Definiciones.
                  Representación Cartesiana
Geometría Analítica:
Parte de las matemáticas que establece
una ...
Geometría Analítica:

Estudia las propiedades de las figuras por
 procedimientos algebraicos y sujeta las
cuestiones de la...
Cuadrantes.
Como se verá en seguida, si se
trazan dos rectas dirigidas x´x,
  yý, perpendiculares entre si,
   dividen el ...
y

               1º
     2º




x´                  x

     3º        4º
          y´
Ejes y origen.
Las rectas x´x, y´y se llaman ejes
o líneas de referencia, y el punto
 de intersección, origen o cero.
 El ...
Coordenadas.
La posición de un punto en el
 plano está determinado por
medio de sus distancias a cada
        uno de los e...
Ordenada de un punto P es su
distancia MP al eje horizontal; se
representa con “y”
La abscisa y la ordenada del punto P
se...
+
                 Y (ordenadas)
                                      P( NP, MP)
         N
                      x      ...
Signos de las coordenadas; por
convención, las rectas dirigidas
que forman los cuatro cuadrantes
son positivas
En el senti...
Signos de los cuadrantes:
1º Toda abscisa a la derecha de y
          ´y es positiva
2º Toda abscisa a la izquierda de
   ...
Eje de las abscisas y eje de las
              ordenadas.

    .
Y
  Eje de las Ordenadas, un punto tomado en este eje es
...
Designación y localización de un
        punto en el plano
   Para designar un punto R de
abscisa 3 y ordenada 4, se escri...
Ejercicios: Representa en los ejes los
puntos (3,2),(-2,3),(-1,-5),(3,-4),(7,-2),(-5,4)
                            6     ...
Trácese la recta que une los
        puntos(3,-1) y (-2,3),
             y




x´       0                          x


   ...
El segmento OA = 5 y las
coordenadas de “C” son (2,3),
  Ver Figura¿cuáles son las
coordenadas del vértice B del
   parale...
Hállense las coordenadas de los
puntos que distan 13 unidades del
punto P(1,3) y 6 unidades del eje
               y´y
   ...
AB2 =AC2 +CB2            (1)
Pero, AC = DC – DA = x2- x1
 y     CB = EB – EC = Y2- Y1
                  B


   D   A      ...
II. Distancias y Áreas.
  Distancia.entre dos puntos;
  Sean A(x1,y1) y B(x2,y2) los
puntos cuya distancia se quiere
     ...
Sustituyendo estos valores en (1),
           se obtiene:
AB = (x2- x1) +(y2- y1)
    2         2         2
              ...
AB = (x2- x1)2 +(y2- y1)2 =

   AB= (x1- x2)2 +(y1- y2)2
Distancia de un punto al origen
   OA = (x1- 0) +(y1- 0)
        ...
Aplicaciones
    1ª Calcúlese la distancia de;
         A(-3, 4) a B(6,-2)
2º Calcúlense las coordenadas del
   punto P(x,...
1º. AB = (6+3) +(-2-4)= 81+36
       2       2

         = 117= 3(13) . 0.5

2º. Elévese al cuadrado cada uno
 de los dos ...
Resolviendo el sistema de dos
 ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas, tiene solución por
cualquier método de simul...
.
C
        y
                    .
                    B   Gráfica de la función




                               .   A...
Áreas positivas y Áreas
    negativas. Un móvil puede
recorrer el contorno o perímetro
de un polígono o figura cerrada
   ...
y
    Áreas Positivas y Áreas negativas


    Flechas   +   Estrella
                             _


                    ...
1º. Área de un triángulo. Sí se
 conocen las coordenadas de los
vértices de un triángulo, se puede
  calcular su área en f...
2º   Calcular el Área del triángulo
          DEF dados los vértices D(1,0),
                E(6,0), y F(3,6).
1º         ...
Fórmula del Área del Triángulo.
     Considérense dos casos
 1º. El Triángulo tiene un vértice
  en el origen en cuyo caso...
Área de un Polígono Cualquiera
           1
AreaABCDE = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y4 − x4 y3 + x4 y5 − x5 y4 + ...
Áreas del polígono por
      determinantes.

            1 y1
           1x               
           
           1x2 y...
Por lo tanto; El área de la
 superficie es igual a la mitad del
resultado que se obtiene al restar,
para cada vértice, del...
Aplicaciones: Calcular,
1º. El área del triángulo OAB dados
 los puntos A(4,2), B(7,9),O(0,0).
           Fórmula a usar,
...
1º. Área OAB =
                 1
        AreaOAB = ( x1 y 2 − x2 y1 )
                 2


         1 4 2 1
AreaOAB = ...
2º. Resultado del Área del
           triángulo ABC

           1 2             3 
         1                   
ÁreaA...
Tarea 2 Pág. 26, Ejercicio 2, del
 1 al 26, impares. Ejemplo1. ¿A
que distancia del origen está cada
  uno de los siguient...
2. Calcúlese la distancia del
punto A(5,3) al Punto B(3,4), y
  del punto C(-2,5) al punto
           D(4,-3).
Fórmula
   ...
5. Calcúlese el perímetro del
 triángulo cuyos vértices son
   A(1,5), B(-2,3), C(4,-3).
8. Los vértices de un triángulo
 ...
9. ¿Qué radio debe tener la
 circunferencia que pasa por los
    puntos A(10,3),B(9,7), y
     C(6,10).?. ¿Son de esta
   ...
19. Obténgase el área del
  triángulo de vértices A(1,4),
B(-4,5), y C(8,-3).
      21. ¿Cuál es el área del
cuadrilátero ...
III. Ecuaciones y su
representación. Ecuación de un
  lugar geométrico. Sean las
           expresiones:
     y =x (1)
   ...
La ecuación 1 indica que se trata
  de un lugar geométrico tal que
   cada uno de sus puntos tiene
 ordenada y abscisa igu...
Estas expresiones se llaman
           ecuaciones.
Ecuación de un lugar geométrico
  es una expresión que indica la
 conex...
Ejemplo: El punto P(3,9) no es
     del lugar geométrico
representado por (2), y= 3x+2,
   porque 9 ≠(3)(3)+2.
Constantes:...
Las constantes pueden ser
 absolutas o arbitrarias.
En la ecuación , y = 3x+2, 3 y 2
    son valores constantes o
    abso...
“a” representa el radio, y se
 pueden suponer circunferencias
 grandes o pequeñas, en las que
  “a” tendrá distintos valor...
En la ecuación y = mx +b, m y b
  son parámetros.
Las constantes se representan con
números o con las primeras letras
    ...
El radio de una circunferencia
puede variar independientemente
  de cualquiera otra magnitud,
  mientras que la superficie...
Análogamente, en y = x-12x+32,
a todo cambio de x corresponde
   otro para y; x es la variable
 independiente(también llam...
Concepto de función.
 Atendiendo a todo esto, se dice
que “y” es una función de “x” en
un intervalo, cuando a todo valor
 ...
Las variables se representan con
las últimas letras del alfabeto. La
dependencia de una variable con
  respecto de otra, p...
Representación de las funciones
    por métodos Cartesianos.
       Ejemplo; representar
gráficamente la función y= 2x+1,
...
Y           Gráfica de y= 2x+1
                        .
                        F


                    .
               ...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Mat Iii PresentacióN 06

1.172 visualizaciones

Publicado el

Publicado en: Educación
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
1.172
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
3
Acciones
Compartido
0
Descargas
7
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Mat Iii PresentacióN 06

  1. 1. Definiciones. Representación Cartesiana Geometría Analítica: Parte de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la Geometría Euclidiana: *Este sistema se denomina Cartesiano en honor de René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y de la Geometría Euclidiana
  2. 2. Geometría Analítica: Estudia las propiedades de las figuras por procedimientos algebraicos y sujeta las cuestiones de la Geometría a Métodos generales y uniformes, aplicables a todas las figuras
  3. 3. Cuadrantes. Como se verá en seguida, si se trazan dos rectas dirigidas x´x, yý, perpendiculares entre si, dividen el plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes
  4. 4. y 1º 2º x´ x 3º 4º y´
  5. 5. Ejes y origen. Las rectas x´x, y´y se llaman ejes o líneas de referencia, y el punto de intersección, origen o cero. El eje horizontal es el eje de las “equis”, y el vertical, el de las “yes”
  6. 6. Coordenadas. La posición de un punto en el plano está determinado por medio de sus distancias a cada uno de los ejes. Abscisa de un punto P es su distancia NP al eje vertical; se representa con “x”
  7. 7. Ordenada de un punto P es su distancia MP al eje horizontal; se representa con “y” La abscisa y la ordenada del punto P se llaman coordenadas rectilíneas o coordenadas cartesianas de ese punto * Cartesianas proviene de descartes (Del Latín Cartesius)
  8. 8. + Y (ordenadas) P( NP, MP) N x . P P(x,y) y _ M + 0 Abscisas X X` Y´ _
  9. 9. Signos de las coordenadas; por convención, las rectas dirigidas que forman los cuatro cuadrantes son positivas En el sentido x´x, y´y; negativas en el sentido opuesto: según esto,
  10. 10. Signos de los cuadrantes: 1º Toda abscisa a la derecha de y ´y es positiva 2º Toda abscisa a la izquierda de y´y es negativa. 3º Toda ordenada arriba de x´x es positiva. 4º Toda ordenada abajo de x´x es negativa.
  11. 11. Eje de las abscisas y eje de las ordenadas. . Y Eje de las Ordenadas, un punto tomado en este eje es . * de abscisa cero.* P . Eje de las abscisas, un punto tomado en este eje es de ordenada cero.* * X o
  12. 12. Designación y localización de un punto en el plano Para designar un punto R de abscisa 3 y ordenada 4, se escribe R(3,4), para un punto Q de abscisa 5 y ordenada –7, se escribe Q(5,-7), Sí las coordenadas de un punto P son variables, se escriben P(x,y), primero se escribe “x”, luego “y”
  13. 13. Ejercicios: Representa en los ejes los puntos (3,2),(-2,3),(-1,-5),(3,-4),(7,-2),(-5,4) 6 y 5 4 3 2 1 x´ -9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x -1 -2 -3 -4 -5 y´
  14. 14. Trácese la recta que une los puntos(3,-1) y (-2,3), y x´ 0 x y´
  15. 15. El segmento OA = 5 y las coordenadas de “C” son (2,3), Ver Figura¿cuáles son las coordenadas del vértice B del paralelogramo OABC? y 4 C B 3 2 1 A x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
  16. 16. Hállense las coordenadas de los puntos que distan 13 unidades del punto P(1,3) y 6 unidades del eje y´y Tarea 1: Ejercicios del 1 al 12, Pág.. 20. Texto, Anfossi, Agustín Editorial Progreso
  17. 17. AB2 =AC2 +CB2 (1) Pero, AC = DC – DA = x2- x1 y CB = EB – EC = Y2- Y1 B D A C 0 F E
  18. 18. II. Distancias y Áreas. Distancia.entre dos puntos; Sean A(x1,y1) y B(x2,y2) los puntos cuya distancia se quiere calcular. Trácese AC paralelo a OX y BC perpendicular al mismo eje. Siendo rectángulo el triángulo ACB, se tiene;
  19. 19. Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: AB = (x2- x1) +(y2- y1) 2 2 2 De donde AB = (x2- x1) +(y2- y1) = 2 2 (x2- x1)2 +(y2- y1)2
  20. 20. AB = (x2- x1)2 +(y2- y1)2 = AB= (x1- x2)2 +(y1- y2)2 Distancia de un punto al origen OA = (x1- 0) +(y1- 0) 2 2 OA= x2 + y2
  21. 21. Aplicaciones 1ª Calcúlese la distancia de; A(-3, 4) a B(6,-2) 2º Calcúlense las coordenadas del punto P(x,y) que equidista de A(9,3) B(3,7) y C(-2,6) Debe tenerse PA=PB=PC o sea (x1-9)2 +(y1-3)2= (x1-3)2 +(y1-7)2 = (x1+2)2 +(y1-6)2
  22. 22. 1º. AB = (6+3) +(-2-4)= 81+36 2 2 = 117= 3(13) . 0.5 2º. Elévese al cuadrado cada uno de los dos primeros radicales y redúzcase; dando lugar a la ecuación 3x – 2y = 8, (1), Se elevan al cuadrado el primero y el tercer radical, redúzcanse, Dando lugar a la ecuación 11x-3y = 25 (2)
  23. 23. Resolviendo el sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, tiene solución por cualquier método de simultaneas; obteniéndose; x =2 ; y = -1. Siendo las coordenadas del punto que se busca P(2,-1)
  24. 24. . C y . B Gráfica de la función . A 0 P . x
  25. 25. Áreas positivas y Áreas negativas. Un móvil puede recorrer el contorno o perímetro de un polígono o figura cerrada cualquiera. En dos sentidos: teniendo constantemente a su izquierda la superficie limitada por dicho contorno(+), o bien teniéndolo siempre a su derecha (-).
  26. 26. y Áreas Positivas y Áreas negativas Flechas + Estrella _ x 0
  27. 27. 1º. Área de un triángulo. Sí se conocen las coordenadas de los vértices de un triángulo, se puede calcular su área en función de dichas coordenadas. Ejemplos: sea calcular el área del triángulo ABC, dados los vértices A(3,0), B(0,4), C(-2,0), área de ABC =
  28. 28. 2º Calcular el Área del triángulo DEF dados los vértices D(1,0), E(6,0), y F(3,6). 1º 2º 1 (5)(4) 1 (5)(6) (CA)(OB ) = =10u 2 ÁreaDEF = ( DE )(CF ) = = 15u 2 2 2 2 2 y y F B C A 0 x 0 D C E x
  29. 29. Fórmula del Área del Triángulo. Considérense dos casos 1º. El Triángulo tiene un vértice en el origen en cuyo caso su fórmula es: 1 AreaOAB = ( x1 y 2 − 2 y1 ) x 2 2º. Área ABC 1 AreaABC = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 ) 2
  30. 30. Área de un Polígono Cualquiera 1 AreaABCDE = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y4 − x4 y3 + x4 y5 − x5 y4 + x5 y1 − x1 y5 ) 2  x1 y1  1 1   AreaABC =  x2 y 2  1 2  x3 y3  1  
  31. 31. Áreas del polígono por determinantes.  1 y1 1x   1x2 y 2  1   AreaABC =  3 y3 1x  2    1 y1 1x   2 y2 1x   
  32. 32. Por lo tanto; El área de la superficie es igual a la mitad del resultado que se obtiene al restar, para cada vértice, del producto de su abscisa por la ordenada del vértice consecutivo, el producto de la abscisa de éste por la ordenada del vértice que precede.
  33. 33. Aplicaciones: Calcular, 1º. El área del triángulo OAB dados los puntos A(4,2), B(7,9),O(0,0). Fórmula a usar, 1 AreaOAB = ( x1 y 2 − 2 y1 ) x 2 2º. El área del triángulo ABC, dados A(2,3),B(-3,4), C(3,-5). 1 AreaABC = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 ) 2
  34. 34. 1º. Área OAB = 1 AreaOAB = ( x1 y 2 − x2 y1 ) 2 1 4 2 1 AreaOAB =   = 2 ( 36 − 14 ) = 11u 2 2 2 9  1 AreaABC = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 ) 2
  35. 35. 2º. Resultado del Área del triángulo ABC 1 2 3  1  ÁreaABC = 1 − 3 4  2 1 3  − 5  1 = [ (15 + 9 + 8) − ( − 9 +12 −10 ) ] = 19.5u 2 2
  36. 36. Tarea 2 Pág. 26, Ejercicio 2, del 1 al 26, impares. Ejemplo1. ¿A que distancia del origen está cada uno de los siguientes puntos: A(5,12), B(8,-15), C(-21,20), D(99,-20)? Fórmula OA = x 2 +y 2
  37. 37. 2. Calcúlese la distancia del punto A(5,3) al Punto B(3,4), y del punto C(-2,5) al punto D(4,-3). Fórmula 2 2 2 2 2 2 AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
  38. 38. 5. Calcúlese el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(1,5), B(-2,3), C(4,-3). 8. Los vértices de un triángulo son A(12,2), B(-3,5), C(8,8). Calcúlense las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita y la longitud del radio.
  39. 39. 9. ¿Qué radio debe tener la circunferencia que pasa por los puntos A(10,3),B(9,7), y C(6,10).?. ¿Son de esta circunferencia los puntos D(-2,-4),y E(3,-5).? 12. Demuéstrese que el triángulo A(3,-2), B(9,6), C(10,5), es rectángulo en “C”.
  40. 40. 19. Obténgase el área del triángulo de vértices A(1,4), B(-4,5), y C(8,-3). 21. ¿Cuál es el área del cuadrilátero de vértices A(8,0), B(2,3), C(5,4) y D(-1,8)?
  41. 41. III. Ecuaciones y su representación. Ecuación de un lugar geométrico. Sean las expresiones: y =x (1) y = x + ( 2) 3 2 y 2 =4 x (3)
  42. 42. La ecuación 1 indica que se trata de un lugar geométrico tal que cada uno de sus puntos tiene ordenada y abscisa iguales; la 2 indica que, para cada punto, la ordenada es el triple de la abscisa aumentado en dos; la 3 expresa que, para cada punto, el cuadrado de la ordenada es el cuádruplo de la abscisa de dicho punto.
  43. 43. Estas expresiones se llaman ecuaciones. Ecuación de un lugar geométrico es una expresión que indica la conexión que debe existir entre las coordenadas de un punto y ciertas cantidades constantes, para que dicho punto sea de ese lugar geométrico.
  44. 44. Ejemplo: El punto P(3,9) no es del lugar geométrico representado por (2), y= 3x+2, porque 9 ≠(3)(3)+2. Constantes: En las investigaciones matemáticas se encuentran dos clases de cantidades: unas que son constantes y otras que son variables.
  45. 45. Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias. En la ecuación , y = 3x+2, 3 y 2 son valores constantes o absolutos, porque nunca cambian; pero en x2+y2 = a2 que, como se verá más adelante, es la ecuación de una circunferencia.
  46. 46. “a” representa el radio, y se pueden suponer circunferencias grandes o pequeñas, en las que “a” tendrá distintos valores, y solo permanecerá constante en un problema determinado. A estas constantes arbitrarias se las llama Parámetros.
  47. 47. En la ecuación y = mx +b, m y b son parámetros. Las constantes se representan con números o con las primeras letras del alfabeto. Variables. Son de dos tipos; independientes y dependientes.
  48. 48. El radio de una circunferencia puede variar independientemente de cualquiera otra magnitud, mientras que la superficie del círculo varía, forzosamente, al variar el radio: el radio es en este caso, variable independiente, y la superficie del circulo es variable dependiente.
  49. 49. Análogamente, en y = x-12x+32, a todo cambio de x corresponde otro para y; x es la variable independiente(también llamado Dominio) y “y”es la variable dependiente(denominado reflejo, condominio, rango,etc.)
  50. 50. Concepto de función. Atendiendo a todo esto, se dice que “y” es una función de “x” en un intervalo, cuando a todo valor de “x”en ese intervalo se hace corresponder, de alguna manera, un valor para “y”.
  51. 51. Las variables se representan con las últimas letras del alfabeto. La dependencia de una variable con respecto de otra, por ejemplo, que “y” es función de “x”, se indica simbólicamente: y = f(x), y = F(x), ϕ = y (x), etc. Nota: Si solo intervienen las variables “x” y ”y”se tiene
  52. 52. Representación de las funciones por métodos Cartesianos. Ejemplo; representar gráficamente la función y= 2x+1, 1º. Se atribuyen valores a la −∞ variable independiente x, haciéndola variar en el sentido de − ∞ a + ∞
  53. 53. Y Gráfica de y= 2x+1 . F . E x -2 -1 0 1 2 3 . y -3 -1 1 3 5 7 D Puntos A B C D E F . C B . 0 X A .

×