FENÓMENOS DE
TRANSPORTE
Análisis de la caída de agua en
una fuente esférica
Cabello Lara Víctor Daniel
Figueroa Salamanca ...
Problema
Determinar las ecuaciones que
describen la caída de un fluido
(agua) sobre la superficie esférica
de una fuente o...
Ecuación de movimiento en coordenadas
esféricas
En función de los gradientes de velocidad para un fluido
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Componente 𝜙
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𝑣 𝜙 =
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Resumen de Ecuaciones
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Gráfica
• Asignando valores arbitrarios a R, k y Ɵ y sustituyendo
los valores constantes, obtenemos la 𝑣 𝑀á𝑥:
• Especifica...
Gráfica
• Para generar la gráfica se introdujo el siguiente código en
Matlab con los datos especificados:
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Gráfica
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Fenomenos detransporte

  1. 1. FENÓMENOS DE TRANSPORTE Análisis de la caída de agua en una fuente esférica Cabello Lara Víctor Daniel Figueroa Salamanca María Carolina Flores Guadarrama Israel Serrano Villanueva Ivonne
  2. 2. Problema Determinar las ecuaciones que describen la caída de un fluido (agua) sobre la superficie esférica de una fuente ornamental. Análisis • Fluido newtoniano • Estado estacionario • Sin desplazamiento en r • Sin desplazamiento en Ɵ
  3. 3. Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes: Componente r Componente  rrr rrr r r g v senr v r v r v r v r p r vvv rsen vv r v r v v t v                                               2222 2 22 1 cot 222             g v senrsenr vv r v r p rr v r vvv rsen vv r v r v v t v rr r                                    22222 2 2 cos221cot
  4. 4. Donde nabla es                              2 2 222 2 2 2 111    senr sen senrr r rr Componente 𝜙 Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas                         cot r vv r vvv rsen vv r v r v v t v r r          g v senr v senrsenr v v p rsen r                22222 2 cos221
  5. 5. Análisis de componente r rrr rrr r r g v senr v r v r v r v r p r vvv rsen vv r v r v v t v                                               2222 2 22 1 cot 222 Debido a que no existe movimiento del fluido en la componente “r”, podemos eliminar la misma así como la velocidad en “r” y las diferenciales de velocidad en “r” para el resto de las componentes. z y
  6. 6. Análisis de componente Ɵ             g v senrsenr vv r v r p rr v r vvv rsen vv r v r v v t v rr r                                    22222 2 2 cos221cot Debido a que no existe movimiento del fluido en la componente “Ɵ”, podemos eliminar la misma así como la velocidad en “Ɵ” y las diferenciales de velocidad en “Ɵ” para el resto de las componentes. z y
  7. 7. Análisis de componente 𝜙              g v senr v senrsenr v v p rsenr vv r vvv rsen vv r v r v v t v rr r                                        22222 2 cos221 cot • No existe diferencia de movimiento en 𝜙 con respecto a Ɵ ni con respecto a sí misma. • No existe una diferencia de presión con respecto a 𝜙. z y
  8. 8. Condiciones Límite • Debido a la fricción, en r=k la velocidad en ᶲ es igual a cero. • Por lo tanto, el punto con menor fricción es cuando r=R y por ello se tiene la velocidad máxima en ᶲ en ese punto. C.L.: 1.- 𝑉𝜙 𝑅 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 2.-𝑉𝜙 𝐾 = 0
  9. 9. Componente 𝜙                              2 2 222 2 2 2 111    senr sen senrr r rr 0 = 𝜇 𝛻2 𝑣 𝜙 − 𝑣 𝜙 𝑟2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 + ρ𝑔 𝜙 Desarrollo de nabla Dado que nabla es la suma de derivadas parciales de velocidad en 𝜙 respecto a las diferentes componentes, se obtiene: 0 = 𝜇 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 − 𝑣 𝜙 𝑟2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 + ρ𝑔 𝜙
  10. 10. Resolviendo la ecuación 𝜕 𝜕𝑟 𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 = 𝑣 𝜙 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝜌𝑔 𝜙 𝑟2 𝜇 Integrando 𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 = 𝑣 𝜙 𝑟 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑟3 𝜌𝑔 𝜙 3𝜇 + 𝑐1 𝐶. 𝐿. 1 : 𝑅 𝑣 𝜙 = 𝑣 𝑀á𝑥 ⟹ 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 = 0 Reacomodando la ecuación anterior: Resolviendo C1 ∴ 𝑐1 = 𝑅3 𝜌𝑔 𝜙 3𝜇 − 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
  11. 11. 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 = 𝜌𝑔 𝜙 3𝜇 𝑅3 𝑟2 − 𝑟 + 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑣 𝜙 𝑟 − 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 𝑟2 Integrando: 𝑣 𝜙 = 𝜌𝑔 𝜙 3𝜇 − 𝑅3 𝑟 − 𝑟2 2 + 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 𝑟 + 𝑣 𝜙 𝐿𝑛|𝑟| + 𝑐2 Sustituyendo C1 en la ecuación original y reacomodando: 𝐶. 𝐿. 2 : → 𝑣 𝜙 𝑘 = 0 Resolviendo la ecuación Resolviendo C2 : ∴ 𝐶2 = 𝜌𝑔 𝜙 3𝜇 𝑅3 𝑘 + 𝑘2 2 − 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 𝑘𝑠𝑒𝑛2 𝜃
  12. 12. 𝑣 𝜙 = 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑙𝑛|𝑟| 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 1 𝑟 − 1 𝑘 + 𝜌𝑔 𝜙 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 3𝜇 𝑅3 1 𝑘 − 1 𝑟 + 1 2 𝑘2 − 𝑟2 Sustituyendo C2 en la ecuación original y reacomodando: Resolviendo la ecuación
  13. 13. Resumen de Ecuaciones 𝑣 𝜙 = 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑙𝑛|𝑟| 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 1 𝑟 − 1 𝑘 + 𝜌𝑔 𝜙 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 3𝜇 𝑅3 1 𝑘 − 1 𝑟 + 1 2 𝑘2 − 𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 = 𝜌𝑔 𝜙 3𝜇 𝑅3 𝑟2 − 𝑟 + 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑣 𝜙 𝑟 − 𝑣 𝑀á𝑥 𝑅 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 = 𝑣 𝜙 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝜌𝑔 𝜙 𝑟2 𝜇
  14. 14. Gráfica • Asignando valores arbitrarios a R, k y Ɵ y sustituyendo los valores constantes, obtenemos la 𝑣 𝑀á𝑥: • Especificaciones de la fuente • 𝑅 = 0.31 𝑚 • 𝑘 = 0.3 𝑚 • Ɵ = 45° • Especificaciones del fluido • 𝜌 = 1000 𝑘𝑔 𝑚3 • 𝜇 = 8.91𝑥10−4 𝑘𝑔 𝑚𝑠 a 25°C • Otras constantes • 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠 𝑣 𝑀á𝑥 = 165.0728 𝑚 𝑠
  15. 15. Gráfica • Para generar la gráfica se introdujo el siguiente código en Matlab con los datos especificados: clear all close all clc d=1000; %densidad (kg/m3) visc= 8.91E-4; %viscosidad (kg/ms) g=9.81; %gravedad (m/s2) R=0.31; %radio mayor (m) k=0.3; %radio menor (m) a=0.5; %sen2(teta(rad)) cte=d*g*a/(3*visc); max=((cte)*((R^3)*((1/k)-(1/R))+(1/2)*((k^2)-(R^2))))/((a-log(R))-((1/R)-(1/k))*(R)); b=(max)*(R); figure(01) x=(0.3:0.001:0.31)'; for n=1:length(x) I=x(n); y=(1/(a-log(I)))*(b*((1/I)-(1/k))+(cte)*((R^3)*((1/k)-(1/I))+(1/2)*((k^2)-(I^2)))); V(n,1)=y; end plot(x,V); xlabel('Valor de r'); ylabel('Velocidad en phi');
  16. 16. Gráfica

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