Solución de ecuaciones y límites y continuidad con el software libre Geogebra.

1. SOLUCIONES MATEMÁTICAS CON GEOGEBRA
Geogebra, al igual que cualquier otro software que grafique funciones, permite dar solución a
problemas matemáticos complicados de resolver analíticamente tales como ecuaciones, sistemas de
ecuaciones, desigualdades, límites, derivadas e integrales.
Al ser un software libre Geogebra es de fácil instalación y totalmente intuitivo, a continuación se
describen algunos ejemplos de ejercicios matemáticos relativamente complicados de resolver
analíticamente.
1. Ecuaciones.
Calcule las raíces de las siguientes ecuaciones:
1.1 88.179.49.3 23
=+− xxx
La solución de la ecuación son los puntos de corte de la gráfica 88.179.49.3 23
−+−= xxxy con el
eje X, es decir los puntos donde 0=y . Geogebra nos da las siguientes soluciones:
9.01 =x , 11.12 =x , 9.13 =x
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

2. 1.2 15
=+ xx
Aunque la ecuación es de grado 5 el número de soluciones o raíces reales es sólo una: 75.0=x
1.3 0cos3
=− xx
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

3. En el caso de las ecuaciones trigonométricas Geogebra calcula los valores normalmente en radianes,
por lo que en el último ejemplo la solución está dada en números reales o radianes, que es lo mismo.
1.4 02cossen2 =+ xx
El hecho de que la gráfica tenga infinitos puntos de corte con el eje X implica que existe un infinito
número de soluciones, no obstante Geogebra puede dar las soluciones que necesitemos, en el
intervalo que se desee calcular, así:
Las raíces obtenidas en el intervalo [ ]10,1− son: 37.01 −=x , 52.32 =x , 91.53 =x , 8.94 =x
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

4. 2. Límites y continuidad
Con el mismo fundamento lógico de la solución de una ecuación (que es la o las intersecciones de la
gráfica en dos dimensiones con el eje X) se pueden determinar límites y visualizar la continuidad en
determinado punto de una función, por más complicada que resulte su resolución matemática, así
tenemos por ejemplo:
2.1 L
x
x
lím
x
=
−
−−
→ 4
13
4
Si bien al sustituir la variable x por el valor 4 (teorema de sustitución) resulta una
indeterminación, se puede obtener el límite generando una línea vertical con un valor
infinitesimalmente cercano a 4, por ejemplo 001.4=x o 999.3=x y luego obtener el punto de
intersección entre esta vertical y la función, el límite es la coordenada “y” de ese punto, así:
La función para 4=x no está definida, por la división para cero, además existe discontinuidad
removible o evitable en ese punto, pero el límite sí existe y se lo puede calcular gráficamente, así:
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

5. El límite calculado por Geogebra es muy exacto, como se puede observar, 5.0=L
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

6. 2.2 Lxlím
x
=
−→
]][[
2
5
Ésta es la función máximo entero, Geogebra usa el comando FLOOR para graficar esta función,
obviamente se requiere un conocimiento básico de precálculo para entender el comportamiento de
estas funciones.
Es fácil intuir que el límite existe y es 3−=L , no obstante podemos trazar la línea vertical
2
5
−=x
y obtener el punto de intersección entre la gráfica y la vertical, así:
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

7. 2.3 Lxxlím
x
=







+
→
]][[
2
1
2
3
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

8. 2.4 L
xx
xx
lím
x
=
+−
++
∞→ 123
532
2
2
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

9. Cuando x tiende al infinito (hacia la derecha) la función se acerca cada vez más a un valor cercano a
0.7, es decir, si 20=x el punto de intersección es ( )75.0,20=P , y si 50=x , ( )70.0,50=P ,
entonces mientras más se aleja x ( )∞→x la función se acerca más a su límite, gráficamente esto se
puede representar en Geogebra con un valor para x = 100:
El límite real calculado para este ejercicio es
3
2
=L
2.5 L
x
xx
lím
x
=
−
−
→ 1
12
1
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE

10. Es evidente que existe discontinuidad inevitable o no removible en x = 1, por lo que el límite no
existe cuando 1→x
Ing. Iván Collantes V.
Docente UFA – ESPE