Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)
Modul trigonometri
1. TRIGONOMETRI
A. PENGUKURAN SUDUT
1.
Satuan Derajat
1 putaran = ……o (derajat)
1
putaran = …… o (derajat)
4
1
putaran = ……o (derajat)
2
1
putaran = ……o (derajat)
360
o
1 = 60’ ( menit)
1’ = 60” (detik)
2.
Satuan Radian
B
Definisi:
1 rad adalah besar sudut yang dihasilkan oleh
perputaran sebesar jari-jari lingkaran.
r
O
r
r
A
AOB = 1 radian
1 putaran penuh =
1
2
1
3
1
kelilinglingkaran
.......
radian =
radian = …… radian
busurAB
.......
putaran = …….radian
putaran = ……..radian
putaran = …….radian
4
3.
Hubungan Satuan Derajat dan Radian
1 putaran penuh = …… o = ….. rad
1
1o =
putaran = ……. rad
360
1 rad =
.....o
(derajat)
.....
2. B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
1.
Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku
kosinus = cos =
a
A
AC b
( kossami)
AB c
BC a
( tandesa )
AC b
C
b
a) tan =
BC a
( sindemi )
AB c
tangen = tan =
c
= sin =
sinus
B
sin
c) sekan = sec =
cos
b) kosekan = cosec =
1
sin
1
cos
1
d) kotangen = cot =
tan
LATIHAN 1
1. Tentukanlah nilai ketiga perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan
tangen) dari sudut pada tiap gambar berikut:
a)
b)
5
1
1
3
2
2
c)
5
d)
17
15
12
3. 2.
3.
Jika adalah sudut lancip dan tan = p, tentukan perbandingan
trigonometri yang lain (sinus, kosinus, kosekan, sekan dan kotangen)!
4.
2.
Tentukanlah nilai perbadingan trigonometri yang lain jika diketahui:
3
17
a. sin A =
d. cosec D =
15
5
7
1
b. cos B =
e. sec E = 2
8
24
1
5
c. tan C =
f. cot F = 2
5
Seorang anak bermain layang-layang dengan panjang benang 76 m. Sudut
elevasi layang-layang yang terbentuk adalah 60o. Jika tinggi anak tersebut
adalah 1,5 m. Tentukan tinggi layang-layang terhadap tanah!
Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Coba lengkapilah tabel berikut!
0o
sin
0
30o
1
37o
0,6
2
45o
1
2
53o
0,8
2
60o
1
3
90o
1
2
cos
…
…
…
…
…
…
…
tan
…
…
…
…
…
…
…
4. LATIHAN 2
Hitunglah:
a. tan 30o + cot 60o
b. sin . cos
3
3
c. sin2 + cos2
3
3
d. sin 30o cos 60o + cos 30o sin 60o
e.
cos30 o sin60 o
tan60 o cot30 o
C. PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
1.
Pembagian Sudut dalam Trigonometri
y
Kuadran II
90o < < 180o
< <
2
Kuadran III
180o < < 270o
3
< <
2
2
2.
Kuadran I
0o < < 90o
0o < <
2
x
Kuadran IV
270o < < 360o
3
< < 2
2
Sudut-Sudut Berelasi
Jika diberikan nilai adalah sudut lancip, maka
Y
(x,y)
x
...
...
...
cos =
...
...
tan =
...
sin =
y
X
5. Kuadran I
sin ( 90o - )
cos ( 90o - )
tan ( 90o - )
= cos
= sin
= cot
Kuadran II
sin ( 90o + )
cos ( 90o + )
tan ( 90o + )
= cos
= - sin
= - cot
Kuadran II
sin (180o - )
cos (180o - )
tan (180o - )
= sin
= - cos
= - tan
Kuadran III
sin (180o + )
cos (180o + )
tan (180o + )
= - sin
= - cos
= tan
Kuadran III
sin ( 270o - )
cos ( 270o - )
tan ( 270o - )
= - cos
= - sin
= cot
Kuadran IV
sin ( 270o + ) = - cos
cos ( 270o + ) = sin
tan ( 270o + ) = - cot
Kuadran IV
sin ( 360o - )
cos ( 360o - )
tan ( 360o - )
sin ( + k . 360o )
cos ( + k . 360o )
tan ( + k . 360o )
= - sin
= cos
= - tan
= sin
= cos
= tan
Jika kita memiliki sudut ( ), maka perbandingan trigonometri adalah:
Y
(x,y)
y
x
-y
(x,-y)
X
Lengkapilah perbandingan
berikut berdasarkan gambar
di samping!
...
sin (- ) =
=…
...
...
cos (- )=
=…
...
...
tan (- )=
=…
...
6. LATIHAN C
1.
Tentukanlah nilai dari:
a. sin 120o
b. tan 150o
c. cos (-1350)
d. sec 300o
e. sin 240o – cos 330o
2.
Tentukanlah perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui:
a. tan x = 2, dengan x adalah sudut tumpul
1
b. cos A = , dengan A adalah sudut di kuadran I
2
12
c. cot A = , dengan 90o < A < 270o
5
3
d. cosec C = 2 , dengan C 2
2
3
Jika sin y = dan tan y > 0, tentukan perbandingan trigonometri yang lain!
5
3.
4.
5.
5
dan 0o < x < , tentukan nilai sin (180o–x) + 3.cos (90o+x)!
5
2
Sederhanakanlah bentuk berikut:
Jika cos x =
cos90
+ sec180 x
x cos ec90 x
sin 360 0 x
6.
0
0
0
Dalam segitiga ABC buktikan bahwa:
a. sin (B+C) = sin A
1
1
b. sin (B+C) = cos A
2
2
D. KOORDINAT KUTUB
1.
Y
y
P(x,y)=P(r, )
r
Koordinat kutub
Jika sebuah titik diketahui P (x,y) maka:
r=
x
X
x2 y2
y o
, 0 360 o
x
maka koordinat kutubnya adalah P (r, )
tan =
7. 2.
Koordinat kartesius
Jika diketahui panjang r dan , maka:
y
sin =
x = r. sin
r
x
cos =
y = r. cos
r
Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)
LATIHAN D
1. Nyatakan setiap koordinat cartesius berikut ini dalam koordinat kutub.
a. (4, 45o)
c. (2, )
3
3
b. (3, 270o)
d. (3,
4
2. Nyatakan setiap koordinat kutub berikut ini dalam koordinat kartesius.
3)
a.
(1,
b.
(4 3 , 4)
c.
(-5, -6)
d.
(15, -12)
E. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Teorema E:
Untuk setiap sudut tertentu berlaku:
sin
1. tan =
cos
2. sin 2 cos 2 1
3. tan 2 1 sec 2
4.
1 + cot 2 = cos ec 2
LATIHAN E
Buktikan identitas berikut:
a. tan x. cos x = sin x
b. tan y + cot y = sec y . cosec y
1
c.
= cos 2 x
1 tan 2 x
d.
e.
1 sin 2 y
= cot 2 y
1 cos y
sin p ( 1+ cot2 x) = cosec x
2
8. F. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Tugas Kelompok!
Buatlah grafik trigonometri dengan y = sin , y = cos , dan y = tan dalam satu
grafik dimana 0o 720 o ! Dalam kertas karton berukuran 30 x 50 cm!
G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
1. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin , cos x = cos , tan x = tan
Teorema G.1
Sudut dalam derajat:
1. sin x = sin maka x = + k.360o atau x = (180o - ) + k. 360o
2. cos x = cos maka x = + k . 360o
3. tan x = tan maka x = + k . 180o
2.
Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = a , cos x = a , tan x = a
Cara: Ubahlah a ke dalam bentuk sin, cos, tan. Kemudian diselesaikan
dengan Teorema G.1
LATIHAN G
1.
2.
3.
Tentukan akar persamaan dan penyelesaian umum dari setiap persamaan berikut:
a. sin xo = sin 50o, 0 x 360
b. cos xo = cos 75o, 0 x 360
c. sin 2xo = - sin 100o, 0 x 360
2
d. cos 2xo = cos
, 0 x 180
3
1
e. tan x = - tan , 0 x 2
6
2
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:
a. sin ( x – 30)o = sin 15o, 0 x 360
b. cos (3x – 60)o = cos (-300)o, 0 x
c. cos 2xo = sin 2xo, 0 x 180
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:
1
2
a. sin xo =
2
b.
c.
tan ( x – 40)o = 3 , 0 x 2
1
sec x 2 = 2 , 0 x 2
2
9. H. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA
C
Teorema H
a
a
b
c
=2R
sin A sin B sin C
Dengan a = BC; b = AC; c = AB, dan
R := jari-jari lingkaran
Pada setiap ABC berlaku
b
R
R
A
O
R
c
B
LATIHAN H
1. Tentukanlah panjang sisi-sisi segitiga ABC jika diketahui
a. A = 110o, C = 20o, b = 6 !
b. a = 12, b = 5, B = 24o
c. a + b + c = 100, A = 42o, B = 106o
2. Diketahui sudut-sudut ABC adalah ,, dan . Jika sin 2 sin 2 sin 2 ,
buktikan bahwa = 90o !
I.
ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA
C
Teorema I
Pada setiap ABC berlaku
1. a 2 b 2 c 2 2bc cos A
2. b 2 a 2 c 2 2ac cos B
3.
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
b
a
A
B
c
LATIHAN I
1. Diketahui ABC, dengan A = 120o, a = 14 cm, dan c = 10 cm. Hitunglah
unsur-unsur yang lain!
2. Carilah sudut terbesar dan sudut terkecil dari ABC , jika diketahui a = 20 cm, b
= 25 cm, dan c = 30 cm !
3. Sisi –sisi segitiga ABC berbanding sebagai 6 : 5 : 4. Tentukan kosinus sudut yang
terbesar dari segitiga tersebut!
10. J.
LUAS SEGITIGA
1.
Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut itu diketahui
Teorema J.1:
1
1. L = bc sin A
2
1
2. L = ac sin B
2
1
3. L = ab sin C
2
2.
C
b
a
A
B
c
Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara
Kedua Sudut Diketahui
Teorema J.2
Pada setiap ABC berlaku:
1.
a 2 sin B . sin C
L=
2 sin A
2.
L=
C
c 2 sin A. sin B
3. L =
2 sin C
b 2 sin A. sin C
2 sin B
b
a
A
B
c
3.
Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Rumus Heron
Pada setiap ABC berlaku:
S( S a )( S b )( S c )
Dengan L = Luas ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c
1
S = a b c adalah setengah keliling ABC.
2
L=
11. DAFTAR PUSTAKA
Sartono Wirodikromo. 2000. MATEMATIKA 2000 SMU Kelas 1 Caturwulan 1.
Jakarta:Erlangga.
Kartini,Suprapto, Endang S, Untung S, Subandi, Nur Akhsin. 2004. Matematika SMA
Kelas X. Klaten : Intan Pariwara.
Husein Tamponas. 2007. Seribu Pena Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta:
Erlangga.
Johanes, Kastolan, Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Kelas 1 SMA Semester Kedua.
Jakarta : Yudhistira.
Krismanto. 2008. Pembelajaran Trigonometri SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan
Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.