Ley de gauss

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Ley de gauss

  1. 1. 4-1 Ley de Gauss 4.2 Ley de Gauss ......................................................................................................4-3 Ejemplo 4.1: Barra Infinita con Densidad de Carga Uniforme..............................4-8 Ejemplo 4.2: Plano de Carga Infinito Plano............................................................4-9 Ejemplo 4.3: Cascarón Esférico............................................................................4-12 Ejemplo 4.4: Esféra Sólida No Conductora ............................................................4-13 4.3 Conductores........................................................................................................4-15 Ejemplo 4.5: Conductor con Carga Dentro de una Cavidad ..................................4-18 Ejemplo 4.6: Potencial Eléctrico Debido a un Cascarón Esférico..........................4-19 4.5 Sumario...............................................................................................................4-23 4.6 Estrategias para Resolver Problemas .................................................................4-24 4.1 Flujo Eléctrico ........................................................................................................4-2 4.7 Problemas Resueltos ...........................................................................................4-27 4.7.1 Planos Infinitos No Conductores ..............................................................4-27 4.7.2 Flujo Eléctrico a Través de Una Superficie Cuadrada .............................4-30 4.7.3 Ley de Gauss de La Gravedad ...................................................................4-30 4.7.4 Potencial Eléctrico de una Esféra con Carga Uniforme ............................4-31 4.8 Preguntas Conceptuales ......................................................................................4-32 4.4 Fuerza sobre un Conductor..................................................................................4-22
  2. 2. E r A = Anˆ ur nˆ E nˆ r r r Φ = ⋅ = ⋅E A E nˆ A = EA (4.1.1)E ur nˆ r r Φ = ⋅ =E A EAcosθ = E A (4.1.2)E n r r En E nˆ E= ⋅ 4-2 Ley de Gauss 3.1 Flujo Eléctrico Anteriormente mostramos que la fuerza de un campo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo por unidad de área. El número de líneas de campo que penetran una superf. se conoce como “flujo eléctrico,” que se deonota Φ . El compo eléctrico se puede pensar como el el némero de lineas por unidad de área. Fig. 4.1.1 Líneas de Campo Eléctrico que pasan a trevés de una superficie de área A. con magnitud del área de la superficie de, Considere la superficie de en la Fig 4.1.1. Sea definido como el vector área A , apuntando en la dirección normal, . Si la superfic. se coloca dentro de un campo unif. que apunta en la misma dirección de , por ejemplo, perpendicular a la superficie A, el flujo a través de la superficie es de: Por otro lado, si el campo eléctrico E forma un ángulo θ con (Fig 4.1.2), el flujo eléctrico esta dado entonce por: donde es la componente de perpendicular a la superficie. Fig. 4.1.2 Líneas de Campo Eléctrico que pasan a través de una superficie de área A cuya normal forma un ángulo θ con el campo.
  3. 3. nˆ E ru r ˆi i i ˆi r ΔAi θ r i r r ΔΦ = E ⋅ΔA = E A cosΔ θ (4.1.3)E i i i i r ΔAi → 0 Φ = lim E ⋅dA = E⋅dA (4.1.4)E Ai 0 ∑ r i r i Ò∫∫ r r Δ → S ∫∫ S ur r E ⋅ dA . 4.2 ru πε0r2 )rˆE = ( / 4Q 4-3 Note que con la definición para el vector normal , el flujo eléctricoΦ es positivo si las líneas de campo eléctrico salen de la superficie y negativas si entran a la superficie. En general, unaa sup.S puede ser curva y el campo electri. E puede variar sobre la superf. Centraremos nuestro interés en el caso donde la superfi es cerrada. Una superf. cerrada es una superfi. que completamente encierra un volumen. Para calcular el flujo electric, dividimos la superficie en un gran número de elmeneto de área infinitesimal ΔA = ΔA n , como muestra la Fig. 4.1.3. Note que para una superf cerrada el vector unit n se escoge apuntando en la dirección normal de salirda. Fig. 4.1.3 Campo Eléctrico que pasa a través de un área dif. , y forma un angi. con la normal de la superficie. El Flujo eléctrico a travéz de ΔA es de: El flujo total a travéz de la superficie entera se puede obtener al sumar todos los elementos de área. Tomando el limite de y haciendo el numero de elementos infinitos, tenemos que donde el símbolo denota la doble integral sobre la superficie cerrada S. Para evaluar la integral de arriba, debemos especificar la superficie y luego sumar todos los productos puntos Considere una carga puntual positiva Q localizada en el centro de una esféra de rado r, como en la Fig 4.2.1. El campo electric. debido a la carga Q es , que apunta en la direción radial. Encerramos la carga con una esféra imaginaria de radio r llamada superficie Gausiana. Ley de Gauss
  4. 4. Q . 4.2.2) r dA = r2 sin d dφ ˆθ θ r (4.2.1) r dΦ = r ⋅d = E dA = ⎜ ⎛ 1 Q ⎟ ⎞ (r sin d dφ) = Q E A 2 θ θ sinθ d dθ φ (4.2.2)E 2 ⎝ 4πε0 r ⎠ 4πε0 Φ = E A = sin d dφ = (4.2.3)E ∫∫ r ⋅d r Q ∫ π θ θ ∫ 2π Q 0 04πε εS 0 0 2 0 2 r r ⎛ 1 Q ⎞ 2 Q Φ = E A⋅d = E dA E= A = 4πr = (4.2.4)E ∫∫S ∫∫S ⎜ ⎝ 4πε0 r2 ⎟ ⎠ ε0 4-4 Fig. 4.2.1 Superficie esférica Gaussiana que encierra una carga En coord. esfericas, un elemento de área de superficial pequeña sobre la esféra es dado por (Fig. Fig. 4.2.2 Pequeño elemento de área en la superficie de una esféra de radio r. Por lo que, el flujo eléctrico neto a través del elemento de área es de: El flujo total a través de la superficie compesta es de: El mismo resultado se puede obtener al notar que una esféra de radio r tiene una áre superf. A = 4πr , y puesto que la magnitud del campo electric. en cualquier punto de la superf. esférica esta dado E = Q / 4πε r , el flujo electrico a través de la superficie es de:
  5. 5. S3 . enc Φ = Ò ur ⋅d r = q E ∫∫ E A εS 0 enc r ΔA1 = ΔA1 rˆ 1 1 r ΔA1 = ΔA1 rˆ ΔΩ ≡ ΔA 2 1 (4.2.6) r1 4-5 Arriba, escogimos una esféra para que sea la superficie Gausiana. Pero resulta, que la forma de la superficie cerrada se puede escoger arbitrariamente. Para la superficie mostrada en la Fig. 4.2.3, el mismo resultado( E 0 1 2Φ = Q /ε ) se obtiene. Así se escoja la superf. S , S o Fig 4.2.3 Diferentes Superficies Gausianas con el mismo flujo eléctrico de salida. El enunciad, el flujo neto a través de cualquier superfi. cerrada es proporcional a la carga neta encerrada se conoce como la Ley de Gauss. Mateméticamente, se expresa así: (Ley de Gauss) (4.2.5) donde q es la carga neta dentro de la superficie. Una forma de explicar por que la ley Gauss siempre se cumple, es al notar que el número de líneas de campo que dejan la carga es independent. de la forma de la superficie imaginaria de Gauss que escojamos para encerrar la carga. Para provar la L. de Gaus, introducimos el concep. de ángulo sólido. Sea un elemento de área sobre la superf de esfer. S de radio r , como en la Fig. 4.2.4. ΔΩΔAFig. 4.2.4 El elemento de área subtiende un ángulo sólido . El ángul. sólido ΔΩ subtendido por en el centro de la esféra se define como:
  6. 6. 1 1 2 Ω = 4π 2 r1 2 = 4π (4.2.7) r1 r ϕ Δs (4.2.8)Δ = r 2πr ϕ = = 2π (4.2.9) r r 2 rˆ 2 r ΔA r Δ A ΔΩ = 2 ⋅ ˆ = A2 cosθ = Δ 2n (4.2.10)2 2 2 r2 r2 r2 2n 2 2 2 2 1 1 2n ΔA ΔA cosθ ΔΩ = 2 1 = 2 2 (4.2.11) r1 r2 4-6 Los ángulos sólidos no tienen dimensión y se meiden en estereoradianes (sr). Ya que el área de la superf. de la esféra S es 4πr , el ángulo sólido subtendido por la esféra es de: El concepto de ángulo sólido en tres dimensiones es análogo al del ángulo ordinario en dos dimensiones. Como ilustra en la Fig. 4.2.5, el angu. Δϕ e s la razón de la longitud del arco al radio del círculo, así: Fig. 4.2.5 El arco Δs subtiende un angulo Δϕ . Puesto que la long total del arc. es s = 2πr , el ángulo total subtendido por el círculo es de: En la Fig. 4.2.4, el elemen. de are ΔA forma un ángulo θ con el vect. unitario radial , entonces el ángulo sólido subtendido por ΔA es de: donde ΔA = ΔA cosθ es el área de la proyección radial de ΔA en la segunda esfera S de radi r ,y concentri. con S . Como se muestra en la Fig. 4.2.4,el ángulo sólido subtendido es el mismo para ambos ΔA y ΔA :
  7. 7. 1 2 1 2 1 Q E r2 Ei = ⇒ 2 = 1 (4.2.12) 4πε r2 E r 2 0 i 1 2 1 1 r r ΔΦ = ⋅Δ = E A (4.2.13)E A Δ1 1 1 1 r r ⎛ r1 2 ⎞ ⎛ r2 2 ⎞ E ⋅ΔA = E A cosθ = E ⋅ A E AΔΦ2 = 2 2 2 Δ 2 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 1 = 1 Δ 1 = Φ1 (4.2.14) ⎝ r2 ⎠ ⎝ r1 ⎠ enc 4-7 Suponga que una carga punto Q se ubica en el centro de las esferas concéntricas. La fuerza de los campos eléctricos E y E en el centro de los elementos de área ΔA y ΔA se relacionados por la ley de Coulomb así: El flujo electric a travez de ΔA en S es Por otro lado, el flujo electrico a través de 2 2ΔA en S es de_ Entonces, vemos que el flujo eléctrico a través de cualquier element. de área que subtiende el mismo ángulo sólido es constante, independientemente de la forma u orientación de la superficie. En resumen, la ley de Gauss proporciona una herramienta conveniente para evaluar el campo electri. Sin embargo, su aplicación esta limitada solo a sistemas que poseen cierto grado de simetría, ya sea, simetría cilíndrica, plana o esférica. En la tabla de abajo, daremos algunos ejemplos de sistemas para los cuales, la ley de Gaus es aplicable e indicaremos la forma para determinar el campo eléctrico , con su correspondiente superficie Gausiana : Simetría Sistema Superf. Gausiana Ejemplos Cilíndrica Barra Infinita Cilíndro Coaxial Ejemplo 4.1 Plana Plano Infinito Cilíndro Gaussiano Ejemplo 4.2 Esférica Esféra, Cascarón Esféric. Esféra Concentrica Ejemplos 4.3 & 4.4 Los siguientes pasos pueden ser de ayua al aplicar la Ley de Gauss: (1) Identifique la simetría asociada con la distribución de carga. (2) Determine la dirección del campo eléctrico, y una “Superfic. Gaussiana” en la cual la magnitud del campo eléctrico sea constante sobre toda la superfice o sobre parde de ella. (3) Divide el espacio en regiones diferentes asociadas con la distribución de carga. Para cada región, calcule q , que es la carga encerrada por la superficie de Gauss.
  8. 8. E r r r . enc 4-8 (4) Calculate el flujo electric.Φ a través de la superficie Gausiana para cada región. (5) Iguale E enc 0Φ con q /ε , y obtenga la magnitud del campo eléctrico. Ejemplo 4.1: Barra Infinitamente Larga con Densidad de Carga Uniforme Una barra infinitamente larga con radio despreciable tine densidad de carga unif λ . Calcule el campo eléctric a una dista. de la barra (o cable). Solución: Resolveremos este problema siguiendo los pasos detallados con anterioridad: (1) Una bara infinitamente larga posee simetría cilíndrica cilíndrica. (2) La densidad de carga está uniformemente distribuida en toda su longitud, y el campo elect.E debe apuntarradialmente hacia afuera desde el eje de simetría de la barra (Fig. 4.2.6). La magnitud del campo eléctric es constante sobre una superf. cilíndrica de radio Es por eso, que escogemos un cilíndro a coaxial como nuestra superficie de Gauss. Fig 4.2.6 Líneas de campo para una barra infinita uniformemente cargada (el eje de simetría de la barra y del cilíndro Gaussiano son perpendiculares al plano de la pagina.) (3) La cantidad de carga encerrada por la superficie Gaussiana, un cilind. de radio r y long. l (Fig. 4.2.7), es q = λl . Fig. 4.2.7 Superficie Gaussiana para una barra uniformemente cargada.
  9. 9. E Ò∫∫ r ⋅d r = ∫∫E r 1 ⋅dA r 1 + ∫∫E r 2 ⋅dA r 2 + ∫∫E r 3 ⋅dA r 3Φ = E A S S1 S2 S3 (4.2.15) = + 3 3 (2 )0 0 + E A = E πrl 3 r r ( ) 0 λ E = (4.2.16) 2πε0r σ 4-9 (4) Como indica la Fig. 4.2.7, la superficie Gausiana consta de tres partes: dos extremos 1 2 3S y S mas la pared curva marc S . El flujo a través de la superficie Gausiana es de: donde hemos fijadoE = E . Como se puede observar de la fig., no hay flujo pasando a través de los extremos ya que el vector 1 2dA y dA son perpendiculare al campo eléctrico que apunta en la dirección radial. (5) Aplicando la ley de Gauss E 2πrl = λl /ε , o El resultado está en completo acuerdo con lo obtenido con la Ec. (2.10.11) usando la L. Coulomb. Note que el resultado es independiente de la longitud l del cilíndro, y solo depende del inverso de la distancia r del eje de simetría. El comportamiento cualitativo para el campo E como función de r está graficado en la Fig. 4.2.8. Fig 4.2.8 Campo eléctrico debido a una barra uniformemente carga como función de r Ejemplo 4.2: Plano de Carga Infirnito Considere un plano no conductor infinito en el plano xy con una densidad de carga superficial uniforme . Determine el flujo eléctrico en todas partes del espacio. Solución: (1) Un plano infinitamente largo posee simetría plana.
  10. 10. r r ˆ 1 2 S3 . Ò∫∫ r ⋅d r = ∫∫E r ⋅dA r + ∫∫E r ⋅dA r + ∫∫E r ⋅dA r Φ = E AE 1 1 2 2 3 3 S S1 S2 S3 = E A + E A + 0 (4.2.17)1 1 2 2 (E1 + 2 )= E A 4-10 (2) Ya que la carga esta uniformem. distrib. sobre la superficie, el campo electric.E debe apuntar perpendicularm. hacia afuera plano, E = E k . La magnitud del campo eléctrico es constante en los planos paralelos al plano no conductor. Fig 4.2.9 Campo eléctrico para una plano uniforme de carga. Escogemos un cilíndroa para nuestra superf. gausiana, como podemos observar en la (Fig 4.2.10). Este cilíndro esta compuesto por tres partes: dos tapas S y S , y un lado curvo Fig 4.2.10 Superf Cilíndrica Gausiana para calcular el campo eléctrico debido a un plano largo. (3) Ya que la distribución de carga superfi sobre el plano es uniforme, la carga encerrada por la Superf. Gausiana es enc 1 2q = σ A , donde A A= = A es el área de las tapas del cilíndro. (4) El flujo total a través de la superficie Gausiana es de:
  11. 11. 1 2 Φ = 2EA (4.2.18)E qenc σ A 2EA = = ε0 ε0 σ E = (4.2.19) 2ε0 ⎧ σ ˆ ⎪ k, z > 0 E r = ⎨ ⎪ 2ε0 (4.2.20) ⎪− σ kˆ, z < 0 ⎪ 2ε⎩ 0 σ ⎛ σ ⎞ σ ΔE = E − E = − − = (4.2.21)z z+ z− 2ε0 ⎝ ⎜ 2ε0 ⎠ ⎟ ε0 4-11 Puesto que las dos tapas del cilíndro están a la misma distancia del plano, por simetría, la magnitud del campo eléctrico debe ser la misma:E = E = E . Por lo que, el flujo total se puede reescribir como: (5) Al aplicar la Ley de Gauss, obtenemos que: lo que nos da: En notación vectorial, tenemos que: Entonces, vemos que el campo eléctrico debido a un plano no conductor largo infinito es uniforme en el espacio. El resultado, se muestra en la grafica de la Fig 4.2.11, es el mismo que se obtuvo con la Ec.(2.10.21) usando la ley de Coulomb. Fig 4.2.11 Campo eléctrico de un plano no conductor infinitamente largo. Notemos nuevamente la discontinuidad again en el campo eléctrico a media que cruzamos el plano:
  12. 12. a r r a≤ 4.2.13(a). (a) (b) (b) r a≥ enc E enc 0 E = 0, r a< (4.2.22) ≥ 4-12 Ejemplo 4.3: Cascarón esférico Un cascarón esférico de radio tiene una carga +Q uniformemente distribuida sobre su superf. Encuentre el campo eléctrico tanto en el interior com en el exterior del cascarón. Solución: La distribución de carga tiene simetría esférica, con una densidad de carga superficial 2 2 s sσ = Q A/ = Q / 4 πa , donde A = 4πa es el área de la superficie de la esféra. El campo eléctrico E debe ser radialmente simetrico y dirigido hacia afuera (Fig 4.2.12). Estudiemos las regiones r a≤ y r a≥ de forma separada. Fig. 4.2.12 Campo Eléctrico para un carcarón esférico de carga Caso 1: r a≤ Escogemos una esféra como superficie Gausiana, con radio , como en la Fig. Fig. 4.2.13 Superficie Gausiana para un cascarón uniformemente cargado con (a) r a< , y La carga encerrada por la superf. Gausiana es q = 0 puesto que toda la carga se ubica en la superficie del cascarón. De la Ley Gauss , Φ = q /ε , concluímos que Caso 2: r a
  13. 13. qenc = Q r r Φ = ⋅d = E = (4π 2 )Ò∫∫ E A A E rE S E = 4πε Q 0r2 = ke r Q 2 , ≥r a (4.2.23) As in the case of a non-conducting charged plane, we again see a discontinuity in E as we cross the boundary at r a . The change, from outer to the inner surface, is given by= Δ = + − Q 2 = σ E E E− = −0 4πε0a ε0 a 4-13 En este caso, la superf. Gausiana es una esféra de radio r a≥ , como muestra la Fig. 4.2.13(b). Ya que el radio de la “ Esféra de Gauss” es grande que el radio del cascarón esférico, toda la carga esta encerrada: Puesto que el flujo a través de la superficie Gausiana es de al aplicar la ley de Gauss, obtenemos Note que el campo fuera de la esfera es igual a que tendriamos si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esféra. El comportamiento cualitativo de E como función de r esta graficado en la Fig. 4.2.14. Fig. 4.2.14 Campo electrico como función de r debido a un cascarón esférico uniformemente cargado. Ejemplo 4.4: Esféra no conductora Carga eléctrica de Q conductora de radio . Determine the electric field everywhere inside and outside the sphere. Solución: + está uniformemente distribuida sobre todo el volumen de una esféra sólida no
  14. 14. ρ = Q = Q 3 (4.2.24) V (4/3)πa r r a ≥≤ r a ≤ .r a 4.2.15(a). (a) (b) r a> . r r Φ = ⋅d = E = (4π 2 )E Ò∫∫ E A A E r S ⎞ ⎛ ⎞ ∫ ⎛ ⎜ 4 3 ⎟ a r3 3 qenc = ρ dV = ρV = ρ πr3 = Q⎜ ⎟ (4.2.25) V ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E enc 0 E 4πr2 = πr3 ( ) ε ρ 0 ⎝ ⎜ ⎛ 3 4 ⎠ ⎟ ⎞ 4-14 La distribución de carga es esféricamente simétrica con una densidad de carga dada por: donde V es el volumen de la esféra. En este caso, el campo eléctrico E es radialmente simetrico y dirijido hacia afuera. La magnitud del campo eléctrico es constante sobre la superficie esférica de radio r . Las regiones y se deben estudiar por separado. Caso 1: Escogemos como superficie de Gauss, una esféra con radio r a≤ , como lo muestra la Fig. Fig. 4.2.15 Superficie gausiana para una esféra sólida uniformemente cargada, con (a) r a≤ , y (b) El flujo a través de la superficie de Gauss es de: Con una distribución de carga uniforme en todo su volumen, la carga encerrada es de: la cual es propocional al volumen encerrado por la superficie de Gauss. Aplicando la Ley de Gauss así: Φ = q /ε , obtenemos que
  15. 15. E = 3 ρ ε r 0 = 4πε Qr 0a3 , r a≤ (4.2.26) r a .≥ enc Φ = E(4πr2 )E 2 0 Q Q E = = k , r a> (4.2.27) 4πε0r2 e r2 4.2.16. ru 0 r E′ . rur ′ 0 r ′ 0 ru r 4-15 o Caso 2: En este caso, la superf. de Gauss es una esféra de radio r a≥ , como lo muestra la Fig. 4.2.15(b). Puesto que el radio de la superfici de Gauss es mayor que el radio de la esféra toda la carga está encerrada por la superf. de Gauss: q = Q . Y el flujo eléctrico a través de la superficie de Gauss dado por , al aplicar la ley de Gauss, se obtiene E(4πr ) = Q /ε , o El campo fuera de la esféra es igual a que si tuvieramos toda la carga concentrada en el centro de la esfera. El comportamiento cualitativo E como función de r se grafica en la Fig. Fig. 4.2.16 Campo eléctrico debido a una esfera uniformemente cargada como función de r . 4.3 Conductores Un aislante como el vidrio o el papel es un material en el que los electrones están unidos a algunos átomos en particular y no se pueden mover libremente. Por otro, dentro de un conductor, los electrones son libres para moverse. Las propiedades básicas de los conductores son las siguientes: (1) El campo eléctrico es cero dentro de un conductor. Si colocamos un conductor esférico soli. en un campo exter. constanE , las cargas + y - se movera hacia regiones polares de la esféra (las regiones a la izquierda y a la derecha de la esfera en la Fig. 4.3.1 de a abajo), de modo tal que inducen un campo eléctric. Dentro del conductor,E apunta en la dirección opuesta de E . Puesto que las cargas se mueven, se continuaran moviendo hasta que E completam. cancele E dentro del conductor. En el equilibrio electroestático, E será cero dentro del conductor. Fuera del conductor, el
  16. 16. r ′ ur ur r 0 ′ ur 0 ur r Ñ r r ∫ 4-16 campo electriE debido a la distribución de carga inducida corresponde al campo de un dipolo, y el campo eléctrico total es de E E= + E . Las líneas de campo se muestran el la Fig. 4.3.1. Fig. 4.3.1 Colocación de un conductor en un campo unifor. E . (2) Cualquier carga neta debe residir en la superficie del conductor. Si ubiese una carga neta dentro del conductor, por la ley de Gauss (Ec. 4.3.2), E no podría cero en ese punto. Por lo que, todo el exceso de carga neta debe fluir a la surperf del conductor. Fig. 4.3.2 Superficie de Gauss dentro de un conductor. La carga encerrada es cero. (3) La componente tangencial de E es cero en la superficie del conductor. Ya hemos visto esto para un conductor aislado, el campo eléctrico es cero en su interior. Cualquier exceso de carga colocado en el conductor se debe distribuir en la superficie, como indica o implica la ley de Gauss. Consid. la integral de linea E s⋅d alrededor de la trayectoria cerrad que muestra la Fig. 4.3.3: Fig. 4.3.3 Componentes normal y tangencial de el campo eléctrico furts del conductor
  17. 17. ur E ∫ E s = Et ( )l En ( x') 0( l ') En (Δx) = 0Ñ ur ⋅d r Δ − Δ + Δ + abcda t n t Δx t Et = 0 (on the surface of a conductor) (4.3.1) t B ur r VB −VA = − A ⋅d = 0∫ E s E r r VA =VB. ur (4) E ur 4-17 Ya que el campo electr. abcda desaparece: es conservativo, la integral de línea alrededor del camino cerrado donde E y E son la componente tangencial y la normal del campo eléctrico respect. y hemos orientado el segmento ab de forma que es completam paralelo a E . En el limite donde tanto y Δ →x' 0, tenemos E lΔ = 0. Ya que la longitud del elemento Δl es finito, concluimos que la componente tangencial del campo eléctrico en la superficie del conductor desaparece: Esto implica que la superficie del conductor en equilibrio electroestático es una superfici equipotencial. Para verificar esto, considere dos puntos A y B sobre la superficie de un conductor. Ya que la componet tangencial 0,E = la diferencia de potencial es de: Ya que es perpendicular a d s . Entonces, los puntos A y B se encuentran al mismo potential así: es normal a la superficie justamente fuera del conductor. Si la componente tangencial de E es inicialmente diferente de cero, las cargas se moverán hasta que desaparesca. Por lo que, solo la componente normal del campo sobrevivirá. Fig. 4.3.3 Superficie de Gauss para calcular el campo eléctrico fuera de un conductor. Para calcular la fuerza del campo justo afuera del conductor, considere una superf. de Gauss como la de la Fig. 4.3.3. Usando la ley de Gauss, obtenemos que:
  18. 18. EΦ = S d⋅∫∫ E A rr Ò = (0)nE A A+ ⋅ = 0 Aσ ε (4.3.2) nE = σ ε (4.3.3) 0 ur ( )+ ( ) σ σ ΔE = E − E − = − 0 =n n n ε0 ε0 4-18 o El resultado de arriba se cumple para un conductor de forma arbitraria. El patrón de la direc. de las líneas de campo para la región cercana al conductor se muestra en la Fig 4.3.4. Fig. 4.3.4 Justo afuera del conductor, E es siempre perpendicular a la superficie. Como en el ejempo de un plano infinito no conductor y en el del cascarón esférico, la componente normal del flujo eléctrico exhibe una discontinuidad en la frontera: Ejemplo 4.5: Conductor con Carga dentro de una Cavidad Considere un conductor hueco como en la Fig. 4.3.5. Suponga que la carga neta con la que cuenta el conductor es +Q. Adicionalmente, hay una carga q dentro de la cavidad del del conductor. Cual es la carga en la superficie exterior del conductor? Fig 4.3.5 Conductor con carta en una cavidad
  19. 19. r > ⎪ 0, r a E = ⎪ ⎨ ⎧ 4πε Q 0r2 rˆ, r a ⎩ < B ur r VB −VA = − ⋅d∫ E s A ( ) V ( ) r Q dr′ = 1 Q = k Q (4.3.4)V r − ∞ = −∫∞ 4πε0r′2 4πε0 r e r 4-19 Puesto que el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero, la carga neta encerrada por la superf. de Gauss que muetra la Fig. 4.3.5 debe ser cero. Esto implica, que una carga –q debe haver sido inducida en la superficie de la cavidad. Puesto que el conductor en sí, tiene una de +Q, la cantidad de carga en la superficie exterior del conductor debe ser de Q q+ . Ejemplo 4.6: Potencial Eléctrico debido a Un Cascarón Esférico Considere un cascarón esférico metálico de radio a y carga Q, como muestra la Fig 4.3.6. Fig. 4.3.6 Cascarón esférico de radio a y carga Q. (a) Encuentre el protencial eléctrico en todas partes del espacio potential. (b) Calcule la energía potencial del sistema. Solución: (a) En el ejemplo 4.3, mostramos que el campo eléctrico para un cascarón esférico está daqo por: El potencial eléctrico se puede optener al utilzar la siguiente ecuación: Para r > a, tenemos que:
  20. 20. ( ) − ∞ = −∫∞ a ∫a r (V r V ( ) drE (r > a )− E r < a ) a Q 1 Q Q (4.3.5) = − dr = = k∫∞ 4πε0r2 4πε0 a e a 0 ⎛ q ⎞ dWext =Vdq = ⎜ ⎝ 4πε0a ⎟ ⎠ dq (4.3.6) Wext = ∫ Q dq q = Q2 (4.3.7) 0 4πε0a 8πε0a 0 ext 1 U = QV (4.3.8) 2 4-20 donde escogimos que V (∞ =) 0 como nuestro punto de referencia. Por otro lado, para r < a, el potencial se transforma a: Una grafica del potencial eléctrico se muestra en la Fig. 4.3.7. Note que el potenci.V es constante dentro del conductor. Fig 4.3.7 Potencial Eléctrico como función de r para un cascarón esférico conductor (b) La energía potencial U, se puede pensar como el trabajo que se necesita hacer para construir el sistema. Para cargar la esféra, un agente externo debe traer la carga desde infinito y luego depositarla en la superficie de la esféra. Suponga que la carga acumulada en la superficie de la esféa en algun instante es q. El potencial en la superficie de la esfera es de V q= / 4πε a . La cantidad de trabajo que debe hacer un agente externo para traer una carga dq desde el infinito y depositarla en la esféra es de: POr lo tanto, la cantidad total de trabajo necesitada para cargar la esféra hasta una carga Q es de: Ya queV Q= / 4πε a y W = U , la expresión de arriba se simplifica a la siguiente:
  21. 21. Wext = QV . Therefore, for a point charge Q, the potential energy is U=QV. 1 2 2 V = 1 q1 = 1 q2 4πε0 r1 4πε0 r2 q1 = q2 (4.3.9) r1 r2 E1 = 4πε 1 0 1r q1 2 = σ ε0 1 , E2 = 4πε 1 0 q r2 2 2 = σ ε0 2 (4.3.10) 1 2 E1 = σ1 = r2 (4.3.11) E2 σ2 r1 σ 4-21 El resulta tine un contraste con el caso de una carga puntual. El trabajo requerido para traer una carga puntual Q desde el infinito a un punto donde el potencial eléctrico debido a otras cargas es V debe ser Ahora supoga, que dos esféra de metal con r and r están conectadas por un alambre delgado conductor, como muestra la Fig. 4.3.8. Fig 4.3.8 Dos Esféras Conductoras Conectadas por una Alambre. al mismo potencial La carga continuará fluyendo hasta que se establezca el equilibrio de forma tal que ambas esfe. están 1 2 1V V= =V. Suponga que las cargas en la esfer. en equilibrio son q y q . Despreciando el efecto del alambre que conecta a las dos esféras, la condición equipotencial implica o asumiendo que las dos esféras están muy separadas de forma que la distribuc. de cargas sobre la superficies de los conductores es uniforme. El campo eléctrico se puede expresar fields así: donde σ y σ son las densidades de carga superficial sobre la esfer. 1 y 2, respectivament. Las dos ecuaciones se pueden combinar para obtener: Con la densidad de carga superf. siendo inversamente proporcion.al radio, concluimos que . POr lo que, lala regiones con el radio de curvatura mas pequeño tienen la mayor dens carga fuerza del campo eléctrico en la superfic. del conductor es mayor en el lugar mas puntiagudo. El diseño de los pararayos se basa en este principio.
  22. 22. 4.4 σ, n 0 r r r E = Epatch + E′ (4.4.1) r r patch ′ r ′ ⎧ + σ kˆ, z > 0⎪r ⎪ 2ε0 Epatch = ⎨ (4.4.2) ⎪− σ kˆ, z < 0 ⎪ 2ε⎩ 0 E r above = ⎜ ⎛ σ ⎟ ⎞ kˆ + E r ′ (4.4.3) ⎝ 2ε0 ⎠ E r below = −⎜ ⎛ σ ⎟ ⎞ kˆ + E r ′ (4.4.4) ⎝ 2ε0 ⎠ 4-22 Fuerza sobre un Conductor Hemos visto,que en la superf. de la fontera de un conductor con densi. de carga uniform. la componente tangencial del campo eléctrico es cero, por ende, contina, mientras que la componente normal del campo eléctric exhibe discontinuidad, con ΔE = σ ε/ . Considere un pequeño parche de carga sobre una superf. conductosa surface, como muestra la Fig. 4.4.1. Fig 4.4.1 Fuerza sobre un conductor Qué fuerza experimenta el parche? Para responder esta pregunta, escribamos el campo eléctrico total en cualquier lugar fuerea de la superficie como: donde E es el campo eléct. debido a la carga en le parch, y E es el campo eléctrico debido a todas las otras cargas. Por la tercera ley de Newton, el parche no puede ejercer una fuerza sobre el mismo La fuerza en el parche debe provenir solo de E . Asumiendo que le parche sea una superficie, de la ley Gauss, el campo eléctrico debido al parche estará dado por: Por superposición, el campo eléctrico por encima de la superficie conductora será de: De forma similar, por debajo de la superficie conductora, el campo eléctrico será de:
  23. 23. r ′ E r ′ = 1 (E r + E r )= E r (4.4.5) 2 above below avg r ( / ˆ r ) E r avg = 1 2 ⎜ ⎛ ε σ kˆ + 0⎟ ⎞ = 2 σ ε kˆ (4.4.6) ⎝ 0 ⎠ 0 r r σ ˆ σ 2 A ˆF = qE = (σ A) k = k (4.4.7)avg 2ε0 2ε0 0 F ⎛ ⎞σ 2 1 σ 2 1 P = = = ε0 ⎜ ⎟ = ε0E2 (4.4.8) A 2ε0 2 ⎝ ⎠ε0 2 r = A ˆ r r Φ = ⋅ EAcosE A = θE r θ ˆ 4-23 Note que removiera, el campo en el hueco no presentaria una discontinuidad. Usando las dos E es continuo a través de la frontera. Esto se debe a que si el parche se ecuaciones de arriba, encontramos que: En el caso de un conductor, con above 0 belowE = σ ε k y E = 0, tenemos un promedio así: Por lo que, la fuerza que actúa en el parche es de : donde A es el área del parche. Esta es precisamente la fuerza necesaria para conducir las cargas en la surperficie de un conductor hasta un estado de equilibrio donde el campo eléct. justo afuera del conductor toma el valor de σ ε/ y desaparece adentro. Note que independiente del signo deσ, la fuerza tiend a empujar el parche hacia el campo. Usando el resulta obtanido arriba, podemos definir al presión electroestática sobre el parche como: donde E es la magnitud del campo justo encima del parche. La presión se transmite a través del campo eléctrico. 4.5 Resumen • El Flujo eléctrico que pasa a travez de una superficie caracterizada por el vectpr de área A n es donde es el ángulo entre el campo eléctrio E y el vector unitari. n .
  24. 24. • r r Φ = dE AE ∫∫ ⋅ S • E ∫∫ ur r qenc Φ = Ò E A⋅d = εS 0 • n 0 • • 2 F ⎛ ⎞σ 2 1 σ 1 2 P = = = ε0 ⎜ ⎟ = ε0E A 2ε0 2 ⎝ ⎠ε0 2 4-24 En general, el flujo eléctrico a travéz de una superficie es de: La Ley de Gauss establece que el flujo eléctrico a travéz de cualquier superficie Gausiana La ley de Gauss puede ser usada para calcular el campo eléctrico para un sistema que presente simetría plana, cilíndrica y/o esférica. es proporcional a la carga total encerrada por la superficie así: La componente normal del campo eléctrico exhibe discontinuidades, con ΔE = σ ε/ , cuando cruzamos una frontera con densidad de carga superficial σ. Las propiedades básicas de un conductor son (1) El campo eléctrico dentro del conduct. es cero; (2) cualquier carga neta debe residir en la surperficie del conductor; (3) la surperficie de un conductor es una superficie equipotencial, y la componente tangencial del campo eléctrico en la supferficie es cero; y(4) justo fuera del conductor, el campo electrico es normal a la superficie. La Presión Electroestática sobre una superficie conductora es:
  25. 25. enc Φ = Ò∫∫ E ur ⋅ dA r = q E εS 0 4-25 4.6 Estrategias para Resolver Problemas En este tema, hemos demostrado como un campo eléctrico se puede calcular usando la Ley de Gauss: El procedimiento se detalla en la Seccion 4.2. A continuación resumimos com se puede emplear el procedimiento arriba detallado para calcular el campo eléctrico para una línea de carga, un plano infinito de carga y una esféra sólida uniformemente cargada.
  26. 26. E r r 0> (2 )E E rπ lΦ = 2E EA EA EAΦ = + = 2 (4 )E E rπΦ = in q encq lλ= encq Aσ= 3 enc ( / )Q r a r a q Q r a ⎧ ≤ = ⎨ ≥⎩ in 0E 02 E r λ πε = 02 E σ ε = 3 0 2 0 , 4 , 4 Qr r a a E Q r a r πε πε ⎧ ≤⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ≥ ⎪⎩ 4-26 Sistema Línea de carga Plano Infinito Esféra Sólida Infinito Uniformem. Cargada Figura Identifique la simetria Cílindrica Plana Esférica Determine la dirección de Divide el espacio en regiones diferentes z > 0 y z < 0 r a≤ y r a≥ Escoge la Superficie de Gauss Cilíndro de Gauss Cilíndro Perpendic. Esféras Concéntricas Calcule el Flujo Eléctrico Calcule la carga encerrada. Aplique La L. Gauss Φ = q /ε Para encontrar E
  27. 27. σ E+ = E− = 2ε0 4-27 Problemas Resueltos4.7 4.7.1 Dos Planos Paralelos No Conductores Dos planos infinitos paralelos no conductores yacen en el plano xy separados por una distancia d . Cada plano esta uniformemente cargado con densidad de carga superficial igual pero opuesta, como se muestra en la Fig 4.8.1. Encuentre el campo eléctrico en todas partes del espacio. Fig 4.7.1 Plano infinitos uniformemente cargados Positiva y Negativamente Solución: El campo eléctrico debido a dos planos se puede obtener al aplicar el principio de superposición al resultado obtenido en el Ejemplo 4.2 para uno de los planos. Puesto que los planos tienen denisdades de carga superficiales iguales pero opuestas, ambos campos tienen la misma magnitud: El campo del plano positivo apunta hacia afuera del plano + y el campo del plano negativo apunta hacia dentro del plano negativo (Fig 4.7.2) Fig 4.7.2 Campo Eléctrico de planos positivo y negativo. Cuando sumamos ambos campos, vemos que el campo afuera de los planos paralelos es cero, se cancela, y el campo entre los planos o placar tiene el doble de la magnitud del campo producido por cualquiera de los dos planos separados.
  28. 28. E r + = ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 2 σ ε0 ˆ, z d / 2 , E r − = ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ − 2 σ ε0 kˆ, z > −d / 2+ k > ⎪ σ ˆ, z d / 2 ⎪+ σ kˆ, z < −d / 2− k < ⎪ 2ε ⎪ 2ε⎩ 0 ⎩ 0 ⎧0 ,ˆ z d / 2k > ⎪ r ⎪ σ E = − kˆ, d / 2 > z > −d / 2⎨ ⎪ ε0 ⎪0 ,ˆ z d / 2⎩ k < − Note that the magnitude of the electric field between the plates is / 0 , which isE = σ ε twice that of a single plate, and vanishes in the regions > / 2and < −d / 2.z d z 4-28 Fig 4.7.3 Campo Eléctrico producido por dos planos paralelos El campo eléctrico de los planos positivos y negativos están dador por: Al sumar estos dos campo obtenemos el siguiente resultado: (4.7.1) 4.7.2 Flujo Eléctrico A Travéz de una Area Plana (a) Calcule el flujo eléctrico a travéz de una superficie plana cuadrada de lados 2l debiiada a una carg +Q ubicada a una distancia perpendicular l desde el centro del cuadrado, como muestra la Fig. 4.7.4. Fig 4.7.4 Flujo Eléctrico a travéz de una Superficie Cuadrada
  29. 29. : E r = 1 Q 2 ˆr= 1 Q 2 ⎜ ⎛ xˆi + yˆj+ zkˆ ⎟ ⎞ 4πε0 r 4πε0 r ⎝ r ⎠ 2 2 2 1/ 2 =y l r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r ⋅d r = 4πε Q 0r2 ⎝ ⎛ xˆi + y r ˆj+ zkˆ ⎠ ⎞ ⋅(dx dz)ˆj = 4πε Ql 0r3 E A ⎜ ⎟ dx dz l r r Ql l l dz Ql l z Φ = ⋅d dx = dxE ∫∫ E A = −l ∫ 2 l2 2 3 2 4 − 2 2 Ò 4πε ∫ −l (x + + z ) / πε ∫ l 2 + 2 2 2 1 / S 0 0 (x l )(x l+ +z ) −l l Ql l l dx Q ⎛ ⎞ = 2πε0 ∫−l (x2 + l2 )(x2 + 2l2 )1/2 = 2πε0 tan −1 ⎜ ⎜ ⎝ x2 x + 2l2 ⎟ ⎟ ⎠ −l = Q ⎡tan−1 (1/ 3) − tan−1 ( −1/ 3)⎤ = Q 2πε0 ⎣ ⎦ 6ε0 4-29 (b) Usando el resultado obtanido en (a), si la carga +Q se coloca ahora en el centro de un cubo de 2l de lado (Fig. 4.7.5), ¿Cuál es el flujo total que sale por las seis caras de la superficie cerrada? Fig 4.7.5 Flujo Eléctrico a travéz de la superficie de un cubo Solución (a) El campo eléctrico debido a una carga +Q es de: donde r = (x + y + z ) esta en coord. cartesianas. En la superfi. S, y el elemento de área es d = dA = (dx dz i)A j j. Since i j⋅ = j⋅k = 0 y j j⋅ =1, donde tenemos que: Entonces, el flujo eléctric a travéz del área S es de: donde hemos utilizado las siguientes integrales:
  30. 30. dx x = ∫ (x2 + a2 )3/ 2 a2 (x2 + a2 )1/ 2 ∫ (x2 + a2 )( dx x2 + b2 )1/ 2 = ( 2 − 1 a2 )1/ 2 tan−1 a2 b ( 2 2 − a2 2 , b2 > a2 a b x + b ) ⎛ Q ⎞ Q Φ = 6 =E ⎝ ⎜ 6ε0 ⎠ ⎟ ε0 E E g enc 1/ε0 → −4πG , enc enc a 4-30 (b) Por argumentos de simetría, el flujo a travéz cada debe ser el mismo. Por lo que, el flujo total a travéz del cubo es seis veces el flujo por una de sus caras: El resultado muestra que el flujo eléctrico Φ que pasa a travéz de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada. Este resultado refuerza el hecho o la noción de que Φ es independiente de la forma que tenga la superficie encerrada. 4.7.3 Ley de Gauss para la Gravedad ¿ Cuál es el campo gravitacional dentro de un cascarón esférico de radio a y masa m ? Solución: Puesto que la fuerza gravitacional es también una ley del cuadrado inverso, hay un equivalente de la ley de Gauss para la gravitación: Los únicos cambios son que calculamos el flujo gravitacional, la const. y q → m . Para r a≤ , la masa encerrada en la superf. de Gauss es cero por que la masa esta toda en el Cascarón. Por lo que el flujo gravitacional en la superf. de Gauss es cero. Lo que significa, que el campo gravitacional dentro del cascarón es cero! 4.7.4 Potencial Eléctrico de una Esféra cargada Uniformemente Una esféra sólida aislada de radius tiene una desidad de carga uniforme ρ. Calcule el potencial eléctrico en todas partes. Solución: Φ = −4πGm (4.7.2)
  31. 31. ⎧ Q >⎪ 2 rˆ, r a r ⎪ 4πε0r E = ⎨ ⎪ Qr 3 rˆ, r a< ⎪⎩ 4πε0a 1 r V r V( ) ( ) Q dr′ = 1 Q = k Q 1 − ∞ = −∫∞ 4πε0r′2 4πε0 r e r 2 − ∞ = −( ) ∫ dr ( > )− ∫ E r a)= −∫ r 4πε0r2 − ∫ r′ 4πε0a3 ( ) a E r a r ( < a d Q r d Qr r′V r V2 ∞ a ∞ a = 4πε 1 0 Q a − 4πε 1 0 a Q 3 1 2 (r2 − a2 )= 8πε 1 0 Q a ⎜ ⎝ ⎛ 3− a r2 2 ⎟ ⎠ ⎞ Q ⎛ r2 ⎞ = ke ⎜3− 2 ⎟ 2a ⎝ a ⎠ 4-31 Usando la L. de Gauss, se mostró en el Ejemplo 4.4 que el campo eléctrico debid a la distribución de carga es de: (4.7.3) Fig. 4.7.6 (4.7.4) El potencial eléctrico P (indicado en la Fig. 4.7.6) fuera de la esféra es de: Por otro lado, el potencial eléctrico en P dentro de la esféra esta dado por: (4.7.5) Una grafica del potencial eléctrico como función de r se da en la Fig. 4.7.7: Fig. 4.7.7 Potencial Eléctrico debido a una esféra uniformemente carged como funsión de r.
  32. 32. 1. 2. 3. 4. 4-32 4.7 Preguntas Conceptuales Si el campo eléctrico en alguna región del espacio es cero, implica esto, ¿qué no hay carga eléctrica en la región estudiada? Considere el campo eléctrico debido a un plano no conductor infinito con densidad de carga uniforme. ¿Por qué es el campo eléctrico independiente de la distancia al planp? Explique en términos del espaciamiento de las líneas de campo eléctrico. Si colocamos una carga puntual dentro de un tubo hueco sellado, describa el campo eléctrico fuera del tubo. Considere dos eféras conductoras aisladas cada una con carga neta Q > 0 . Las esféras tienen radio a y b, donde b>a. ¿ Cuál esféra tiene el mayor potencial?

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