ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS<br />Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se ...
Una ecuación de la forma<br />Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos po...
Y si se verifica la condición pedida:<br />En particular, haciendo t = 1/x resulta:<br />
Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v = y/x. En esas condiciones podemos poner:<br...
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:<br />Haciendo el cambio v = y/x tenemos:<br />
Y separando variables para integrar:<br />Donde para encontrar el valor de los coeficientes indeterminados A y B hacemos:<...
Y dando a v los valores 0 y -1, respectivamente, obtenemos A = 1, B = -1 y nos queda:<br />Y tomando antilogaritmos:<br />
Vamos a ver ahora cual es la forma general del factor integrante de una ecuación homogénea. Sea la ecuación diferencial<br...
Si hacemos el cambio v = y/x tenemos:<br />Y sustituyendo en la expresión anterior:<br />
Que también podemos poner:<br />Multiplicando ahora todos los términos por el factor:<br />
Resulta, finalmente:<br />Que es una ecuación de variables separadas cuya resolución ya conocemos.<br />Separamos e integr...
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Ecuaciones diferenciales homogéneas

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Ecuaciones diferenciales homogéneas

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS<br />Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir como una función exclusiva de y/x:<br />
  2. 2. Una ecuación de la forma<br />Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos poner:<br />
  3. 3. Y si se verifica la condición pedida:<br />En particular, haciendo t = 1/x resulta:<br />
  4. 4. Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v = y/x. En esas condiciones podemos poner:<br />Que es una ecuación de variables separadas:<br />
  5. 5. Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:<br />Haciendo el cambio v = y/x tenemos:<br />
  6. 6. Y separando variables para integrar:<br />Donde para encontrar el valor de los coeficientes indeterminados A y B hacemos:<br />
  7. 7. Y dando a v los valores 0 y -1, respectivamente, obtenemos A = 1, B = -1 y nos queda:<br />Y tomando antilogaritmos:<br />
  8. 8. Vamos a ver ahora cual es la forma general del factor integrante de una ecuación homogénea. Sea la ecuación diferencial<br />Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado, n, tomando t = 1/x, resulta:<br />
  9. 9. Si hacemos el cambio v = y/x tenemos:<br />Y sustituyendo en la expresión anterior:<br />
  10. 10. Que también podemos poner:<br />Multiplicando ahora todos los términos por el factor:<br />
  11. 11. Resulta, finalmente:<br />Que es una ecuación de variables separadas cuya resolución ya conocemos.<br />Separamos e integramos cada variable.<br />

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