ÁLGEBRA 
ECUACIONES 
Definición: Una ecuación (igualdad) es la equivalencia 
entre dos expresiones algebraicas. 
Clasifica...
6. Hallar “x” 
( ) ( ) 
x a b b 2 - a 
2 
a.b 
x b a 
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= 
+ - 
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a) a + b b) 2(a + 1) c) 3( b - 1) 
d) 2(a + b)...
D = k2 La ecuación se resuelve 
factorizando 
b = 0 Las raíces son simétricas 
x1 =a +b x2 =a -b 
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  1. 1. ÁLGEBRA ECUACIONES Definición: Una ecuación (igualdad) es la equivalencia entre dos expresiones algebraicas. Clasificación: Se pueden clasificar de acuerdo a: 1) Al grado: Pueden ser primer grado segundo grado, tercer grado, …… , etc. Ejem: ax + b = 0 (primer grado) ax2 + bx + c = 0 (segundo grado) ax3 + bx2 + cx + d = 0 (tercer grado) 2) A los coeficientes: pueden ser numéricos o literales. Ejm: 3x + 5 = 0 (numérico) ax + b = 0 (literal) 3) A las incógnitas: pueden ser: una, dos, tres, etc. Ejm: 2x + 1 = 0 (1 incógnita) 2x + 8y – 8 = 0 (2 incógnitas) 4) A las soluciones: pueden ser compatibles o incompatibles. · COMPATIBLES: Son aquellas que tienen o admiten solución, y pueden ser: a) Determinadas: Si admiten un numero limitado de soluciones. Ejm: 2x + 1 = 0 x = -1/2 (1 solución) x2 +5x + 4 = 0 (x + 4)(x + 1) = 0 Þ x + 4 = 0 x+1= 0 x= -4 x=-1 (2 soluciones) b) Indeterminadas: si admiten un numero ilimitado de soluciones. Ejm: x = x Þ x = - ¥ …, -2,-1, 0, 1, 2, … +¥ x + y = 0 Þ x = 1, 2, 3, 4, … + ¥ y = -1,-2,-3,-4,…-¥ · Incompatibles o absurdas. Son aquellas que no tienen solución, o cuya solución no satisface a la ecuación. Ejem: x + 1 = x (absurdo) x - x2 -8 =4 donde resolviendo se tiene x = 3 pero al reemplazar en la ecuación. 3 - 32 - 8 = 4 = 2 4 (absurdo) Nota: Si a ambos miembros de una ecuación se suma, resta, multiplica o divide por una misma expresión se forma una ecuación equivalente a la primera, pero la ecuación “no se altera” x = x Þ x ± a = x ± a a ¹ 0, a ¹ ¥ x x = a a a ¹ 0, a ¹ ¥ x.a = x.a a ¹ 0, a ¹ ¥ ECUACIONES DE PRIMER GRADO Definición: son aquellas ecuaciones donde el maximo exponente de la variable es uno o puede reducirse a uno, se les denomina también ecuaciones lineales. Son de la forma: ax+b =0 EJERCICIOS 1. Hallar “x” 31+ 21+ 13+ 7+ 3+ x =6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Hallar “a” 2 2 - + a 6a 10 2 - a 3 ö a 4 çè a 8a 17 ÷ø æ + = + + a) 1/2 b) -1/4 c) -1/2 d) 1/4 e) 1/5 3. Hallar “x” 7 + 2 +3 x =3 a) 3 b) 2 c) 45 d) 12 e) 8 4. Hallar “a” 15 5 a 5 a a + + + = a) 12 b) 4 c) 6 d) 8 e) 11 5. Hallar “x” ax + - a 2 b2 bx a b 2ab a b - + = + a) (a +b)2 b) b2 -1 c) a 2 -b2 d) 21 e) a 2 +1
  2. 2. 6. Hallar “x” ( ) ( ) x a b b 2 - a 2 a.b x b a b a = + - - + - a) a + b b) 2(a + 1) c) 3( b - 1) d) 2(a + b) e) b(a +1) 7. Hallar “x” ( ) ( ) ( ab 3 - a 2 b 2 ) x a b 2 + a ab x a ab b 3 3 2 2 = - - + + a) a b) b c) a -1 d) b -1 e) ab 8. Hallar el conjunto solución de la ecuación: 2 2 2 2 + - - + + - - + 1 a. = - x 1 x 1 2 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 = - + + - + + - - a) C.S : {- 2,1}b) C.S : {-1,1} c) C.S : {-1,2} d) C.S : {- 2, 2} e) C.S : {- 2, 3} x y z = = ; 9. Resolver: a b c mx + ny + pz = S Indicar: x + y + z a) S ( a + b + c ) ma + nb + pc b) ( + + ) m n p S a b c + + c) ( + ) S a b + + ma nb pc d) ( ) ma nb + + + S a b c pc + e) ( + + ) + ma nb mc S a b c pc + + 10. Hallar el conjunto solución: 4a +b -5x + 4b +a -5x =3 a +b -2x a) S : {a,b} b) S : {b,1} c) S : {2,b} d) S : {a,5} e) N.A. 11. Hallar “x” en: + a b ( ) ; x 0 a b x 1 b bx 1 a ax 1 ¹ + - = - + - 2 + c) 2(a +b) a) 2 b) a b 4 + d) a + b e) a b 12. Obtener el conjunto solución de la ecuación: a + - x x 4a x x 4a = - - a) a b) a 2 c) a -1 d) (a -1)2 e) (a +1)2 13. Obtener el conjunto solución de la ecuación: 1 x 1 x 4 4 2 4 1 a 2 1 x 1 a 1 x + + - - - a) 1 b) a c) 2a d) 3 e) 2 ECUACIONES DE 2DO GRADO Definición: Son ecuaciones que tienen la forma: ax2 +bx+c =0 a ¹0 Donde: ax2 : Termino cuadrático bx : Termino lineal c : Termino independiente o constante RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. 1) Por formula: reemplazando los coeficientes de la ecuación en la formula (Baskara) b b 4ac 2a x - ± 2 - = 2) Por factorización: La ecuación se factoriza, y cada uno de los factores obtenidos se iguala a cero. Ejem: x2 -3x -10 =0 factorizando (x +2)(x -5) = 0 x + 2 = 0 x – 5 = 0 x = –2 x = 5 Nota: A las soluciones de una ecuación se les conoce con el nombre de raíces de la ecuación. NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO La naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado depende de la discriminante de la raíz, que esta dada por: D=b2 -4ac Discriminante D > 0 Las raíces son reales y diferentes D < 0 Las raíces son complejas y conjugadas D = 0 Las raíces son iguales y reales
  3. 3. D = k2 La ecuación se resuelve factorizando b = 0 Las raíces son simétricas x1 =a +b x2 =a -b c = 1 Las raíces son reciprocas x1 =a x2 =1/ a PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0 Y sus raíces o soluciones sean: x1 y x2 entonces: b a x1 x2 - + = c a x1 .x2 = FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 1. Si las raíces son x1 y x2 la ecuación se formará haciendo: (x -x1 )(x -x2 ) = 0 Ejm: Si las raíces de una ecuación son x1 =2 y x2 =3, formar la ecuación. Entonces la ecuación será: (x -2)(x -3) = 0 x2 -5x +6 = 0 2. Si las raíces son x1 y x2 , entonces la ecuación se formará de la siguiente manera: x 2 - (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 Ejemplo: Si las raíces de una ecuación son x1 = 3 +1 y x2 =1- 3 formar la ecuación. Entonces la ecuación será: x2 -( 3 +1+1- 3)x +( 3 +1)(1- 3) =0 PROBLEMAS 1. Calcular el valor de “m” para que la ecuación tenga 2 raíces iguales. 2x2 -mx +m -2 =0 ®D=0 a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 12 2. Calcular “P” en la ecuación; sabiendo que x1 -x2 =2 ; x2 -6x +4 +p =0 a) 12 b) 7 c) 4 d) 5 e) 9 3. Determinar la suma de los valores de “K”, que hacen que la suma de las raíces de la ecuación sea igual al producto de las mismas. x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Calcular la suma de los valores de “a” ax2 -(a -5)x +1 =0 si: x1 x2 = x1 -x2 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 5. Si a, b son las raíces de: x2 +px +q =0 Hallar el valor de: E =a2 +2ab+b2 a) p b) p2 c) p – 1 d) 1 e) 4 6. Hallar el valor de “m” de manera. que la suma de las raíces de la ecuación. (x2 -x)(m +1) = (4x -5) (m -1) , sea igual al duplo del producto de las raíces de dicha ecuación menos 1. a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7 7. Hallar la suma de las raíces de la ecuación (2k +2)x2 +4(1-k)x +k -2 =0 ; Sabiendo que estas son inversas. a) 10/7 b) 11/3 c) 10/3 d) 11 e) 1/2 8. Si a y b, son las raíces de la ecuación: mx2 -2(m -1)x +m =0 , con “m” constante y cumplen 4 a b + = , ¿Hallar la a b suma de todos los valores de “m”? a) –5 b) 5 c) 4 d) –4 e) 1 9. Si a, b son las soluciones de la ecuación x2 +bx +3 =0, Sia2 +ab+b2 =13Ha llar a-b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Hallar la suma de los valores positivos de “P” para las cuales las raíces de la ecuación: (P -3)x2 -2px +6p =0 Son reales positivos. P :1, 2,3 A³0 a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 11. Si P y Q son las raíces reales de la ecuación (a 2 -b2 )x2 -2(a -b)x +(a -b) = 0 , con a, b constantes reales y “K” es una constante, tal que. P- K = – (q - k). Hallar el valor de: Pq+k
  4. 4. 2 + d) a b a) a + b b) 2 c) a b 1 + e) a 1

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