 1 dx 1
dx dx ln2 dx
1 x x 1 41 x x 1 x x
ππππ
< < < << < < << < < << < < <
+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫⇒
Chuù yù :
1
20
1
dx
1 x 4
ππππ
====
++++∫∫∫∫ Xem baøi taäp 5 .

2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 20 0 0
1 1
5. 0 1 2 2 2
2 2( 1)
1 1 1 1
;
2 2 1 1
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +
+ + ++ + ++ + ++ + +
====
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx I dx
x x x x
Ñaët x tgt dx dt ( tg t)dt
cos t
= = = += = = += = = += = = + 2
2
1
1⇒
π ππ ππ ππ π+ π π+ π π+ π π+ π π
= = = == = = == = = == = = =
ππππ ++++∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
4 4
2
20 0
0 1 1
1 4 40
4
⇒ ⇒
x tg t
I dt dt I
tg tt
Vaäy
ππππ
+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫
1
20
1
2 8
dx
x x
(((( ))))
5 3
5 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1 3 30 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 3
0
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
; Ñaët
3 3 3 1

+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +
= = == = == = == = =
+ ++ ++ ++ +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫°
1 1 1
0 0 0
0
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
I dx dx x
x x
2 0 1
;( 0) 2
0
====⇒
1
x
t t dx tdt
t
2
1 1
1 6 3 20 0
1 2 2 3 .
3 1 9 ( ) 1
= == == == =
+ ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
t t dt
I dt
t t
Ñaët = == == == =3 2 0 1
3
0 1
⇒
t
u t du t dt
u
ππππ
= == == == =
++++∫∫∫∫
1
1 20
2
9 1 18
⇒
du
I
u
Keát quaû :
ππππ
====
4
I (baøi taäp 5)
ππππ
= == == == =
++++∫∫∫∫
1
2 30
°
3 9 3
x
I
x
(töông töï) Vaäy ( )
+ + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫
1
1 25 4 30
1
3
⇔
x
I dx I
x x x
+ + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫ 5 4 3
18 3 9 3
1
0
x
dx
x x x
1,Chöùng minh raèng :
(((( ))))(((( ))))
2
4 40 121 1+ ++ ++ ++ +
∫∫∫∫
sin .cos
sin cos
x x
dx
x x
ππππ
ππππ
2.Neáu : (((( ))))
    
= >= >= >= >     
    
∫∫∫∫
4
0
0 , 0 , ;
cos2 4
∀ ∈t
tg x
I dx t
x
t ππππ
thì :
(((( ))))2 3
3
3
4
++++    
+ >+ >+ >+ >    
    
tg t tgt
tg t e
ππππ
Baøi giaûi :
1. Ta coù
cos x sin x sin x cos x
:
( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
====
+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +
2 2 4 4
4 4 4 4 4 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1
sin cos
( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos
+ + ++ + ++ + ++ + +
= += += += +
+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
⇒
x x
x x x x x x

3
sin .cos sin .cos sin .cos sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos
    
+ ++ ++ ++ +    
+ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + +    
    
+++++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 40 0
3 1 2 2
1 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 2
1 1 6 1 1
⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
dx dx dx
x x x x
sin
Ñaët sin sin
sin
ππππ
ππππ


= = == = == = == = =
++++
∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
2
0
2
1 40
2
° 2
1
⇒
x
J dx t x dt xdx
x
ππππ
ππππ
⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =
++++∫∫∫∫
1
1 20
0
2
0 1 41
x dt
J
t t
(keát quaû I=
4
π
baøi taäp 5)
sin
Ñaët cos sin
cos
ππππ
= = = −= = = −= = = −= = = −
++++∫∫∫∫
2 2
2 40
2
° 2
1
⇒
x
J dx u x du xdx
x
ππππ
ππππ
= == == == =
++++∫∫∫∫
1
2 20
0
2
0 1 4
⇒
1
x du
J
u u
(keát quaû I=
4
π
baøi taäp 5)
sin .cos
( )
( sin )( cos )
ππππ
++++
+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫
2
4 40
1
1 1 6
⇒
x x
dx I J
x x
Vaäy
sin .cos
( sin )( cos )
ππππ
ππππ
+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫2
4 40 1 1 12
x x
dx
x x
2. Ñaët ( )= = + == = + == = + == = + =
++++
2
2
1
1
⇒ ⇒
dt
t tgx dt tg x dx dx
t
4
2 3 3
2 2 2 20 0 0
0
2
4 tgt
tgt tgt tgtt dt t dt 1 1 1 t-1 1 1 tgt-1
I = . = = -t -1+ dt = - t - t- ln = - tg t- tgt- ln
1- t 1+ t 1- t 1- t 3 2 t +1 3 2 tgt +1
1+ t
t
  
   
   
∫ ∫ ∫
Vì
( )
>>>> 0I
t neân 31 1 tgt-1
:- tg t- tgt- ln > 0
3 2 tgt +1
ln ln
    
    
    
++++− π π− π π− π π− π π            
= + > + + >= + > + + >= + > + + >= + > + + >            ++++             
3
3 31 1 1 1
2 1 2 4 3 4
2
3
⇔ ⇒
tg t tgttgt
tg t tg t tgt tg t e
tgt
2
n
x
1. I =
x +1
Chöùng minh :
( )
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤
+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫
1
0
1 1
2 1 1nI dx
n n
vaø lim
→+∞→+∞→+∞→+∞
==== 0
n nI dx
( )-n x
n2. J = x 1+ e Chöùng minh : nJ dx
n
<<<<
++++∫∫∫∫0
1 2
0
1
vaø
n nlim J dx 0
→+∞
=
Baøi giaûi :
. ++++
++++
1 1
1 0 1 1 1 2 1
2 1
⇒ ⇒x x
x
;
n n n
n n nx x x
x x dx dx x dx
x x+ ++ ++ ++ +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
1 1 1
0 0 0
1
2 1 2 1
⇒
(((( )))) (((( ))))
n n nnx x x x
dx dx
n x n n x n
++++++++
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
1 1
1 1
0 0
00
11 1
2 1 1 1 1 1
1
⇒ ⇒
2 +1

4
Ta coù :
(((( ))))
1
0
2 1
0
11
0
1
→∞→∞→∞→∞
→∞→∞→∞→∞
→∞→∞→∞→∞

==== ++++
====
++++ ==== + + + +
nn
n
n
lim
n
lim
x
lim
n
x
⇒
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
0
1
0 0 0
11
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
2
0 1 2 0 1
1
− − −− − −− − −− − −
− −− −− −− −
−−−−
= + + += + + += + + += + + +
+ ++ ++ ++ +
++++∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
. .⇒ 0 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
n n n n n
n x n n
x x
x
x xx e e e x x e x hay x e x
x e dx x dx x e dx
n
Ta coù : (((( ))))2
0 1 0
1
−−−−
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
= + == + == + == + =
++++
n xx e dx
n
lim lim⇒
n n
2
2
3 4
4
2
1
0
4 6
0
-
1. cosx(4 3 cosx)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 lnx 2 lnx)dx 8(e 1)
2 49
3. sinx(1 2 sinx)(5 3 sinx)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx
3 64
243
5. sin x.cos xdx
6250
π
π
π π
π
π
− + ≤ π − − ≤ −
π π
+ − < − ≤
π
≤
∫ ∫
∫ ∫
∫
Baøi giaûi :
Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2)
cosx cosx cosx
f(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cosx )dx
2 2 2
2 2 2
3
4 3 2 2
8
3
8 4 3 2 2 8
− − −
⇒ ⇒
cauchy
π π π
π π π
 + − + +   =   
− + π∫ ∫ ∫
2. Ñaët ( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )9 3 2 3 3 2f x x x x x x x= − − = + −
ln ln ln
( )
( ) ln ( ln ln ) ( )
1 1 1
3
3 3 2
8
3
8 9 3 2 8 1⇒ ⇒
e e e
x x x
f x
f x dx dx x x x dx e
 + + + −   =   
− − −∫ ∫ ∫
3. Ñaët ( ) sin ( sin )( sin )1 2 5 3f x x x x= + − ;
sinx sinx sinx
f(x)
3
1 2 5 3
8
3
 + + + −     
Ñaúng thöùc
sinx sinx sinx
x
sinx sinx sinx
    = + = −= + = −= + = −= + = −    
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅    
= − == − == − == − =        
1 2 1
5 3 4 5
f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sinx)dx
3 3 3
4 4 4
2
8 8 1 2 5 3
3
π π π
π π π
π
⇒ < ⇒ < ⇒ + − <∫ ∫ ∫
4. Ñaët f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)
1
7 4 4 7 4
4
= − = −

5
( ) ( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 41 49
( )
4 2 16
49 49
7 4
16 16x
tgx tgx
f x
f dx dx tgx tgx dx
∏ ∏ ∏
 + −
≤ =  
 
∏
⇒ ⇒ −∫ ∫ ∫
4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
 − + − + + +
≤  
 
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤
∏
∫
( )2 2 2 22
3
5 2
1. cos 3sin sin 3cos
3
x x x x dx
−
∏
∏
∏
+ + +∫
( ) ( )2 2
1
2. 3 2ln 5 2ln 4 1
e
x x dx e+ + − −∫
2
3 cos sin
3.
4 44
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+∫
Baøi giaûi :
1. Ñaët 2 2 2 2
( ) 1 cos 3sin 1. sin 3cosxf x x x x= + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 2
2 2 cos 3sin sin 3cos
3
x x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx
∏ ∏
− − −∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏
⇒ ⇒ + + +∫ ∫ ∫
2. Ñaët ( )
2 2
1 3 2ln 1 5 2lnx
f x x= + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2ln 4
4 3 2ln 5 2ln 4 1
x x
x
e ee
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −∫ ∫ ∫
( )2 2 2
2 2 2 20 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin2
2
4 4 4 4
x x x x
x x x x dx
x x x x
 + ≤ + + 
+ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +∫ ∫

6
Ñaët ( )2
2 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
( )
( )
2
2 20 0 0
2 20 0
4 42
2 2
2 10 1 1
4 2 84 10
4
3 cos sin 3 cos sin
4 4 4 4 4
tg tx dx
dt dt
x tg tt
x x x x
dx dx
x x
∏ ∏+ ∏
⇒ = = =
∏ + +
+ ∏ ∏ + ∏
⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ
CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
44
1. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏∏
≤
− −
<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2
2
0
2 2
2
1 1
0 0
4 4
sin sin
4..
5. (ln ) ln
6. sin cos
x x
dx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Baøi giaûi :
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 14
sin2 2cos sin2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx
 ≤ ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
  ≤ ≤  
⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫

7
∏ ∏
0 0
2 2
cos 1
2. 0; 2sin2 .cos 2sin
0 sin2
sin2 2sin sin2 2 sin
x
x x x x
x
x x xdx xdx
 ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
  ≤  
⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
[ ]3. 1;2x∀ ∈ Xeùt hieäu :
2
-1 2 1 1
0
1 ( 1)
x x x x
x x x x
− − + −
− = <
+ +
1 1
2 21 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
dx dx
x x x x
− − − −
⇒ < ⇒ <
+ +∫ ∫
4. Ñaët - -x u dx du= ∏ ⇒ =
∏∏
∏ 0∏
∏ ∏
∏
0
2
22
sin sin( ) sin2 ( )
0
2
1 1
0 0
2
x x u x
dx du dx
x u xu
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−
∏
< < ⇒ < <∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫
Vì :
∏ ∏
∏0
2 2sin sin sin sin
sin 0
x x x x
x dx dx
x x x x
> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−∫ ∫
∏
∏
∏
2
2
0
sin sinx x
dx dx
x x
⇒ >∫ ∫
5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2
cuõng lieân tuïc treân [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<∫ ∫∈
Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂⊂⊂⊂ [1,2]
0
∏ ∏
∏ ∏
⇒ ⇔
⇔ ⇔
0
4 4
sin
6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
x
x tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <∫ ∫
2
x
1
0
1
0
1
0 1
8
25
3 03
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2 1
1 1
3.
2626 2 1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫
<
2
8
∏
∏ ∏
1
0
21
2 30
1
3
.sin
4. 1 ln2
1 .sin
.sin
5.
121
6.
6 4
x
x x
dx
x x
e x
dx
ex
dx
x x
−
−
+
+
− −
∫
∫
∫
0

8
Baøi Giaûi:
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5
2 4 5 2 4 5
x x x x
dx x dx dx x dx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8 8
8
8
1 1 1 1
0 0 0 08 8
2. 0 1 0 1 1 1 2
1 1
0 1 2 1
2 1
1 1
1
2 21 1
x x x
x
x
dx dx
dx dx
x x
≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔
+ +
⇒ ⇒
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
310 10 3
25 25
25
3 33 310 10
25 25
1 1 1 1
25 25
3 30 0 0 03 310 10
3. 0 1 1 1 2 1 1 2
1 1
1
2 21 1
1 1 1
262 26 21 1
x x x
x x
x
x x
x x
x dx dx x dx dx
x x
4. Tröôùc heát ta chöùng minh : [ ]
sin
;(1) 0,1 .
1 sin 1
x x x
x
x x x
∀
+ +
∈
Giaû söû ta coù : (1).
[ ](1) ⇔ ∀ ⇔
1 1 1 1
1 1 ; 0.1
1 sin 1 1 sin 1
x
x x x x x x
− −
+ + + +
⇔ ⇔1 1 .sin (1 sin ) 0x x x x x+ + − ñuùng [ ]∀ 0,1x ∈
Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1 1
00
1
0
sin 1
(1) 1
sin 1 1
.sin
ln 1 1 ln2
1 sin
.sin
1 ln2.
1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
 = −   + + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
( )
( )2 2
2 2 21 1 1
3 3 3
1 1
0 sin 1
5. 1, 3 0, 0
1 1
0 sin 1
sin 1 1
0 ;
1 1 1
xx
x
xe e x
x ee
x e x
x
e x dx dx
dx I I
e ex x x
− −
−

< =  ⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <  + + < <
⇒ < < = =
+ + +∫ ∫ ∫
∈
Ñaët 2
2
1
(1 )
cos
x tgt dx dt tg t dt
t
= ⇒ = = +

9
( )3 3
2
3
2
44 4
11 3
1 12
4
tg tx
dt dt t
tg tt
∏ ∏ ∏
∏∏ ∏
+ ∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏ +∫ ∫
4
Vaäy 21
3 sin
0
121
xe x
dx
ex
−
∏
< <
+∫
3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 02 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx J
x x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒
− − − −
⇒ = =
− − − −
∫ ∫ ∫
Ñaët 2sin 2cosx t dx tdt= ⇒ =
( )
20 0
6 60 1 2cos
60 4 2sin6
x tdt
I dt
t t
∏ ∏ ∏
⇒ = = =
∏ −
∫ ∫
Ñaët 2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ =
0 1
0
4
x
t ∏
( )
4
0 2
0
4 2 cos 2 2
2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏ ∏
⇒ = = =
−
∫
1
0 2 3
2
6 84
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫
2
2
1
0
sin2
0
1
1. 1
2.
2 2
x
x
e
e dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫
2 2
0
1
40
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏
∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫
Baøi giaûi :

10
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 1
1
0 1 1 2
x x
x x
xx
x x
x x x e e
e e
ee
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒2
°
°x
Töø (1) vaø (2) suy ra
2
: 1x x
e e− −
2 2 21 1 1 1
0 0 0 0
1
1x x xe
e dx e dx dx e dx
e
− − −−
⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
2 sin
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.
2 2
x
x x
x e e
dx e dx e dx e dx e
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2 2 22 2
0 0 0 0
1 1 1 3
3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +∫ ∫ ∫ ∫
4. Caùch 1:
( )0,1x∀ ∈ thì 4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
< ⇒ + < + ⇒ >
+ +
( )
1
2
4 2 0
1 1
ln 1 ln 1 2 0,88
1 1
dx dx x x
x x
1 1
0 0
⇒ > = + + = + >
+ +
∫ ∫
Maët khaùc :
1
4
4 40
1 1
1 1 1 1
1 1
x dx
x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫
Vaäy :
1
40
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh 2 2
2 2
1
lndx x x a C
a x
= + + +
+
∫ baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn .
Caùch 2 :
( ) 4 2 2
1
4 2 40
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx I
x x x
4
⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >
+ + +
∫
∈
Vôùi :
1
20
1
1
I dx
x
=
+
∫
Ñaët ( )2
2
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = +

11
( )
( )
4 4
4
2
0 02
20
10 1 1
cos0 14
cos
1 sin
tg tx
I dt dt
tt tg t
t
I dt
t
∏ ∏
∏
+
= =
∏ +
=
−
∫ ∫
∫
Ñaët
0
4sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2
( )( )20 0 0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u
u
du du
u u u
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2− + +  
= = = + 
− − + + − 
+
= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 2 2 1
ln 0,88 0,88
2 2 2 1
I dx
x
1
0
+
= > ⇒ >
− +
∫
Maët khaùc 4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+
( )4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =
+
∫ ∫
Töø (1) vaø (2) suy ra :
1
40
1
0.88 1
1
dx
x
< <
+
∫
4
2
0
1
0
3
21
1. 0
32
cos
2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫ ( )
200
100
3
21
1
1 10
cos
4.
1 12
cos 1
5.
200
1 1 1
6. 1 1
1 2 1 21
x
x
nn n
e x
dx
x e
x
dx
x
e e
dx
n nx
∏
∏
−
− −
∏
<
+
∏
   
− −   
− −   +
∫
∫
∫
Baøi giaûi :
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x
∏
⇒ ⇒ ⇒
Xeùt :0
4
xα β
∏
< < < < ta coù :
4 4
0 0
0 1
0
0
4
tgx
x tgx x
x
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx
α β
α β
∏ ∏
< < 

⇒ <∏
< < 
= = + +∫ ∫ ∫ ∫

12
Ta coù :
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
0
32
x tgx dx xdx
x tgx dx xdx x tgx dx xdx
x tgx dx xdx
x tgx dx
α α
β β
α α
β β
∏ ∏
∏ ∏
∏



< < ⇒ <



∏
⇒ < <
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Chuù yù : ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) ( ) ( )
b b
x x x xa b
f dx f dx f dx f dx
α β
α β
= + +∫ ∫ ∫ ∫
Tuy nhieân neáu : ( )x
m f M thì :
( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
x xa a a a
m dx f dx M dx m b a f dx M b a⇒ − −∫ ∫ ∫ ∫
Nhöng( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( )
b b b
x xa a a
m dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫
(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá ( )x
f chöùa( ),α β lieân
tuïc[ ],a b maø ( ),α β ⊂ [ ],a b )
1 1 1 1 1
00 0 0 0
1
0
coscos cos 1
2. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cos
ln 2
1
nxnx nx
dx dx dx x
x x x x
nx
dx
x
= = + =
+ + + +
⇒
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
1
3 3 3
2 2 21 1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
ex
x
e x e x edx dx dx
x x x
− −
− −
 =
⇒ 

⇒
+ + +∫ ∫ ∫
3
21
.sin 1
.
1
x
e x
dx I
x e
−
⇒
+∫ vôùi
3
21
1
1
I dx
x
=
+∫
Ñaët ( )2
1x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
( )3 3
4 4
2
2
11 3
1 12
4 3
tg tx
dt dt
tg tt
∏ ∏
∏ ∏
+ ∏
⇒ Ι = = =
∏ ∏ +∫ ∫
( )
3
1
.sin
*
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
⇒
+∫ (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây )
Ñaúng thöùc xaûy ra khi :

13
1
1
, 1, 3
sin 1sin 1
x
xe e
x x
xx
− −
= = 
 ⇔ ⇒ ∅ ∀   == 
∈ ∈
Vaäy
3
21
.sin
:
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+∫
Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*)
ñuùng . Thaät voâ lyù
3 3 3
2 2 21 1 1
cos cos
4.
1 1 1
x x x
e x e x e
dx dx dx
x x x
− − −
+ + +∫ ∫ ∫
Do x
y e−
= giaûm ( ) 1 1
max x
e e
e
− −
⇒ = =
3 3
2 21 1
cos 1 1
1 1 12
x
e x
dx dx
x e x e
−
∏
⇒ =
+ +∫ ∫ ;do I baøi 3
Daáu ñaúng thöùc :
1
1
, 1, 3
cos 1cos 1
x
xe e
x x
xx
− −
= = 
 ⇔ ⇔ ∅ ∀   == 
∈ ∈
Vaäy
3
21
cos
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+∫
5. Ñaët
2
11
cos sin
du dxu
x x
dv xdx v x
 = −= 
⇒ 
= =  
200
200 200
2100 100
100
200
200 200
2100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫
Vaäy
200
100
cos 1
200
x
dx
x
∏
∏
∏∫
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm .

14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 11 1
1
0
0 0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 11
x
x
n n n
x
n n n
n nx
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x xe
dx e
n nx
− −
⇒ ⇒
+ + +
⇒
+ + +
+ +
⇔
− −+
∫ ∫ ∫
∫
Vaäy
( )
1
1 10
1 1 1
: 1 1 ; 1
1 2 1 21
x
nn n
e e
dx n
n nx
− −
   
− − >   
− −   +
∫
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton .
Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù :
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 2
. . .
b b b
x x x xa a a
f g dx f dx g dx∫ ∫ ∫
Caùch 1 :
Cho caùc soá 1α , tuyø yù ( )1,i n∈ ta coù :
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + +
Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : 1 2
1 2
... n
n
αα α
β β β
= =
Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia :
a = x0 < x1 < x2 < …. <xn = b vaø choïn :
[ ]1 1, ,i i
b a
x x i i n
n
ξ −
−
= ∀∈ ∈
Do f vaø g lieân tuïc , ta coù :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
nb
ixa n
i
nb
ixa n
i
n
b a
f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−
=

 −
 =


∑∫
∑∫
Khi ñoù (1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i i
n n
i i
n
i i
n
i
b a b a
f g
n n
b a
f g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞
= =
→+∞
=
− −
⇔
− 
 
 
∑ ∑
∑
Töø (4) ta cuõng coù :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f gξ ξ ξ ξ
= = = =
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ 5
Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)

15
Töø (5) ( )
2
2 2
( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫
Caùch 2 : t R+
∀ ∈ ta coù :
[ ]
2 2 2 2
2 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0
b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +∫ ∫ ∫
h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :
( )
2
2
2 2
2
2 2
0
' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0
( ). ( ) ( ) . ( )
h
h
h
b b b
a a a
b b
a a
a t
f x g x dx f x dx g x dx
 = >
⇔ ∆
∆
 ⇔ − ≤
  
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
b
a
2
3
sin
5
1. 1
2
3
2.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏
>
∫
∫
1
0
1
0
( )2
0
1
20
1
3. 1 1
2
3cos 4sin 5
4.
1 4
x
x t t x x
e e e dt e e
x x
dx
x
−  
− < + < − − 
 
− ∏
+
∫
∫
Baøi giaûi :
1. Ta coù ( )
2
2 2
: ( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫ ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2
1 1 1 1
3 2 2
0 0 0 0
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1 1
b b b
a a a
x x x x x x x
x dx x x x dx x dx x x dx
⇒
+ = + − + = + − +
⇒ + = + − + < + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
2
1
3
0
0
0
1
3
0
3 2 5
1
2 23 2
5
1
2
x x x
x dx x x
x dx
  
+ < + = − + 
    
⇒ + <
∫
∫
2 2 2
2sin sin sin
0
2. x x x
e dx e dx e dx
∏
2
∏∏
= +∫ ∫ ∫0 0
Ñaët 2
2 0
2
xx
t t dx dt
t
∏ ∏
= + ⇒ =
∏

16
( )2
2
2 2
2 2 2
2 sinsin sin 2
0 0 0
2 2 2sin cos sin
0 0 0
2
tx x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏ ∏ ∏∏ +
∏ ∏ ∏
⇒ = +
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ta laïi coù
2 2
2 2
sin cos
2 2 2 2
0 0
.
x x
edx e e dx
∏ ∏
   
=   
   
∫ ∫
2 2
2 2
2
2
2 2sin cos
0 0
2 2
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2sin
0 0
sin
0
.
1 3
;
2 2
3
2
x x
x x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏∏
∏
<
   
< ⇒ <   
   
 
⇒ > = ∏ > 
 
⇒ >
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm .
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 22
0 0
2
2 22
0 0 0
2
2 2
2
2
2
1
2
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 1
1 1
2 2
1
1 (1)
2
x x t
t t t t
x t tt
t t t t t
b b b
a a a
x
t t x x x x
xo
t t x x
e e dt e e e dt
e e e dt e dt e e dt
vi f x g x dx f x dx g x dx
e e dt e e e e
e
e e dt e e
− −
− −
−
−
+ = +
+ +
   
⇒ + − − − < − −   
   
 
⇒ + − − 
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
Maët khaùc 2
: ; 0t t t
e e e t x−
+ > ∀ < <
2
0 0
1 (2)
x x
t t t x
e e dt e dt e−
⇒ + > = −∫ ∫
Töø (1) vaø (2) suy ra ( )2
0
1
: 1 1
2
x
x t t x x
e e e dt e e−  
− < + < − − 
 
∫
( )
22 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 20 0 0
3cos 4sin 1 5
4. 3 4 sin cos
1 1 1
3cos 4sin 3cos 4sin 1
5
1 1 1
x x
x x
x x x
x x x x
dx dx dx
x x x
−    + − + =  + + +
− −
⇒
+ + +∫ ∫ ∫
Ñaët ( )2

17
( )2
2 2
2
10 1 1
1 1 40
3cos 4sin 5
4.
1 4
tg tx
dx dt dt
x tg tt
x x
dx
x
+ ∏
⇒ = = =
∏ + +
− ∏
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0
4
Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm.
( ) ( )
( )
11
7
1
2
0
1.54 2 7 11 108
4
2. 0 1
27
x x dx
x x dx
−
+ + −
< − <
∫
∫
( )
2
4
0
sin
0
2
sin cos
4 4
3
4.
2
e
x
x x dx
e dx
∏
∏ ∏
+
∏
>
∫
∫
Baøi giaûi :
1. Xeùt ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − −∈
( ) ( )
11 7
' ' 0 2
2 11 7
x x
f x f x x
x x
− − +
= ⇒ = ⇔ =
− +
x -7 2 11
f’(x) + 0 -
f(x) 6
3 2 3 2
ր ց
( ) ( )
( )
11 11 11
7 7 7
11
7
3 2 6 3 2 6
54 2 7 11 108
f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫
2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2
) ; [ ] ' 2
0,1 ( ) 3 - 4 1x f x x x∀ ∈ ⇒ = +
⇒f’(x)=0 1x x
1
⇔ = ∨ =
3
x -∞ 0 1
3
1 +∞
f’(x) + 0 -
f(x)
0 0
ր ց
4
27

18
4
0 ( )
27
f x⇒
( ) ( ) ( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 40, ; ,0
3 3 27
0
4 4
0 ( ) 0 ( )
27 27
xx f
va
f f
f x dx dx f x dx
∃ ⇒ 0 < <

= =
⇒ < < ⇒ < <∫ ∫ ∫
∈
3. Xeùt haøm soá :
'
( ) sin cos 2 sin ; 0,
4 4
( ) 2 cos 0 , 0,
4 4
f x x x x x
f x x x
∏ ∏   
= + = +      
∏ ∏   
= + ∀   
   
∈
∈
⇒f(x) laø haøm soá taêng ( ) ( ) ( )0
4
0,
4 x
x f f f ∏
∏ 
∀ ⇒  
∈
( )4
0
2
1 sin cos 2 sin cos
4 4
x x x x dx
∏
∏ ∏
⇒ + ⇒ +∫
4. Nhaän xeùt 0x∀ > thì 1x
e x> + ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm)
Xeùt ( ) ( )
'
1 ; 0 1 0 ; 0t t
t t
f e t t f e t= − − ⇒ = − > ∀ >
⇒haøm soá f(t) ñoàng bieán 0t∀
Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ( )1 0 1 1x x
e x e x⇒ − − > ⇔ > +
Do vaäy : ( ) ( )
2
sin 2
0, 1 sin (1)x
x thi e x do∀ ∏ > +∈
( )
2
2
sin 2
0 0 0
sin
0
1 cos2
1 sin
2
3
2
x
x
x
e dx x dx dx
e dx
∏ ∏ ∏
∏
−
⇒ > + = ∏+
∏
⇒ >
∫ ∫ ∫
∫
3
4
2
21
20
2 1
1.
5 1 2
3 sin 1
2.
4 2
3 1 2 3
3.
3 3cos cos 1
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫ ( )
3
6
1
20
1
4 4 4
1
3 cot 1
4.
12 3
2 1 1
5.
3 22
6. 2 2 1 1 4
gx
dx
x
dx
x x
x x dx
∏
∏
−
< <
+ −
< + + − <
∫
∫
∫
Baøi giaûi :

19
1. Xeùt : ( ) [ ]2
; 1,2 .
1x
x
f x
x
=
+
∈ coù ( )
( )
[ ]
2
'
22
1
0 ; 1,2
1
x
x
f x
x
−
= ∀
+
∈
⇒haøm soá nghòch bieán [ ] ( ) ( ) ( )2 1
1,2 x
x f f f∀ ⇒∈
2 2 2
2 21 1 1
2
21
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x x
dx dx dx
x x
x
x
2 2
⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
2. Xeùt ( ) ( )
'
2
sin .cos sin
; ;
6 3x x
x x x x
f x f
x x
∏ ∏ − 
= ∀ ⇒ =  
∈
Ñaët .cos sin ' 0 ; ;
6 3
Z x x x Z x x x
∏ ∏ 
= − ⇒ = − < ∀   
∈
⇒Z ñoàng bieán treân ;
6 3
x
∏ ∏ 
∀   
∈ vaø :
( )
( )
3
'
3 3
0 ; ;
6 6 3
0 ; ;
6 3x
Z Z x
f x
∏
∏− ∏ ∏ 
= < ∀   
∏ ∏ 
⇒ < ∀   
∈
∈
x -∞ 6
∏
3
∏ +∞
f’(x) −
f(x)
3
3 3
2
∏
∏
ց
( )
3 3 33
6 6 6 6
3 3 3
2
3 3 sin 3
2
3 3 sin 3 sin 1
2 4 2
X
f
x
hay
x
x x
dx dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏∏
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
∏ ∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫
:
3. Ñaët [ ] [ ]cos ; 0, 1,1t x x t= ∏ ⇒ −∈ ∈
vaø ( ) [ ]2
1; 1,1t
f t t t= + + −∈

20
( ) ( )
' ' 1
2 1; 0
2t t
f t f t= + = ⇔ = −
t -∞ -1 1
2
− 1 +∞
f’(t) − 0 +
f(t) 1 3
3
4
ց ր
( ) [ ]
3
3; 1,1
4 t
f t⇒ ∀ −∈
[ ]2
2
2
20 0 0
20
3
cos cos 1 3; 0,
4
3 1 2
cos cos 1 3
2 3cos cos 1
1 1 2
cos cos 13 3
3 1 2 3
3 3cos cos 1
x x x
hay x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
∏ ∏ ∏
∏
⇒ + + ∀ ∏
1
+ + ⇒
3 + +
⇒
+ +
∏ ∏
⇒
+ +
∫ ∫ ∫
∫
∈
Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø :
20
3 1 2 3
3 3cos cos 1
dx
x x
∏∏ ∏
< <
+ +
∫ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao)
( )
cot
4. ;x
gx
f
x
= lieân tuïc ;
4 3
x
∏ ∏ 
∀   
∈
coù ( )
( )'
2 2
2 sin 2
0 ; ;
2 sin 4 3x
x x
f x
x x
− + ∏ ∏ 
= < ∀ ⇒ 
 
∈ f(x) :nghòch bieán treân ;
4 3
∏ ∏ 
  
( ) ( ) ( )3 4
xf f f∏ ∏⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
3 cot 4 cot 4
3 cot 1
12 3
gx gx
dx dx dx
x x
gx
dx
x
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
∏
∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∫ ∫ ∫
∫
( ) [ ]2
5. 2 ; 0,1x
f x x x= + − ∀ ∈ coù f’(x)=1- 2x
( )
' 1
0
2x
f x⇒ = ⇔ =
x -∞ 0 1
2
1 +∞

21
f’(x) + 0 −
f(x)
2 2
ր ց
9
4
( )
9
2
4x
f⇒
vaø
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1
1 10, ; ,1 92 2 2
42
x
x
f
f f
∃
⇒ < <
= =
∈
2
2
1 1 1
20 0 0
1
20
9 2 1 1
2 2
4 3 22
2 1 1
3 22
2 1 1
3 22
x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
⇒ < + − < ⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
∫ ∫ ∫
∫
6. Xeùt :
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4
'
3 34 4
3 3' 4 4
1 1 ; 1,1
1 1 1
4 1 1
0 1 1 0
x
x
x
f x x x
f
x x
f x x x
= + + − −
 
 = −
 + − 
= ⇔ − = + ⇔ =
∈
Maët khaùc : ( )
( ) ( )
'
3 3
4 4
1 1
0 1 0
1 1
x
f x
x x
> ⇔ > ⇔ − < <
+ −
x -∞ -1 0 1 +∞
f’(x) + 0 −
f(x)
4 4
2 2
ր ց
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4
4
4
1 1
1 1 1 1
4 44 4 4 4
1 1 1 1
2 2
-1,0 ; 0,1
2 2
2
2 1 1 2 2 2 1 1 4
x
x
f
x
va f
f f
dx x x dx dx x x dx
−
− − − −
⇒ ≤ ≤
∃ ∈
⇒ < <
= =
⇒ < + + − < ⇒ < + + − <∫ ∫ ∫ ∫

22
2
2
2
2 4
0
200
-
100
100 1
10
1. 2. 2
2. 0,005
9
3.90 ln10 90 ln10
200
x x
x
x
e e dx e
e dx
e dx
− −
≤ ≤
<
− ≤ < + +
∫
∫
∫
2
3
2
4
40
11
1
0
2
0
3
4. 9 2 90
cos
5. 1
4
6. 1
x
x
tg x dx
e dx
tg
dx
x
∏
∏
+
 
− ≤ 
 
∏
≥ +
<
∫
∫
∫
Baøi giaûi :
1. Ñaët ( ) [ ]2
; 0,2x
f x x x= − ∈ coù ( )
'
1 2x
f x= −
coù ( )
' 1
0
2x
f x= ⇔ =
x -∞ 0 1
2
2 +∞
f’(x) + 0 −
f(x)
0 2−
ր ց
1
4
( )
2 2
2
2
2 2 212 24 44
0 0 0
2
2 4
0
1
2
4
1
2
4
2. 2.
x
x x x x
x x
f
hay x x
e e e e e dx e dx e dx
e e dx e
− − − −
− −
⇒ −
− −
⇒ = ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫
∫
Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân laø :
22
2 4
0
2. 2.x x
e e dx e− −
< <∫
2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )
2
2
1
; 1 0x
e x
x
−
≤ ≠
Ñaët 2
; 0 0t x x t= ≠ ⇒ >
Giaû söû ta coù (1) vaø (1)
1
; 0 ; 0t t
e t e t t
t
−
⇔ > ⇔ >
( )0 2 ; 0t
e t t⇔ − >
Ñaët ( ) ( )
'
1 0 , 0t t
x t
f e t co f e t= − = − > >

23
( )t
f⇒ luoân ñoàng bieán 0t∀ > vaø ( ) ( )0 1 0tf f = >
( )
2 2
2 2
1 1
0 , 0 x x
t
f t e e dx dx
x x
200 200
− −
100 100
⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
2200
-
100
0,005x
e dx⇒ <∫
3. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )
1
2
1 1 1
1 1 ; 1 0
2
x
e x
x x x
−
− − + ∀ >
Ñaët
1
; 0 0t x t
x
= − > ⇒ <
( ) ( )21
1 1 1 ; 2 0
2
t
t e t t t⇔ + + + <
Xeùt haøm soá ( ) ( )
21
1 ; 1 ; 0
2
t t
t t
f e t h e t t t= − − = − − − <
( )
'
1t
t
f e= −°
t -∞ 0 +∞
f’(t) −
f(t)
0
+∞
ց
( ) 0 ;
1 0 ; 0
t
t
f
hay e t t
⇒ > ∀τ < 0
− − > ∀ <
( )1 ; 0 3t
t e t⇒ + < ∀ <
( )
'
• 1t
th e t= − −
x -∞ 0 +∞
'
ht +
th 0
ր
( )
( )
0 ; 0
1
1 0 ; 0 4
2
t
t
h t
hay e t t
⇒ < ∀ <
< + + > ∀ <

24
2
1
2
100 100 1001
210 10 10
1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1
2
t
x
x
t e t t t
hay e x
x x x
dx e dx dx
x x x
−
−
+ + + ∀ <
− − + >
   
⇒ − − +   
   
∫ ∫ ∫
100 1
10
9
90 ln10 90 ln10
200
x
e dx− ≤ < + +∫
* Laø baøi toaùn khoù , hi voïng caùc em tìm ñieàu thuù vò trong baøi toaùn treân – chuùc thaønh coâng .
4. Xeùt ( )
4
4
3
2 ; 0,
cos 3x
f tg x x
x
∏ 
= −   
∈
Ñaët
[ ]2
2
1
1 ; 0, 1;4
cos 3
t tg x x x t
x
∏ 
= = + ⇒  
∈ ∈ ∈
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2 ' 3
1 4
4 4 4
1 1 1
4
40
4 2 4 4 0 ; 1,4
30
3 30
3
9 2 90
cos
t t
t t
t
f t t f t t
f f f f
dt f dt dt
tg x dx
∏
⇒ = + − ⇒ = + > ∀
⇒ ⇒ 3
⇒ ≤
 
⇒ − 
 
∫ ∫ ∫
∫
∈
5. Xeùt haøm soá ( ) 1 ; 0x
x
f e x x= − − ∀
coù ( ) ( )
'
1 0 , 0x
x x
f e x f= − > ∀ ⇒ ñoàng bieán )0,x∀ +∞∈
( ) ( )
( )
2
2
0
1
1
2
11 1 1
1
2 20 0 0
0 1 0 1 ; 0
1
1 ; 0
1
1 1
1 1 *
1 1
x x
x
x
x
f f e x e x x
e x
x
e dx dx dx
x x
+
+
⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀
⇒ + ∀
+
 
⇒ + = + 
+ + 
∫ ∫ ∫
Ñaët ( )2
( )2
1 1
2 20 0
0 10 1
1 1 1 4
4
t tg t dtx
dx
x x tg tt
= += ∏
⇒ ⇒ = =  ∏= + += 
∫ ∫
Töø (*) suy ra :
2
1
1
1
4
x
e dx+
∏
+∫
6. Tröôùc heát ta chöùng minh : 2 ; 0,
2
xtg
x
x
2 ∏ 
<  
∏  
∈

25
Xeùt haøm soá ( )
1
. ; 0,
2 2x
x
f tg x
x
∏ 
=  
 
∈
( )
'
2 2
sin
2 .cos
2
x
x x
f
xx
−
=
Ñaët sin ' 1 cos 0 , 0,
2
Z x x Z x x
∏ 
= − ⇒ = − > ∀  
 
∈
( ) ( )
'
0
0 0 , 0,
2x
Z Z f x
∏ 
⇒ > = ⇒ > ∀  
 
∈
x -∞ 0
2
∏ +∞
f’(x) +
f(x) 2
∏
−∞
ր
( )
2 2 2
0 0 0
2 22
22 2 1
x
xtg
f
x
x xtg tg
dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏∫ ∫ ∫
( ) ( )
4
2001 2001
1999 2
0
1
2
0
2
0
1
1. . .
2 2001 2002
1 2
2. ln 1 ln 1 2 1
2 2
1
3.
2 4
x
n
n
x e dx
x x x dx
xtg xdx
n
∏
∏
+
∏ ∏
> +
+ + + + −
∏ 
 
+  
∫
∫
∫
Baøi giaûi :
1. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 2
2 ; 0x
e x x x> + ∀ >
Xeùt haøm soá:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
' 2 2
2 ; 0
2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0' '
x
x
x x
x x
f e x x x
f e x f e x
= − + ∀ >
= − − = − > ∀ >
( )
'
x
f⇒ laø haøm taêng ( ) ( )
'
0
; 0 0x
x f f∀ > ⇒ > =
( )x
f⇒ laø haøm taêng ( ) ( )0
; 0 x
x f f∀ > ⇒ >

26
( ) ( )
( )
2 2 1999 2 1999 2
1999 2 1999 2
0 0
2001 2001
1999 2
0
2 . 2.
1
.
2
1
. .
2 2001 2002
x x
x
x
e x x x e x x x
x e dx x x x dx
x e dx
∏ ∏
∏
⇒ > + ⇒ > +
⇒ > +
∏ ∏
⇒ > +
∫ ∫
∫
2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 2
1 ln 1 1 ;x x x x x R+ + + + ∀ ∈
Xeùt haøm soá :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
' 2 ' 2
22
1 ln 1 1
ln 1 0 1 1
1 0
0
1 1
x
x x
f x x x x
f x x f x x
x
x
x x
= + + + − +
= + + ⇒ = ⇔ + + =
− ≥
⇔ ⇔ =
+ = −
vaø ( ) ( )' 2
0 ln 1 0 0x
f x x x< ⇔ + + < ⇔ <
x -∞ 0 +∞
f’(x) - 0 +
f(x)
0
ց ր
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
2 2
2 2
1
1 1
2 2 2 2
0 0
0
1
2
0
0 ;
1 ln 1 1
ln 1 1 1
1 1
ln 1 1 1 1 ln 1
2 2
1 2
ln 1 ln 1 2 1
2 2
x
f f x R
x x x x
x x x x
x x x dx x dx x x x x x
x x x dx
⇒ = ∀
⇒ + + + +
⇒ + + + −
 
⇒ + + + − = + + + + −  
⇒ + + + + −
∫ ∫
∫
∈
3. Ñaët ( ) ; 0,
4x
f tgx x x
∏ 
= − ∀ ∈   
( )
' 2
2
1
1 0 ; 0,
cos 4x
f tg x x
x
∏ 
= − = > ∀ ∈ 
 
( )x
f⇒ ñoàng bieán treân ( ) ( )0
0, 0
4 x
f f
∏ 
⇒ =  

27
4 4
4
1 1
0
2
0
; 0,
4
1
2 4
n n
n n n n
n
n
tgx x x tg x x
xtg x x xtg xdx x dx
xtg xdx
n
∏ ∏
∏
+ +
0
+
∏ 
⇒ ∀ ∈ ⇒  
⇒ ⇒
∏ 
⇒  
+  
∫ ∫
∫
Giaû söû f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [0,1] vaø f(1) – f(0) = 1
Chöùng minh raèng : ( )( )
21
'
0
1x
f dx∫
Ta coù : ( )( ) [ ]
21
'
0
1 1 ; 0,1x
f dx x− ∀ ∈∫
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 21 1
' ' '
1 00 0
2 2
' '
2 1 0 2 1 0
2 1 0 1
x x x
x x
f dx f dx dx f dx f f
f dx f dx
1 1
0 0
1 1
0 0
 ⇒ − + ⇔ − − +
 
⇔ − + ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Cho f laø 1 haøm lieân tuïc treân [0;1] ñoàng thôøi thoaû maõn
( ) [ ]( )
( ) ( )
1
0
1 2 ; ; 0,1
3
2
x
x
f x a
f dx b
 ∀ ∈


=
∫
Chöùng minh
( )
1
0
2 1 3
3 4x
dx
f
<∫
Theo BÑT Bunhiacosky
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
21 1 1 1
0 0 0 0
1
0
1
1 1. . .
3 2
1
2 3
x x
xx
x x
dx
dx f dx f dx
ff
dx dx
f f
1
0
 
 =
 
 
= ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Daáu “=” khoâng xaûy ra :
( )
( )
( )
( )
1
0
3
1 2
3
.
2
x
x
x
x
f
k f k
f
do f dx
= ⇔ = =
=∫
Töø (a) : ( ) [ ]1 2 ; 0,1x
f x∀ ∈ thì
( )
( )
2 0
1 0
x
x
f
f
−

−
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 1 0 3 2 0x x x x
f f f f⇔ − − ⇔ − +

28
( )
( )
( )
2
3 0 2x
x
f
f
− + Ñaët ( )x
t f=
1 2t⇒ ≤ ≤ thì (2) ( )
2
3 0t
t f
t
⇔ − − =
t 1 2 2
f’(t) − 0 +
f(t)
2 2 3−
ց ր
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1
0 0 0
3 2 0
3 3
2 3
2 4
x
x
x
x x
dx
f dx dx
f
dx dx
dx f dx
f f
1
0
⇒ − + <
⇒ < − = ⇒ <
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 1 3
3 4x
dx
f
<∫

29
BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN

30
( )
4
2
4
0
0
1
1
0
18
0
0
3
1
1
0
1
1.
228 245 2cos
1
2.
2 183 4sin
2 1 2
3.
39 78
5
4.
3 616
cos 5
5.
4 61
1
6.
216 105 3cos
.sin
7.
2 121
8. 3 2
4003
2001
9. .ln .
1
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
e x
dx
ex
x
e dx
x x dx
∏
∏
∏
∏
−
∏ ∏
∫
+
∏ ∏
∫
+
∫
+
<∫
+
<∫
+
∏ ∏
∫
+
−
∏
<∫
+
−
+∫
< ∏∫1
10
24
( )
1
2
1
0
0
2
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
1 2
0.
2 36 84
1 1
11. 2,3...
22 61
22 2
12. 2
4
7
1
13. 0
3 8 81
2
14.1
19
1 1
15.
3 6 2020 2 1
1
16 .
210 45 3cos
1
17. 0
1 1
dx
x x
dx n
x
x x
e dx e
e
x
dx
x
x
e dx e
x
dx
x
dx
x
n
x
dx
x n
∏
∏ ∏
∫
− −
∏
< =∫
∏
−
−
∫
< <∫
+
< <∫
< <∫
+
∏ ∏
∫
−
∫
+ +
1
2
3
0
1
0
1
0
3
4
4
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1 3
18.1
2 52 8
2
19.1 1 2
2
20. 3 3 2
1
21. 2
8 73 sin
22. 2 5 4 6
2
23. 2 4 5
3 1
24. 2
18 82
1 1
25.
2004 42 1
26. 7 5 3
18 273
27. 0
dx
x x
x dx
x dx
dx
x
xdx
x dx
dx
x x
dx
x
x
dx
x x x
∏
∏
−
∫
− + +
+∫
+∫
∏ ∏
∫
+
−∫
+∫
∏ ∏
< <∫
+ +
∏
∫
−
∏ ∏ 3
<∫
+ + +
( )
4
1
0
1
0
0
3
0
2
0
2
0
1
1
3
4
1
0
2
ln
2
28.9 81 10
2 2
29.
3 10 3cos 7
1 62
30 . 1 sin
2 2 4
2
31.0 2 3
1
32.
24 23 2 sin
21
33. 1 1
sin( )
34. ln 2
1
cos( )
35. ln 2
1
36
e
x xdx e
x dx
dx
x
x dx
tgx dx
dx
x
x
e e dx
e
nx
dx
x
nx
dx
x
∏
∏
−
∏
∫
< + <∫
∏ ∏∏
< <∫
+
∏ ∏
< + <∫
< <∫
∏∏ ∫
−
−
− < <∫
∫
+
∫
+
( )2
0
1
2
1. ; 3, 4
2 121
2
37. sin 0
x
dx n
n
x
x dx
∏
∏
< =∫
−
>∫

31
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2 2
2
3
6
4
0
4 2 2
0
2 4 2
0
2 2
1. 2 cos 2 cos 2 2
3cos 4sin 5
2. 0
1 12
9
3. 3 2 sin sin 6 sin 5
2
27
4. 2 3 7 4
4
25
5. sin 2 3cos
48
125
6. cos 2sin 3
54
3 3
7. 5 2cos 3 2sin
x x dx
x x
dx
x
x x x dx
tgx tgx tgx dx
x x dx
x x dx
x x dx
∏
∏
∏
∏
∏
∏
+ + − ∏
+ ∏
+
∏
− + +
∏
+ −
∏
+ <
∏
+ <
∏
− + −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
o
3
1
<
( )( )
( )( )( )
( )
( )
2
4
4
2
0
3
6
0
1
1
0
1
20
2
27
8. sin 2 3 sin 7 4 sin
2
9
9. 3 2 sin 5 sin 1 sin
2
10. 2sin 0
11. 0 1
1 5 1
12.
2 1 24 2
x
x
x x x dx
x x x dx
x tgx dx
e x dx e
e
dx
x
∏
∏−
∏
∏
∏
∏
− −
−
∏
+ −
∏
− + +
+ >
+ −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
2
2
18
40
2
0
1
2 2 2
0
2 1 2
1.
13 10 3cos 7
1
2.
14 4 3cos 8
cos
3. 0,1
1
4. 1
5. sin sin
6. x x
dx
x
x
x
dx
x
x dx xdx
x xdx x xdx
e dx e dx
∏
0
∏
0
1 1
0
∏ ∏
+
∏ ∏
+
<
+
+ >
<
>
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1
0
2 2
1 1
( )
3
2
1
0
2
1
20
1
1
1
0
4 40
1
20
11
12
13
14
15
16
sin 1cos
. 1 1
1
1
.
1 64 2
.1 2 4
.1
1
. 2
sin cos
1
.
2 8
x
x
x a a a
dx
x
a R
x
dx
x
dx
e dx e
dx
x x
dx
x x
−
∏
+ +
−
+
∏ − ∏
< <
+
∏ ∏
+
∏
<
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∈

32
( )
2
1
21
10 22 2
0 0
cos 2 cos
7. 2
2 cos 1
0,
8.. sin sin
x x
dx
x x
xdx xdx
α α
α
α
−
∏ ∏
− +
− +
∏
∫
∫ ∫
∈ ( )
4 4
2 2
1
2
5
319
17
18
. sin cos
.3 6 2 4 6 3
3
. 25 27
2 4 5
xdx xdx
x x dx
x
dx
x x
∏ ∏
−
∏ ∏
>
+ + −∫
∫
− +
∫ ∫
( )
( )
6
6
2
0
2
2 2 2 2
9. cos 2sin sin 2cos 6
2 2 2
10. 3cos sin 3sin cos 2
x x x x dx
x x x x dx
∏
∏
∏
−
+ + + ∏∫
+ + + ∏∫
( )
( )
3
3
4
6
3
0
0 2
2
21
1 2
0
4
27
2
3. 0 1
3 sin 1
1.
4 2
3 sin 2
2.
8 6
3 1 2 3
4.
3 3cos cos 1
2 1
5.
5 1 2
2 3
6. 0 1
9
x x dx
x
dx
x
x
x
dx
x x
x
dx
x
x x dx
∏
∏
∏
∏
∏
< − <∫
< <
< <
∏ ∏
< <
+ +
< <
+
< − <
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
( )
2
2
3
2
0
0 2 2
2
2
1
1
33
1
1
2 1
0
2
0
30
28
29
31
32
33
5 3
. 24 5 20 2 32
cos 1
.
2
. 0 8
. 2 4 3 2 0
. 0
1
. 2cos 2cos 1 5
2
x
e ex
x x x dx
x
dx
x
x e dx e
x x dx
x dx e
x x dx
∏
∏
−
−
−
−
+
− − − + +∫
<
∏
− − + −
< <
< + + <
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )2
2
11
7
22
0
5
2
6
1
20
1
0 2
49
3
8
1 1
9 sin sin
sin sin
7
.
10
8
.54 2 11 7 108
8
. 3cos 5
3cos cos3
. 0,65 0,9
1
2 1 1
11.
3 22
dxx x
x x
x x dx
x dx
x x
dx
x
dx
x x
−
∏
∏
∏− −− − −
− + +
 
+ 
+ 
+
+ −
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
( )
( )
2
0
2
0
30
2
4
22
2
1
21
34
35
7 3 5 3 6
36 . 3 2 sin
3 3
37
38
39
40
3
. sin 1 cos
2
. sin cos 2 2
. cos 2
cos 2 3
. 2cot
sin 9
7 5
. 2 6
5 7
3 1
. 0 10
1
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
x
gx dx
x
x x
dx
x x
x x
dx
x x
∏
∏
−∏
∏
−∏
∏
∏
−
∏ ∏ +
< + <
∏
+ <
+ < ∏
− < ∏
∏ 
− < 
 
− +
−
− +
+ +
− +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

33
( )
( )
2
2
3
2 2
200
100
2
4
2
2
2
21
1
0
17.
15
16
5 9 2
12.
2 41
cos 1
13.
200
1 sin 2
14.
2 2
1
. 2 3ln
ln
2 1
.
5 1 2
1
1
2
e
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
e e x dx
x
x
dx
x
x x dx
∏
∏
∏
∏
< <
−
<
∏
< <
 
− < − 
 
< <
+
− <
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
2
2
21
2
22
2
0
2 3
2
21
3
1
2
2
4 0
2
2
1
24
22
23
25
26
27
5 2 4 5
21. 15
2 1
. 0 ln
. 1 1
ln
5 2
. 1
4 1
1
. ln 2 ln ln3
2
. 2
1
.
2
e
e
e
x x
x
x x
dx
x
x x e
x
e e dx e e
x
x
dx
x
x
dx
x
e dx e
e
e
e dx e
x
−
−
+ +
+
− < < −
< <
+
+
< <
< <
< <
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
2
2
4 2
0
2 4 3 2
1
18
19
20
. cos2 cos 1 2
. 5 2 4 5 9 2
. 141 3 8 30 72 20 369
x x dx
x x dx
x x x x dx
∏
∏
−
∏ − + ∏
− + +
− − − + + −
∫
∫
∫

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