Prof. James Boyer
Curso: CSIR-1210
 Números Apróximados
 Redondeo de números
• Hacia abajo o hacia arriba
• Regla de añadir impares
• Truncar
• Valor absol...
 Los equipos diseñados para calcular utilizan
representaciones aproximadas de los
resultados expresados en sus productos....
 Reglas formales para aplicar a los dígitos
significados.
• Regla 1: Un dígito no igual a cero es siempre significante
 ...
 Ejercicios de práctica: identifica la regla que le aplica.
 1234
 000.086
 .345400534
 1000.65600
 200.00001
 435....
 Esto se logra mediante la eliminación de uno y más números
insignificantes y luego redondeando al próximo número
signifi...
 Ejercicios de práctica: redondea utilizando las reglas.
 1234
 000.086
 .345400534
 1000.65600
 200.00001
 435.000...
 La gran mayoría de las computadoras en vez de redondear
lo que hacen es eliminar los números menos significantes.
 La o...
 Ejercicios de práctica:Trunca utilizando las reglas.
 1234
 000.086
 .345400534
 1000.65600
 200.00001
 435.0000
...
 Es la visión intuitiva que poseemos de un número en toda su
magnitud sin importarnos el signo.
 El valor absoluto se de...
 Ejercicios de práctica: Busca el valor absoluto utilizando las
reglas.
 |5|
 -|7|
 -|-7|
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 Es la manera de reresentar números grandes mediante la
multiplicación del mismo por la potencia de 10.
 A = M x 10n
A =...
 Ejercicios de práctica: desarrolla la forma exponencial y el
la notación científica para los siguientes números.
 123.5...
 Aquí al igual que los números decimales se pueden
expresar de forma exponencial, con la diferiencia de que la
potencia u...
 Ejercicios de práctica: desarrolla la forma exponencial
binaria para los siguientes números binarios. A 5 bits
 11111.0...
 La codificación binaria directa requiere que los números sean
almacenados en localizaciones fijas en la computadora cómo...
Ej: -423 = 1101001112 Si este negativo, entoces es almacenado en una
memoria de 32 bits añadiendo sufientes unos al frente...
 Representación del Punto Flotante (Números reales)
 Estos envuelven decimales.
 Son almacenados y procesados en su for...
 ¿Cómo la computadora almacena el exponente del integro?
 Algunas computadoras almacenan “n” en su forma binaria cuando
...
Ej: Dado A = -419.8125 Convirtiendo A a campos binarios
A = -110100011.11012
Si normalizamos a su forma exponencial
A = -0...
Ejercicios: Desarrolla su representación interna de una
memoria de 32 bits.
 324.8756
 7539.467
 853.468
 4647.6788
 ...
 Aritmética integrar: aquí el resultado de cualquier operación
con íntegros debe dar a un íntegro.
12 + 5 = 17, 12 – 5 = ...
 Ejercicios: Aritmética integrar
1. 64/7
2. 92/18
3. 43/5
4. 70/9
5. 48/10
6. 190/75
7. 53/8
8. 288/8
9. 245/6
10.76/9
Ca...
 Ejercicios: Aritmética de Puntos Flotantes
1. 64/7
2. 92/18
3. 43/5
4. 70/9
5. 48/10
6. 190/75
7. 53/8
8. 288/8
9. 245/6...
Ej3: Si los exponentes son diferentes:
0.1166 x 102
+ 0.8811 x 104
Entonces normalizamos primero;
.001166 x 104
+ 0.8811 x...
 Ejercicios: Resta de reales
1. 0.8844 x 10-2
– 0.3322 x 10-2
2. 0.7777 x 103
– 0.7531 x 103
3. 0.8759 x 104
– 0.06598 x ...
 Multiplicación real: aquí se multiplican las mantisas y se
suman los exponents.
Ej1: (0.3355 x 102
) x (0.4466 x 103
) =...
Ejercicios: Multiplicación real trunca a 3 digitos
1. (0.3355 x 102
) x (0.4466 x 103
)
2. (0.5353 x 103
) x (0.4636 x 104...
Ejercicios: División real trunca a 3 digitos
1. (0.3355 x 102
) ÷ (0.4466 x 103
)
2. (0.5353 x 103
) ÷ (0.4636 x 104
)
3. ...
 Error = A – A, donde A = al valor real y A, es el valor
aproximado.También se conoce como error absoluto.
Error absoluto...
 Ejercicios: Error, busca “e”, donde el valor absoluto y el
relativo son; = A = 1 y 2 = A.
1. 1=1.546, 2 = .657
2. 1=2.65...
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Cap.3 AritméTica Para Computadoras

  1. 1. Prof. James Boyer Curso: CSIR-1210
  2. 2.  Números Apróximados  Redondeo de números • Hacia abajo o hacia arriba • Regla de añadir impares • Truncar • Valor absoluto  Forma Exponencial Binaria  Representación Integral  Representación punto-flotante  Aritmética integral • Suma, resta, división y multiplicación de reales  Errores Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 2
  3. 3.  Los equipos diseñados para calcular utilizan representaciones aproximadas de los resultados expresados en sus productos.  El uso de números aproximados sirven cuándo la representación del resultado es un número irracional. Ej: 2 ≈ 1.414 π ≈ 3.1416 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 3
  4. 4.  Reglas formales para aplicar a los dígitos significados. • Regla 1: Un dígito no igual a cero es siempre significante  Ej; 3.14, 1234, 56,607, 880,077 • Regla 2: El dígito cero es significante siempre y cuándo se encuentre entre otros dígitos significantes.  Ej: 7.7700, 777.70 • Regla 3: El dígito cero nunca es significativo cuando se encuentre al frente de otros dígitos que no sean ceros.  Ej: .000345, .0084 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 4
  5. 5.  Ejercicios de práctica: identifica la regla que le aplica.  1234  000.086  .345400534  1000.65600  200.00001  435.0000  0000.452000  867.445  23457  .075 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 5
  6. 6.  Esto se logra mediante la eliminación de uno y más números insignificantes y luego redondeando al próximo número significativo.  Las reglas para el redondear o la eliminación de dígitos se refieren a aquellos dígitos “de prueba”que se encuentran a la extrema izquierda .  Reglas para redondear: • Redondeo hacia abajo: Si el dígito de prueba es menor de 5 el número que lo precede no cambia.  Ej: 1.734 el 3 no cambia porque el 4 no llega a 5 • Redondeo hacia arriba: Si el dígito de prueba es mayor de 5 el número que lo precede cambia aumentando por 1.  Ej: 1.736 = 1.74 • Regla para añadir un impar: Si el dígito de prueba es igual a 5 y si este esta seguido por ceros, el número que antecede al 5 no cambia, si este es un dígito par, pero si aumenta por 1 cuándo el dígito es impar.  Ej: .77777 = .778, 66.6503 = 66.7 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 6
  7. 7.  Ejercicios de práctica: redondea utilizando las reglas.  1234  000.086  .345400534  1000.65600  200.00001  435.0000  0000.452000  867.445  23457  .075 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 7
  8. 8.  La gran mayoría de las computadoras en vez de redondear lo que hacen es eliminar los números menos significantes.  La operación de eliminar estos números se conoce como truncar o cortar. Ej: 88.77 a 88.7, -7.8989 a -7.89, 999.111 a 999  Error de Truncar: es cuándo se cortan unos dígitos que pueden igual al valor completo de los dígitos retenidos. Ej: $24.99 a $24, causando un error de .99¢ Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 8
  9. 9.  Ejercicios de práctica:Trunca utilizando las reglas.  1234  000.086  .345400534  1000.65600  200.00001  435.0000  0000.452000  867.445  23457  .075 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 9
  10. 10.  Es la visión intuitiva que poseemos de un número en toda su magnitud sin importarnos el signo.  El valor absoluto se denota con |a|  Se define |a| cómo lo mayor a y lo menor –a: |a| = a (a>0) 0 (a=0) –a (a<0)  Notamos que: |a| = |-a| ≥ 0 para cada número a, y que |a| es positivo siempre y cuando a ≠ 0 . Ej: |3-8| = |-5| = 5, |3|-|8| = 3 - 8 = -5, -|-5| = -(5) = -5 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 10
  11. 11.  Ejercicios de práctica: Busca el valor absoluto utilizando las reglas.  |5|  -|7|  -|-7|  -|7| - |7|  |5| - |7|  -|-5 – 7|  |5-8| - |3+4|  |4-3| - |-7 + -8| Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 11
  12. 12.  Es la manera de reresentar números grandes mediante la multiplicación del mismo por la potencia de 10.  A = M x 10n A =cualquier número no igual a cero, M = mantisa de A y n = exponente de A.  Notamos que; .1 ≤ M ≤ 1 para +A y -1 < M ≤ -.1 para -A Ej: 567 = 5.67 x 102 .005 = 5 x 10-3 25 = .25 x 102  Otra forma exponencial es la notación científica, aquí el número decimal aparece directamente después del primer dígito que no es igual a cero. Ej: 999.111 a 9.999111 x 102 , .00666 a 6.66 x 10-3 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 12
  13. 13.  Ejercicios de práctica: desarrolla la forma exponencial y el la notación científica para los siguientes números.  123.546  .000567  1.237  .1254  -.0984  -.00000435  -1537.0748  7463.536  53.866  647.2460  -1.237 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 13
  14. 14.  Aquí al igual que los números decimales se pueden expresar de forma exponencial, con la diferiencia de que la potencia utilizada es dos en vez de diez.  Debes siempre “Normalizar” = mover el punto a la izquierda de uno más cercano al extremo de la izquierda.  Ej: Normalizar: 10110.1 = .101101 x 25 Ejemplo utilizando 5 bits solamente: Ej1: 1010.1 = .10101 x 24 Ej2: -111 = -.11100 x 23 Ej3: -0.01010101 = -0.10101 x 2-1 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 14
  15. 15.  Ejercicios de práctica: desarrolla la forma exponencial binaria para los siguientes números binarios. A 5 bits  11111.000  -.111000  .000111  -.1111000  000101010.000  1111010.1010  111.111  -1010.00  1110111  -1111010.000 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 15
  16. 16.  La codificación binaria directa requiere que los números sean almacenados en localizaciones fijas en la computadora cómo números de bits fijos.  Una lista de bits tratada como grupo se llama WORD o palabra.  El número de bits de una palabra se conoce cómo su largo o LENGHT.  Representación Integrar  Un íntegro es un número sin decimales. Un número íntegro es representado en la memoria de la computadora por su número o forma binaria, si este es positivo y por su complemente de 2 si este es negativo. Ej: 423 = 1101001112 Este es almacenado en una memoria de 32 bits añadiendo sufientes ceros al frente de la forma binaria. Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 16 0 0 0 0 0 … 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1
  17. 17. Ej: -423 = 1101001112 Si este negativo, entoces es almacenado en una memoria de 32 bits añadiendo sufientes unos al frente de la forma binaria y sumandole 1.  La computadora sabe si es positivo porque comienza en cero y si comienza con 1 es negativo.  El integro positivo más grande que puede ser almacenado en una localización de memoria de 32 bits es 231 = 2 billones de bits  El íntegro negativo más pequeño que puede ser almacenado en una localización de memoria de 32 bits es -231 = - 2 billones de bits Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 17 1 1 1 1 1 … 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
  18. 18.  Representación del Punto Flotante (Números reales)  Estos envuelven decimales.  Son almacenados y procesados en su forma exponencial binaria.  Aquí la memoria es dividida en tres campos o bloques de bits.  El primer campo es reservado para el signo (0, +, 1, -)  El segundo campo es reservado para el exponente del número  El tercer campo es reservado para la mantisa del número Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 18 Signo =1 bit Exponente =7 bits Mantisa =24 bits
  19. 19.  ¿Cómo la computadora almacena el exponente del integro?  Algunas computadoras almacenan “n” en su forma binaria cuando esta es positiva o cero.Y su complemento de 2 cuando este es negativo, de igual manera que se almacenan los puntos flotantes.  La mayoría de las computadoras representan “n” por su característica, n + 2t-1 , dónde “t” es la cantidad de bits en el campo exponencial. Ej: Si, t = 7, este puede representar exponentes desde -64 hasta 63, lo que significa que la computadora puede almacenar numeros de punto flotantes entre 2-64 y 263 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 19 Exponente verdadero -64 -63 -62 -61 … -1 0 1 … 63 Características 0 1 2 3 … 63 64 65 … 127
  20. 20. Ej: Dado A = -419.8125 Convirtiendo A a campos binarios A = -110100011.11012 Si normalizamos a su forma exponencial A = -0.1101000111101 x 29 El exponente verdadero de A siendo 9, su característica de 7 bits sería. 9 + 64 = 73 = 10010012 Por lo tanto se almacenaría de la siguiente manera en la memoria de 32 bits. Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 20 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Signo de A , 1 bit Caracteristica, 7 bits Mantisa, 24 bits
  21. 21. Ejercicios: Desarrolla su representación interna de una memoria de 32 bits.  324.8756  7539.467  853.468  4647.6788  524.86433  6430.963  853257.854  6437.4387 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 21
  22. 22.  Aritmética integrar: aquí el resultado de cualquier operación con íntegros debe dar a un íntegro. 12 + 5 = 17, 12 – 5 = 7, 12 x 5 = 60  Sin embargo en división el resultado es obtenido mediante truncar el cociente a un íntegro. 12 ÷ 5 = 2, 7 ÷ 8 = 0, -9 ÷ 2 = -4  Aritmética de Puntos Flotantes (Reales)  Aquí todos los números son procesados y almacenados en forma exponencial.  Lo más importante es que los resultados de cualquier operación son normalizados y la mantisa es truncada o redondeada a la cantidad de números especificada. Ej1: 0.2356 x 104 + 0.4123 x 104 = 0.6479 x 104 Ej2: 0.5544 x 102 + 0.7777 x 102 = 1.3321 x 102 , Si normalizamos obtenemos entonces, 1.3321 x 102 ≈ 0.13321 x 103 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 22
  23. 23.  Ejercicios: Aritmética integrar 1. 64/7 2. 92/18 3. 43/5 4. 70/9 5. 48/10 6. 190/75 7. 53/8 8. 288/8 9. 245/6 10.76/9 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 23
  24. 24.  Ejercicios: Aritmética de Puntos Flotantes 1. 64/7 2. 92/18 3. 43/5 4. 70/9 5. 48/10 6. 190/75 7. 53/8 8. 288/8 9. 245/6 10.76/9 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 24
  25. 25. Ej3: Si los exponentes son diferentes: 0.1166 x 102 + 0.8811 x 104 Entonces normalizamos primero; .001166 x 104 + 0.8811 x 104 = 0.882266 x 104 si truncamos a 4 dígitos decimales ≈ .8822 x 104  Resta real: es el análogo de la suma Ej1: 0.8844 x 10-2 – 0.3322 x 10-2 = 0.5522 x 10-2 Ej2: 0.7777 x 103 – 0.7531 x 103 = 0.0246 x 103 ≈ 0.2460 x 102 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 25
  26. 26.  Ejercicios: Resta de reales 1. 0.8844 x 10-2 – 0.3322 x 10-2 2. 0.7777 x 103 – 0.7531 x 103 3. 0.8759 x 104 – 0.06598 x 103 4. 30.65 x 105 – 20.32 x 103 5. 124.54 x 106 – 23.531 x 103 6. 40.5897 x 104 – 10.31 x 103 7. 0.687 x 103 – 0.530 x 103 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 26
  27. 27.  Multiplicación real: aquí se multiplican las mantisas y se suman los exponents. Ej1: (0.3355 x 102 ) x (0.4466 x 103 ) = 0.14983430 x 105 , truncando a 4 dígitos, 0.1495 x 105  División real: aquí dividimos las mantisas y restamos los exponentes. Ej1: (0.4444 x 107 ) ÷ (0.1357 x 104 ) = 3.274 x 103 = 0.3274 x 104 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 27
  28. 28. Ejercicios: Multiplicación real trunca a 3 digitos 1. (0.3355 x 102 ) x (0.4466 x 103 ) 2. (0.5353 x 103 ) x (0.4636 x 104 ) 3. (0.3889 x 105 ) x (0.7890 x 103 ) 4. (10.33 x 102 ) x (0.3046 x 103 ) 5. (10.5545 x 105 ) x (1.6 x 103 ) 6. (10.468 x 105 ) x (0.3456 x 103 ) 7. (1.3543 x 107 ) x (0.6798 x 103 ) 8. (20.5 x 103 ) x (0.6 x 105 ) Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 28
  29. 29. Ejercicios: División real trunca a 3 digitos 1. (0.3355 x 102 ) ÷ (0.4466 x 103 ) 2. (0.5353 x 103 ) ÷ (0.4636 x 104 ) 3. (0.3889 x 105 ) ÷ (0.7890 x 103 ) 4. (10.33 x 102 ) ÷ (0.3046 x 103 ) 5. (10.5545 x 105 ) ÷ (1.6 x 103 ) 6. (10.468 x 105 ) ÷ (0.3456 x 103 ) 7. (1.3543 x 107 ) ÷ (0.6798 x 103 ) 8. (20.5 x 103 ) ÷ (0.6 x 105 ) Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 29
  30. 30.  Error = A – A, donde A = al valor real y A, es el valor aproximado.También se conoce como error absoluto. Error absoluto, e = A – A  El ratio del error absoluto se conoce como error relativo Error relativo, r = e/A = A – A /A  El error relativo se expresa comúnmente en porciento. Ej; error absoluto; e=1.427 – 1.43 = -.003 Ej: error relativo; e= -.003/1.427 = -0021, |r| = .21% Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 30
  31. 31.  Ejercicios: Error, busca “e”, donde el valor absoluto y el relativo son; = A = 1 y 2 = A. 1. 1=1.546, 2 = .657 2. 1=2.654, 2 = .3840 3. 1=1.386, 2 = .4378 4. 1=.34567 2 = .4357 5. 1=.2648 2 = 1.344 6. 1=.5836 2= 2.4676 7. 1=1.l356 2 = 3.5784 8. 1=5.357 2 = 4.367 9. 1=2.4674 2 = 3.3672 10.1=3.45733 2 = 4.3674 Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 31

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