Este documento discute conceitos fundamentais de mecânica dos solos, incluindo: 1. Fluxo de água em solos, cobrindo a lei de Darcy, permeabilidade, fatores que afetam o fluxo e capilaridade. 2. Compressibilidade dos solos, tratando de ensaios de compressão confinada e teorias de adensamento. 3. Fluxo bidimensional, abordando equações de fluxo estacionário e redes de fluxo. 4. Resistência ao c

1. 1
Universidade Federal da Bahia - Escola Politécnica
Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais
(Setor de Geotecnia)
MECÂNICA DOS SOLOS II
Conceitos introdutórios
Autores: Sandro Lemos Machado e Miriam de Fátima C. Machado

2. 2
MECÂNICA DOS SOLOS II
Conceitos introdutórios
SUMÁRIO
1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS 05
1.1 Introdução 05
1.2 Conservação da energia 06
1.3 Lei de Darcy. 12
1.4 Validade da lei de Darcy 14
1.5 Coeficiente de permeabilidade dos solos 14
1.6 Métodos para determinação da permeabilidade dos solos 15
1.7 Fatores que influem no coeficiente de permeabilidade do solo 20
1.8 Extensão da lei de Darcy para o caso de fluxo tridimensional 21
1.9 Permeabilidade em extratos estratificados 21
1.10 Lei de fluxo generalizada (conservação da massa) 23
1.11 Capilaridade nos solos 27
2. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 30
2.1 Introdução 30
2.2 Compressibilidade dos solos 30
2.3 Ensaio de compressão confinada 31
2.4 Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada 33
2.5 Cálculo dos recalques totais em campo 39
2.6 Analogia mecânica do processo de adensamento proposta por Terzaghi 42
2.7 Teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi 46
2.8 Obtenção dos valores de Cv. 51
2.9 Deformações por fluência no solo 53
2.10 Aceleração dos recalques em campo 54
3. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO 56
3.1 Introdução 56
3.2 Equação para fluxo estacionário e bidimensional 56
3.3 Métodos para resolução da equação de Laplace 59
3.4 Redes de fluxo 60
3.5 Fluxo de água através de maciços de terra 68
3.6 Fluxo de água através de maciços de terra e fundações permeáveis 74
3.7 Fluxo de água através de maciços anisotrópicos 74
3.8 Fluxo de água em meios heterogêneos 77
4. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 80
4.1 Introdução 80
4.2 O conceito de tensão em um ponto 82
4.3 Círculo de Mohr 83
4.4 Resistência dos solos 86
4.5 Ensaios para a determinação da resistência ao cisalhamento dos solos 87
4.6 Características genéricas dos solos submetidos à ruptura 93
4.7 Trajetórias de tensões 105
4.8 Aplicação dos resultados de ensaios a casos práticos 108

3. 3
5. EMPUXOS DE TERRA 111
5.1 Introdução 111
5.2 Coeficientes de empuxo 111
5.3 Método de Rankine 115
5.4 Método de Coulomb 118
5.5 Aspectos gerais que influenciam na determinação do empuxo 123
5.6 Estruturas de arrimo 125
6. ESTABILIDADE DE TALUDES 145
6.1 Introdução 145
6.2 Métodos de análise de estabilidade 147
6.3 Considerações gerais 163
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 165

4. 4
NOTA DOS AUTORES
Este trabalho foi desenvolvido apoiando-se na estruturação e ordenação de tópicos
já existentes no Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais (DCTM),
relativos à disciplina Mecânica dos Solos. Desta forma, a ordenação dos capítulos
do trabalho e a sua lógica de apresentação devem muito ao material desenvolvido
pelos professores deste Departamento, antes do ingresso do professor Sandro
Lemos Machado à UFBA, o que se deu em 1997.
Vale ressaltar também que o capítulo de origem e formação dos solos, cujo
conteúdo é apresentado no volume 1 deste trabalho, tem a sua fundamentação no
material elaborado, com uma enorme base de conhecimento regional, pelos
professores do DCTM e pelo aluno Maurício de Jesus Valadão, apresentado em
um volume de notas de aulas , de grande valor didático e certamente referência
bibliográfica obrigatória para os alunos que cursam a disciplina Mecânica dos
Solos.

5. 5
1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS.
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Antes de iniciarmos uma exposição mais ou menos detalhada das bases teórica que se
dispõe para tratar dos problemas de fluxo de água no solo, é conveniente esclarecer as razões
pelas quais a resolução de tais problemas é de vital importância para o engenheiro geotécnico.
Ao se mover no interior de um maciço de solo, a água exerce em suas partículas sólidas forças
que influenciam no estado de tensões do maciço. Os valores de pressão neutra e com isto os
valores de tensão efetiva em cada ponto do solo são alterados em decorrência de alterações no
regime de fluxo. Na zona não saturada, mudanças nos valores de umidade do solo irão alterar
de forma significativa os seus valores de resistência ao cisalhamento. De uma forma geral, são
os seguintes os problemas onde mais se aplicam os conceitos de fluxo de água nos solos:
$
Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através
da zona de fluxo.
$
Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático
$
Problemas de colapso e expansão em solos não saturados
$
Dimensionamento de sistemas de drenagem
$
Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos
$
Previsão de recalques diferidos no tempo
$
Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo
(estabilidade de taludes).
$
Análise da possibilidades da água de infiltração produzir erosão, araste de material
sólido no interior do maciço, “piping”, etc.
Como se pode observar, o conhecimento das leis que regem os fenômenos de fluxo de
água em solos é aplicado nas mais diversas situações da engenharia. Um caso de particular
importância na engenharia geotécnica, o qual aplica diretamente os conceitos de fluxo de água
em solos, é o fenômeno de adensamento, característico de solos moles, de baixa
permeabilidade. Por conta dos baixos valores de permeabilidade destes solos, os recalques
totais a serem apresentados por eles, em decorrência dos carregamentos impostos, não
ocorrem de imediato, se apresentando diferidos no tempo. A estimativa das taxas de recalque
do solo com tempo, bem como a previsão do tempo requerido para que o processo de
adensamento seja virtualmente esgotado, são questões freqüentemente tratadas pelo
engenheiro geotécnico, o qual terá que utilizar de seus conhecimentos acerca do fenômeno de
fluxo de água em solos, para respondê-las. O capítulo 2 deste volume trata do tema
compressibilidade/adensamento.
A influência do fluxo de água na estabilidade das massas de solo se dá pelo fato de
que quando há fluxo no solo, a pressão a qual água está sujeita é de natureza hidrodinâmica e
este fato produz várias repercussões importantes. Em primeiro lugar, dependendo da direção
do fluxo, a pressão hidrodinâmica pode alterar o peso específico submerso do solo. Por
exemplo, se a água flui em sentido descendente, o peso específico submerso do solo é
majorado. Se o fluxo ocorre em uma direção ascendente, se exerce um esforço sobre as
partículas de solo o qual tende a diminuir o seu peso específico submerso. Em segundo lugar
e de acordo com o princípio das tensões efetivas de Terzaghi, conservando-se a tensão total
atuando em um ponto na massa de solo e modificando-se o valor da tensão neutra naquele
ponto, a sua tensão efetiva será modificada. Como já vimos anteriormente, a tensão efetiva é a
responsável pelas respostas do solo, seja em termos de resistência ao cisalhamento, seja em

6. 6
termos de deformações, o que vem a ilustrar ainda mais a importância dos fenômenos de
fluxo de água nos solos.
Conforme apresentado no capítulo 4 do volume 1 deste trabalho, a água no solo pode
se apresentar de diferentes formas, dentre as quais podemos citar a água adsorvida, a água
capilar e a água livre. A água adsorvida está ligada às superfícies das partículas do solo por
meio de forças elétricas, não se movendo no interior da massa porosa e portanto não
participando dos problemas de fluxo. O fluxo de água capilar apresenta grande importância
em algumas questões da mecânica do solo, tais como o umedecimento de um pavimento por
fluxo ascendente. Contudo, na maioria dos problemas de fluxo em solos, os efeitos da parcela
de fluxo devido à capilaridade são de pequena importância e podem ser desprezados,
principalmente se considerarmos as complicações teóricas adicionais que surgiriam se estes
fossem levados em conta. A água livre ou gravitacional é aquela que sob o efeito da gravidade
terrestre pode mover-se no interior do maciço terroso sem outro obstáculo senão aqueles
impostos por sua viscosidade e pela estrutura do solo.
Em uma massa de solo a água gravitacional está separada da água capilar pelo nível do
lençol freático. Nem sempre é fácil se definir ou localizar o nível do lençol freático. Na
prática, ao se efetuar uma escavação, o espelho de água que se forma após decorrido tempo
suficiente para o equilíbrio do fluxo, define o lençol freático. Tal superfície de separação,
porém, provavelmente não existe no solo adjacente, já que devido a natureza do solo em
questão deve haver solo totalmente saturado acima do espelho de água formado (ascensão
capilar).
O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos é realizado apoiando-se em três
conceitos básicos: conservação da energia (Bernoulli), permeabilidade dos solos (lei de
Darcy) e conservação da massa. Estes conceitos serão apresentados de forma resumida nos
próximos itens deste capítulo. Após a exposição dos mesmos será apresentada uma
formulação ampla, aplicável a todos os casos de fluxo de água em solos. Esta formulação é
então simplificada, de modo a considerar somente os casos de fluxo de água em solos
saturados, homogêneos e isotrópicos. Obedecendo-se estas restrições, são apresentadas as
equações utilizadas para os casos de fluxo bidirecional estacionário e fluxo unidirecional
transiente (teoria do adensamento de Terzaghi).
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O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado aos
alunos do curso de engenharia civil nas disciplinas de Física e Fenômenos dos Transportes.
Para fins de Geotecnia, contudo, é mais prático se utilizar o conceito de densidade de energia,
geralmente expressos em relação ao peso ou ao volume de fluido. A eq. 1.1 apresenta a
proposta de Bernoulli para representar a energia total em um ponto do fluido, expressa em
termos da razão energia/peso. A energia total ou carga total é igual à soma de três parcelas:
(carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + carga cinética).
u v2
htotal = z + +
γ w 2g (1.1)
Onde, htotal é a energia total do fluido; z é a cota do ponto considerado com relação a
um dado referencial padrão (DATUM); u é o valor da pressão neutra; v é a velocidade de
fluxo da partícula de água e g é o valor da aceleração da gravidade terrestre, geralmente
admitido como sendo igual a 10 m/s2.
Como se pode observar desta equação, este modo de expressar o teorema de Bernoulli
conduz à representação da energia específica do fluido em termos de cotas equivalentes,
possuindo a unidade de distância (m, cm, mm, etc.). Notar que a relação Joule/Newton
possui unidade de comprimento. Como será visto no próximo item deste capítulo, a

7. 7
representação da energia total de um fluido em termos de cotas equivalentes é preferível
quando do estudo de problemas envolvendo fluxo de água nos solos.
Para a grande maioria dos problemas envolvendo fluxo de água em solos, a parcela da
energia total da água no solo referente à energia cinética, termo (v2/2g), pode ser desprezada.
Isto faz com que a eq. 1.1 possa ser escrita de uma forma mais simplificada:
u
htotal = z +
γw (1.2)
A carga altimétrica (z) é a diferença de cota entre o ponto considerado e o nível de
referência. A carga piezométrica é a pressão neutra no ponto, expressa em altura de coluna
d`água.
A fig. 1.1 apresenta a variação das parcelas de energia de posição (z) e de pressão do
fluido (u/γw) em um reservatório de água em situação estática (sem a ocorrência de fluxo).
Conforme se pode observar desta figura, as parcelas de energia de posição (ou gravitacional) e
de pressão variam de tal forma a manter constante o valor do potencial total da água no solo.
Z
Nível do lençol freático
u = γw.zw, onde zw é a
Zw distância vertical do ponto
considerado até o nível do
lençol freático.
DATUM (z = 0)
h = u/γw +z
h u
z
Figura 1.1 - Variação das energias de posição, pneumática e total ao longo de um
reservatório de água em condições estáticas.
Conforme será visto no item seguinte deste capítulo, para que haja fluxo de água entre
dois pontos no solo, é necessário que a energia total em cada ponto seja diferente. A água
então fluirá sempre do ponto de maior energia para o ponto de menor energia total.
Costuma-se definir a energia livre da água em um determinado ponto do solo como a
energia capaz de realizar trabalho (no caso, fluxo de água). Considerando-se a condição
necessária para que haja fluxo no solo exposta acima, a energia livre poderia ser representada
pela diferença entre os valores de energia total nos dois pontos considerados da massa de solo.
Desta forma, caso o nível de referência (DATUM) apresentado na fig. 1.1 fosse modificado, o
valor da energia total em cada ponto também o seria, porém, a diferença entre as energias
totais permaneceria constante, ou seja, a energia livre da água entre os dois pontos
permaneceria inalterada, independente do sistema de referência.
No item seguinte deste capítulo, o termo htotal da equação de Bernoulli será
denominado de potencial total da água no solo e será representado pelo símbolo h.

8. 8
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No esquema apresentado na fig. 1.2a, a água se eleva até uma certa cota (h1) nos dois
lados do reservatório. O potencial total é soma da cota atingida pela água e a cota do plano de
referência. Nesse caso, o potencial total é o mesmo nos dois lados do reservatório (pontos F1 e
F2), portanto, não há fluxo. Somente ocorre fluxo quando há diferença de potenciais totais
entre dois pontos e ele seguirá do ponto de maior potencial para o de menor potencial.
Considerando-se o caso b da fig. 1.2, tem-se no lado esquerdo (ponto F1) maior potencial total
que no ponto F2, no lado direito. Dessa forma, a água está fluindo da esquerda para direita, ou
seja, de F1 para F2. Ocorrendo movimento de água através de um solo, ocorre uma
transferência de energia da água para as partículas do solo, devido ao atrito viscoso que se
desenvolve. A energia transferida é medida pela perda de carga e a força correspondente a
essa energia é chamada de força de percolação. A força de percolação atua nas partículas
tendendo a carregá-las, conseqüentemente, é uma força efetiva de arraste hidráulico que atua
na direção do fluxo de água.
h
h1 h1
h2
L L
F2
A A
F1 F1 FP F2
(a) (b)
Figura 1.2 – Forças de percolação.
Na fig. 1.2b, pode-se observar que a amostra de solo está submetida à força F1=γw.h1.A,
graças à carga h1 atuando do lado esquerdo do reservatório e que do lado direito, atua a força
F2=γw.h2.A
A força resultante, FP, dada pela diferença F1 – F2, que se dissipa uniformemente em
todo o volume de solo (A.L), é dada por:
Fp = F1 − F2 = γ w .A.( h1 − h2 ) Sendo, i= -∆h/L, temos:
Fp = γ w .V .i (1.3)
fp = γ w .i (fp: Força de percolação por unidade de volume)
A análise do equilíbrio de uma massa de solo sujeita à percolação da água admite dois
procedimentos distintos:
• Peso total (saturado) do solo + forças de superfície devido às pressões da água
intersticial;
• Peso efetivo (submerso) do solo + forças de percolação.
O primeiro procedimento envolve a consideração do equilíbrio da massa de solo como
um todo (sólido + água), ao passo que o segundo analisa as condições de equilíbrio apenas do

9. 9
esqueleto sólido do solo. Ambos são igualmente válidos e a aplicação de um ou outro depende
do problema a ser analisado, em termos de conveniência.
É interessante ressaltar, no segundo procedimento, as condições particulares de fluxos
ascendentes e descendentes de água. Uma vez que as forças de percolação atuam na direção
do fluxo, ocorre um acréscimo de pressões efetivas no caso de fluxo descendente e uma
redução das pressões efetivas no caso de fluxo ascendente, os seja:
γ ' =γ sub ± fp Fluxo descendente (+): γ` = γsub + γ w·i →
'
7
v
9 @8 A
su b B
A
w C
i dzC
Fluxo ascendente (-): γ` = γsub - γ w·i→ '
7
v
9 D8 A
su b E
A
w C
i dzC
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Ruptura hidráulica é o processo de perda da resistência e da estabilidade de uma massa
de solo por efeito das forças de percolação. Um primeiro tipo de ruptura hidráulica é aquele
em que a perda de resistência do solo decorre da redução das pressões efetivas devido a um
fluxo d`àgua ascendente. Nestas condições, a força de percolação gerada pode se igualar às
forças gravitacionais efetivas, desde que os gradientes hidráulicos sejam suficientemente
elevados. Assim, a resultante das forças efetivas será nula. A fig. 1.3 mostra um esquema
explicando como isso poderá ocorrer. Nesta figura, a areia está submetida a um fluxo
ascendente de água, ou seja, a água percola do ramo da esquerda para direita, em virtude da
diferença de carga h, que é dissipada pelo atrito viscoso desenvolvido entre a água e as
partículas sólidas, sendo portanto satisfeita a primeira condição para ocorrência do fenômeno
(fluxo ascendente).
h
h1 Areia
saturada
L
A
Figura 1.3 – Permeâmetro com fluxo ascendente – Areia movediça.
A segunda condição, conforme já exposto, consiste na verificação da condição de
tensão efetiva igual a zero (σ`=0) ou força de percolação igual ao peso submerso do solo
(Fp=Wsub). Fazendo o equilíbrio no Ponto A temos (pressão igual à tensão total):
Tensão total:
σA = γw.h1 + γsat. L (1.4)
Pressão neutra
uA = γw. (h1 +L + h) (1.5)
Igualando as equações 1.4 e 1.5 tem-se a eq. 1.6:

10. 10
hc γ sat − γ w
ic = =
L γw (1.6)
onde: ic é chamado gradiente hidráulico critico (aproximadamente igual a 1,0 para a
maioria dos solos). A condição i ≥ ic implica, portanto, em pressões efetivas nulas em
quaisquer pontos do solo.
No caso de solos arenosos (sem coesão), a resistência está diretamente vinculada às
pressões efetivas atuantes (s = σ` tg φ`). Atingida a condição de fluxo para ic, resulta uma
perda total da resistência ao cisalhamento da areia, que passa a se comportar como um líquido
em ebulição. Este fenômeno é denominado areia movediça. Nota-se, portanto, que a areia
movediça não constitui um tipo especial de solo, mas simplesmente, uma areia através da qual
ocorre um fluxo ascendente de água sob um gradiente hidráulico igual ou maior que ic.
A ocorrência de areia movediça na natureza é rara, mas o homem pode criar esta
situação nas suas obras, com maior freqüência. A fig. 1.4 apresenta duas situações em que
este fenômeno pode ocorrer. No caso (a) tem-se uma barragem construída sobre uma camada
de areia fina sobreposta a uma camada de areia grossa. A água do reservatório de montante
percolará, preferencialmente, pela areia grossa e sairá a jusante através da areia fina com
fluxo ascendente. No caso (b) tem-se uma escavação em areia saturada e rebaixamento do
nível de água para permitir a execução dos trabalhos.
Figura 1.4 – Condições de areia movediça criada em obras. Modificado de Pinto,
(2000).
Um outro tipo de ruptura hidráulica é aquele que resulta do carreamento de partículas
do solo por forças de percolação elevadas, sendo o fenômeno designado, comumente, pelo
termo em inglês “piping”(entubamento). Este fenômeno pode ocorrer, por exemplo, na saída
livre da água no talude de jusante de uma barragem de terra, onde as tensões axiais sendo
pequenas, resultam em valores baixos das forças de atrito interpartículas que, assim, tornam-
se passíveis de serem arrastadas pelas forças de percolação. Iniciado o processo, com o
carreamento de partículas desta zona do maciço, desenvolve-se um mecanismo de erosão
tubular regressiva, que pode levar ao colapso completo da estrutura.
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§ 4 ' § 3 # ! ' § % # ! § © § ¥ ¡
Devido aos graves problemas que podem resultar da ocorrência de forças de
percolação elevadas, torna-se imprescindível o controle destas forças em uma obra de terra.
Este controle pode ser feito, basicamente, por dois procedimentos distintos, sendo usual a

11. 11
adoção conjunta de ambos em um mesmo projeto, que são: redução da vazão de percolação e
adoção de dispositivos de drenagem.
A fig. 1.5 sintetiza as soluções clássicas para uma barragem de terra, que incorporam
os seguintes dispositivos para a redução da vazão de percolação: construção de tapetes
impermeabilizante a montante (1); construção de revestimentos de proteção do talude de
montante (2); zoneamento do maciço, com núcleo constituído de material de baixa
permeabilidade (3); construção de trincheira de vedação (cut off) , escavada na fundação e
preenchida com material de baixa permeabilidade (4); construção de cortina de injeção (5).
Adicionalmente, em termos de dispositivos de drenagem, podem ser adotadas as
seguintes soluções: execução de filtros verticais e inclinados (6); construção de tapetes
filtrantes (filtros horizontais), (7); zoneamento do maciço com material mais permeável na
zona de jusante (8); execução de drenos verticais ou poços de alívio (9); construção de
enrocamento de pé (10).
Figura 1.5 - Elementos para controle de forças de percolação.
Devido à percolação de água de um solo relativamente fino para um solo mais
granular (areias e pedregulhos), existe a possibilidade de carreamento das partículas finas para
o solo granular, com crescente obstrução dos poros e consequente redução da drenagem. Tal
condição ocorre, por exemplo, entre o material do maciço de uma barragem de terra e o
enrocamento executado no pé do talude de jusante (ver fig. 1.5). Há portanto, necessidade de
evitar estes danos mediante a colocação de filtros de proteção entre o solo fino passível de
erosão e o enrocamento de pé, os quais devem satisfazer duas condições básicas:
• Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente
pequenos para impedir o carreamento das partículas do solo adjacente a ser
protegido;
• Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente
grandes para garantir uma elevada permeabilidade e evitar o desenvolvimento
de altas pressões hidrostáticas.
A escolha do material de filtro, baseada nestes requisitos básicos, é feita a partir da
curva granulométrica do solo a ser protegido. Terzaghi propôs as seguintes relações:
D 15 f
4 a 5 D 85 s
D 15 4 a 5 D 15
¡
f s (1.7)

12. 12
sendo, f, o índice relativo ao material de filtro e, s, o índice relativo ao solo a ser protegido e
ainda, D(%), o diâmetro correspondente à porcentagem que passa, ou seja, semelhante as
definições de D10 e D60.
Na fig. 1.6 tem-se um exemplo de como escolher a curva granulométrica de um filtro,
para proteger um solo com curva granulométrica conhecida. Estabelecidos os limites para
D(15)f (pontos A e B), traçam-se, por estes pontos, curvas granulométricas de coeficiente de
uniformidade aproximadamente iguais ao solo a ser protegido, definindo-se, portanto, uma
faixa de granulometrias possível de atender às condições exigidas para o filtro de proteção.
Figura 1.6 - Escolha da faixa de variação granulométrica para filtros de proteção.
Modificado de Bueno Vilar, (1985).
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Conforme estudado na disciplina Fenômenos de Transporte, os problemas de fluxo
podem ser divididos em duas grandes categorias: fluxo (ou escoamento) laminar e fluxo
turbulento. No regime de fluxo laminar as partículas do fluido se movimentam em trajetórias
paralelas, uma não interferindo no movimento das outras. No regime de fluxo turbulento, as
trajetórias de fluxo são irregulares, cruzando-se umas com as outras de forma inteiramente
aleatória. Osborne Reynolds, em seu experimento clássico estudando fluxo em condutos
fechados, estabeleceu um limite inferior de velocidade no qual o fluxo muda as suas
características de laminar para turbulento. Este limite é denominado de velocidade crítica, e
os fenômenos de fluxo que ocorrem com valores de velocidade abaixo da velocidade crítica
são considerados como pertencentes a categoria de fluxo laminar, caso contrário, são tratados
como problemas de fluxo turbulento. No caso de fluxo laminar de água no solo, a resistência
ao fluxo é devida principalmente à viscosidade da água e as condições de contorno do
problema possuem menor importância. A velocidade critica de escoamento, vc, é governada
por um número admensional, denominado de número de Reynolds (R). A eq. 1.8 apresenta a
expressão utilizada para o cálculo do número de Reynolds. Verifica-se experimentalmente
que a velocidade crítica para escoamento em tubos corresponde a um número de Reynolds de
aproximadamente 2000.
v ⋅D
R=
ν (1.8)

13. 13
Onde: v é a velocidade de fluxo do fluido, D é o diâmetro do tubo e ν é a viscosidade
cinemática do fluido (expressa nas unidades L2/T).
É difícil se estudar as condições de fluxo para cada poro, de maneira individual dentro
do solo. Somente as condições médias existentes em cada seção transversal de solo podem ser
estudadas. Pode-se dizer, contudo, que para os tamanhos de poros geralmente encontrados nos
solos, o fluxo através dos mesmos é invariavelmente laminar. Somente para o caso de solos
mais grossos, como no caso dos pedregulhos, escoamento turbulento pode ocorrer, ainda
assim requerendo para isto altos valores de gradientes hidráulicos.
O engenheiro Francês H. Darcy realizou um experimento, o qual era constituído de um
arranjo similar àquele apresentado na fig. 1.7, para estudar as propriedades de fluxo de água
através de uma camada de filtro de areia. Este experimento, realizado em 1856, se tornou
clássico para as áreas de hidráulica e geotecnia e deu origem a uma lei que correlaciona a taxa
de perda de energia da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua velocidade de
escoamento (lei de Darcy).
z h
h1
∆h
h1
L i = -dh/dz
h2 h2
Figura 1.7 - Esquema ilustrativo do experimento realizado por Darcy.
No experimento apresentado na fig. 1.7, os níveis de água h1 e h2 são mantidos
constantes e o fluxo de água ocorre no sentido descendente através do corpo de prova.
Medindo o valor da taxa de fluxo que passa através da amostra (vazão de água), representada
pelo símbolo q, para vários valores de comprimento da amostra (L) e de diferença de
potencial total (∆h), Darcy descobriu que a vazão “q” era proporcional a razão ∆h/L (ou
gradiente hidráulico da água através da amostra, i). Isto é ilustrado na eq. 1.9 apresentada
adiante.
∆h
q = −k ⋅ ⋅ A = k ⋅i⋅ A
L (1.9)
Na eq. 1.9, k é uma constante de proporcionalidade denominada de coeficiente de
permeabilidade do solo. Quanto maior o valor de k, maior vai ser a facilidade encontrada pela
água para fluir através dos vazios do solo. O coeficiente de permeabilidade, k, tem dimensão
de velocidade (L/T), e pode ser definido como a velocidade de percolação da água no solo
para um gradiente hidráulico unitário. A é o valor da seção transversal da amostra de solo
perpendicular à direção do fluxo.
No lado direito da fig. 1.7 está representada a variação do potencial total da água em
função da cota (z) da água no experimento. Conforme apresentado nesta figura, o valor do

14. 14
potencial total da água é constante (e igual a h1) até que a água comece a fluir dentro da
amostra de solo, passando a h2 na outra extremidade da amostra (extremidade inferior).
Considerando-se a amostra de solo como homogênea, pode-se admitir uma variação linear do
potencial total da água dentro da amostra (valores de gradientes hidráulicos (i) constantes).
Em outras palavras, as perdas de carga eventualmente ocorrendo no exterior da massa de solo
são desprezadas.
A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo de prova (A) indica a velocidade
com que a água percola no solo. O valor da velocidade de fluxo da água no solo (v), é dado
pela eq. 1.10, apresentada a seguir.
∆h
v = −k ⋅ = k⋅i
L (1.10)
Esta velocidade é chamada de velocidade de descarga (v). A velocidade de descarga é
diferente da velocidade real da água nos vazios do solo. Isto ocorre porque a área efetiva que
a água tem para percolar na seção de solo não é dada pela área transversal total da amostra
(A), mas sim pela sua área transversal de vazios. Aplicando-se as noções desenvolvidas em
índices físicos pode-se admitir que a relação entre a área transversal de vazios e a área
transversal total seja dada pela porosidade do solo (n). Deste modo, a velocidade de
percolação real da água no solo é dada pela eq. 1.11. Como os valores possíveis para a
porosidade do solo estão compreendidos entre 0 e 1, percebe-se que a velocidade de
percolação real da água no solo é maior do que a velocidade de descarga. Apesar disto, devido
a sua aplicação prática mais imediata, a velocidade de descarga é a velocidade empregada na
resolução de problemas envolvendo fluxo de água em solos.
v
v real =
n (1.11)
($!¦¦¦ ¦¨¦¤£ ¢
' % # § § § © § ¥ ¡ ¡
A lei de Darcy para o escoamento da água no solo é válida somente para os casos de
fluxo laminar. Pesquisas efetuadas posteriormente a postulação da lei de Darcy demostraram
que o valor limite do número de Reynolds para o qual regime de fluxo muda de laminar para
turbulento no solo se situa entre 1 e 2. Esta enorme diferença entre o número de Reynolds
crítico para escoamentos em condutos forçados e no solo deve-se ao fato de que no solo os
canalículos ligando os diversos poros em seu interior são irregulares, tortuosos e mesmo
eventualmente não contínuos.
I2 ¤QI¦¦ © G¤ED!A@8 4% (6431) ¢
H © 2 P H 2 § F § C # B 9 7 5 2 0 ¡ ¡
Poucas propriedades em engenharia (senão nenhuma) podem variar em tão largas
faixas para um “mesmo material” quanto o coeficiente de permeabilidade dos solos. A fig. 1.8
ilustra valores de permeabilidade típicos para diversos tipos de solo. Conforme se pode
observar da fig. 1.8, a depender do tipo de solo podemos encontrar valores de coeficientes de
permeabilidade da ordem de 10 cm/s (solos grossos, pedregulhos) até valores tão pequenos
quanto 1 x 10-10 cm/s. É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices de
vazios geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores de
coeficiente de permeabilidade bastante inferiores a estes.

15. 15
Valores típicos:
cm/s
102 10 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10
Pedregulho Areia Areia fina, silte e mistura de Argila
argila com ambos
Figura 1.8 - Faixas de variação de valores do coeficiente de permeabilidade para
diferentes tipos de solo.
Os solos, quando não saturados, apresentam coeficientes de permeabilidade menores
do que quando saturados. Considerando-se dados experimentais, pode-se atribuir a solos com
grau de saturação de 90% coeficientes de permeabilidade da ordem de 70% do correspondente
ao estado saturado. Esta diferença não pode ser atribuída exclusivamente ao menor índice de
vazios disponível, pois as bolhas de ar existentes são um obstáculo ao fluxo. Neste caso, a
situação da água na interface água/ar das bolhas é parcialmente responsável pela diferença.
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E H ' 1 1 C ' 0 ' 9 6 5 1 0 ' © ' % © § ¥ ¡ ¡
A avaliação da permeabilidade de um solo pode ser feita diretamente, através de
ensaios de campo e laboratório ou indiretamente, utilizando-se de correlações empíricas.
A determinação do coeficiente de permeabilidade em laboratório é conceitualmente
muito simples, mas os ensaios são de difícil realização. Os ensaios de campo não são tão bem
controlados como os de laboratório, porém resultam do comportamento dos maciços de solo,
isto é, na maneira como se encontram na natureza, enquanto que a validade dos resultados de
laboratório são função da qualidade e da representatividade das amostras utilizadas nos
ensaios.
B7c bSD`QY7¤ 8WQVUSR¤£ ¢
1 a 0 ' ' X 5 E ' T ¡ ¡ ¡
Os solos granulares podem ter o seu coeficiente de permeabilidade estimado
utilizando-se os resultados de ensaios para a determinação de sua granulometria. Para estes
solos, uma boa indicação do coeficiente de permeabilidade é dada pela equação de Hazen, a
qual correlaciona o coeficiente de permeabilidade do solo com o diâmetro efetivo (d10) de sua
curva granulométrica. Esta equação, proposta por Hazen (1911), deve ser usada somente para
os casos de areia e pedregulho, com pouca ou nenhuma quantidade de finos.
k = C ⋅ d 10
2
(1.12)
Para k expresso em cm/s e o diâmetro efetivo expresso em cm, temos 90 C 120
sendo o valor de C = 100 muito usado. Outra equação também utilizada na estimativa de
valores de coeficientes de permeabilidade é a fórmula de Sing:
e = α + β log(k ) (1.13)
Onde α = 10β e β = 0,01⋅IP + δ. δ é uma constante do solo, geralmente adotada
como igual a 0,05. Na eq. 1.13 k é expresso em cm/s.
A proporcionalidade entre k e d102, adotada na fórmula de Hazen, tem respaldo em
dedução de fluxo de água através de tubos capilares. Recomenda-se que o coeficiente de
uniformidade do solo (Cu) seja menor que 5, para a utilização desta relação. Deve se notar que
na equação proposta por Hazen o diâmetro equivalente dos vazios das areias, e, portanto, a

16. 16
sua permeabilidade, é determinada pela sua fração mais fina, pouco interferindo a sua fração
granulométrica mais grossa.
Duas outras equações que se aplicam à avaliação da permeabilidade em meios porosos
são as de Taylor (eq. 1.14) e a de Kozeny-Carman (eq. 1.15):
e3
¢
k C D2 ¡ w (1.14)
£
1 e
¤
e3
¦
w 1 (1.15)
k ¥
§
1 ¨ e ko S2 ©
Sendo: e = índice de vazios do solo, γw = peso específico do fluido, µ= viscosidade do
fluido, ko = fator que depende da forma dos poros e da tortuosidade da trajetória da linha de
fluxo, S= superfície específica, D = diâmetro de uma esfera equivalente ao tamanho dos grãos
do solo, C = fator de forma.
F7E8CBA112 87641($
2 5 @ D # ) 5 @ 0 @ 0 9 # ) 5 3 2 0 ) ' % # !
Conforme será apresentado no capítulo 2, através do ensaio de adensamento e
fazendo-se uso da teoria da consolidação unidirecional de Terzaghi, pode-se estimar o
coeficiente de permeabilidade dos solos através da eq. 1.16. Nesta equação, av é o coeficiente
de compressibilidade do solo (expresso em termos de m2/kN), Cv é o seu coeficiente de
adensamento (expresso em termos de m2/s), γw é o peso específico da água, (expresso em
termos de kN/m3) e eo é o índice de vazios inicial da amostra. Neste caso, k é expresso em
m/s.
av ⋅ Cv ⋅ γ w
k=
1 + eo (1.16)
Uma outra forma de se obter o coeficiente de permeabilidade do solo durante o ensaio
de adensamento é realizando-se um ensaio de permeabilidade a carga variável, através da
célula edométrica, entre dois estágios de carregamento. Isto é feito principalmente quando se
deseja agilizar a obtenção de resultados e estudar a variação do coeficiente de permeabilidade
do solo com o seu índice de vazios.
G
SF(ERE$BPIB1($
) 2 ! @ D Q @ D ! @ H @ 0 ) ' % # !
São os ensaios de laboratório mais utilizados. A seguir são apresentados, de modo
sucinto, os métodos empregados na realização de cada tipo de ensaio.
f7e$SCRbdFbaBY$(XREWVPUTG
@ 5 # ) 5 2 ` # c ! # ` @ 0 2 ! @ D Q @ D ! @ H
O esquema montado para a realização deste ensaio se assemelha em muito com aquele
elaborado por Darcy para a realização de sua experiência histórica (fig. 1.7) sendo
reapresentado na fig. 1.9. Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis d’água são
mantidos constantes e com diferença de altura (∆H), como demonstra a fig. 1.9. Medindo-se a
vazão q e conhecendo-se as dimensões do corpo de prova (comprimento L e a área da seção
transversal A), calcula-se o valor da permeabilidade, k, através da eq. 1.17.
q k i a
g h h q vol t
i p vol k i a t
g h h h i r sq H L
t

17. 17
Deste modo temos:
vol L
¡
k ¢ £¡ ¡ (1.17) em que:
A H t
vol: quantidade de água medida na proveta
L: comprimento da amostra medido no sentido do fluxo
A: área da seção transversal da amostra
∆H: diferença de nível entre o reservatório superior e inferior
t: tempo medido entre o início e o fim do ensaio
O permeâmetro de carga constante é sempre utilizado toda vez que temos que medir a
permeabilidade em solos granulares (solos com razoável quantidade de areia e/ou
pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados.
∆H
∆L
Figura 1.9 - Esquema utilizado no ensaio de permeabilidade a carga constante.
¨$CA $)98¨65431)($!¨ © ¨§ ¦¥¤
D B @ 2 7 2 2 0 ' %# ¥ ¥ ¥
O permeâmetro de carga variável é usado quando ensaiamos solos com baixos valores
de permeabilidade. Seu uso é requerido porque senão teríamos que dispor de um tempo muito
longo para percolar a quantidade de água necessária para a determinação de k com o uso do
permeâmetro de carga constante. Além disto, devido às baixas velocidades de fluxo, a
evaporação da água para a atmosfera passa a ter grande importância e cuidados especiais
devem ser tomados durante a realização dos ensaios. A fig. 1.10 apresentada a seguir ilustra o
esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a carga variável.
No ensaio de permeabilidade a carga variável medem-se os valores de h obtidos para
diversos valores de tempo decorrido desde o início do ensaio (notar que a diferença de
potencial entre os dois lados da amostra, aqui representada por h(t), não é mais uma
constante). São também anotados os valores de temperatura quando da efetuação de cada
medida. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo-se uso da lei de
Darcy e levando-se em conta que a vazão de água através do corpo de prova pode ser
representada pela eq. 1.18 (conservação da massa), apresentada adiante.

18. 18
Carga variável (solos finos)
a
h = f(t)
L
A
Figura 1.10 - Esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a
carga variável.
dh
q = −a
dt (1.18)
A lei de Darcy pode ser expressa em termos de vazão pela eq. 1.19, apresentada a
seguir.
h
q=k⋅ ⋅A
L (1.19)
Igualando-se as expressões 1.18 e 1.19 chega-se a eq. 1.20, apresentada abaixo.
h1 t1
¢
dh kA ¢
(1.20) onde, integrando-se obtém-se:
a ¡ ¡
dt
ho h L to
ho k.A explicitando-se o valor de k, obtém-se:
a. ln t
h1 £
L ¤
a.L ho ou a.L ho (1.21)
k ln k 2,3. log
h1 h1
¥ ¥
A. t ¦ § A. t
¦ §

19. 19
Sendo;
a: área interna do tubo de carga
A: seção transversal da amostra
L: altura do corpo de prova
ho: distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior
h1: distância, para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior
∆t: intervalo de tempo para o nível d`água passar de ho para h1
'¤#¤ ¦¨¦¥ ¤£ ¢
% $ ! © § ¡ ¡ ¡
Geralmente utilizados em furos de sondagens, podem ser realizados pela introdução de
água no furo de sondagem, medindo-se a quantidade de água que infiltra no maciço com o
decorrer do tempo de ensaio ou retirando-se água de dentro do furo e medindo-se a vazão
bombeada. O primeiro procedimento constitui o ensaio de infiltração e o segundo é conhecido
por ensaio de bombeamento. A fig. 1.11 apresenta o esquema utilizado no ensaio de
bombeamento. Neste ensaio, uma vazão constante de retirada de água (q) é imposta ao poço
filtrante esperando-se o equilíbrio do nível de água no fundo do poço. Poços testemunhas são
abertos a certas distâncias (x1 e x2) do poço filtrante, anotando-se as profundidades do lençol
freático nestes poços. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo-se
uso da eq. 1.22, apresentada adiante.
Figura 1.11 - Esquema utilizado no ensaio de bombeamento.
 x2 
q ⋅ ln  
k=  x1 
(
π ⋅ y 2 − y1 2
2
) (1.22)
O ensaio de tubo aberto (infiltração) é utilizado para solos mais finos e a determinação
do coeficiente de permeabilidade é feita enchendo-se um furo revestido (escavado até uma
profundidade determinada, abaixo do lençol freático) com uma determinada quantidade de
água e deixando-se a água percolar pelo solo, fig. 1.12. Durante o processo de infiltração são
realizadas leituras do nível de água no revestimento do furo e do tempo decorrido desde o
início do ensaio. O coeficiente de permeabilidade para o caso do ensaio de infiltração é
calculado com o uso da eq. 1.23, apresentada adiante.

20. 20
 r1   ∆h 
k =  ⋅ 
 4h   ∆t  (1.23)
Os ensaios de campo para a determinação do coeficiente de permeabilidade do solo, se
realizados com perícia, tendem a fornecer valores de coeficiente de permeabilidade mais
realísticos, já que são realizados aproximadamente na mesma escala do problema de
engenharia e levam em conta os eventuais “defeitos” do maciço de solo (fraturas, anisotropia
do material, não homogeneidade, etc.). Os ensaios de laboratório, embora realizados com
maior controle das condições de contorno do problema, utilizam em geral amostras de solo de
pequenas dimensões, que deixam a desejar quanto a representatividade do maciço. Maiores
detalhes sobre a realização de ensaios de permeabilidade em campo são obtidos em De Lima
(1983) e ABGE (1981).
Figura 1.12 - Esquema ilustrativo do ensaio de infiltração.
PA$D¨A@ H) GDE0DCA( 39 836532 0($!¨¦¤£ ¢
) I @ @ § 7 7 F § 1 B @ © % 7 7 ' 4 % 1 ) ' % # © § ¥ ¡ ¡
Além de ser uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de valores, o
coeficiente de permeabilidade de um solo é uma função de diversos fatores, dentre os quais
podemos citar a estrutura, o grau de saturação, o índice de vazios, etc.
Quanto mais poroso é o solo maior será a sua permeabilidade. Essa correlação pode
ser visualizada através das equações 1.14 e 1.15. Deve-se salientar, contudo, que a
permeabilidade depende não só da quantidade de vazios do solo mas também da disposição
relativa dos grãos.
Amostras de um mesmo solo, com mesmo índice de vazios, tenderão a apresentar
permeabilidades diferentes em função da estrutura. A amostra no estado disperso terá uma
permeabilidade menor que a amostra de estrutura floculada. Este fator é marcante no caso de
solos compactados que, geralmente, quando compactados no ramo seco, apresentam uma
disposição de partículas (estrutura floculada) que permite maior passagem de água do que
quando compactados mais úmido (estrutura dispersa), ainda que com o mesmo índice de

21. 21
vazios. Solos sedimentares, os quais por sua gênese possuem uma estrutura estratificada,
geralmente apresentam fortes diferenças entre os valores de permeabilidade obtidos fazendo-
se percolar água nas direções vertical e horizontal, em uma mesma amostra (anisotropia
surgida em decorrência da estrutura particular destes solos). Quanto maior o grau de saturação
de um solo maior será sua permeabilidade, pois a presença de ar nos vazios do solo constitui
um obstáculo ao fluxo de água. Além disto, quanto menor o Sr, menor a seção transversal de
água disponível para a ocorrência do fluxo.
Além dos fatores relacionados acima, a permeabilidade também sofre influência das
características do fluido que percola pelos vazios do solo. A permeabilidade depende do peso
específico e da viscosidade do fluido (geralmente água). Essas duas propriedades variam com
a temperatura, entretanto, a variação da viscosidade é muito mais significativa do que o peso
específico (quanto maior a temperatura, menor a viscosidade e menor o peso específico da
água). É prática comum se determinar a permeabilidade a uma dada temperatura de ensaio e,
em seguida, corrigir o resultado para uma temperatura padrão de 20oC, através da fórmula:
¡
T
k 20
kT ¡
(1.24)
20
onde: kT e µT são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura de
ensaio e k20 e µ20, são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura padrão
(20oC).
£ W(! VU ¦# QTS(QP HF(EDBBA61$88643010('$ ¨¦¥ ¤¢
I % ) ) ) 5 R ! © I G # ! % C ! % 5 % @ 9 7 5 % 2 # ) % # ! © § £ £
A lei de Darcy pode ser estendida para o caso de fluxo tridimensional através da eq.
1.25 apresentada adiante. Para o caso de solo isotrópico (kx=ky=kz), a eq. 1.25 pode ser
simplificada, resultando na eq. 1.26.
c c c
X
kx h d ky h d ky h d
(1.25)
V ` aY c
b
i e c
b
j e c
b
k
x b
y b
z b
q q q
h h h
f
V h ig k p q i s Wp
r q rjTp s q k r tp
(1.26)
x y z
„7 ƒ‚ QEQW6BWQ0¦€0# yI ¦0Ew80116u ¤¢
! # % ) ) % 5 § ! 5 5 R U # % ) ) x % U 5 v £ £
Os depósitos de solos naturais podem exibir estratificação ou serem constituídos por
camadas com diferentes coeficientes de permeabilidade na direção vertical e horizontal. A
permeabilidade média do maciço dependerá da direção do fluxo em relação à orientação das
camadas. Dois casos podem ser facilmente considerados: fluxo na direção paralela à
estratificação e fluxo perpendicular à estratificação.
Fluxo paralelo aos planos das camadas do solo:
A fig. 1.13 mostra um esquema de fluxo paralelo à direção das camadas do solo. O
solo é constituído por camadas de material com coeficiente de permeabilidade diferentes (k1,
k2, kn). Na direção horizontal todas as camadas estão sujeitas ao mesmo gradiente hidráulico
(i). Como V=ki, e k é diferente para as camadas, então a velocidade de fluxo será diferente
para cada camada (V1= k1.i, V2=k2.i, Vn =kn.i).
Considerando um comprimento unitário na direção perpendicular ao plano do papel,
temos que área de fluxo de cada camada será h1, h2,....hn, respectivamente, e esta valerá h para
todas as camadas.

22. 22
q1
q2
h1 k1, i1
q3
h2 k2, i2 h
h3 k3, i3
Figura 1.13 – Fluxo paralelo aos planos das camadas.
A vazão total que passa pelo solo é soma da vazões em cada camada. Assumindo kx
como a permeabilidade média do solo, paralela à estratificação e aplicando a eq. 1.27
podemos determinar a permeabilidade média do maciço (eq. 1.28).
q Y q1 q 2 q3 £¢
¡ qn (1.27)
mas, k x ih ¤ k 1 ih 1 k 2 ih 2
¥ ¨§¥
¥ ¦ k n ih n
n
k i hi
kx © i 1 (1.28)
n
hi
i 1
Fluxo perpendicular aos planos das camadas do solo:
Um esquema de fluxo perpendicular à estratificação do maciço é apresentado na fig. 1.14.
Na direção vertical, sendo contínuo o escoamento, a vazão que passa através de cada camada
é a mesma e a perda de carga é diferente em cada uma delas (∆h1, ∆h2, ∆hn). Desde que a
vazão é constante em todas as camadas e a área da seção transversal ao fluxo é a mesma, a
velocidade de fluxo também será a mesma em todas as camadas. Considerando-se ainda que
h1, h2, hn, são a espessura de cada camada de solo e k1, k2, kn, os coeficientes de
permeabilidade de cada camada, podemos escrever a equação da permeabilidade média na
direção vertical (kz), eq. 1.29:
q Y q1 Y q2 Y q3 Y
¡ Y qn
VzA Y V 1 A1 Y V 2 A2 Y
¡ Y V n An ou Vz V1 V2 £
Vn
h h1 h2 hn
Vz kz hi
k1 h1 k2 h2 ¨
kn hn
Se a perda de carga total ∆h é dado pelo somatório das perdas de cargas através de
cada uma das camadas e o coeficiente de permeabilidade do conjunto é kz, ter-se-á:

23. 23
h
h1
h2
h3
hn ou
Y
¡ ¡ ¤£¡
¡ ¢
¥
Vz hi V 1 h1 V 2 h2 V n hn
kz ¦ k1 k2 § ©§
§ ¨ kn
n
hi
kz i 1
(1.29)
n
hi
i 1 ki
q
h1 k1, i1
h2 k2, i2 h
h3 k3, i3
Figura 1.14 – Fluxo perpendicular aos planos das camadas.
G3F E$%DC%A@87531 %)%'%#!
CC 0 B9 6 42 0( $
A seguir é apresentado um tratamento matemático sumário o qual permite chegar de
uma forma direta às equações básicas que se utilizam hoje para tratar dos problemas
envolvendo fluxo de água em solos. Considere-se uma região de fluxo (ou seja, uma região de
solo por onde há fluxo de água) a qual forma um elemento paralelepipédico infinitesimal de
dimensões dx, dy e dz (fig. 1.15).
Figura 1.15 – Movimento de água na direção y através da região de solo
considerada.

24. 24
Na fig. 1.15 está representada a parcela de fluxo através do elemento de solo
considerado, correspondente a componente da velocidade de fluxo da água na direção y, vy.
Deve-se notar da análise da fig. 1.15 que a componente vy da velocidade da água não provoca
nenhum fluxo através das outras quatro faces do elemento de solo (vy está contida nos outros
dois planos ortogonais do paralelepípedo). Desta forma, a quantidade de fluxo que passa pela
face cujo centro tem coordenadas (x,y,z) pode ser dada pela eq. 1.30, apresentada adiante. Na
eq. 1.30, vy é a componente do fluxo na direção y e o produto dx⋅dz corresponde ao valor da
área pela qual o fluxo está ocorrendo. Deve-se notar ainda que o símbolo qy tem unidade de
vazão, isto é, é expresso em termos de L3/T.
qy (y ) = Vy (y ) ⋅ dz ⋅ dx
(1.30)
Para a outra face do elemento de solo a qual sofre a influência do fluxo de água
provocado por vy, o centro da área de fluxo tem coordenadas (x,y+dy,z). A velocidade de
fluxo na direção y não é mais necessariamente vy, devendo ser melhor representada por
vy+dvy. dvy representa a variação da velocidade de fluxo na direção y, devido a variação
espacial da coordenada do centro da face de fluxo, dy. A eq. 1.31 representa a quantidade de
fluxo passando pela outra face do elemento de solo
q y ( y+ dy ) = V y (y +dy ) ⋅ dz ⋅ dx = ( y + dVy )⋅ dz ⋅ dx
V
(1.31)
A taxa de armazenamento de água no solo devida a componente da velocidade de
fluxo na direção y será dada pela diferença entre as quantidades de fluxo que passam pelas
duas faces aqui consideradas (diferença entre os termos dados pelas eqs. 1.31 e 1.30). A eq.
1.32 representa a taxa de armazenamento da água no solo devido a componente de fluxo na
direção y. O sinal negativo na eq. 1.32 significa que para haver o acúmulo de água no solo a
componente da velocidade na direção y, na face de saída, deve ser menor do que na face de
entrada.
dq y ¡
dv y dx dz
¢ ¢
(1.32)
dvy pode ser calculado fazendo uso do conceito de diferencial total (eq. 1.33). Deve-se
notar que os centros das faces consideradas possuem as mesmas coordenadas z e x, de modo
que dz = dx = 0. Deste modo, o termo dvy pode ser representado pela eq. 1.34. Substituindo-se
a eq. 1.34 na eq. 1.32 chega-se a eq. 1.35, apresentada adiante.
∂V y ∂Vy ∂Vy
dV y = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
(1.33)
0 0
∂Vy
dVy = dy
∂y (1.34)
¥
¤
V y (1.35)
dq y £
¥
¦
dx dy dz
¦ ¦
y
A taxa de armazenamento total da água no solo será dada pelas contribuições do fluxo
nas três direções: x, y e z (eq. 1.36). Seguindo-se o mesmo procedimento apresentado para o
caso da direção y, pode-se mostrar que a taxa de armazenamento total da água no solo é dada
pela eq. 1.37, apresentada adiante (lei de conservação da massa).

25. 25
dqtotal = dqx + dqy + dqz (1.36)
¢ Vx
¢ Vy
¢ Vz
dq total ¢ ¡ x
¢ £ y
¢ £ z
¤ ¤ ¤
dx dy dz (1.37)
O termo dx⋅dy⋅dz representa o volume do elemento infinitesimal de solo considerado.
Deste modo, podemos exprimir a taxa de armazenamento total da água no solo, em relação ao
próprio volume do elemento infinitesimal, pela eq. 1.38.
dq total
¥ Vx
¥ Vy
¥ Vz
dv
¥ ¡ x
¥ £ y
¥ £ z
(1.38)
Por sua vez, o termo dqtotal/dv pode ser expresso como uma função dos índices físicos
do solo. A fig. 1.16 apresenta um diagrama de fases para o elemento de solo considerado, em
termos de índice de vazios. Conforme se pode observar do diagrama de fases apresentado
nesta figura, a relação volume de água/volume total do elemento de solo é dada por
Sr⋅e/(1+e), onde e é o índice de vazios inicial da amostra e Sr o seu grau de saturação. O
termo dqtotal/dv corresponde a variação da relação Sr⋅e no tempo, dividida pelo volume
infinitesimal de solo, podendo ser representado pela eq. 1.39. Igualando-se as Equações 1.38 e
1.39 chega-se a eq. 1.40, a qual atende aos requerimentos impostos pelo princípio da
conservação da massa de água no solo.
¦ Sr e § dq total
¦ © (1.39)
t 1 e ¨ dv
Vx
Vy
Vz
Sr e (1.40)
t 1 e
x
y
z
Pesos Volumes
0 Ar
e
γw⋅Sr⋅e Água Sr⋅e 1+e
γs Solo 1
Figura 1.16 – Diagrama de fases para o elemento de solo considerado.
A eq. 1.25 apresentada anteriormente representa a lei de Darcy aplicada para um caso
de fluxo tridimensional. Da eq. 1.25 pode-se deduzir as igualdades apresentadas na eq. 1.41,
mostrada adiante.
h
h
h
Vx ¡ kx ;V ¡ ky ;V z ¡ kz (1.41)
y
x y z
Substituindo-se os termos apresentados na eq. 1.41 dentro da eq. 1.40 chega-se a eq.
1.42, apresentada adiante, a qual representa a equação geral para o caso de fluxo de água em
solos.

26. 26
kx ¡ h
ky ¡ h
kz ¡ h
Sr e ¡
x
y
z (1.42)
£
t 1 e x y z
¢ ¢
¢
Para o caso de fluxo em solo não saturado, heterogêneo e anisotrópico, tanto os
valores dos coeficientes de permeabilidade em cada direção (kx, ky e kz) quanto os valores do
potencial total da água no solo serão dependentes das coordenadas do ponto considerado e do
grau de saturação do solo, de modo que a resolução analítica da eq. 1.42 se torna bastante
árdua, senão impossível. Deve-se ressaltar, contudo, que com o desenvolvimento das técnicas
computacionais de representação do contínuo (como o método dos elementos finitos, por
exemplo), a resolução de tais problemas se tornou possível, em tempo viável, para uma
enorme variedade de condições de contorno. Para o caso de fluxo de água em solo saturado,
homogêneo e isotrópico, a eq. 1.42 é reduzida a eq. 1.43 apresentada a seguir.
¤
2 2 2
Sr e
¤ ¤ ¤
h h h (1.43)
k
¥
§
2 2 2
¤
t 1 e
¥ ¦ ¦
¤ ¤ ¤
¦
x y z
A eq. 1.43 é utilizada na resolução de dois tipos de problemas fundamentais para a
mecânica dos solos envolvendo fluxo de água: Fluxo bidimensional estacionário (fluxo
estacionário, do inglês “steady state flow”) e a teoria do adensamento unidirecional de
Terzaghi (Fluxo transiente, do inglês “transient flow”). Diz-se que o movimento de água no
solo está em um regime estacionário quando todas as condições no domínio do problema não
mudam com o tempo. No caso da eq. 1.43 para fluxo estacionário, o índice de vazios do solo
é uma constante, de modo que esta equação pode ser rescrita (considerando-se o fluxo
somente em duas direções) como a eq. 1.44.
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2 ¤
2 ¤
2
h h h (1.44)
k 2
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0
y2 z2
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x
A resolução analítica da eq. 1.44 nos fornece duas famílias de curvas ortogonais entre
si (linhas de fluxo e linhas equipotenciais). Além de ser resolvida analiticamente, a eq. 1.44
pode ser resolvida utilizando-se uma grande variedade de métodos, como o método das
diferenças finitas, o métodos dos elementos finitos, através de modelos reduzidos ou através
de analogias com as equações que governam os problemas de campo elétrico ou
termodinâmicos. Os métodos mais utilizados para a resolução da eq. 1.44 são apresentados no
capítulo 3 deste volume. A título ilustrativo, a fig. 1.17 apresenta a resolução de um problema
de fluxo de água através da fundação de uma barragem de concreto contendo uma cortina de
estacas pranchas em sua extremidade esquerda. Notar a ortogonalidade entre as linhas de
fluxo e as linhas equipotenciais encontradas na resolução do problema.
Diz-se que o movimento de água no solo está em um regime transiente quando as
condições de contorno do problema mudam com o tempo. Neste caso, o valor do índice de
vazios do solo irá mudar com o desenvolvimento do processo de fluxo. Um dos casos mais
importantes de fluxo transiente em solos saturados é o caso da teoria do adensamento
unidirecional de Terzaghi, estudada no capítulo seguinte. Para o caso de fluxo transiente
unidirecional a eq. 1.43 se transforma na eq. 1.45 apresentada a seguir.
2
Sr e
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h
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k (1.45)
t 1 e z2
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27. 27
Figura 1.17 – Esquema ilustrativo de resolução de um problema de fluxo estacionário
bidimensional. Modificado de Holtz Kovacs, (1981).
Como veremos no capítulo seguinte, as variações no potencial total da água no solo,
para o caso do adensamento, serão provocadas por carregamentos externos aplicados na
superfície do terreno, sob determinadas condições de contorno. Os carregamentos aplicados
ao solo irão fazer surgir excessos de pressão neutra, os quais tenderão a se dissipar pela
expulsão da água presente nos vazios do solo (diminuição do seu índice de vazios).
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Neste item é feita uma revisão sumária de alguns conceitos envolvendo o fenômeno da
capilaridade em solos. O assunto capilaridade já deve ser do conhecimento dos alunos deste
curso de mecânica dos solos, sendo normalmente estudado nas disciplinas de física aplicada.
Para o estudo da ascensão da franja capilar nos solos, os seus vazios são associados a tubos
capilares interconectados, ainda que muito irregulares. Logo, a capilaridade se manifesta nos
solos pela propriedade que possuem os líquidos de poderem subir, a partir do nível do lençol
freático, pelos canais tortuosos do solo, formados pelos seus vazios.
No caso dos solos, o líquido o qual ascende além do nível freático é geralmente a
água, pura ou contendo alguma substância dissolvida. A explicação dos fenômenos capilares é
feita com base numa propriedade do solo associada com a superfície livre de qualquer líquido,
denominada tensão superficial. A tensão superficial resulta da existência de forças de atração
de curto alcance entre as moléculas, denominadas de forças de Van der Waals, ou
simplesmente forças de coesão. A distância limite de atuação destas forças, isto é, a distância
máxima que uma molécula consegue exercer atração sobre as outras, é conhecida pelo nome
raio da esfera de ação molecular ‘r’, que na água, não excede 5x10-6 cm.
Deste modo, qualquer molécula cuja esfera de ação não esteja totalmente no interior
do líquido, não se equilibra, porque a calota inferior da sua esfera de ação está repleta de
moléculas que a atrai, o que não acontece com a calota superior, que cai fora do líquido, e não
está cheia de moléculas como a inferior (vide fig. 1.18). Tais moléculas são atraídas para o
interior do líquido pela resultante destas forças de coesão não equilibradas. Evidentemente,
esta resultante é nula quando a molécula se encontra a uma distância ‘r’ ou maior que r da
superfície do líquido.

28. 28
Figura 1.18 - Forças intermoleculares, modificado de Libardi (1993).
Além disto, pela ação destas forças, a superfície do líquido se contrai minimizando sua
área, e adquire uma energia potencial extra que se opõe a qualquer tentativa de distendê-la, ou
seja, ocorrendo uma distensão, a tendência da superfície é sempre voltar a sua posição
original. Baseando-se nestas observações, a superfície ativa do líquido é também chamada de
membrana contrátil.
Quando a membrana contrátil de um líquido se apresenta curva, pelo fato da mesma
possuir moléculas tracionadas, uma força resultante surge, sendo responsável por fenômenos
tais como a ascensão capilar. A curvatura do menisco por sua vez é função da intensidade da
força com que as moléculas do líquido são atraídas por outras moléculas do mesmo líquido,
pelo ar e pelas moléculas da superfície sólida eventualmente em contato com o líquido. A
formação de meniscos capilares é ilustrada na fig. 1.19, mostrada adiante.
Conforme podemos observar nesta figura, F1 representa a força resultante de atração
das partículas sólidas (em sua parte superior e inferior) sobre as moléculas de água que se
encontram no ponto P e F2 representa a resultante das forças de atração entre as próprias
moléculas do fluido. Desprezando-se a atração entre as moléculas de líquido e ar, caso F2 =
2F1, o menisco não apresentará curvatura, ou θ será de 90º. Caso F2 2F1, o menisco será
côncavo, ou seja, θ será menor que 90º (como no caso dos meniscos formados pela água e a
maioria das superfícies de contato). Caso F2 2F1, o menisco será convexo, ou seja, θ será
maior do que 90º (como nos casos dos meniscos formados pelo mercúrio e a maioria das
superfícies de contato).
F1 resultante
sólido
P
θ
F1 resultante
sólido
F2 resultante líquido
Figura 1.19 - Formação de meniscos capilares. modificado de Libardi (1993).
Imergindo-se a ponta de um tubo fino de vidro num recipiente com água, essa subirá
no tubo capilar até uma determinada altura, a qual será maior quanto mais fino for o tubo.

29. 29
Existirá sempre uma tensão superficial (Ts) no contato entre a água e o vidro, formando um
ângulo θ (cujo valor depende da relação entre as forças apresentadas na fig. 1.19), o qual é
também é conhecido como ângulo de molhamento ou de contato. Ts e θ assumirão valores
que dependerão do tipo de fluido e da superfície de contato em questão. No caso da água,
considerada pura e o vidro quimicamente limpo, na temperatura ambiente, Ts é
aproximadamente igual a 0,074 N/m e θ é igual a zero.
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Sob efeito da capilaridade, o movimento da água é contrário a atração da gravidade.
Essa ascensão da água nos solos é chamada de ascensão capilar e é bastante variável a
depender do tipo de solo.
No solos, a altura de ascensão depende do diâmetro dos vazios. Como estes são de
dimensões muito variadas, a superfície superior de ascensão não fica bem caracterizada,
sendo possível que bolhas de ar fiquem enclausuradas no interior do solo. Ainda assim, existe
uma altura máxima de ascensão capilar que depende da ordem de grandeza do tamanho
representativo dos vazios do solo. Para solos arenosos, a altura de ascensão capilar é da ordem
de centímetros, enquanto que em terrenos argilosos esta pode atingir dezenas de metros.
Cálculo da altura de ascensão capilar – O cálculo da altura de ascensão capilar é
feito através da forma de Laplace, representada pela eq. 1.46 mostrada a seguir. Nesta
equação, r1 e r2 são raios de curvatura ortogonais do menisco de água.
1 1 
σ = Ts  + 
 r1 r2  (1.46)
Caso o menisco de água seja esférico, temos r1=r2, o que, utilizando-se o esquema
apresentado na fig. 1.20, faz com que a equação de Laplace seja transformada na eq. 1.47,
utilizada para calcular a altura de ascensão capilar da água.
2 ⋅ Ts ⋅ cos(θ )
h=
γw ⋅r (1.47)
Figura 1.20 – Cálculo da altura de ascensão capilar da água.
O fenômeno da capilaridade é responsável pela falsa coesão das areias, quando estas
se encontram parcialmente saturadas. Em areias puras, areias de praias por exemplo, não há
aderência entre os seus grãos, seja no estado seco ou completamente saturado. Nota-se

30. 30
entretanto, que quando nessas areias existe um teor de umidade entre zero e a umidade de
saturação, surge um menisco entre os contatos dos grãos, que tende a aproximar as partículas
de solo. Essas forças de atração surgem em decorrência do fenômeno da capilaridade e são
responsáveis pela coesão aparente das areias
Nas argilas, quando secas, há uma diminuição considerável do raio de curvatura dos
meniscos, levando a um aumento das pressões de contato e a uma aproximação das partículas,
provocando o fenômeno da retração por secagem no solo. Durante o processo de secagem das
argilas, as tensões provocadas em decorrência da capilaridade podem se elevar a ponto de
provocar trincas de tração no solo. A fig. 1.21 ilustra o contato entre duas partículas esféricas
em um solo não saturado. Conforme se pode observar, a tensão superficial da água promove
uma tensão normal entre as partículas, que por atrito irá gerar uma certa resistência ao
cisalhamento, denominada freqüentemente de coesão aparente (o termo aparente se refere ao
fato de que o solo em seu estado saturado ou totalmente seco irá perder esta parcela de
resistência).
Figura 1.21 – Ação do menisco capilar no contato entre duas partículas esféricas
em um solo não saturado.