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Flexion De Vigas

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Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ...

Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud.

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  • 1. FACULTAD DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA FLEXIÓN EN VIGAS MODELADO EN ECUACIONES DIFERENCIALES ESTUDIANTES: JENNY CÁRDENAS RALS LOZANO SÁNCHEZ 2008
  • 2. <ul><li>PRELIMINARES </li></ul><ul><li>Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud. </li></ul>
  • 3.  
  • 4. <ul><li>INTRODUCCIÓN A DEFLEXIÓN EN VIGAS </li></ul><ul><li>Cuando es importante estudiar las deflexiones: </li></ul><ul><li>En estructuras metálicas. </li></ul><ul><li>Sistemas de tuberías. </li></ul><ul><li>Ejes/ arboles para maquinas. </li></ul><ul><li>En el estudio de una viga, ella podrá flectar de acuerdo a ciertos factores tales como: </li></ul><ul><li>Distancia entre apoyos. </li></ul><ul><li>Materiales de la viga. </li></ul><ul><li>La carga aplicada. </li></ul><ul><li>Propiedades geométricas de las vigas. </li></ul><ul><li>Tipos de vinculación (apoyos). </li></ul>
  • 5. DEFLEXIÓN EN VIGAS <ul><li>En elemento de la viga mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto en una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente paralelo a las cargas. </li></ul><ul><li>Estos desplazamientos se denomina las deflexiones o flechas del momento. </li></ul><ul><li>Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente. </li></ul>La figura muestra una viga con perpendiculares al eje y ubicada en el plano de simetría de la sección
  • 6.  
  • 7. Por lo tanto, el desplazamiento de la Superficie Neutra permite representar el desplazamiento de todo el elemento. <ul><li>El desplazamiento , por lo que no existe movimiento horizontal dentro de una sección transversal. </li></ul><ul><li>Podemos elegir una curva dentro de la superficie neutra que represente la deformación de la viga. </li></ul><ul><li>Matemáticamente, la Línea Elástica se representa por su ecuación en el Plano Principal. </li></ul>
  • 8. <ul><li>Para obtener las ecuaciones, definimos ciertas hipótesis : </li></ul><ul><li>Viga perfectamente recta. </li></ul><ul><li>Material homogéneo. </li></ul><ul><li>Comportamiento elástico (ley de Hooke) </li></ul><ul><li>Tenemos: </li></ul><ul><li>Esfuerzo: Es la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma, generalmente con base en la “fuerza por unidad de área” </li></ul><ul><li>Deformación: Describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la deformación son pequeñas, es común que sean directamente proporcionales y llamamos a la constante de proporcionalidad modulo de elasticidad. </li></ul>
  • 9.  
  • 10. De la geometría del problema tenemos
  • 11. <ul><li>Si designa la fuerza infinitesimal, responsable de la fracción o compresión del tramo de barra, y por la ley de Hooke tenemos: </li></ul><ul><li>) = Es modulo de Elasticidad. </li></ul><ul><li>)= Es la deformación de una fibra de área del corte transversal </li></ul><ul><li>)= Área transversal del elemento paralelo a la zona neutra. </li></ul><ul><li>)= Distancia desde la zona neutra hasta el elemento infinitesimal de la barra. </li></ul><ul><li>)= Radio de cobertura hasta la zona neutra. </li></ul><ul><li>) = Longitud natural del elemento de barra, del arco a lo </li></ul><ul><li>largo de la zona neutra. </li></ul>
  • 12. <ul><li>El momento de esta fuerza infinitesimal relativa a la línea neutra será: </li></ul><ul><li>por lo tanto el momento flector de la barra será: </li></ul><ul><li>Donde se ha definido el momento de inercia de la sección transversal como: </li></ul><ul><li>de donde se deduce </li></ul><ul><li>En esta parte E representa el módulo de rigidez o módulo de Young del materia. </li></ul><ul><li>El producto se conoce como el coeficiente de rigidez a la flexión de la barra. </li></ul>
  • 13. <ul><li>Ahora por calculo elemental, la curvatura de una curva plana es un punto de esta: </li></ul><ul><li>Como la curvatura de la viga es muy ligera la pendiente de la primera derivada es pequeña por lo tanto </li></ul><ul><li>Por ende la ecuación diferencial de la Curva Elástica es: </li></ul>
  • 14. RELACION ENTRE CARGAS Y ESFUERZOS Si se escoge arbitrariamente un trozo diferencial de viga , se puede obtener: De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que la carga transversal . Además , si , entonces .
  • 15. <ul><li>De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que el esfuerzo de corte . </li></ul><ul><li>En detalle : Cuando el corte es por la derecha : </li></ul><ul><li>Cuando el corte es por la izquierda: </li></ul><ul><li>Si se deriva la ecuación diferencial de la Curva Elástica se tiene: </li></ul>
  • 16. Resultando al final lo siguiente: Al integrar sucesivamente estas ecuaciones, van apareciendo constantes que deben calcular con las condiciones de borde del problema.
  • 17. EJEMPLO VIGA SIMPLE Para la viga indicada en la figura, se pide determinar la ecuación de la línea elástica, la flecha máxima y el giro en los apoyos. Solución:
  • 18. <ul><li>Tenemos 4 constantes de integración por lo que necesitamos 4 Condiciones de Borde para encontrar el valor de dicha constante. </li></ul><ul><li>Condiciones de Borde: </li></ul><ul><li>Desplazamiento vertical en el Apoyo A cale cero. </li></ul><ul><li>2. Momento flector en el Apoyo A vale cero (rótula). </li></ul><ul><li>3. Desplazamiento vertical en el apoyo B vale cero. </li></ul><ul><li>4. Momento flector en el Apoyo B vale cero (rótula) </li></ul>
  • 19. De 1. De 2. De 4. De 3. Ecuación de la Línea Elástica de una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.
  • 20. <ul><li>Flecha Máxima </li></ul><ul><li>Para encontrar el máximo desplazamiento de la viga debemos derivar la ecuación de la Línea Elástica e igualar a cero. </li></ul><ul><li>Con lo anterior estaríamos encontrando un máximo o un mínimo, es decir, la derivada representa a la tangente a la curva y al hacerla cero encontramos el punto donde la recta tangente es hori zontal. </li></ul><ul><li>Flecha máxima al centro de la viga </li></ul>
  • 21. Giro en los apoyos El Giro de la viga, con respecto a su plano horizontal, queda representado por la derivada de la ecuación de la Línea Elástica. Es decir: Giro en al apoyo “A” Giro en al apoyo “B”
  • 22.  
  • 23. <ul><li>EJEMPLO VIGA VOLADIZA </li></ul><ul><li>Para la viga indicada en la figura, se pide determinar la ecuación de la línea elástica, máxima y el giro en los apoyos. </li></ul><ul><li>Solución </li></ul>
  • 24. <ul><li>Tenemos 2 constantes de integración, por lo que necesitamos 2 Condiciones de Borde para encontrar el valor de dichas constantes. </li></ul><ul><li>Condiciones de Borde: </li></ul><ul><li>Desplazamiento vertical en el empotramiento A. </li></ul><ul><li>Giro en el empotramiento A. </li></ul><ul><li>De 2. De 1. </li></ul>
  • 25. Ecuación de la Línea Elástica de una viga empotrada y en voladizo con carga uniformemente repartida. Flecha Máxima: Flecha Máxima en el Extremo Libre
  • 26. <ul><li>Giro en los Apoyos: </li></ul><ul><li>El Giro de la Viga, con respecto a su plano Horizontal, queda representado por la derivada de la ecuación de la Línea elástica, es decir: </li></ul><ul><li>Giro en al apoyo “A” </li></ul><ul><li>Giro en al apoyo “B” </li></ul>
  • 27.  
  • 28. GRACIAS POR SU ATENCIÓ N

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