Exercicios respondidos hidraulica i

ÍNDICE
CAPÍTULO 1..........................................................................................................4
Página 19 exemplo 1.1.............................................................................................5
Página 22 exemplo 1.3.............................................................................................6
Pág. 25 numero 1.11 ...............................................................................................7
Pág. 25 numero 1.12................................................................................................8
Pág. 26 numero 1.13................................................................................................9
Pág. 26 numero 1.14..............................................................................................10
CAPÍTULO 2........................................................................................................11
Pág. 59 exemplo 2.8..............................................................................................12
Pág. 63 numero 2.14..............................................................................................13
Pág. 67 numero 2.33..............................................................................................14
Pág. 67 numero 2.34..............................................................................................15
Pág. 68 numero 2.35..............................................................................................16
Pág. 68 numero 2.36..............................................................................................17
CAPÍTULO 3........................................................................................................18
Página 85 exemplo 3.3...........................................................................................19
Página 87 exemplo 3.4...........................................................................................20
Pág. 88 numero 3.1................................................................................................21
Pág. 89 numero 3.3................................................................................................22
Uma adutora de 500 mm de diâmetro, 460 m de comprimento, em aço soldado
revestido de cimento centrifugado, liga dois reservatórios mantidos em níveis
constantes. Determine a capacidade de vazão da adutora quando o desnível entre
os reservatórios for de 3,50 m, nas seguintes condições:.......................................22
a)desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da tubulação; 22
b)considerando tais perdas de carga localizadas, adotando os seguintes coeficientes
de perdas Ke = 0,5 e Ks = 1,0................................................................................22
Faça comentários pertinentes sobre os resultados encontrados, observando a
relação entre o comprimento e o diâmetro da adutora............................................22
Pág. 89 numero 3.4................................................................................................23
Pág. 91 numero 3.8................................................................................................24
Pág. 91 numero 3.8 (continuação).........................................................................25
Pág. 92 numero 3.11..............................................................................................26
Pág. 92 numero 3.13..............................................................................................27
CAPÍTULO 4........................................................................................................29
Pág. 105 exemplo 4.2.............................................................................................31
Pág. 109 exemplo 4.3.............................................................................................32
Pág. 117 numero 4.1..............................................................................................33
Pág. 118 numero 4.2..............................................................................................34
Pág. 118 numero 4.4..............................................................................................35
Pág. 118 numero 4.5..............................................................................................36
Pág. 119 numero 4.6..............................................................................................37
Pág. 119 numero 4.6 (continuação).......................................................................38
Pág. 119 numero 4.7..............................................................................................39
Pág. 120 numero 4.8..............................................................................................40
Pág. 120 numero 4.9..............................................................................................41
Pág. 120 numero 4.10............................................................................................42
Pág. 121 numero 4.11............................................................................................43
Pág. 121 numero 4.12............................................................................................44
Pág. 121 numero 4.13............................................................................................45
Pág. 121 numero 4.14............................................................................................46
Pág. 121 numero 4.15............................................................................................47
Pág. 122 numero 4.16............................................................................................48
Pág. 122 numero 4.17............................................................................................49
CAPÍTULO 5........................................................................................................51
2

exemplo 1.1
Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, a água escoa em uma extensão de 300 m,
ligando um ponto A na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pressão interna é de
275 kN/m2, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 m, no qual a pressão interna
é de 345 kN/m2. Calcule a perda de carga entre A e B, o sentido do escoamento e a
tensão de cisalhamento na parede do tubo. Se a vazão for igual a 0,14 m3/s, calcule
o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito.
pA = 275 kN/m2 è pA/γ = 275/9,8 = 28,06 m
pB = 345 kN/m2 è pA/γ = 345/9,8 = 35,20 m
L = 300 m ; ZA = 90 m ; ZB = 75 m ; Q = 0,14 m3/s
a) Sentido de escoamento
O sentido de escoamento é sempre dos níveis de energia mais elevada para
a menos elevada.
Como o diâmetro da tubulação é constante e sendo o escoamento
permanente, a carga cinética em qualquer seção será a mesma. Deste modo,
a linha de energia será paralela à linha piezométrica e a perda de carga entre
A e B pode ser calculado pela diferença entre as cotas piezométricas das
seções A e B.
CPA = pA/γ +ZA = 275/9,8 + 90,00 = 28,06 + 90 = 118,06 m
CPB = pB/γ +ZB = 345/9,8 + 75,00 = 35,20 + 75 = 110,20 m
Como a CPA = 118,06 > CPB = 110,20
o sentido do escoamento será de A para B.
b) Determinação da perda de carga entre A e B
∆HAB = CPA – CPB = 118,06 – 110,20 = 7,86 m
c) Determinação da tensão de cisalhamento na parede do tubo
∆H = 4 το L / γ D
è το = γ ∆Η D/4 L = 9800. 7,86.0,30/4.300 = 19,26 kN/m2
d) Determinação da velocidade de atrito
ρ
τo
u =* = (19,26 / 1000)^,5 = 0,139 m/s
e) Determinação do fator de atrito para Q = 0,14 m3/s
V = (4Q/π D2
) = (4 . 0,14/π.0,30^2) è V = 1,98 m/s
g
V
D
fL
H
2
2
=∆
f = 2g . D . ∆H / (L . V^2) = 19,6 . 0,30 . 7,86 / (300 . 1,98^2)
è f = 0,039
5

exemplo 1.3
Considere um sistema de bombeamento como o da Figura 1.7, no qual uma
bomba, com rendimento de 75%, recalca uma vazão de 15 l/s de água, do
reservatório de montante, com nível d’água na cota 150,00 m, para ao reservatório
de jusante, com nível d’água na cota 200,00 m. As perda de carga totais na
tubulação de montante (sucção) e de jusante (recalque) são, respectivamente,
∆Hm= 0,56 m e ∆Hj=17,92 m. Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque
são, respectivamente, 0,15 m e 0,10 m. O eixo da bomba está na cota geométrica
151,50 m.
Determine:
a) as cotas da linha de energia nas seções de entrada e saída da bomba;
b) as cargas de pressão disponíveis no centro dessas seções;
c) a altura total de elevação e a potência fornecida pela bomba.
150 m
200 m
A
B C
D
a) Determinação das energias na entrada e saída da bomba
Hentrada = Zm – ∆Hm = 150 – 0,56 = 149,44 m
Hsaída = Zj – ∆Hj = 200 + 17,92 = 217,92 m
b) Determinação das velocidades na entrada e saída da bomba
Ventrada = (4Q/π Ds2
) = (4.0,015/3,1415 . 0,15^2) = 0,85 m/s
Vsaída = (4Q/ π Dr2
) = (4.0,015/3,1415 .0,10^2) = 1,91 m/s
c) Determinação das pressões na entrada e saída
HB = pB/γ +ZB + VB^2/2g (na entrada)
149,44 = pB/γ + 151,50 + 0,85^2/19,6 è pB/γ = -2,10m
HC = pC/γ +ZC + VC^2/2g (na saída)
217,92 = pC/γ + 151,50 + 1,91^2/19,6 è pC/γ = 66,23m
d) Determinação da altura total de elevação da bomba
H = HREC – HSUC = HC – HB = 217,92 – 149,44 = 68,48 m
e) Determinação da potência da bomba
Pot = γQH/n = 9,8.0,015.68,48/0,75 = 13,42 kw ou 18,25 cv
(1kw = 1,36cv)
6

Pág. 25 numero 1.11
Bombeiam-se 0,15 m3/s de água através de uma tubulação de 0,25 m de diâmetro,
de um reservatório aberto cujo nível d’água mantido constante está na cota 567,00
m. A tubulação passa por um ponto alto na cota 587,00 m. Calcule a potência
necessária à bomba, com rendimento de 75%, para manter no ponto alto da
tubulação uma pressão disponível de 147 kN/m2, sabendo que, entre o reservatório
e o ponto alto, a perda de carga é igual a 7,5 m.
Dados:
Q = 0,15 m3/s ; ∆Htotal = 7,5 m
D = 0,20 m ; n = 0,75
Pc = 147 kN/m2 è pC/γ = 147/9,8 è pC/γ = 15 m
A
B C
D
587 m
567 m
a) Determinação da energia cinética
Vc = (4Q/π D2
) = (4.0,15/3,1415 . 0,25^2) = 3,06 m/s
Vc^2/2g = 3,06^2/19,6 = 0,477 m
b) Determinação da altura manométrica
H = (ZD – ZA) + (∆Hm + ∆Hj) + (pD/γ + VD^2/2g)
( energia disponível em D)
H = (587 – 567) + ( 7,5 ) + (15 + 0,477) è H = 42,98 m
c) Determinação da potência da bomba
Pot = γQH/n = 9,8.0,15.42,98/0,75 = 84,23 kw ou 114,56 cv
7

Entre os dois reservatórios mantidos em níveis constantes, encontra-se uma
máquina hidráulica instalada em uma tubulação circular com área igual a 0,01 m2.
Para uma vazão 20 l/s entre os reservatórios, um manômetro colocado na seção B
indica uma pressão de 68,8 kN/m2 e a perda de carga entre as seções D e C é igual
a 7,5 m. Determine o sentido do escoamento, a perda de carga entre as seções A e
B, as cotas piezométricas em B e C, o tipo de máquina (bomba ou turbina) e a
potência da máquina se o rendimento é de 80%.
Resp. [AèD;DHab=2,796m;CPb=7m;CPc=9,29m;bomba;Pot=,563kw]
Dados: pB = 68,8 kN/m2 è pB/γ = 68,8/9,8 = 7 m
A = 0,01 m2 ; ∆HDC = 7,5 m ; Q = 0,020 m3/s ; n = 0,80
2,0 m
10,0 m
D
máquina
C B A
a) Sentido arbitrado: de A para B
b) Determinação da energia cinética
V = Q/A = 0,020/0,010 = 2,0 m/s è V^2/2g = 2,0^2/19,6 = 0,20 m
c) Determinação da ∆HAB
HA = HB + ∆HAB
pA/γ + ZA + VA^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ∆HAB
0 + 10 + 0 = 7 + 0 + 0,20 + ∆HAB è ∆HAB = 2,80 m
d) Determinação da pC/γ
HC = HD + ∆HCD
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ∆HCD
pC/γ + 0 + 0,20 = 0 + 2 + 0 + 7,5 è pC/γ = 9,30 m
e) Determinação das cotas piezométricas em B e C
CPB = pB/γ + ZB = 7,00 + 0 = 7,00 m
CPC = pC/γ + ZC = 9,30 + 0 = 9,30 m
f) Determinação da altura de elevação da bomba
HB (sucção) = pB/γ + ZB + VB^2/2g = 7 + 0 + 0,20 = 7,20 m
HC (recalque) = pC/γ + ZC + VC^2/2g = 9,3 + 0 + 0,20 = 9,50 m
H = HC (recalque) - HB (sucção) = 9,50 – 7,20 = 2,30
g) Determinação da potência da bomba
Pot = γQH/n = 9,8.0,020.2,30/0,80 = 0,563 kw ou 0,766 cv
8

A vazão de água recalcada por uma bomba é de 4500 l/min. Seu conduto de
sucção, horizontal, tem diâmetro de 0,30 m e possui um manômetro diferencial,
como na Figura 1.11. Seu conduto de saída, horizontal, tem diâmetro de 0,20 m e
sobre seu eixo, situado 1,22 m acima do precedente, um manômetro indica uma
pressão de 68,6 kPa. Supondo o rendimento da bomba igual a 80%, qual a potência
necessária para realizar este trabalho. Dado densidade do mercúrio dr = 13,6.
Dados:
Q = 4500 l/min = 4500/(1000.60) = 0,075 m3/s ; n = 0,80
P2 = 68,6 kN/m2 è p2/γ = 68,6/9,8 = 7 m
Q
Q
Q
1,22 m
P2
0,26m
0,18m
Ds=0,30m
Dr=0,20m
a) Determinação da p1/γ
p/γ = h. d = altura x densidade
p1/γ = -0,26.1,0 - 0,18 . 13,6 è p1/γ = -2,708 m
b) Determinação das velocidades nas tubulações sucções e de recalque
V1s = (4Q/π Ds2
) = (4.0,075/π.0,30^2) = 1,06 m/s
è V1/2g = 1,06^2/19,6 = 0,057 m
V2r = (4Q/ π Dr2
) = (4.0,075/π.0,20^2) = 2,38 m/s
è V2/2g = 2,38^2/19,6 = 0,291 m
c) Determinação das cotas de energia na entrada e saída da bomba
Hsucção = p1/γ + Z1 + V1^2/2g = -2,708 + 0 + 0,057 = - 2,651 m
Hrecalque = p2/γ + Z2 + V2^2/2g = 7,0 + 1,22 + 0,291 = 8,511 m
Helevação = Hsucção – Hrecalque = 8,511 – (-2,651) = 11,162 m
d) Determinação da potência da bomba
Pot = γQH/n = 9,8.0,075.11,162/0,80 = 10,26 kw ou 13,95 cv
9

A Figura 1.12 mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório R1 para
o reservatório R2, através de uma tubulação de diâmetro igual a 0,40 m, pela qual
escoa uma vazão de 150 l/s com uma perda de carga unitária J=0,055 m/m. As
distâncias R1B1 e B1R2 medem, respectivamente, 18,5 m e 1800 m. A bomba B1
tem potência igual a 50 cv e rendimento de 80%. Com os dados da Figura 1.12,
determine:
a) a que distância de B1 deverá ser instalada B2 para que a carga de pressão na
entrada de B2 seja igual a 2 mH2O;
b) a potência da bomba B2, se o rendimento é de 80%, e a carga de pressão logo
após a bomba. Despreze, nos dois itens, a carga cinética da tubulação.
Dados: R1B1 = 18,50 m ; B1R2 = 1800 m ; Q = 0,15 m3/s ; n = 0,80
D = 0,40 m ; J = 0,0055 m/m ; Pot(B1) = 50 cv ; pD/γ = 2 m
0,0 m
B2
22,0 m
D
B1
R1 -2,0 m
15,0 m
R2
B C
D E
F
A
CPA=2m
CPB=-0,10m
CPC=19,90m
CPD=17,0m
CPE=29m
CPF=22m
a) Determinação da cota piezométrica em B
HA = HB + ∆HAB
0 + 0 + 0 = pB/γ + (-2) + 0 + 0,0055 . 18,5 è pB/γ = 1,90 m
CPB = pB/γ + ZB = 1,90 – 2 = - 0,10 m = HB (pois energia cinética = 0)
b) Determinação da cota piezométrica em B
Pot = γ Q (Hrec – Hsuc)/n = γ Q (HC – HB)/n =
50/1,36 = 9,8.0,15.(HC – 0,10) / 0,80 è HC = 19,90 m = CPC
CPC = pC/γ + ZC è 19,90 = pC/γ -2 è pC/γ = 21,90 m
c) Determinação da distância de B1 em relação a B2
HC = HD + ∆HCD
19,90 = 2 + 15 + 0 + 0,0055 x è x = 527,30 m
d) Determinação da altura de elevação da bomba 2
HD = Hsuc = 2 + 15 + 0 è HD = 17 m
HE = HF + ∆HEF
HE = Hrec = 22 + (1800 – 527,30) 0,0055 è HE = 29 m
H = Hrec – Hsuc = HE – HD = 29 – 17 è H = 12 m
e) Determinação da potência da bomba 2
Pot (B2) = γ Q (Hrec – Hsuc)/n = γ Q (HE – HD)/n
Pot (B2) = 9,8 . 0,15 (29 – 17)/0,80 = 22,05 kw (* 1,36) ou 30cv
f) Determinação da pressão após a bomba B2
HE = pE/γ + ZE =
29 = pE/γ + 15 è pE/γ = 14 m
10

Pág. 59 exemplo 2.8
O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um reservatório
principal, com nível d’água suposto constante na cota 812,00 m, e por um
reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de
aumento de consumo, com nível d’água na cota 800,00 m. No ponto B, na cota
760,00 m, inicia-se a rede de distribuição. Para que valor particular da vazão de
entrada na rede, QB, a linha piezométrica no sistema é a mostrada na figura?
Determine a carga de pressão disponível em B. O material das adutoras é de aço
soldado novo (C=130). Utilize a fórmula de Hazem –Williams, desprezando as
cargas cinéticas nas duas tubulações.
Dados:
800 m
C
812 m
A
760 m
B
QB
6"650 m
4"
420 m
a) Determinação da vazão (Q)
87,485,1
85,1
65,10
DC
Q
L
H
J =
∆
=
J = (812 – 800)/(650 + 420) = (10,65Q ^1,85)/(130^1,85 . 0,15^4,87)
è Q = 0,02165 m3/s ou 21,65 litros/s
Q = QB + QBC
b) Determinação da vazão (QB)
J = (812 – 800)/(650 + 420) = (10,65QBC ^1,85)/(130^1,85 . 0,10^4,87)
è QBC = 0,00745 m3/s ou 7,45 litros/s
è QB = Q - QBC = 21,65 – 7,45 = 14,20 litros/s
c) Determinação da pressão no ponto B (pB/γ)
CPB = pB/γ + ZB = CPA - ∆HAB ∆HAB = J . L
pB/γ = CPA - ∆HAB – ZB =
pB/γ = 812 – (812 – 800)/(650 + 420) . 650 - 760
pB/γ = 812 - 0,011215 . 650 - 760 = 812 - 7,29 - 760 = 44,71 m
pB/γ = 44,71 m
12

Em relação ao esquema de tubulações do Exemplo 2.8, a partir de que vazão QB,
solicitada pela rede de distribuição de água, o reservatório secundário, de sobras,
passa a ser também abastecedor.
Dados: C = 130
800 m
C
812 m
A
760 m
B
QB
6"650 m
4"
420 m
a) Considerações iniciais
Na iminência do reservatório 2 abastecer o ponto B a cota de energia em C
(HC) é igual à cota de energia no ponto B (HB). Como as cargas cinéticas
são desprezadas, a cota piezométrica em C é igual em B, ou seja:
CPB = CPC mas CPB = CPA - ∆HAB
∆HAB = CPA – CPC
Ainda tem-se que, como CPC = CPB è ∆HBC = 0 è QC = 0
Q = QAB + QBC = QAB + 0 è Q = QAB
Logo, o único fluxo que ocorre é na tubulação do trecho AB.
b) Determinação da vazão em B limite para que R2 abasteça em B
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆
(812 – 800) = 10,65.QAB^1,85.650/(130^1,85 . 0,15^4,87)
è QAB = 0,0283 m3/s ou 28,3 litros/s
13

Determinar a relação entre a vazão máxima e a vazão mínima que pode ser retirada
na derivação B, conforme a figura, impondo que o reservatório 2 nunca seja
abastecido pelo reservatório 1 e que a mínima carga de pressão disponível na linha
seja 1,0 mH20. Utilize a fórmula de Hazen-Williams. Despreze as perdas
localizadas e as cargas cinéticas.
552 m
549 m
12"
850
m
C = 100
450 m
1
2
8"
C = 110
C
554 m
A
B
QB
2 Caso
1 Caso
a) Considerações para o 1 Caso
No 1 caso de vazão mínima o R2 está na iminência de ser abastecido mas
ainda não abastece o ponto B a cota de energia em C (HC) é igual à cota de
energia no ponto B (HB). Como as cargas cinéticas são desprezíveis
CPB = CPC mas CPB = CPA - ∆HAB è ∆HAB = CPA – CPC
b) Determinação da vazão em B limite para que R2 abasteça em B
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆
(554 – 552) = 10,65.QAB^1,85.850/(110^1,85 . 0,30^4,87)
è QABmin = 0,0488 m3/s ou 48,8 litros/s (vazão mínima)
c) Considerações para o 2 Caso
No 2 caso de vazão máxima o R2 também abastece o ponto B, contanto que
a pressão mínima na rede seja de (p/γ)min = 1 m. Como as cargas cinéticas
são desprezíveis, tem-se que:
HB = CPB = CPA - ∆HAB e ainda CPB = CPC - ∆HCB
CPB = pB/γ + ZB = (p/γ)min + ΖΒ = 1 + 549 = 550 m
Logo:
∆HAB = CPA – CPB = 554 – 550 è ∆HAB = 4 m
∆HCB = CPC – CPB = 552 – 550 è ∆HCB = 2 m
QB = QAB + QCB
d) Determinação da QAB
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆
∆HAB = (554 – 550) = 10,65.QAB^1,85.850/(110^1,85 . 0,30^4,87)
è QAB = 0,0710 m3/s ou 71,0 litros/s
e) Determinação da QCB
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆
∆HCB = (554 – 552) = 10,65.QCB^1,85.450/(100^1,85 . 0,20^4,87)
è QCB = 0,0215 m3/s ou 21,5 litros/s
f) Determinação da vazão máxima
QB = QAB + QCB = 71,0 + 21,5 = 92,5 litros/s
g) Relação Qmáx/Qmin
Qmáx/Qmin = 92,5/48,8 è Qmáx/Qmin =1,89
14

Uma tubulação de 0,30 m de diâmetro e 3,2 km de comprimento desce, com
inclinação constante, de um reservatório cuja superfície livre está a uma altitude
de 120 m, conectando-se aos reservatórios em ponto situados a 10 m abaixo de
suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e
instala-se uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão
desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f =
0,20 e que o rendimento da bomba seja de 80%, determine:
a) a vazão original do sistema por gravidade;
b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 0,15 m3/s;
c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba,
desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga
cinética na adutora;
d) desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bomba,
nas condições do item anterior.
Dados: D = 0,30m ; f = 0,020 ; n = 0,80 ; L = 3200 m ; Q = 0,15 m3/s
120 m
D
150 m
A
135
B
1
2
140
110
C
a) Determinação da vazão original sem bombeamento (Q)
g
V
D
fL
H
2
2
=∆ (140– 110) = 0,020.3200.V^2/(0,30.19,6)  V = 1,66 m/s
Q = (π D^2/4)V  Q = π 0,30^2 / 4 . 1,66  Q = 0,117 m3/s
b) Potência do sistema com bombeamento para Q = 0,15 m3/s
V = (4Q/π D2
) = (4 . 0,15/π.0,30^2) = 2,12 m/s
g
V
D
fL
H
2
2
=∆ ∆H = 0,020 . 3200 . 2,12^2/(0,30 . 19,6)  ∆H = 48,92 m
-A altura de elevação é:
H = ZJ – ZM + ∆H = 110 – 140 + 48,92 = 18,92 m
Pot = γQH/n = 9,8.0,15.18,92/0,80 = 34,76 kw ou 74,28 cv
c) Determinação da perda de carga entre A e B antes da bomba
140 - 135 = 5 m
x
α
g
V
D
fL
H
2
2
=∆  ∆HAB = 0,020 . 533,33 . 2,12^2 / (0,30 . 19,6) = 8,15 m
d) Carga de pressão antes da bomba
HA = HB + ∆HAB
0 + 150 + 0 = pB/γ + 135 + 2,12^2/19,6 + 8,15  pB/γ = 6,62 m
e) Determinação da perda de carga entre C e D depois da bomba
∆HCD = 0,020 . (3200-533,33) . 2,12^2 / (0,30 . 19,6) = 40,76 m
f) Carga de pressão depois da bomba
HC = HD + ∆HCD
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ∆HAB
pC/γ + 135 + 2,12^2/19,6 = 0 + 120 + 0 + 40,76
 pC/γ = 25,53 m
sen a = (150-120)/3200 = 0,009375
 sen a = (140 – 135)/x  x = 533,33m
15

Na figura abaixo os pontos A e B estão conectados a um reservatório em nível
constante e os pontos E e F conectados a outro reservatório também mantido em
nível constante e mais baixo que o primeiro. Se a vazão no trecho AC é igual a 10
l/s de água, determinar as vazões em todas as tubulações e o desnível H entre os
reservatórios. A instalação está em um plano horizontal e o coeficiente de
rugosidade da fórmula de Hazen-Williams, de todas as tubulações, vale C = 130.
Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas nas tubulações.
A
300 m
6"
C
6"
E
FB
200 m
250 m
100 m
100 m 6"
4"
8"
D
QAC = 10 l/s
a) Determinação das vazões QAC, QBC e QCD
Como ∆HAC = ∆HBC e LAC = LBC
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆ = 87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆
 QBC = QAC (DBC/DAC)^2,63 = 10 . (6/4)^2,63 = 29 litros/s
Como QCD = QAC + QBC = 10 + 29 = 39 litros/s
b) Determinação das vazões QDE e QDF
Como ∆HDE = ∆HDF e DDE = DDF
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆ = 87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆
 QDE = QDF (LDF/LDE)^(1/1,85) = QDF . (250/200)^(1/1,85) =
 QDE = 1,128 QDF
Como QCD = QDE + QDF = 1,128QDE + QDE QCD = 2,128 QDE
 39 = 2,128 QDF  QDF = 39/2,128  QDF = 18,32 litros/s
 QDE = 1,128 . QDF = 1,128 . 18,32  QDE = 20,66 litros/s
c) Determinação das perdas de carga
Em C  JAC = (10,65.0,010^1,85)/(130^1,85 . 0,010^4,87) = 0,0193m/m
 ∆HAC = JAC . LAC = 0,0193 . 100 = 1,93 m
Em D  JCD = (10,65.0,039^1,85)/(130^1,85 . 0,20^4,87) = 0,0082m/m
 ∆HAC = JAC . LAC = 0,0082 . 300 = 2,46 m
Em E  JDE = (10,65.0,0206^1,85)/(130^1,85 . 0,15^4,87) = 0,0103m/m
 ∆HDE = JDE . LDE = 0,0103 . 200 = 2,06 m
d) Determinação das cotas piezométricas
HA = HC + ∆HAC =
HA = (HD + ∆HCD) + ∆HAC
HA = (HE + ∆HDE) + ∆HCD + ∆HAC
HA – HE = ∆HDE + ∆HCD + ∆HAC
H = 2,06 + 2,46 + 1,93  H = 6,45 m
e) Esquema do fluxo
A ou E
C
D
E ou F
16

Determinar o valor da vazão QB, e a carga de pressão no ponto B, sabendo que o
reservatório 1 abastece o reservatório 2 e que as perdas de carga unitárias nas
duas tubulações são iguais. Material: aço soldado revestido com cimento
centrifugado. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas. C = 140
800 m
C
810 m
A
780 m
B
QB
6"860 m
4"
460 m
1
2
a) Relação entre as vazões
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆ = 87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
QAB/QBC = [(DAB/DBC)^4,87]^(1/1,85)
 QAB/QBC = (DAB/DBC)^2,63  QAB/QBC = (6/4)^2,63 = 2,905
 QAB = 2,905 QBC
Como QAB = Qbomba + QBC
2,905QBC = Qbomba + QBC  Qbomba = 1,905 QBC
b) Determinação da vazão QAB e QBC
JAB = ∆HAB/L =
(810-800)/(860 + 460) = 10,65.QAB^1,85/(140^1,85.0,15^4,87) = 0,00757
QAB = 0,01886 m3/s ou 18,86 litros/s
QBC = QAB/2,905 = 0,01886 / 2,905 = 0,0065 m3/s ou 6,5 litros/s
c) Determinação da vazão Qbomba
Qbomba = QAB – QBC = 18,86 – 6,50 = 12,36 litros/s
d) Determinação da perda de carga entre A e B
∆HAB = JAB . LAB = 0,00757 . 860 = 6,51 m
e) Determinação da pressão em B (pB/γ)
HA = HB + ∆HAB
0 + 810 + 0 = pB/γ + 780 + 0 + 6,51  pB/γ = 23,49 m
17

exemplo 3.3
Na instalação hidráulica predial mostrada na Figura 3.15, a tubulação é de PVC
rígido, soldável com 1” de diâmetro, e é percorrida por uma vazão de 0,20 l/s de
água. Os joelhos são de 90O
e os registros de gaveta, abertos. No ponto A, 2,10 m
abaixo do chuveiro, a carga de pressão é igual a 3,3 mH20. Determine a carga de
pressão disponível imediatamente antes do chuveiro. Os tês estão fechados em
uma das saídas.
Dados: PVC rígido soldável D = 1”  β = 0,1202 (pág. 57)
Q = 0,20 l/s ; CPA = 3,30 m
3,0 m
1,2 m
0,9 m
3,5 m
A
a) Determinação dos comprimentos equivalentes totais das conecções
Acessório Compr. Equivamente (m)
3 joelhos de 90o
3 . 1,5 = 4,50
2 registros de gaveta abertos 2 . 0,3 = 0,60
Tê passagem direta 0,9 = 0,90
Tê lateral 3,1 = 3,1
Comprimento real 8,60
Comprimento Total 17,70
b) Determinação da perda de carga total
∆H = J . L J = β Q1,75
c) Determinação Cota piezométrica antes do chuveiro
CPCH = CPA - ∆H
CPCH = 3,30 – (0,1202 . 0,201,75
) . 17,70  CPCH = 3,17 m
d) Determinação pressão no chuveiro
CPCH = pCH/γ + ZCH =
pCH/γ = CPCH - ZCH = 3,17 – 2,10 = 1,07 m
pCH/γ = 1,07 m
19

exemplo 3.4
Na instalação hidráulica predial mostrada na figura, as tubulações são de aço
galvanizado novo, os registros de gávea são abertos e os cotovelos têm rio curto. A
vazão que chega ao reservatório C é 38% maior que a que escoa contra a atmosfera
novo ponto C. Determine a vazão que sai do reservatório A, desprezando as cargas
cinéticas.
6,0 6,0
3,0
D
5,0
A
0,3
1,0
C
1"1 1
2"
1 1
2"
1,0
B
a) Determinação dos comprimentos equivalentes das conecções
Trecho BC Trecho BD
Acessório Comp. Equi.(m) Acessório Comp. Equi.(m)
Te lateral (1 1/2”) 2,587 Te lateral (1 1/2”) 2,587
Reg. Gaveta 0,175 2 cotovelos 90º 2,550
Saída canalização 0,775 Reg. Gaveta 0,263
Comprimento Real 6,00 Saída canalização 1,133
Comprimento real 7,30
Comprimento total 9,54 (LBC) Comprimento total 13,83 (LBD)
b) Determinação das cotas piezométricas
Seja X a cota piezométrica imediatamente antes do tê localizado em B. Para
os dois ramos da instalação, tem-se as seguintes perdas totais:
HB = HD + ∆HBD e HB = HC + ∆HBC
HB = HB  HD + ∆HBD = HC + ∆HBC
3 + ∆HBD = 1 + ∆HBC
∆HBC = ∆HBD + 2 portanto JBC . LBC = JBD . LBD + 2
∆H = J . L J = β Q1,75
c) Determinação das vazões
Como QBD = 1,38 QBC e pela tabela 2.5 pag. 57
JBC . LBC = JBD . LBD + 2
0,3044 QBC^1,88 . 9,54 = 0,03945 (1,38 . QBC)^1,88 . 13,83 + 2
2,904 QBC^1,88 = 0,996 QBC ^1,88 + 2  QBC = 1,03 litros/s
 QBD = 1,42 litros/s
Logo, a vazão que sai do reservatório A será a soma:
QBC + QBD = 2,45 litros/s
20

Pág. 88 numero 3.1
A instalação mostrada na Figura tem diâmetro de 50 mm em ferro fundido com
leve oxidação. Os coeficientes de perdas de carga localizadas são: entrada e saída
da tubulação K = 1,0, cotovelo 90º K = 0,90, curvsa de 45º K = 0,20 e registro de
ângulo, aberto, K = 5,0. Determine, usando a equação de Darcy-Weisbach:
a) a vazão transportada:
b) querendo-se reduzir a vazão párea 1,96 litros/s, pelo fechamento
parcial do registro, calcule qual deve ser a perda de carga localizada
no registro e seu comprimento equivalente.
45,0
50,0
13,0 m
25,0 m
5,0 m
2,0 m
a) Determinação da velocidade
g
v
k
g
v
D
L
fZ
22
22
Σ+=∆ (Darcy)
(50 – 45) . 19,6 = [f 45/0,05 + ((2*1 +0,9 + 2*0,20+5)v^2
98 = (900 f + 8,30) v^2 ; v = ? e f = ?
Processo interativo (chute inicial)
J = (∆Z = ∆H)/L = 5 / 45 = (0,111 m/m) * 100
J = 11,11 (m/100m)
Tabela 2 A2 pag. 203 e = 0,30  v = 1,80 m/s e f = 0,0333
Para v = 1,80 m/s e f = 0,0333  (900 * 0,0333 + 8,3) 1,8^2 = 123,99 # 98
Para v = 1,60 m/s e f = 0,0334  (900 + 0,0334 + 8,3) 1,6^2 = 98,2 = 98 ok
Logo: v = 1,60 m/s e f = 0,0334
b) Determinação da vazão
Q = ( π D^2/4) . v = π 0,05^2/4 . 1,60 =  Q = 0,00314 m3/s
c) Determinação da velocidade para Q = 1,96 litros/s
v = 4 Q / π D^2 = 4 . 0,00196 / π 0,05^2  v = 1,0 m/s
d) Determinação do coeficiente de perda de carga do registro (kreg)
2g . ∆z/ v^2 = f . L/D + (kreg + Σk)
19,6 (50 – 45) / 1^2 = 0,0341 . 45/0,05 + (kreg + 3,3)
98 = 30,69 + kreg + 3,30  kreg = 64,01
e) Determinação da perda de carga do registro para Q = 1,96 litros/s
∆h = k v^2/2g = 64,01 . 1^2/19,6  ∆h = 3,26 m
f) Determinação do comprimento equivalente do registro
Le/D = k/f  Le = k . D/f = 64,01 . 0,05/0,0341  Le = 93,86 m
21

Pág. 89 numero 3.3
Uma adutora de 500 mm de diâmetro, 460 m de comprimento, em aço soldado
revestido de cimento centrifugado, liga dois reservatórios mantidos em níveis
constantes. Determine a capacidade de vazão da adutora quando o desnível entre
os reservatórios for de 3,50 m, nas seguintes condições:
a) desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da
tubulação;
b) considerando tais perdas de carga localizadas, adotando os seguintes
coeficientes de perdas Ke = 0,5 e Ks = 1,0.
Faça comentários pertinentes sobre os resultados encontrados, observando a
relação entre o comprimento e o diâmetro da adutora.
g
v
k
g
v
D
L
fZ
22
22
Σ+=∆  2g.Dz = 19,5 . 3,5= (460/0,50 . f + 0) v^2
 68,6 = 920 f. v^2
Interação inicial  J = Dz=Dh/L = 3,5/400 = 0,0076 m/m
Ou 0,761 m/100m e e = 0,10 e D = 500 mm
TAB. A2  pág. 214  2,20 m/s
v = 2,20 m/s TAB. A1 pag. 202  f = 0,0147
68,6 ≠ 920 . 0,0147 . 2,2^2 = 65,45  não convergiu
Para v = 2,25 m/s  f = 0,0147
 68,6 = 920 . 0,0147 . 2,25^2 =68,46  ok convergiu
Q = v . 3,14 . D^2/4 = 2,25 . 3,14 . 0,5^2/4 = 0,442 m3/s
c) Det. vazão considerando perdas de cargas localizadas
Ke = 0,50 Ks = 1,0
g
v
k
g
v
D
L
fZ
22
22
Σ+=∆
68,6 = (0,0147*460/0,5 + (1+0,5))v^2  v = 2,14 m/s
Q = v . 3,14 . D^2/4 = 2,14 . 3,14 . 0,5^2/4 = 0,420 m3/s
22

Pág. 89 numero 3.4
Em um distrito de irrigação, um sifão de 2” de diâmetro possui as dimensões
indicadas na figura e é colocado sobre um dique. Estime a vazão esperada sob uma
carga hidráulica de 0,50 m e a carga de pressão disponível no ponto médio do
trecho horizontal do sifão. Adote os seguintes coeficientes de perda de carga
localizada: entrada Ke = 0,5, saída Ks = 1,0, curva de 45º K = 0,2. Material da
tubulação ferro fundido com revestimento asfáltico. Utilize a equação de Darcy –
Weisbach.
Material: ferro fundido com revestimento asfáltico  e = 0,15 mm
1,8 m1,8 m
0,50
1,2 m50,0
50,5
49,5
g
v
k
g
v
D
L
fZ
22
22
Σ+=∆ para D = 50 mm e ε = 0,15 mm
0,50*919,6 = [ f 480/0,05 + (0,5 + 1,0 + 2*0,2) v^2
Tentativa inicial
J = Dz/L = 0,50/4,80 = 0,1042 m/m ou 10,42 m/100m
Pela Tabela A2  v = 1,90 m/s e f = 0,0278
9,8 = (96 * 0,0278 + 1,90) * 1,90^2 = 16,49 # 9,8
Para v = 1,46 m/s e f = 0,0281
9,8 = (96 * 0,0281 + 1,9) 1,46^2 = 9,8 = 9,8 ok
Logo v = 1,46 m/s e f = 0,0281
Q = (π D^2/4) v = π 0,050^2/4 * 1,46 = 0,00286 m3/s ou Q = 2,90 litros/s
c) Determinação da perda de carga até o trecho horizontal
g
v
k
g
v
D
L
fHAB
22
22
Σ+=∆ = (0,0281 * 2,3/0,05 + 0,7) * 1,46^2/19,6
∆HAB = 0,216 m
d) Determinação da pressão no trecho horizontal
HA = HB + ∆HAB
0 + 50 + 0 = pB/γ + 50,5 + 1,46^2/19,6 + 0,216
 pB/γ = 0,83 m
23

Pág. 91 numero 3.8
Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta
através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro D = 50 mm, de PVC
rígido, como mostra o esquema da figura. Admitindo que a única perda de carga
localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmente fechado,
cujo comprimento equivalente é Le = 20,0 m, e usando a fórmula de Hazen-
Williams, adotando C = 145, determine:
a) a vazão na canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A;
b) Idem, supondo o registro colocado no ponto B;
c) a máxima e a mínima carga de pressão na linha, em mH2O, nos casos a e b;
d) Desenhe em escala as linhas piezométrica e de energia.
Considerem, em ambos os casos, a carga cinética na tubulação.
NA
NA
(A)
1,0 m
1,0 m
3,0 m
(D) (E)
(C)
(F) (G)
(B)
a) Determinação da vazão
HC = HH + ∆HCH ( = ∆H distribuída + ∆H localizada)
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pH/γ + ZH + VH^2/2g + ∆HCH
0 + 4 + 0 = 0 + 1 + 0 + ∆HCH
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆ = ∆HCH
 (4 – 1) = 10,65 . Q^1,85 . (10 + 20) / [145^1,85 . 0,05^4,87]
 QA = 0,00437 m3/s ou 4,37 litros/s = QB
b) Determinação da velocidade na canalização
v = 4 Q/π D^2 = 4 . 0,00437 / (3,14 . 0,05^2) = 2,22 m/s
c) Determinação das pressões na linha (Registro no ponto A)
Em D HC = HD + ∆HCD
0 + 4 + 0 = pD/γ + 3 + 2,22^2/19,6 + 0  pD/γ = 0,75 m
Em E HC = HE + ∆HCE
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pE/γ + ZE + VE^2/2g + ∆HCE
0 + 4 + 0 = pE/γ +3+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 . 20)/[145^1,85 .
0,05^4,87]  pE/γ = - 1,25 m
Em B HC = HB + ∆HCB
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ∆HCB
0 + 4 + 0 = pB/γ +0+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 (10+20)/[145^1,85.
0,05^4,87]  pB/γ = 0,75 m
d) Descrição das pressões extremas no caso do registro no ponto A
(pD/γ)máxima = 0,75 m e (pE/γ)min = -1,25 m
e) Esquema de distribuição de pressão na linha
(A)
(D) (E)
(C)
(F) (G)
(B)
0,75m
-1,25m
0,75m
24

Pág. 91 numero 3.8 (continuação)
f) Esquema do caso do registro no ponto B
NA
NA
(A)
1,0 m
1,0 m
3,0 m
(D) (E)
(C)
(F) (G)
(B)
g) Determinação das pressões na linha (Registro no ponto B)
Em A HC = HA + ∆HCA
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pAD/γ + ZA + VA^2/2g + ∆HCA
0 + 4 + 0 = pA/γ + 3 + 2,22^2/19,6 + 0  pA/γ = 0,75 m
Em E HC = HE + ∆HCE
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pE/γ + ZE + VE^2/2g + ∆HCE
0 + 4 + 0 = pE/γ +3+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 . 20)/[145^1,85 .
0,05^4,87]  pE/γ = - 1,25 m
Em F HC = HF + ∆HCF
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pF/γ + ZF + VF^2/2g + ∆HCF
0 + 4 + 0 = pF/γ +0+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 (10)/[145^1,85. 0,05^4,87]
 pF/γ = 2,75 m
Em G HC = HG + ∆HCG
pC/γ + ZC + VC^2/2g = pG/γ + ZG + VG^2/2g + ∆HCG
0 + 4 + 0 = pG/γ +0+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 (10+20)/[145^1,85.
0,05^4,87]  pG/γ = 0,75 m
h) Determinação das pressões extremas no caso do registro no ponto B
(pF/γ)máxima = 2,75 m e (pE/γ)min = 0,75 m
i) Esquema de distribuição de pressão na linha
(A)
1,0 m
1,0 m
(D) (E)
(C)
(F) (G)
(B)
0,75m
0,75m
2,75m
25

O reservatório B, prismático de área igual a 1,0 m2, possui um orifício no fundo
que abre comandado pelo manômetro, quando este acusar este acusar uma pressão
de 4,9 kPa, conforme a figura. Qual deve ser a cota do nível d’água no reserva
tório A, mantido em nível constante, para que o orifício do reservatório B seja
aberto 10 min após a abertura do registro de gaveta da canalização de 1” de
diâmetro e os joelhos de 90º . No tempo t = 0, o reservatório B está vazio.
Considere a carga cinética.
Dados: AB = 1 m2 ; pB = 4,90 kPa = 4,9/9,8 = 0,50m ; dt = 10 min = 600s
?
0,6 m
0,0 m
A
B
0,5 m
1,0 m
1,0 m
1,0 m
0,5 m
0,2 m
a) Idealização
Para que a válvula do reservatório B seja aberta em 10 min, até encher a
cota B em 1,64 ft.
b) Determinação da vazão e velocidade
Q = volume/tempo = (1 . 0,50) / 600 = 0,000833 m3/s
v = 4Q/π D^2 = 4 . 0,000833/ π . 0,025^2  v = 1,70 m/s
∆h (localizada) = k v^2/2g = (1 + 6 . 0,9 + 0,2 + 1) v^2/2g
= 0,388 v^2 = 0,388 . 1,70 = 1,121 m
c) Determinação da perda de carga distribuída
∆h (distribuída) = f(L/D) v^2/2g = f . 4,20/0,025 . 1,70^2/19,6 = 24,77 f
e/D = 0,00001/0,025 = 0,00040 e
Rey = V . D/v = 1,70 . 0,025/10-6
= 4,20. 105
 f = 0,0170
∆h (distribuída) = f(L/D) v^2/2g = 24,77 . f = 24,77 . 0,0170 = 0,421 m
d) Determinação da perda de carga total
∆H = ∆h (localizada) + ∆h (distribuída)
∆H = 1,121 + 0,421 = 1,54 m
e) Determinação da altura do NA do reservatório A
HA = HB + ∆HAB
0 + ZA + 0 = 0 + 0,50 + 1,70^2/19,6 + 1,54
 ZA = 2,18 m
26

Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que a
diferença entre as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mH2O, determine o
comprimento equivalente do registro colocado na tubulação de diâmetro único,
assentada com uma inclinação de 2º em relação a horizontal, conforme figura.
D
CB
A
200 m
200 m
2o
a) Determinação da energia cinética na tubulação
HA = HB + ∆HAB
Como pA/γ = pB/γ e VA = VB
∆HAB = ZA – ZB = f L/D . v^/2g
200 . sen2o
= f . 200/D v^2/2g
 v^2/2g = sen 2o
. D/f
b) Determinação do comprimento equivalente do registro
HA = HD + ∆HAD
pA/γ + ZA + VA^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ∆HAD
Como pA/γ - pD/γ = 0,90 m e VA = VD
(pA/γ - pD/γ ) + (ZA – ZD) = [f/D (L+X(REG))] . v^2/2g
0,90 + 400 sen 2o
= [(400 + X) . f/D] . sen 2o
. D/f
0,90 + 13,96 = [400 + X] sen 2o
X = [(0,90 + 13,96)/sen 2o
] – 400
 X = 25,79 m
27

Na tubulação mostrada na figura, com 6” de diâmetro e coeficiente de atrito f =
0,022, a pressão em A vale 166,6 kN/m2 e D vale 140,2 kN/m2. Determine a
vazão unitária de distribuição em marcha q, sabendo que a tubulação está no plano
vertical e que a vazão no trecho AB é de 20 l/s. Despreze as perdas localizadas.
2 m
q =?
20 l/s
120 m
39 m
B
2 m
82 m
D
C
A
Dados: D = 0,115 m ; f = 0,022 ; pA = 166,6 kN/m2
pA/γ = 166,6/9,8 = 17,00 m
Q = ? ; QAB = 20 l/s ; pD = 140,2 kN/m2
pD/γ = 140,2/9,8 = 14,31 m
ou pD/γ = 140,2.10^3/9,8.10^3 = 14,31 m
v = 4.Q/3,14.D^2 = 4.0,02/3,14.0,15^2 = 1,13 m/s
a) Determinação da energia específica
EA = zA + pA/g + vA^2/2g = 1 + 17 + 1,13^2/19,6 = 18,06 m
ED = zD + pD/g + vD^2/2g = 2 + 14,31 + vD^2/19,6 = 16,31 + vD^2/19,6
EA – ED = DHAB + DHBC + DHCD = DHAD
DHAD = EA – ED = JAB.Lab + JBC.LBC + JCD.LCD
= 18,06 – 16,31 + vD^2/2g = 1,75 – 4QD/(3,14.0,15^2) =
= 0,0827 . 0,022/0,15^5 . (QAB^2.LAB + QBC^2.LBC + QCD^2.LCD)
1,75 – 163,54QD^2 = 23,96(0,02^2 . 40 + 120.Qf^2 + 84.Qj^2)
Mas QD = Qj
1,75 – 163,54Qj^2 = 0,383 + 2875,10.Q^2 + 2012,57.Qj^2)
1,367 = 2875,10 . Qf^2 + 2176,11 . Qj^2 (I)
b) Determinação da vazão Qj
Qf = (Qm + Qj)/2 = (0,020 + Qj)/2
De (I), tem-se;
1,367 = 718,775 . (0,02 + Qj)^2 + 2176,11.Qj^2  Qj = 0,015 m3/s
c) Determinação de Qf
Qf = (Qm + Qj)/2 = (0,020 + 0,015)/2  Qf = 0,0175 m3/s
d) Determinação da distribuição em marcha (q)
q = Qd/L = (Qm – Qj)/L = (0,020 + 0,015)/120  q = 4,17.10^-5 m3/s/m
Ou
q = 0,0417 litros/s/m
30

A ligação de dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita pelo sistema
de tubulações mostrado na figura. Assumindo um coeficiente de atrito constante
para todas as tubulações é igual a f = 0,020, desprezando as perdas localizadas e as
cargas cinéticas, determine a vazão que chega ao reservatório R2, as vazões nos
trechos d 4” e 6” e a pressão disponível no ponto B.
573,00
593,00
A
R1
C
R2
8"
750 m
4" 600 m
6"
544,20
B
900 m
a) Determinação do comprimento equivalente do trecho AB
Tubulação em paralelo 
ii
i
EE
E
Lf
D
Lf
D
..
55
Σ=
(8^5/Lê)^0,5 = (4^5/600)^0,5 + (6^5/750)^0,5  Lê = 1600 m
5
2
0827,0
D
fLQ
H =∆
∆H = 20 = 0,0827 . 0,020 . 2500 . Q^2/0,20^5  Q = 0,0393 m3/S
Ou Q = 39,3 litros/s
c) Determinação da cota piezométrica em B (CPB)
CPB = pB/γ + ZB ou
CPB = CPA – ∆HAB ou
CPB = CPC + ∆HBC
CPB = 573 + 0,0827 . 0,020 . 900 . 0,0393^2/0,20^5  CPB = 580,20 m
d) Determinação da vazão na tubulação de D = 4”
CPA = CPB + ∆HAB
593 = 580,20 + 0,0827 . 0,020 . 600 . Q4^2/0,10^5  Q4 = 0,0114 m3/s
e) Determinação da vazão na tubulação de D = 6”
CPA = CPB + ∆HAB
593 = 580,20 + 0,0827 . 0,020 . 750 . Q4^2/0,15^5  Q6 = 0,0280 m3/s
ou
Q = 0,0393 = 0,0114 + Q6  Q6 = 0,0280 m3/s
f) Determinação da pressão no ponto B (pB/γ)
CPB = pB/γ + ZB
pB/γ = CPB – ZB  pB/γ = 580,20 – 544,20
pB/γ = 36 metros ou 352,80 kN/m2
31

Uma instalação de transporte de água compreende dois reservatórios A e D,
abertos e mantidos em níveis constantes, e um sistema de tubulações de ferro
fundido novo, C=130, com saída livre para a atmosfera em C. No conduto BD, e
logo a jusante de B, está instalada uma bomba com rendimento igual a 75%.
Determine a vazão bombeada para o reservatório D quando o conduto BC deixa
sair livremente uma vazão de 0,10 m3/s e ter uma distribuição de vazão em marcha
com taxa (vazão unitária de distribuição) q = 0,00015 m3/(s.m). Determine
também a potência necessária à bomba. Despreze as perdas localizadas e a carga
cinética nas tubulações.
Trata-se de uma aplicação conjunta dos conceitos de distribuição em marcha, problema
dos três reservatórios e bombeamento. Como visto no item anterior, a questão importante
para a resolução do problema é a determinação da cota piezométrica no ponto de
bifurcação, ponto B.
36,00
30,0
A
D
Bomba D3
=
0,20
m
400 m
D2 = 0,30 m
810 m
D1 = 0,40 m
B
200
m
20,00
C
a) Determinação da vazão fictícia no trecho BC
QmBC = QjBC + q . L = 0,10 + 0,00015 . 400  QmBC = 0,16 m3/s
QfBC = (QmBC + QjBC)/2 = (0,10 + 0,16)/2  QfBC = 0,13 m3/s
b) Determinação da perda de carga ∆HBC
87,485,1
85,1
65,10
DC
LQ
H =∆ = 10,65 . 0,13^1,85 . 400/(130^1,85 . 0,30^4,87) =
 ∆HBC = 4,22 m
c) Determinação da cota piezométrica em B (CPB)
CPB = CPC + ∆HBC
CPB = (pC/γ + ZC) + ∆HBC = (0 + 20) + 4,22 = 24,22 m
d) Determinação da vazão no trecho AB (QAB)
CPB = CPA - ∆HAB
∆HAB = CPA – CPB = 30 – 24,22 = 5,78
∆HAB = 5,78 = 10,65 . QAB^1,85 . 810/(130^1,85 . 0,40^4,87) =
QAB = 0,224 m3/s
e) Determinação da vazão no trecho BD (QBD)
QAB = QBC + QBD  QBD = QAB – QBC = 0,225 – 0,130
 QBD = 0,065 m3/s
f) Determinação da altura manométrica
HM = HREC – HSUC ; como v^2/2g = 0  H = CP
HSUC = CPB = 24,22 m
CPD = ZD + ∆HDB = HREC
HREC = 36 + 10,65 . 0,065^1,85 . 200/(130^1,85 . 0,20^4,87) =
HREC = 36 + 4,22 = 40,22 m
g) Determinação da potência da bomba
n
HHQ
Pot sucçãocalque )( Re −
=
γ
 Pot = (9,8 . 0,065 . (40,22-24,22)/0,75 =
Pot = 13,58 kw ou 18,48 cv
32

Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de
1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, ambos como mesmo fator de
atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é 0,025 m3/s e toda água é
distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento que (vazão de
distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de
jusante seja nula. Determine a perda de carta total na adutora, desprezando as
perdas localizadas ao longo da adutora.
33

Por uma tubulação de 27” de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão
de 0,28 m3/s de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois
trechos iguais de 18” de diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando
livremente na atmosfera. Em um destes trechos, toda a vazão que entra na
extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma vazão por
unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é
distribuída uniformemente ao longo do trecho. Adotando para todas as tubulações
um fator de atrito f = 0,024 e supondo que todo o sistema está em um plano
horizontal, determine a diferença de carga entre as seções de entrada e a saída.
Despreze as perdas singulares.
Dados: QAB = 0,28 m3/s ; f = 0,024 ; QjBC = 0 ; LAB = 1500 m
QAB 1500 m
18"
C
D
3000 m
27"
B
18"
3000
m
a) Determinação da perda de carga no trecho AB
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
∆HAB = (f . L) Q^2/D^5 = 0,0827 . 0,024 . 1500 . 0,28^2/0,68^5
∆HAB = 1,605 m
b) Determinação das vazões a montante em cada ramo do trecho em paralelo
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
DHBC = DHBD
0,0827 . f . L QfBC^2/D^5 = 0,0827 . f . L QfBD^2/D^5  QfBC = QfBD
Relações:
1) QfBC = QfBD  QmBC/ 3 = (QmBD + QjBD)/2
2) QjBD = QmBD/2
3) QAB = 0,28 = QmBC + QmBD
 QmBC/ 3 = (QmBD + QmBD/2)/2
 0,28 – QmBD = 3 (3/2 . QmBD)/2
 0,28 – QmBD = 3 . 3/4 . QmBD  QmBD = 0,12 m3/s
 QAB = 0,28 = QmBC + QmBD
0,28 = QmBC + 0,120  QmBC = 0,16 m3/s
c) Determinação das vazões fictícias QfBC e QfBD
QfBC = QmBC/ 3 = 0,16 / 3 = 0,092 m3/s = QfBD (pela relação (1))
d) Determinação da perda de carga no trecho BD
5
2
..
0827,0
D
QLf
HBD =∆
∆HBD = 0,0827 . 0,024 . 3000 . 0,092^2/0,45^5  ∆HBD = 2,73 m
e) Determinação da perda de carga total
34

∆HAD = ∆HAB + ∆HBD = 1,605 + 2,73  ∆HAD = 4,34 m
Quando água é bombeada através de uma tubulação A, com uma vazão de 0,20
m3/s, a queda de pressão é de 60 kN/m2, e através de uma tubulação B, com uma
vazão de 0,15 m3/s, a queda de pressão é de 50 kN/m2. determine a queda de
pressão que ocorre quando 0,17 m3/s de água são bombeados através das duas
tubulações, se elas são conectadas a0 em série, b) em paralelo. Neste último, caso
calcule as vazões em cada tubulação. Use a fórmula de Darcy-Weisbach.
Dados: pA = 60 kN/m2 = 60/9,8  pA/γ = 6,12 m e QA = 0,20 m3/s
pB = 50 kN/m2 = 50/9,8  pB/γ = 5,10 m e QB = 0,15 m3/s
1ºCaso:
TUBULAÇÃO EM SÉRIE  Q = QA = QB e ∆H = ∆HA + ∆HB
a) Determinação das relações entre os parâmetros das tubulações
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
∆HA = 0,0827 fA . LA . 0,20^2/DA^5 = 6,12 m
 fA . LA/DA^5 = 1850,80 m
∆HB = 0,0827 fB . LB . 0,20^2/DB^5 = 5,10 m
 fB . LB/DB^5 = 2741,93 m
b) Determinação da perda de carga total da tubulação em série
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
∆H = 0,0827 (fA.LA.QA^2/DA^5 + fB.LB.QB^2/DB^5) =
∆H = 0,0827 (1850,8 + 2741,93) . 0,17^2 = 10,98 m ou
∆H = 10,98 . 9800 = 107,57 kN/m2
2ºCaso:
TUBULAÇÃO EM PARALELO  Q = QA + QB e DH = DHA = DHB
c) Determinação das relações entre os parâmetros das tubulações
ii
i
EE
E
Lf
D
Lf
D
..
55
Σ=
(DE^5/fE.LE)^1/2 = (1/1850,8)^1/2 + (1/2741,93)^1/2 = 0,0232 + 0,0191=
[(DE^5/fE.LE)^1/2]^2 = 0,0423^2
(DE^5/fE.LE) = 0,00179
d) Determinação da perda de carga total
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
∆H = 0,0827 . (1/0,00179) . 0,17^2  ∆H = 1,336 m ou
∆H = 1,336 . 9800 = 13,09 kN/m2
e) Determinação das vazões em cada trecho em paralelo
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
Trecho A
∆HA = 0,0827 . (fA.LA/DA^5) . QA^2 =
6,12 = 0,0827 . (1850,8) . QA^2  QA = 0,0934 m3/s
Trecho B
∆HB = 0,0827 . (fB.LB/DB^5) . QB^2 =
5,10 = 0,0827 . (2741,93) . QB^2  QB = 0,0767 m3/s
35

No sistema mostrado da figura, do ponto A é derivada uma vazão QA = 35 l/s e em
B, é descarregada na atmosfera QB = 50 l/s. Dados:
L1 = 300 m, D1 = 225 mm, f1 = 0,020,
L2 = 150 m, D2 = 125 mm, f2 = 0,028,
L3 = 250 m, D3 = 150 mm, f3 = 0,022,
L4 = 100 m, D4 = 175 mm, f4 = 0,030.
Calcular:
a) o valor de H para satisfazer as condições anteriores;
b) a cota piezométrica no ponto A.
Despreze as perdas localizadas e a carga cinética.
L1, D1
A
L3, D3
L2, D2 L4, D4 B QB
H
QA
a) Det. do comprimento equivalente do trecho em paralelo (2 e 3)
ii
i
EE
E
Lf
D
Lf
D
..
55
Σ=
[0,225^5/(0,020.LA)]^1/2=[0,125^5/(150.0,028)]^1/2+[0,150^5/(250.0,022)]^1/2
[0,225^5/(0,020.LA)]^1/2 = 0,002695 + 0,003716 = 0,006411
LA = [0,225^5/(0,020 . 0,006411^2)]
 LA = 701,43 m
b) Det. do comprimento equivalente do trecho em série (1 e 4)
f1.L1/D1^5 = f4.L4/D4^5  0,020.L/0,225^5 = 0,030.100/0,175^5
 L = 527 m
c) Determinação da perda de carga
∆H = ∆H0A + ∆HAB
∆H0A = 0,0827 . f . L . Q^2/D^5
∆H0A = 0,0827 . 0,020 . 300 (0,035+0,050)^2/0,225^5  ∆H0A = 6,22 m
∆HAB = 0,0827 . f (LA + L) QB^2/D^5
∆HAB = 0,0827 . 0,020 (701,435 + 527) . 0,050^2/0,225^5
∆HAB = 8,80 m
DH (total) = 6,22 + 8,80 = 15,0 m
d) Determinação da cota piezométrica no ponto A
CPA = (pA/γ + ZA) + ∆HAB
CPA = 0 + 0 +8,80
 CPA = 8,80 m
36

Uma localidade é abastecida de água a partir dos reservatórios C e D, do sistema
de adutoras mostrado na figura. As máximas vazões nas adutoras CA e DA são de
8 l/s e 12 l/s, respectivamente. Determine:
a) os diâmetros dos trechos CA e DA, para vazão máxima de 20,0 l/s na
extremidade B do ramal AB, de diâmetro igual a 0,20 m, sendo a carga de
pressão disponível em B igual a 30 mH2O;
b) a vazão que afluiria de cada reservatório ao se produzir uma ruptura na
extremidade B.
Todas as tubulações são de ferro fundido novo, C = 130. Despreze as cargas
cinéticas nas tubulações.
240,2
200
C
D
1725
m
D = 0,20 m
1803 m
509 m
A
159,2
B
a) Determinação da cota piezométrica em A (CPA)
CPA = CPB + ∆HAB = (pB/γ + ZB) + ∆HAB
CPA = 30 + 159,20 + (10,65 . 0,020^1,85 . 1803)/(130^1,85 . 0,20^4,87)
CPA = 30 + 159,20 + 4,30  CPA = 193,50 m
b) Determinação do diâmetro do trecho CA (DCA)
CPA = CPC - ∆HCA
193,5 = 200 – (10,65 . 0,008^1,85 . 509)/(130^1,85 . DCA^4,87)
 DCA = 0,10 m
c) Determinação do diâmetro do trecho DA (DDA)
CPA = CPD - ∆HDA
193,5 = 240,20 – (10,65 . 0,012^1,85 . 1725)/(130^1,85 . DDA^4,87)
 DDA = 0,10 m
Determinação das vazões nos trechos CA e DA para ocorrer um
rompimento em B ( pB/γ = patm/γ = 0)
d) Determinação da cota piezométrica em A
CPA = CPB + ∆HAB = (pB/γ + ZB) + ∆HAB
CPA = 0 + 159,20 + (10,65 . (QCA + QDA)^1,85.1803)/(130^1,85. 0,20^4,87)
CPA = 0 + 159,2 + 5.977,70 . (QCA + QDA)^1,85 (I)
e) Determinação da cota piezométrica em C
CPC = CPA + ∆HCA = CPA + (10,65 . QCA^1,85.509)/(130^1,85. 0,20^4,87)
CPC = CPA + 49.348,8,30.QCA^1,85 (II)
f) Determinação da cota piezométrica em D
CPD = CPA + ∆HDA = CPA + (10,65 . QDA^1,85.1725)/(130^1,85. 0,20^4,87)
CPD = CPA + 167.241,30.QDA^1,85 (III)
g) RELAÇÕES ENTRE AS EQUAÇÕES II E III
CPA = CPA
CPC - ∆HCA = CPD - ∆HDA
CPD – CPC = ∆HDA - ∆HCA
(240,2–200)=10,65.(1725.QDA^1,85–509.QCA^1,85)/(130^1,85. 0,10^4,87)
 40,2 .130^1,85 . 0,10^4,87/10,65 = 1725. QDA^1,85 – 509. QCA^1,85
 0,415 = 1725.QDA^1,85 – 509.QCA^1,85
37

h) Explicitando QCA
QCA^1,85 = 3,389.QDA^1,85 – 0,00081
Pág. 119 numero 4.6 (continuação)
i) Utilizando todas as equações para resolver o sistema para QDA
CPA = 159,2 + 5.977,7 . [(3,389.Q^1,85 – 0,00081)^(1/1,85) + QDA]^(1,85)
Como
CPD = CPA + 16.241,3 . QDA^1,85 = 240,2
 CPA = 240,2 – 16.241,3 . QDA^1,85
Como CPA = CPA
240,2 – 16.241,3. QDA^1,85 = 159,2 + 5.977,70 . [(3,389.QDA^1,85 –
0,00081)^(1/1,85) + QDA]^1,85
 81 – 5.977,70 . [(3,389.QDA^1,85 – 0,00081)^0,54 + QDA]^0,54 =
167.241,3.QDA^1,85
Solving
 QDA = 0,015 m3/s ou 15 litros/s
j) Determinação de QCA
QCA = (3,389 . 0,015^1,85 – 0,000815)^0,54
QCA = 0,0184 m3/s ou 18 litros/s
38

O sistema de distribuição de água mostrado na figura tem todas as tubulações do
mesmo material. A vazão total que sai do reservatório I é de 20 l/s. Entre os pontos
B e C, existe uma distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e
igual a q = 0,01 litros/(s.m). Assumindo um fator de atrito constante para todas as
tubulações f = 0,020 e desprezando as perdas localizadas e a carga cinética,
determine:
a) a cota piezométrica no ponto B;
b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica deste ponto
é de 576,00 m;
c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro.
580,44
590,0
A
D
6"
750 m
4"
800 m6" 576,0
B
500 m
I
C
II
6"
1000 m
a) Det. do comprimento equivalente do trecho em paralelo
ii
i
EE
E
Lf
D
Lf
D
..
55
Σ=
[0,15^5/(f . LE)]^1/2=[0,10^5/(f . 800)]^1/2+[0,15^5/(f . 750]^1/2
 LE = 410,70m
b) Determinação da cota piezométrica em B (CPB)
CPB = CPA - ∆HAB =
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆ = 0,0827 . 0,020 . 410,70. 0,020^2/0,15^5 = 3,58 m
CPB = CPA - ∆HAB = 590 – 3,58  CPB = 586,42 m
580,44
590,0
A
D
6"
410,70 m
6" 576,0
B
500 m
I
C
II
6"
1000 m
c) Determinação da vazão fictícia no trecho BC
Qj = Qm – q . L = 20 – 0,010 . 1000 = 10 litros/(s.m)
Qf = (Qm + Qj)/2 = (0,020 + 0,010)/2  Qf = 0,015 m3/(s.m) ou
15 litros/(s.m)
d) Determinação da cota piezométrica em C (CPC)
CPC = CPB - ∆HBC =
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
∆HBC = 0,0827 . 0,020 . 1000. 0,015^2/0,15^5 = 4,90 m
CPC = CPB - ∆HBC = 586,42 – 4,90  CPC = 581,52 m
e) Determinação da carga de pressão no ponto C
CPC = (pC/γ + ZC)  pC/γ = CPC - ZC = 581,52 – 576  pC/γ = 5,52 m
f) Determinação da vazão na tubulação de 4”
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
∆HAB = 0,0827 . 0,020 . 800. Q4”^2/0,10^5 = 3,58 m
39

Q4” = 0,00520 m3/s ou Q4” = 5,20 litros/s
Três reservatórios A, B e C são conectados por três tubulações que se juntam no
ponto J. O nível do reservatório B está 20 m acima do nível de C e o nível de A
está 40 m acima de B. Uma válvula de controle de vazão é instalada na tubulação
AJ, imediatamente a montante de J. A equação de resistência de todas as
tubulações e da válvula é dada por, ∆H (m) = rQ2
, em que r é o coeficiente de
resistência e Q, a vazão em m3/s. Os valores de r para as três tubulações são: rAJ =
150, rBJ = 200 e rCJ = 300. Determine o valor do coeficiente r de resistência da
válvula ∆Hv (m) = rQ2 para que a vazão que chega ao reservatório C seja o dobro
da que chega ao reservatório B.
0
C
60
A
J
válvula
20
B
40
20
0
∆H = r . Q^2
a) Relações entre as vazões
QAJ = QJB + QJC = QJB + 2.QJB
QAJ = 3.QJB
b) Determinação da energia específica entre A e J
HA = HJ + ∆HAJ
pA/γ + ZA + VA^2/2g = pJ/γ + ZJ + VJ^2/2g + ∆HAJdist + ∆HAJvalv
60 + 0 + 0 = (CPJ + VJ^2/2g) + 150 QAJ^2 + r . QAJ^2
EJ
c) Determinação da energia específica entre B e J
HJ = HB + ∆HJB
pJ/γ + ZJ + VJ^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ∆HJBdist
CPJ + VJ^2/2g = 0 + 20 + 0 + 200 . QBJ^2
EJ = 20 + 200 . QBJ^2
d) Determinação da energia específica entre C e J
HJ = HC + ∆HJC
pJ/γ + ZJ + VJ^2/2g = pC/γ + ZC + VC^2/2g + ∆HJCdist
CPJ + VJ^2/2g = 0 + ∆HJCdist
EJ = ∆HJCdist
e) Determinação da vazão QJB
∆HJC = EJ
rCJ . QJC^2 = ∆HJC
300 . QJC^2 = 20 + 200 . QBJ^2
300 . (2 . QJB)^2 = 20 + 200 . QBJ^2
(1200 – 200) . QJB^2 = 20
QJB = (20/100)^0,5  QJB = 0,14 m3/s
f) Determinação da vazão QAJ
QAJ = 3 . QJB = 3 . 0,14  QAJ = 0,42 m3/s
EJ = 20 + 200 . 0,14^2  EJ = 23,92 m
g) Determinação da constante r
Como:
60 = EJ + 150 . QAJ^2 + r . QAJ^2
60 = 23,92 + 150 . 0,42^2 + r . 0,42^2
60 = 23,92 + 26,42 + 0,1764 . r
r = 9,620 / 0,1764 r = 54,53
40

O esquema de adutoras mostrado na figura faz parte de um sistema de distribuição
de água em uma cidade, cuja rede se inicia no ponto B. Quando a carga de pressão
disponível no ponto B for de 20,0 mH2O, determine a vazão no trecho AB e
verifique se o reservatório II é abastecido ou abastecedor. Nessa situação, qual a
vazão QB que está indo para a rede de distribuição? A partir de qual valor da carga
de pressão em B a rede é abastecida somente pelo reservatório I? Material das
tubulações: aço rebitado novo (C = 110). Despreze as perdas localizadas e as
cargas cinéticas e utilize a fórmula de Hazen-Williams.
735,0
C
754,0
A
720,0 m
B
QB
8"
1050 m
6"
650 m
a) Determinação da vazão no trecho AB (QAB)
CPA = 754 m ; CPC = 735 m
CPB = ZB + pB/γ = 720 + 20 = 740 m
CPA = CPB + ∆HAB
754 = 740 + (10,65 . QAB^1,85 . 1050)/(110^1,85 . 0,20^4,87)
 QAB = 0,0429 m3/s ou QAB = 42,90 litros/s
b) Situação do Reservatório 2
Como CPC = 735m < CPB = 740m então o Reservatório 1 abastece o
Reservatório 2.
c) Determinação da vazão no trecho BC (QBC)
CPB = CPC + ∆HBC
740 = 735 + (10,65 . QBC^1,85 . 650)/(110^1,85 . 0,15^4,87)
 QBC = 0,01494 m3/s ou QBC = 14,94 litros/s
d) Determinação da vazão em B (QB)
QAB = QB + QBC  QB = QAB – QBC = 42,90 – 14,95
 QB = 27,95 litros/s
e) A partir de qual pressão em B o R2 passa também a abastecer o
ponto B.
CPB ≤ CPC
ZB + pB/γ ≤ ZC + pC/γ
720 + pB/γ ≤ 735 
pB/γ ≤ 735 – 720  pB/γ ≤ 15 m
41

No sistema de abastecimento d’água mostrada na figura, todas as tubulações têm
fator de atrito f = 0,021 e, no ponto B, há uma derivação de 5,0 l/s. Desprezando as
perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas, determine a carga de pressão
disponível no ponto A e as vazões nos trechos em paralelo.
810,5
C
30 l/s
810 m
8" 6"795,4
B
I
A
8"
790 m
5 l/s
1000 m 810,5
C
30 l/s
360,13 m 8"795,4
B
I
A
8"
5 l/s
1000 m
a) Determinação do comprimento equivalente no trecho em paralelo
Tubulação em paralelo 
ii
i
EE
E
Lf
D
Lf
D
..
55
Σ=
(8^5/Leq)^0,5 = (8^5/790)^0,5 + (6^5/810)^0,5  Leq = 360,13 m
b) Determinação da pressão no ponto A (pA/γ)
CPA = CPC + ∆HAJ
pA/γ + ZA = pC/γ + ZC + ∆HACdist (= 0,0827 f LQ^2/D^5)
(4,88 m)
pA/γ + 795,4 = 810,5 + 0,0827 . 0,021 . 1000 . 0,030^2/0,20^5 +
(1,22 m)
0,0827 . 0,021 . 360,13 . 0,025^2/0,20^5  pA/γ = 21,20 m
c) Determinação das vazões dos trechos em paralelo
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆
1,22 = 0,0827 . 0,021 . 790 Q8”^2/0,20^5
 Q8” = 0,01687 m3/s ou Q8” = 16,87 litros/s
1,22 = 0,0827 . 0,021 . 790 Q6”^2/0,15^5
 Q8” = 0,00813 m3/s ou Q8” = 8,13 litros/s
d) Determinação da cota piezométrica no ponto A (CPA)
CPA – CPC = DHAC = 0,0827 . 0,021 . 1360,13 0,030^2/0,20^5
CPA – 810,5 = 6,64
 CPA = 817,14 m
e) Determinação da cota piezométrica no ponto B (CPB)
CPA – CPB = DHAB = 0,0827 . 0,021 . 1000 . 0,030^2/0,20^5
817,14 – CPB = 4,88
 CPB = 812,14 m
42

No sistema adutor mostrado na figura, todas as tubulações são de aço soldado com
algum uso, coeficiente de rugosidade da equação de Hazen-Williams C = 120. O
traçado impõe a passagem da tubulação pelo ponto B de cota geométrica 514,40 m.
O diâmetro do trecho CD é de 6” e a vazão descarregada pelo reservatório superior
é de 26 l/s. Dimensione os outros trechos, sujeito a:
a) a carga de pressão mínima no sistema deve ser de 2,0 mH20;
b) as vazões que chegam aos reservatórios E e D devem ser iguais.
Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas.
Dados: C = 120 ; ZB = 514,40 m ; (p/γ)min = 2 m ;
QAB = QBC = QCD + QCE = 26 l/s
QCD = QCE = 26/2 = 13 l/s
495
E
520
A
C
360 m
B
507,2
D
26 l/s
800 m
450m
6"
200m
a) Determinação do diâmetro do trecho AB (DAB)
CPA = CPB + ∆HAB
520 = (514,2 + 2,0) + ∆HAB  ∆HAB = 3,60 m
J = ∆HAB/L = 3,60/800 = 10,65 . 0,026^1,85/(120^1,85 . DAB^4,87)
DAB = 0,20 m
b) Determinação da cota piezométrica em B (CPB)
CPB= pB/γ + ZB = 514,4 + 2,0  CPB = 516,40 m
c) Determinação da cota piezométrica em C (CPC)
43

CPD = CPC + ∆HCD
CPC = CPD – ∆HCD =
CPC = 507,2 – (10,65 . 0,013^1,85 . 200/(120^1,85 . 0,15^4,87)
CPC = 507,20 – 1,01  CPC = 506,19 m
d) Determinação do diâmetro do trecho CD (DBC)
CPB = CPC + ∆HBC  ∆HBC = CPB – CPC = 516,40 – 506,19
∆HBC = 10,21 m = 10,65 . 0,026^1,85 . 450/(120^1,85 . DBC^4,87)
DBC = 0,15 m
e) Determinação do diâmetro do trecho CE (DCE)
CPC = CPE + DHCE  ∆HCE = CPC – CPE = 506,19 – 495
∆HBC = 11,19 m = 10,65 . 0,013^1,85 . 360/(120^1,85 . DCE^4,87)
DCE = 0,10 m
A diferença de nível entre dois reservatórios conectados por um sifão é 7,5m. O
diâmetro do sifão é 0,30 m, seu comprimento, 750 m e coeficiente de atrito f =
0,026. Se ar é liberado da água quando a carga pressão absoluta é menor que 1,2
mH2O, qual deve ser o máximo comprimento do tramo ascendente do sifão para
que ele escoe a seção plena, sem quebra na coluna de líquido, se o ponto mais alto
está 5,4 m acima do nível do reservatório superior. Neste caso, qual é a vazão.
Pressão atmosférica local igual a 92,65 kN/m2.
Dados: D = 0,30 m h = 5,40 m f = 0,026
DZ = 7,50 m L = 750 m pab/g =< 1,20 m  pc/g
patm/g = 92,65 . 10^3 / 9,8 . 10^3 = 9,45 m = pA/g
D
B
C
∆Z
h
A
a) Determinação da vazão
5
2
..
0827,0
D
QLf
H =∆ = 0,0827 . 0,026 . 750 .Q^2/0,30^5
∆z = 7,5 = 0,0827 . 0,026 . 750 .Q^2/0,30^5  Q = 0,106 m3/s
b) Determinação da velocidade na tubulação
v = 4Q/(3,14 . D^2) = 4 . 0,106/ 3,14 . 0,30^2  v = 1,50 m/s
c) Determinação do comprimento LBC
HA = HC + ∆HAC
44

pA/γ + ZA + VA^2/2g = pC/γ + ZC + VC^2/2g + ∆HBC
9,45 + 7,5 + 0 = 1,20 +(7,5 + 5,4) + 1,5^2/19,6 + 0,0827.0,026.LBC.0,106^2/0,3^5
9,45 = 1,20 + 5,40 + 0,115 + 0,0099422.LBC
LBC = 2,735/0,0099422 =
LBC = 275 m
Adicional
d) Determinação das cotas piezométricas
CPA = 9,45 + 7,5 = 16,95 m
CPC = 1,20 + (7,5 + 5,40) = 14,10 m
Dois reservatórios têm uma diferença de nível igual a 15 m e são conectados por
uma tubulação ABC, na qual o ponto mais alto B está 2 m abaixo do nível d’água
do reservatório superior A. O trecho AB tem diâmetro de 0,20 m e o trecho BC,
diâmetro de 0,15 m, e o fator de atrito é o mesmo para os dois trechos. O
comprimento total da tubulação é 3000 m. Determine o maior valor do
comprimento AB para que a carga de pressão em B não seja maior que 2 mH20
abaixo da pressão atmosférica.
C
B
∆Z = 15 m
h=2 m
A
y=-2 m
DAB = 0,20 m
DBC=0,15m
DADOS: Q = ? ; LAB +LBC = 3000 m ; LAB = ? ;
pB/γ = -2 m (abaixo da pressão atmosférica)
a) Determinação da perda de carga
CPA = CPB + DHAB  2 = -2 + DHAB
 DHAB = 4 m
g
v
D
L
fH
2
2
=∆
DHAB = f.(LAB/DAB).v^2/2g = 4 (1)
DHBC = f.(LBC/DBC).v^2/2g = 11 (2)
E ainda
Q = 3,14 . 0,20^2/4 . vAB = 3,14.0,15^2/4 . vBC
45

vAB = (0,15/0,20).vBC  vAB = 0,562 . vBC
- Dividindo (1) por (2), tem-se:
DHAB/DHBC = (LAB.DBC/LBC.DAB) . vAB^2/vBC^2
4/11 = (LAB/(3000-LAB)).0,15/0,20 . (0,562.vBC)^2/vBC^2
0,364 = LAB/(3000-LAB) . 0,75 . 0,316
LAB/(3000-LAB) = 1,537
2,537.LAB = 4.609,87
LAB = 1.817,05 m
Um tanque cilíndrico aberto de 1,0 m de diâmetro está sendo esvaziado por um
tubo de 50 mm de diâmetro e 4,0 m de comprimento, com entrada em aresta viva,
K = 0,5, para o qual f = 0,025, e descarregando na atmosfera. Determine o tempo
necessário para que a diferença entre o nível d’água no tanque e o nível da saída do
tubo caia de 2,0 m para 1,0 m.
t = 0
k = 0,5
D
=
0,05
m
L
=
4
mf =
0,025
D=1m
Z = 1 m
a = 2 m
a) Determinação das áreas
Reservatório: AR = 3,14.DR^2/4 = 3,14.1^2/4 = 0,785 m2
Tubulação: AT = 3,14.DT^2/4 = 3,14.0,05^2/4 = 0,002 m2
46

b) Perda de carga localizada e distribuída
∑ +
=
)/.(
2
DLfk
g
β = (19,6/(1+0,5+0,025.4/0,05))^0,5
 β = 2,366
c) Tempo necessário para o abaixamento de z = 2m a 1 m
)/1.(.
][2
21
1
AAA
HHoA
t
t +
−
=
β
t = 2.0,785.((2)^0,5 – (1)^0,5)/(2,366.0,002) =
t = 331,723 . 0,414
t = 137 ~ 140 segundos
Dois reservatórios prismáticos, um de área igual a 7,4 m2 e outro de área igual a
3,7 m2, estão ligados por uma tubulação de 125 m de comprimento e 50 mm de
diâmetro, com fator de atrito f = 0,030. Determine o tempo necessário para que um
volume de 2,3 m3 de água seja transferido do tanque maior para o menor, se a
diferença de nível inicial entre eles é de 1,5 m. Coeficientes de perda de carga, na
entrada K = 0,5 e na saída K = 1,0.
t = 0
k = 0,5
D
=
0,05
m
L
=
125
m
f =
0,030
Ho = 1,50 m
k = 1,0
DADOS:
Ho = 1,50m D = 0,050 m
f = 0,030 A1 = 7,40 m2
Σ k = 0,5 + 1,0 = 1,5 A2 = 3,7 m2 L = 125 m
a) Determinação dos parâmetros
∑ +
=
)/.(
2
DLfk
g
α = (19,6/(1,5 + 0,030*125/0,05))^0,5
α = 0,506
47

At = 3,14*D^2/4 = 3,14*0,05^2/4 = 0,0019625 m2
H = Ho – volume/Áreas = 1,5 – 2,3/7,4 – 2,3/3,7 = 0,567 m
b) Tempo necessário para o abaixamento de z = 2m a 1 m
)/1.(.
][2
21
1
AAA
HHoA
t
t +
−
=
α
)7,3/4,71.(0019625,0.506,0
]567,05,1[4,7*2
+
−
=t
t = 6,98/0,00297
t = 2343,6 segundos
t ~ 39 minutos
Um reservatório alimenta uma tubulação de 200 mm de diâmetro e 300 m de
comprimento, a qual se divide em duas tubulações de 150 mm de diâmetro e 150
m de comprimento, como o da figura abaixo. Ambos os trechos estão totalmente
abertos para a atmosfera nas suas extremidades. O trecho BD possui saídas
uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento, de maneira que metade
da água que entra é descarregada ao longo de seu comprimento. As extremidades
dos dois trechos estão na mesma cota geométrica e 15 m abaixo do nível d’água do
reservatório. Calcule a vazão em cada trecho adotando f = 0,024, desprezando as
perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações.
Resolva o problema de duas maneiras: primeiro, usando no trecho BD o conceito
de vazão fictícia e, segundo determinando a perda de carga distribuída em um
elemento de comprimento dL e depois fazendo a integração de 0 a L (de B até D):
∆Z = 15 m
A
B
DC
Dados: DAB = 0,20 m ; DBC = DBD = 0,15 m ; f = 0,024
LAB = 300 m ; LBD = LBC = 150 m
a) Determinação das relações entre as vazões nos trechos
QAB = QBC + QBDfictícia
DHBD = DHBC
0,0827.f.L.Qf^2/D^5 = 0,0827.f.L.QBC^2/D^5  Qf = QBC
QBDfic = QBC = (Qm + Qj)/2 = (Qm + Qm/2)/2
48

Qf = QBC = ¾ . Qm e como:
QAB = QBC + Qm = QBC + 4/3.QBC  QAB = 7/3 . QBC
b) Determinação da vazão no trecho AB (QAB)
DHAB + DHBC = 15 m
0,0827.0,024[300QAB^2/0,2^5 + 150(3/7.QAB)^2/0,15^5] = 15
937.500.QAB^2 + 362.811,79.QAB^2 = 15/(0,0827.0,024)
 QAB = (7.557.436/1.300.311,79)^0,5  QAB = 0,076 m3/s
c) Determinação da vazão no trecho BC (QBC)
QAB = 7/3 . QBC  QBC = 3/7 . 0,076
QBC = 0,033 m3/s
d) Determinação da vazão no trecho BD (QBD)
Qf = QBD = 4/3 . QBC = 4/3 . 0,033
QBD = 0,043 m3//s
De uma represa mantida em nível constante sai uma tubulação de ferro fundido
novo, de 200 mm de diâmetro e 500 m de comprimento, que termina no fundo de
um reservatório prismático de 10 m2 de área e 5 m de altura, conforme a figura.
Estando inicialmente vazio e reservatório, abre-se o registro colocado em A.
Calcular o tempo necessário para o enchimento completo do reservatório o fator de
atrito da tubulação seja constante, com valor médio f = 0,020. Resolva o problema
de duas maneiras distintas:
a) utilizando a Equação 4.39 observando que, no caso, tem-se A1>>>A2 = 10
m2.
b) Utilizando a Equação 2.42 e observando que, pela equação da
continuidade, em um tempo qualquer t, a vazão que entra no reservatório é
dada por Q = - A dh/dt, em que h é uma ordenada marcada positiva de
cima para baixo a partir da cota 5,0 m e A a área do reservatório.
Despreze as perdas de carga localizadas na tubulação.
5,0
0,0
A
5,0
L = 500 m
D = 200 mm
a) Determinação dos parâmetros
∑ +
=
)/.(
2
DLfk
g
α = (19,6/(0+0,020.500/0,20))^0,5 = 0,626
A = 3,14.D^2/4 = 3,14 . 0,20^2/4 = 0,0314 m2
49

b) Determinação do tempo de enchimento do reservatório
)/1.(.
[2
21
1
AAA
HHoA
t
t +
−
=
α
; A1 >>>A2 = 10 m2
t = 2.10.((5)^0,5 – (0)^0,5)/((0,626.0,0314.(1+0)) = 2274,80 s
t = 37,90 minutos ou
t = 38 minutos
50

O projeto de um sistema de elevatório para abastecimento urbano de água deverá
ser feito a partir dos seguintes dados:
a) vazão necessária Q = 80 l/s;
b) altura geométrica a ser vencida Hg = 48 m;
c) comprimento da linha de recalque L = 880 m;
d) material da tubulação ferro fundido classe K7, rugosidade ε = 0,4 mm;
e) número de horas de funcionamento diário T = 16 h;
f) número de dias de funcionamento no ano N = 365;
g) taxa de interesse e amortização do capital 12% a.a;
h) rendimento adotado para a bomba η = 70%;
i) rendimento adotado para o motor η = 85%;
j) preço do quilowatt-hora A = R$ 0,031.
Uma pesquisa de preço de tubos, por unidade de comprimento, para 150 < D < 500
mm levou à seguinte relação entre diâmetro e custo: Custo (R$/m) = 0,042
D(mm)^1,4. Determine o diâmetro econômico de recalque.
e (mm) = 0,4 N = 365
Q (l/s) = 80 i (%) = 12
Hg (m)= 48 n = 0,7
L rec (m) = 880 nm = 0,85
T (h) = 16 preço (kwh)= 0,031
(A) (B) © (D) (E) (F) (G)
Diâmetro Rey J H=Hg+JL Custo anual Custo Custo
(mm) (m/m) (m) bombeamento anual tub total
150 679.081,12 0,1790 205,50 49.022,22 4.936,75 53.958,97
200 509.310,84 0,0396 82,84 19.761,82 7.385,08 27.146,90
250 407.448,67 0,0124 58,87 14.042,80 10.093,21 24.136,01
300 339.540,56 0,0048 52,21 12.455,11 13.028,16 25.483,27
350 291.034,77 0,0022 49,90 11.902,69 16.166,22 28.068,90
400 254.655,42 0,0011 48,95 11.677,56 19.489,34 31.166,90
450 226.360,37 0,0006 48,52 11.574,42 22.983,21 34.557,63
500 203.724,34 0,0003 48,30 11.522,70 26.636,14 38.158,83
y = -0,0041x3
+ 4,6802x2
- 1648,5x + 207628
R2
= 0,927
20.000,00
30.000,00
40.000,00
50.000,00
60.000,00
150 200 250 300 350 400 450 500
D (mm)
Custototalanual(R$)
Conclusão:
As colunas G e A da tabela anterior foram postas em forma gráfica,
indicando que o valor mínimo da soma (custo total), coluna E + coluna F,
ocorre para um diâmetro de 250 mm que deverá ser adotado para o
diâmetro econômico das instalações de recalque.
52

Uma bomba KSB-MEGANORM, modelo 32-160, com rotor de diâmetro igual a
162 mm (R=81 mm), na rotação de 1750 rpm, trabalha no ponto A recalcando uma
vazão Q = 10 m3/h com altura de elevação H = 10,5 m (ver figura).
a) Classifique o tipo da bomba.
b) Trace a curva característica adimensional da bomba, π1 = f(π2).
c) Qual o ponto de funcionamento (homólogo de A) de uma bomba
geometricamente semelhante a esta, com uma rotação igual e diâmetro do
rotor igual a 172 mm.
Dados: D = 162 mm; n = 0,525 ; Q = 14 m3/h; H = 9,25 m;
a) Determinação do tipo da bomba
O tipo da bomba pode ser calculado pela determinação da rotação específica
Uma bomba centrifuga, com rotação igual 1750 rpm e curva característica dada
pela tabela a seguir, está conectada a um sistema de elevação de água que consta
de duas tubulações em paralelo e dois reservatórios. Uma tubulação de 0,10 m de
diâmetro, comprimento de 360 m e fator de atrito f = 0,015 está ligada ao
reservatório com nível d’água na cota 800,00 m, e a outra, de 0,15 m de diâmetro,
comprimento de 900 m e fator de atrito f = 0,030, está ligada ao reservatório com
nível d’água na cota 810,0 m. O reservatório inferior tem nível d’água na cota
780,000 m. Assumindo que os fatores de atrito sejam constantes, independentes da
vazão, determine:
a) o ponto de funcionamento do sistema;
b) as vazões em cada tubulação da associação;
c) a potência necessária à bomba.
As características de uma bomba centrífuga, em uma certa rotação constante, são
dadas na tabela abaixo:
A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de 6,5
m, por meio de uma tubulação de 0,10 m de diâmetro, 65 m de
comprimento e fator de atrito f = 0,020.
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba;
b) Sendo necessário aumentar a vazão pela adição de uma segunda bomba
idêntica à outra, investigue se a nova bomba deve ser instalada em série ou
em paralelo com a bomba original. Justifique a resposta pela determinação
do acréscimo de vazão e a potência consumida por ambas as bombas nas
associações.
53

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