O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, incluindo fatorial, triângulo de Pascal, herança quantitativa e princípio fundamental da contagem.

1. Análise Combinatória Professor Luciano Ribeiro

2. ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar de enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc.

3. Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc., além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc.

4. Ex.: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Convenção 0! = 1 1! = 1 Fatorial é uma operação !

5. Observação: n! = n (n – 1)! Ex.: 8! = 8 . 7! 10! = 10 . 9! Exemplo:Simplificar a expressão:

6. O Triângulo de Pascal assim como o conhecemos, na verdade não foi descoberto por Pascal, ou por Tartaglia , como é conhecido na Itália; na verdade o cálculo de combinações e arranjos, data 200 a.c. com Pingala, na Índia. Na China, 1700 antes de Pascal , mas em 1.654 um famoso jogador denominado “O Cavaleiro de Méré” escreveu uma carta ao famoso matemático Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos como jogos de dados e probabilidades.

7. Propriedades do Triângulo de Pascal

8.  Observamos que todas as linhas começãm e terminam em 1;  Na construção não é necessário calcular os coeficientes binomiais um a um. A partir da 3ª linha, cada elemento( com exceção do primeiro e do último) é a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel.

10. Simetria O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se escrito da seguinte forma:

12. A soma dos elementos de cada linha é uma potência de 2 , cujo expoente corresponde à ordem da linha:c

13. Aplicação No conjunto A = { 1,2,3} o número de subconjuntos será 2 3 = 8 subconjuntos ( soma das linhas) ,ou seja, P(A)={  ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

15. Os números naturais aparecem em sequência na segunda diagonal.

16. Os números triangulares aparecem na 3ª diagonal, representam a soma dos naturais: 1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6, etc. Generalizando, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =

18. Os números tetraédricos são o número de pontos com que se pode definir um tetraedro,

20. Seqüência de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,... Os números de Fibonacci aparecem com frequência na natureza, esses números começam pelo 1 e cada um dos seguintes é a soma dos dois anteriores. No Triângulo de Pascal os números de Fibonacci aparecem como soma dos números das diagonais secundárias :

22. Curiosidade Retângulo Áureo e o Nautilus Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2.

23. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

24. Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13 ( figura abaixo), repita o processo para os outros quadrados,

25. Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do Nautilus marinho .

26. Binômio de Newton Uma das aplicações que Pascal fazia era a determinação dos coeficientes binomiais, quando fazemos a expansão do binômio de Newton: O desenvolvimento acima tem como coeficientes os números da linha 2 do triângulo.

27. Já se desejarmos a expansão de Pegaremos a linha 3, e assim por diante.

28. Herança Quantitativa ou Poligênica Na herança quantitativa dois ou mais pares de alelos determinam o fenótipo.Por isto é também chamada de herança poligênica. O número de fenótipos que podem ser encontrados depende do número de pares de alelos envolvidos, que chamamos de n : O número de fenótipos = 2n +1

29. Quando estão envolvidos 2 pares de genes haverá 5 fenótipos possíveis. Se forem 3 pares serão 7 fenótipos; Se forem 4 pares serão 9 fenótipos e assim por diante. Sabemos que a frequência de fenótipos se distribui em uma curva normal, assunto que será abordado posteriormente.

30. Expressividade do caráter a = mínima, b = média, c = máxima

31. Cor da pele humana No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos ( N ou B ) ou não acrescentar nada, se não efetivos ( n ou b ).

32. Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência? Usando a Genética : (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?)

33. NnBb x NnBb Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb Gametas NB Nb nB nb NB NNBB NNBb NnBB NnBb Nb NNBb NNbb NnBb Nnbb nB NnBB NnBb nnBB nnBb nb NnBb Nnbb nnBb nnbb

34. Fenótipos Número de genes Negro(NNBB ) 4 genes efetivos e 0 não efetivos mulatos escuros (NNBb ou nNBB ) 3 genes efetivos e 1 não efetivo mulatos médios (NNbb, nnBB ou NnBb ) 2 genes efetivos e 2 não efetivos mulatos claros (Nnbb ou nnBb ) 1 gene efetivo e 3 não efetivos Branco (nnbb ) 0 genes efetivos e 4 não efetivos

35. Usando o Triângulo de Pascal : Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b) Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4. no. genes coeficientes 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1

36. Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros: 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco. 1 negro 4 efetivos e 0 não efetivo 4 mulatos escuros 3 efetivos e 1 não efetivo 6 mulatos médios 2 efetivos e 2 não efetivos 4 mulatos claros 1 efetivo e 3 não efetivos 1 branco 0 efetivo e 4 não efetivos

38. 02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a  {C,K},b  {C,K} e c  {C,K}, logo, o resultado procurado é 2.2.2 = 8

39. C – C – C C – C – K C – K – C C – K – K K – C – C K – C – K K – K – C K – K - K Pelo o Diagrama da Árvore K C K C C K C K C K C K C K

40. 03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?  9 x 9 x 9 = 729 números

41. E se fossem com algarismos distintos? 9 x 8 x 7 = 504 números

42. 04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal? Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536 Resposta: 4.536 números

43. 05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares? 1º lugar 2º lugar 3º lugar  6 x 5 x 4 = 120 possibilidades

44. 06. Quantos são os divisores de 72? Os divisores de 72 são do tipo 2 x . 3 y (pois 72=2 3 .3 2 ) onde: x  {0, 1, 2, 3} e y  {0, 1, 2}. Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y. Total: 4 x 3 = 12

45. 07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2. Pelo P.F.C., teremos: Jogo 1 Jogo 2 Jogo 14 C 1 C m C 2 C 1 C m C 2 C 1 C m C 2 3 x 3 x...x 3 = 3 14

46. EM RESUMO: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo!  Se o problema não depender da ordem ( por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.

47. 08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? Resolução: de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12 Resposta: 12 modos

48. 09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?

49. Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480 Resposta: 480 placas Resolução: Placa: 2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2

50. 10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7? 5 x 4 x 3  5 x 4 x 3 = 60 Respostas: 60 números

51. 11. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo?

52. Resolução: Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Prefixo  7 x 6 x 5 x 4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840 Resposta: 840 números

53. 12. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?

54. Resolução: Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras . Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta: 576 maneiras

55. 13. Um torneiro esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F .

56. Resolução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: Escola E  6. 4 = 24 maneiras Escola F  5 . 3 = 15 maneiras

57. Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras . Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de: (6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342 Resposta: 342 maneiras

58. 14. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?

59. Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720 Resposta: 6.720 modos

60. 15) (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a) 9 b) 15 c) 20 d) 24 e) 30

61. Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções; Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções. Total de tentativas : 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.

62. 16. Observe o diagrama O número de ligações distintas entre X e Z é: a) 39 b) 41 c) 35 d) 45

63. Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3.1 = 3 XRYZ = 3.3.2 = 18 XYZ = 1.2 = 2 XSYZ = 3.2.2 = 12 XSZ = 3.2 = 6 TOTAL = 41

64. 17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 52 e) 100

65. Resolução: é um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeriam o erro de fazer o cálculo: 4 x 5 x 5 = 100(errado!) Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos,assim:

66. Nº com algarismos repetido mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x Nº com algarismos distintos = 4x4x3 = 48 Total de nº formados = 4x5x5 = 100 Portanto, x + 48 = 100 x = 52 Resposta : Letra D.

67. 18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! Resolução: 50 x 49 = 2450

69. d) Com as letras BR juntas nesta ordem? Resolução: BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120 e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem ? Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240

70. f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA ? g) E com a palavra ITATIAIA ? h) E com a palavra APROVADO ?

71. 20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas.Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar? Resolução:É como se fosse uma seqüência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja,

72. 21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?

73. Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo: DDDDCCC , ou seja: .Q P .

74. 22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é: a) 120 b) 240 c) 360 d) 480 e) 600

75. Resolução: TOTAL – A juntas = A separadas

76. 23.O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre: a) 15.000.000 e 25.000.000 b) 25.000.000 e 35.000.000 c) 35.000.000 e 45.000.000 d) 45.000.000 e 55.000.000 Resolução:

77. 24. Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é: a) 12 b) 42 c) 160 d) 1.120 e) 1.200

78. Resolução: Beatles x Rolling Stones x U2

79. 25.Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a: a) 55 b) 65 c) 110 d) 121 Resolução: Precisamos de mãos :

80. 26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é: a) 35 b) 38 c) 40 d) 42

81. Resolução:

82. 27. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente? a) 120 b) 240 c) 14.400 d) 86.400 e) 3.608.800

83. Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;

84. 28.O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é: a) 250 b) 321 c) 504 d) 576

85. Resolução: Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto:

86. 29.Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201

87. Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa.As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1 (todas apagadas) = 63

88. 30. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto ( . ) ou pelo traço ( - ). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é: a) 16 b) 64 c) 30 d) 8 e) 36

89. Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas , três ou quatro letras e as opções por letra são duas( ponto ou traço), logo:

90. 31. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é: a) 45 b) 90 c) 1022 d) 101

91. Resolução: São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022 (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)

92. 32.(BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

93. Resolução: É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja: pares diferentes , ou , portanto o item está correto.

94. 33.(BB/2007)Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas

95. Resolução: É um problema de permutação repetida onde as cores são como letras e o total de faixas(7) como uma palavra de 07 letras, ou seja: formas, portanto o item está correto.

96. 34. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. Resolução: 1ª agência x 2ª agência x 3ª agência

97. 35. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações. Resolução: 4.4.4.4.4.4 = 4 6 , maneiras, portanto o item está errado

98. 36.(UFMG2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55

99. RESOLUÇÂO: Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)

100. Soluções inteiras não negativas de uma equação linear Ex.: Considere a equação linear x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter: (0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas.

101. Considere agora a equação x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande , e corremos o risco de esquecer alguma solução. Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero.

102. Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:

103. Logo teremos uma permutação com elementos repetidos( como em ARARA), assim:

104. Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação.

105. Arranjo Simples

106. Permutação simples Pn = n! Permutação com repetição

107. Combinação simples

108. Permutação Circular P = ( n – 1)!