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Matrizes hoje
- 1. Matrizes Conceitos Básicos São tabelas numéricas dispostas em filas horizontais e em filas verticais. As filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais de colunas. Sanches(in)forma: As matrizes são tabelas utilizadas em todos os ramos da ciência, na engenharia, na computação e etc. 53 87410 02452 10221 x A = 33 016 405 213 x B − − = 22 10 01 x C =
- 2. Matrizes Conceitos Básicos Matriz de ordem p por q de elementos mij, onde i = nº de linhas e j = nº de colunas M= m11 m12 m13 m21 m22 m23 m1q... ... m2q m31 m32 m33 m3q... ... ... ... ... ... mp1 mp2 mp3 mpq... Forma Literal de uma Matriz As matrizes são representadas por letras maiúsculas e seus elementos, pela mesma letra minúsculas, acompanhadas de dois índices que representam a posição do elemento na matriz. Ex.: Seja a matriz M = (mij)pxq.
- 3. Matrizes Conceitos Básicos Tipos de Matrizes As matrizes podem ser classificadas segundo: A natureza dos elementos A forma
- 4. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em: Rectangular Quadrada Coluna Linha Se o número de linhas é diferente do número de colunas Se o número de linhas é igual do número de colunas Se o número de colunas é igual a um Se o número de linhas é igual a um 53× 05442 12520 43201 33× 231 310 201 13× 1 0 1 [ ] 31×221 Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
- 5. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em: Real Complexa Nula se todos os seus elementos são reais ℜ∈∈∀ ijij aAa : se pelo menos um dos seus elementos é complexo CaAa ijij ∈∈∃ : se todos os seus elementos são nulos 0: =∈∀ ijij aAa 100 251 10 251 i 000 000
- 6. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em: Triangular Superior Triangular Inferior 0: =>∈∀ ijij ajiAa uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos 0: =<∈∀ ijij ajiAa 5000 6200 0300 7211 5103 0220 0025 0001
- 7. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em: Diagonal Escalar 0: =≠∈∀ ijij ajiAauma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos 5000 0200 0040 0001 uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais λ== =≠∈∀ ij ijij aji ajiAa 0: 2000 0200 0020 0002
- 8. Matrizes Operações com Matrizes Transposição de Matrizes ou Matriz Transposta Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B=AT 53 05442 12520 43201 × =A 35014 523 452 420 201 × =T A jiji ab = ( )mjni ,....;,..., 11 ==
- 9. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em: Simétrica Densa Dispersa 5740 7232 4301 0211 se os elementos aij são iguais aos aji se a maioria dos seus elementos são não nulos se a maioria dos seus elementos são nulos Anti-Simétrica se a sua transposta for igual a sua oposta. − − − = 053 502 320 A − − − = 053 502 320 T A − − − =− 053 502 320 A
- 10. =+= 645 046 633 BAc Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de = 342 015 321 A = 303 031 312 B 3 3 6 6 4 0 5 4 6 A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. njmibac BACMCMBA ijijij nmnm ,,1,,1; :, =∧=+= +=∈∃∈∀ ×× Operações com Matrizes
- 11. Matrizes ABBAMBA nm +=+∈∀ ×, Operações com Matrizes goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Elemento neutro Elemento oposto ou simétrico A soma de matrizes do mesmo tipo )()(,, CBACBAMCBA nm ++=++∈∀ × AOAMOMA nmnm =+∈∃∈∀ ×× : OBAMBMA nmnm =+∈∃∈∀ ×× :
- 12. Matrizes Operações com Matrizes goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm opostos A soma de matrizes do mesmo tipo Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo Comutativo
- 13. Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e λ um escalar O produto de λ por A é uma matriz C = 342 015 321 A = 9126 0315 963 3 A que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ njmiac ACMAMA ijij nmnm ,,1,,1; : =∧== =∈∈∀ ×× λ λλ Operações com Matrizes do mesmo tipo de A
- 14. Matrizes ( ) ( )AA µλµλ = Operações com Matrizes e os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo AAA µλµλ +=+ )( ( ) BABA λλλ +=+ AA=1
- 15. Matrizes a11 a12 a13 a21 a22 a23 a1n... ... a2n a31 a32 a33 a3n... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 amn... mxn A matriz resultante é formada pelo produto escalar interno de cada linha da 1ª matriz, por todas as colunas da 2ª matriz. Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. = b1 b2 b3 ... bm x1 x2 x3 ... xq Operações com Matrizes pxq mxq
- 16. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 = 2x3 Operações com Matrizes
- 17. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 Operações com Matrizes
- 18. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 12 Operações com Matrizes
- 19. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 12 15 Operações com Matrizes
- 20. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 12 15 Operações com Matrizes
- 21. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 12 15 15 Operações com Matrizes
- 22. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 12 15 15 29 Operações com Matrizes
- 23. Matrizes 1 2 3 2 5 3 2 1 2 3 2 5 3 1 0 2 = x3 3x3 8 2x3 12 15 15 29 27 Operações com Matrizes
- 24. Matrizes Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo O produto de A por B é uma matriz C do tipo cujos elementos são dados por: mxp ∑ = = n k jkkiji bac 1 e escreve-se C=AB. nxp. O produto de matrizes não é comutativo
- 25. Matrizes ( ) ( )CBACBA = Operações com Matrizes Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A, B e C, e α um escalar. CBCACBA +=+ )( ( ) CABACBA +=+ ( ) ( ) ( )BABABA ααα ==
- 26. Matrizes ( ) AA TT = Operações com Matrizes Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B e α um escalar. TTT BABA +=+ )( ( ) ( )TT AA αα = ( ) TTT ABBA =