Magnetismo en el vacio
Magnetita (Fe3O4), imán permanente.
Principios del siglo XIX Experimento de Oersted.
1
Campo magnético socio del campo eléctrico, Gauss, Henry,
Faraday y otros.
2
Los campos eléctricos y magnéticos se encuentra relacionados,
Maxwell y otros
3
Inducción magnética
Cargas en reposo producen Fe =
1
4πε0
qq1
r2
r
r
Carga en movimiento a velocidad constante produce
Fm ...
Fuerza y torque magnético
La fuerza magnética ejercida por un campo magnético B sobre un
conductor de sección transversal ...
El torque resultante sobre un circuito cerrado es
τ = I
C
r×(dl×B)
Si B es constante
τ = IS×B, m = IS
S =
1
2 C
r×dl, m =
...
Problema:Dado un campo magnético
B = B0(x+y)ˆk
calcular la fuerza y el torque magnético sobre el circuito rectangular
de l...
Problema: Una partícula de carga q y masa m se deja con velocidad
inicial nula en el origen de coordenadas, en presencia d...
Ley de Biot-Savart
Ampere dedujo que la fuerza magnética entre dos conductores que
transportan corrientes I1 e I2 es
F2 =
...
Teniendo en cuenta que F2 = I2 2 dl2 ×B(r2) se tiene
B(r2) =
µ0
4π
I1
1
dl1 ×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dB(r2) =
µ0
4π
I1
dl1 ×(r2...
Problema: Determinar el campo magnético generado por un
conductor rectilíneo infinito que conduce una corriente I
a
x
= tan...
Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud que
se ejercen dos conductores paralelos separados una dista...
Problema: Determinar el campo magnético generado por una
espira circular que conduce una corriente I
13
Problema: Calcular el campo magnético en el centro de un
solenoide
14
Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud
que ejerce el conductor plano de ancho W que conduce una cor...
Ley de Ampere
Para corrientes estacionarias ∇·J = 0, entonces
∇2 ×B(r2) =
µ0
4π V
∇2 ×
J(r1)×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dv1
∇×B(r2...
Verificar la ley de ampere utilizando una corriente lineal infinita.
17
Problema: Determinar el campo magnético en cada región del
cable coaxial que conduce una corriente uniforme I entrante por...
Potencial vector magnético
Ley de Gauus ∇2 ·B(r2) = 0 entonces
B = ∇×A
es decir
∇2
A = −µ0J
solución
A(r2) =
µ0
4π V1
J(r1...
Potencial escalar magnético
∇×B(r2) = µ0J(r2), si J = 0
entonces
B = −µ0∇ϕ
de acuerdo a ∇·B = 0 ϕ cumple con
∇2
ϕ = 0
solu...
Problema: En la figura, sean las regiones 0 < z < 0.3 m y 0.7 <
z < 1.0 m barras conductoras que transportan densidades de ...
Problema: Por un cilindro conductor de radio a muy largo circula
una corriente de densidad
J = J0
ρ
a
ˆz
Calcular el poten...
Problemas
1. Un conductor lineal de la figura conduce corriente I constantes,
si las partes rectas del conductor tienen lon...
(Sugerencia: utilice ley de Biot y Savart.)
3. Un conductor filamentario forma un triángulo equilátero cuyos
lados son de l...
donde r es la distancia radial de un punto del espacio a partir del
eje del cilindro. Determine El campo magnético produci...
7. Un disco conductor delgado de radio interno a y radio externo
b, conduce una corriente superficial K uniforme, se dobla ...
macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco
con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor inter...
10. Sobre el cilindro semicircular dieléctrico de la figura se
enrolla con un alambre de cobre esmaltado (haciendo espiras
...
11. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico
hueco de radio R y exterior 2R y el conductor exter...
13. En una región con campo magnético B = A|x|ˆz T (Tesla), donde
A es una constante se encuentra un anillo semicircular d...
−JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductor
interior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducci...
18. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origen
tiene una corriente superficial de densidad K = K0|z| ...
Inducción electromagnética
Flujo magnético
Cantidad de líneas de campo magnético que pasan a través de una
superficie.
Φ =
...
Ley de Gauss del magnetismo
En la naturaleza no existen monopolos magnéticos
∇·B = 0 o
S
B·ndS = 0
34
Inducción electromagnética
Propuesta por Faraday y Henry a principios del siglo XIX.
En electrostática tenemos ∇×E = 0 y ∇...
Pero si el flujo magnético sobre un circuito cerrado varía con el
tiempo entonces se encuentra que
ε = −
dΦ
dt
siendo Φ = S...
Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida es tal, que produce
una corriente, cuyo campo magnético se opone al cambio de...
Fem por movimiento: producida cuando una barra conductora se
mueve dentro de un campo magnético
La fuerza magnética produc...
conductor es
F = q(E+v×B)
si v es perpendicular a B en el caso límite se obtiene E = vB, de
modo que si B = cte la diferen...
Autoinducción
Representa la inducción electromagnética que produce un circuito
sobre sí mismo.
Se encuentra que el flujo ma...
Bobina toroidal
B =
µ0NI
l
Φ1 =
µ0NIA
l
, Φ =
µ0N2
IA
l
, L =
µ0N2
A
l
41
Inductancia Mutua
Dado un sistema de n circuitos, el flujo sobre el i-ésimo circuito es
Φi = Φi1 +Φi2 +...+Φii +...+Φin =
n...
Embobinados toroidales
B =
µ0N1I1
l
, Φ11 =
µ0N2
1 I1A
l
, Φ21 =
µ0N1N2I1A
l
L1 =
µ0N2
1 A
l
M21 =
µ0N1N2A
l
B =
µ0N2I2
l
...
Inductancias en serie y paralelo
Serie
V = (R1 +R2)I +(L1 +L2 +2M)
dI
dt
Lef = L1 +2k
√
L1L2 +L2
Paralelo
Lef =
L1L2 −M2
L...
Problemas
1. La ubicación de la barra deslizante de la figura está dada por
x = 5t + 2t3
y la separación entre los dos riel...
2. Un conductor metálico que tiene la forma de un segmento de
alambre de longitud L se mueve en un campo magnético B
con v...
4. Un cilindro conductor de radio R muy largo que coincide con
el eje y conduce una corriente eléctrica de densidad J1(t) ...
5. Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve con
velocidad constante v hacia la derecha como se muestra en l...
6. Para una corriente rectilínea y una espira rectangular. (a) Calcular
el coeficiente de inducción mutua. (b) Supongamos a...
Magnetismo en materiales
50
Dipolo magnético
A =
µ0I
4π
dl
r
en puntos muy alejados A =
µ0m× ˆr
4πr2
1
|r−r |
=
1
r
+
r·r
r3
+O(δ2
)
51
A =
µ0Iπa2
senθ
4πr2
ˆφ, m =
1
2
I
C
r× dr = ISˆn
B = ∇×A =
µ0m
4πr3
2cosθ ˆr +senθ ˆθ
52
Magnetización
Objetivo: efecto del campo magnético sobre los materiales.
La materia se compone de átomos, cada átomo tiene...
Magnetización uniforme: las corrientes magnéticas se distribuyen
uniformemente en el material (se eliminan todas las corri...
Corriente de magnetización
El momento dipolar de un volumen ∆V es ∆m = M∆V, que a su
vez se expresa como ∆m = ISˆn, entonc...
La corriente magnética paralela al eje z en la región entre los dos
elementos de volumen es
Ic −Ic = −
∂Mx
∂y
∆x∆y
al cons...
Jx =
∂Mz
∂y
−
∂My
∂z
, Jy =
∂Mx
∂z
−
∂Mz
∂z
Entonces la corriente de magnetización JM se expresa como
JM = ∇×M
JM es una c...
A(r) =
µ0
4π V0
M(r )×(r−r )
|r−r |3
dV
∇×(ϕF) = (∇ϕ)×F+ϕ∇×F,
V
∇×FdV =
S
n×FdS
58
A(r) =
µ0
4π V0
∇ ×M
|r−r |
dV +
µ0
4π S0
M×n
|r−r |
dS
entonces
JM = ∇×M, KM = M×n
es decir
A(r) =
µ0
4π V0
JM
|r−r |
dV ...
Por otro lado
B(r) = ∇×A =
µ0
4π V0
∇× M×
r−r
|r−r |3
dV
∇× M×
r−r
|r−r |3
= M∇·
r−r
|r−r |3
−(M·∇)
r−r
|r−r |3
∇·M = 0 en...
BI =
µ0
4π V0
M4πδ(r−r )dV = µ0M(r)
BII = −µ0∇
1
4π V0
M·
r−r
|r−r |3
dV
BII = −µ0∇ϕ(r)
ϕ(r) =
1
4π V0
M·
r−r
|r−r |3
dV
B...
Potencial escalar y densidad de polo magnético
ϕ(r) =
1
4π V0
M·
r−r
|r−r |3
dV
M·
r−r
|r−r |3
= ∇ ·
M
|r−r |
−
1
|r−r |
∇...
ρM = −∇·M y σM = M·n
el campo B es
B(r) =
µ0
4π V0
ρM
r−r
|r−r |3
dV +
µ0
4π S0
σM
r−r
|r−r |3
dS + µ0M(r)
63
Fuentes de campo magnético e intensidad magnética
Si existe corriente eléctrica, entonces el campo B en un medio
material ...
H =
1
µ0
B−M
B = µ0(H+M)
65
Ley de Gauss y Ampere
La ley de Gauss en medios materiales es expresado por
∇·B = 0,
S
B·ndS = 0
La ley de Ampere se escri...
∇×H = J
Integrando a través de una superficie y utilizando el teorema de
Stokes tenemos
C
H·dl =
S
J·ndS
Medios magnéticos ...
donde χm es una constante adimensional llamada susceptibilidad
magnética del material.
La susceptibilidad depende de las p...
Permeabilidad magnética: En medios lineales el campo B
también es proporcional al campo magnético H
B = µ0(H+M) = µ0(1+ χm...
Materiales diamagnéticos: poseen susceptibilidad negativa con
|χm| << 1 de modo que µ ≈ µ0. En estos materiales el campo
a...
Materiales paramagnéticos: tienen susceptibilidad positiva, que
hace que la magnetización del material refuerce al campo e...
Ferromagnetismo: Un material está dividido en dominios magnéticos,
separados por superficies conocidas como paredes de Bloc...
Condiciones de frontera
Las condiciones de contorno que deben verificar los campos B y H
en la superficie de separación entr...
Al utilizar la ley de Ampere se obtiene
H2 ·l−H1 ·l = K·lˆt
(H2 −H1)·l = K·lˆt
siendo ˆt un vector perpenicular a l = hˆl,...
Problemas de frontera
En medios donde la corriente eléctrica es nula J = 0, la ley Ampere
se escribe como ∇×H = 0, que nos...
Problema: Determinar el campo B generado por una esfera
magnética de radio a magnetizada uniformemente con M = M0ˆz
La sol...
Cn = 0
ϕ2(r,θ) =
∞
∑
n=0
Dnr−(n+1)
Pn(θ)
Para obtener An y Dn usamos las condiciones de frontera H2t = H1t y
B2n = B1n
H1 ...
Problema: Esfera magnética en un campo magnético uniforme
Determinar el campo B generado por una esfera magnética de
perme...
Si B = B0ˆz, entonces en r → ∞ ϕ2 → −
B0
µ0
rcosθ, es decir C1 = −
B0
µ0
,
así mismo como rn
son funciones divergentes en ...
Problemas
1. Una esfera magnética de radio R tiene magnetización constante
M0ˆz, determine el campo de inducción magnética...
3. Dados dos cilindros concéntricos muy largos determine el
potencial vector y la densidad de energia magnética en todo pu...
4. Un magneto permanente en a forma de un cilindro de longitud L y
radio R es orientada tal que su eje de simetría coincid...
Energía magnética
Para establecer un campo es necesario realizar un gasto de energía.
Si a un circuito eléctrico con resis...
Vdq = IdΦ+RI2
dt
si no existen pérdidas por efecto Joule
dWb = IdΦ
El trabajo realizado por un agente externoa para altera...
Si las corrientes en cada circuito i varían linealmente desde cero
hasta las corrientes finales Ii, es decir Ii = αiIi, dΦi...
Para un solo circuito
Φ = LI, U =
1
2
IΦ =
1
2
LI2
=
1
2
Φ2
L
Densidad de energía magnética
Φi =
Si
B·ndS =
Ci
A·dli
enton...
reemplazando ∇ × H = J y teniendo en cuenta que ∇ · (A × H) =
H·(∇×A)−(∇×H)·A se obtiene
U =
1
2 V
[H·(∇×A)−∇·(A×H)]dV
usa...
definiendo la densidad de energía
u =
1
2
H·B, tal que U =
V
udV
Para un medio lineal e isótropo
u =
1
2
µH2
=
1
2
B2
µ
88
Problema.- Un imán permanente tiene la forma de un cilindro
circular recto de longitud L. Si la magnetización M es uniform...
Problema.- Encontrar la distribución de las corrientes de magnetización
correspondientes a una esfera con magnetización un...
Problema.- Una esfera magnética de permeabilidad magnética µ
constante y radio R, centrada en el origen tiene una magnetiz...
Problema.- Dado una cáscara esférica de radio interior R1 y radio
exterior R2, uniformemente magnetizada en la dirección d...
Problema.- Un elipsoide con ejes principales de longitudes 2a, 2a
y 2b, es magnetizada uniformemente en la dirección paral...
Problemas
1. Si M =
M0
a
(−yˆx + xˆy) en un cubo de arista a. Suponiendo k0
constante y el medio tiene permeabilidad const...
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones
que describen por completo los fenóme...
1. Ley de Gauss de la Electrostática
S
D· ˆndS =
1
ε0
ρdV, ∇·D = ρ
2. Ley de Gauss del magnetismo
S
B· ˆndS = 0, ∇·B = 0
3...
Generalización de la ley de Ampere
Al considerar la ley de Ampere a través del área S1 tenemos
C
H·dl =
S1
J· ˆndS = I
Por...
Maxwell corrige la incoherencia con la corriente de desplazamiento.
De la ley de Ampere ∇×H = J tenemos ∇·J = 0
Pero la co...
Energía electromagnética
De las ecuaciones de Maxwell
∇·(E×H) = −H·
∂B
∂t
−E·
∂D
∂t
−E·J
∇·(E×H) = −
∂
∂t
1
2
(H·B+E·D)−E·...
Ecuación de onda para E en medios no conductores
∇×(∇×E) = −
∂
∂t
(∇×B)
Sustituyendo ∇ × B de acuerdo a la ley de Ampere y...
Igualando a cero y teniendo que µε =
1
v2
, siendo v la velocidad de
la luz, tenemos
∇2
E−
1
v2
∂2
E
∂t2
= 0
Ecuación de o...
∇(∇·H)−∇2
H = ε
∂
∂t
(∇×E)
Sustituyendo ∇ × E de acuerdo a la ley de Faraday e igualando a
cero, tenemos la ecuación de on...
Problema.- Compruebe si los campos siguientes son campos
electromagnéticos genuinos; es decir si satisfacen las ecuaciones...
Potenciales electromagnéticos
Como ∇·B = 0 entonces
B = ∇×A
en la ley de Faraday ∇× E+
∂A
∂t
= 0 entonces
E = −∇ϕ −
∂A
∂t
...
∇(∇·A)−∇2
A = µJ−εµ∇
∂ϕ
∂t
−εµ
∂2
A
∂t2
−∇2
A+∇ ∇·A+εµ
∂ϕ
∂t
+εµ
∂2
A
∂t2
= µJ
Considerando la condición de Lorentz ∇·A+εµ...
Las soluciones formales de las ecuaciones de Poisson para los
potenciales electromagnéticos A y ϕ son:
A =
µ
4π V
J(r ,t )...
Ondas monocromáticas
OEM con una sola frecuencia cuyo campo eléctrico es
E(r,t) = E(r)e−jωt
, H(r,t) = H(r)e−jωt
Las ecuac...
Si la OEM se propaga en la dirección de eje z
d2
E(z)
dz2
+k2
E(z) = 0
con k = ω
√
εµ =
ω
v
número de onda. Luego
E(z) = E...
Ondas planas monocromáticas
En un medio no conductor la Ec. de onda para E es ∇2
−εµ
∂E
∂t
= 0,
cuya solución se expresa c...
110
En las ecuaciones de Maxwell con
∂
∂t
= −jω y ∇ = jk, D = εE,
B = µH tenemos
k·D = 0 → k·E = 0
k·B = 0 → k·H = 0
k×E = ωB ...
Problema.- El campo eléctrico de una onda plana en un medio
no conductor es dado por E(r,t) = E0e−j(ωt−k·r)
, determine el...
Problema.- El campo eléctrico en el vacío es dado por
E = 50cos(108
t +βx)ˆyV/m
(a) Halle la dirección de la propagación d...
Problema.- La componente del campo magnético de una onda
plana en un dieléctrico sin pérdidas es
H = 30sen(2π ×108
t −5x)ˆ...
Problema.- Una onda plana uniforme que viaja en el un medio
dieléctrico de permitividad eléctrica ε = 1.5ε0 en la direcció...
Polarización de OEM
Si el campo eléctrico es de la forma: E = E0 · e−j(ωt−k·r)
, cuando
la onda viaja en la dirección del ...
En el resto de casos se producirá polarización elíptica.
En el caso de polarización elíptica, el sentido de giro de la
pol...
118
Ondas en medios disipativos
En un medio disipativo la OEM pierde potencia al propagarse a
causa de una conducción deficient...
∇(∇·E)−∇2
E = jωµ(σ − jωε)E
∇2
E+γ2
E = 0
con γ2
= jωµ(σ − jωε).
Así mismo para H tenemos ∇2
H+γ2
H = 0.
Considerando que ...
Si la OEM viaja a lo largo del eje z entonces E = E(z)
d2
dz2
E−γ2
E = 0 → E(z) = E0e±γz
E(z,t) = E0e−αz
cos(ωt −βz)
Profu...
En un buen conductor σ ωε es decir σ ∞, ε = ε0 y µ = µ0µr,
entonces
α = β =
ωµσ
2
, η =
ωµ
σ
45
de modo que E se adelanta ...
Reflexión y refracción de OEM
Cuando una OEM que se propaga en un medio de características
µ1, ε1 pasa a otro medio con µ2 ...
E0ie−j(ωit−ki·r)
+E0re−j(ωrt−kr·r)
tangente
= E0te−j(ωtt−kt·r)
tangente
Donde la frecuencia ωi de la onda incidente se con...
Incidencia normal en medios no conductores
Sea el medio 1 de incidencia z < 0 y el medio 2 de refracción z > 0,
en inciden...
Los coeficientes de reflexión r y de transmisión t son:
r =
E0r
E0i
=
n1 −n2
n1 +n2
; t =
E0t
E0i
=
2n1
n1 +n2
La Reflectanci...
Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarización
paralela)
medio de incidencia 1 (z < 0) y medio de refracción...
E0i = E0i(ˆicosθi − ˆksenθi), E0r = E0r(ˆicosθr + ˆksenθr)
E0t = E0t(ˆicosθt − ˆksenθt)
r =
E0r
E0i
=
ε1 senθi cosθt −ε2 s...
Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarización
perpendicular)
129
Reflexión en un plano conductor (incidencia normal)
Sea la onda incidente y reflejada en un medio no disipativo
Ei = E0i ˆxe...
Reflexión total interna.- Ocurre cuando n1 > n2
senθc =
n2
n1
, θc = ángulo crítico
131
Guías de Onda
Medio dieléctrico que permite transmitir energía electromagnética
de un punto a otro. Se utiliza generalment...
Campos en una guía de onda
Dada una guía de onda con eje paralelo al eje z, de modo que
E(r,t) = ξ(x,y)e−j(ωt−kgz)
, H(r,t...
Entonces las ecuaciones de Maxwell se reescriben como:
∇·E = 0 =⇒
∂ξx
∂x
+
∂ξy
∂y
+ jkgξz = 0
∇·H = 0 =⇒
∂ℵx
∂x
+
∂ℵy
∂y
+...
∇×H = ε
∂E
∂t
=⇒



∂ℵz
∂y
− jkgℵy = −jωεξx
jkgℵx −
∂ℵz
∂x
= −jωεξy
∂ℵy
∂x
−
∂ℵx
∂y
= −jωεξz
De las ocho ecua...
ℵy =
j
k2
c
ωε
∂ξz
∂x
+kg
∂ℵz
∂y
∂2
ξz
∂x2
+
∂2
ξz
∂y2
+k2
cξz = 0
∂2
ℵz
∂x2
+
∂2
ℵz
∂y2
+k2
cℵz = 0
k2
c = k2
0 −k2
g ⇒ k...
Modo de propagación transversal eléctrico TE
El campo eléctrico no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ℵz
∂x2
...
Guías de Onda Slab
Propagación por reflexión múltiple → genera modos diferentes a
TEM |ku| = |kd| = k = ω
√
µε
ξx =
j
k2
c
...
Modos TE y TM en guias de onda SLAB con paredes
conductoras
Modo TE ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ℵz
∂x2
+k2
cℵz = 0 solución ℵz(x) =...
Usando las condiciones de frontera ξy(0) = 0 tenemos B = 0 y si
ξy(a) = 0 entonces
senkca = 0 kc =
mπ
a
, m = 0,1,2,...
kg...
Modo TM ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ξz
∂x2
+k2
cξz = 0 solución ξz(x) = Acoskcx+Bsenkcx
Usando las condiciones de frontera ξz(0) = ...
Guías de onda rectangulares
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+k2
cψ = 0, ψ(x,y) = X(x)Y(y)
1
X
d2
X
dx2
= −
1
Y
d2
Y
dy2
−k2
c = k2
1
d...
Modo TE ξz = 0 y ℵz = 0
ℵz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y)
ξx =
jωµ
k2
c
∂ℵz
∂y
=
jωµk2
k2
c
(Asenk1x+Bcosk1x)(C...
ℵz(x,y) = BDcos(k1x)cos(k2y)
ξx = −
jωµk2
k2
c
BDcos(k1x)sen(k2y)
ξy =
jωµk1
k2
c
BDsen(k1x)cos(k2y)
ξx(x,b) = 0 ⇒ k1 =
mπ...
ξx = −
jωµ
k2
c
pπ
a
H0 cos
mπ
b
x sen
pπ
a
y
ξy =
jωµ
k2
c
mπ
b
H0 sen
mπ
b
x cos
pπ
a
y
ξz = 0
ℵz(x,y) = H0 cos
mπ
b
x c...
Modo TM ξz = 0 y ℵz = 0
ξz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y)
considerando que ξz es cero en las fronteras
ξz(0,y) ...
ξy(x,b) = 0 ⇒ k2 =
pπ
b
p = 0,1,2,3,...
ξx =
jkg
k2
c
∂ξz
∂x
, ξy =
jkg
k2
c
∂ξz
∂y
ℵx = −
jωε
k2
c
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Problema.- Una guía de ondas rectangular con vacío en su interior
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onda TMmn en una guía rectangular, que hace que E sea transve...
Guías de onda circulares
Dada una guía de onda circular con eje paralelo al eje z, de modo
que
E(r,t) = ξ(r,φ)e−j(ωt−kgz)
...
∇×E = −µ
∂H
∂t
=⇒



1
r
∂ξz
∂φ
− jkgξφ = jωµℵr
jkgξr −
∂ξz
∂r
= jωµℵφ
1
r
∂(rξφ)
∂r
−
1
r
∂ξr
∂φ
= jωµℵz
∇...
ξr =
j
k2
c
kg
∂ξz
∂r
+
ωµ
r
∂ℵz
∂φ
ξφ =
j
k2
c
kg
r
∂ξz
∂φ
−ωµ
∂ℵz
∂r
ℵr =
j
k2
c
−
ωε
r
∂ξz
∂φ
+kg
∂ℵz
∂r
ℵφ =
j
k2
c
ωε...
k2
c = k2
0 −k2
g ⇒ kg = k2
0 −k2
c
Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,
si kg es imaginario...
Modo de propagación transversal eléctrico TE
El campo eléctrico no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz = 0
1
r
∂
∂r
r...
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
+
1
r2
∂2
ψ
∂φ2
+k2
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Por separación de variables ψ(r,φ) = R(r)Φ(φ), entonces reemplazando
y multipl...
cos(2mπ) = 1, 2mπ = 0,2π,4π,...
por tanto m es un número entero.
Por otro lado R(r) verifica la ecuación de Bessel de orden...
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∞
∑
k=0
(−1)k
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2k+m
160
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Jα(x)cos(απ)−J−α(x)
sin(απ)
, ∀α /∈ Z
Nm(x) = l´ım
α→m
Nα(x), ∀m ∈ Z
161
Para una guía de onda circular de radio a, tenemos que en r < a el
campo debe ser finito, pero en r = 0, tenemos que
l´ım
r...
Modos transversal eléctrico TEmp (ξz = 0 y ℵz = 0)
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p número de cero...
ℵr =
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Modos transversal magnético TMmp (ξz = 0 y ℵz = 0)
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Cavidades Resonantes
Región (volumen) totalmente encerrado por paredes perfectamente
conductoras
ψ(r,t) = ψ0(r)e−jωt
∇2
ψ0...
ψ0(r) = X(x)Y(y)Z(z)
X(x) = A1 senk1x+B1 cosk1x
Y(y) = A2 senk2x+B2 cosk2x
Z(z) = A3 senk3x+B3 cosk3x
k2
0 = k2
1 +k2
2 +k...
Ex = (A1 senk1x+B1 cosk1x)senk2ysenk3ze−jωt
Ey = senk1x(A2 senk2y+B2 cosk2y)senk3ze−jωt
Ez = senk1xsenk2y(A3 senk3z+B3 cos...
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Clase 2015 i electromagnetismo ii

  1. 1. Magnetismo en el vacio Magnetita (Fe3O4), imán permanente. Principios del siglo XIX Experimento de Oersted. 1
  2. 2. Campo magnético socio del campo eléctrico, Gauss, Henry, Faraday y otros. 2
  3. 3. Los campos eléctricos y magnéticos se encuentra relacionados, Maxwell y otros 3
  4. 4. Inducción magnética Cargas en reposo producen Fe = 1 4πε0 qq1 r2 r r Carga en movimiento a velocidad constante produce Fm = µ0 4π qq1 r2 v× v1 × r r con µ0 4π = 10−7 N.s2 /C2 . Fm = qv×B B = µ0 4π qq1 r2 v1 × r r F = q(E+v×B) Si v,v1 c los efectos magnéticos son despreciables respecto a los efectos eléctricos Fm Fe ≤ v c v1 c con c2 = 1 ε0µ0 4
  5. 5. Fuerza y torque magnético La fuerza magnética ejercida por un campo magnético B sobre un conductor de sección transversal S y con N número de portadores por unidad de volumen es: dF = NS|dl|qv×B dF = Nq|v|Sdl×B dF = Idl×B Si el campo B es uniforme F = C Idl×B = 0. El torque magnético que ejerce un campo B sobre un conductor que conduce una corriente I es dτ = r×dF = Ir×(dl×B) 5
  6. 6. El torque resultante sobre un circuito cerrado es τ = I C r×(dl×B) Si B es constante τ = IS×B, m = IS S = 1 2 C r×dl, m = 1 2 I C r×dl Problema: Una partícula cargada de masa m y carga q se mueve en un campo magnético uniforme de inducción magnética B = B0 ˆk. Demuestre que el movimiento más general que describe la partícula es una hélice, cuya sección transversal es una circunferencia de radio R = mv⊥/qB. (v⊥ es la componente de la velocidad v perpendicular a B). 6
  7. 7. Problema:Dado un campo magnético B = B0(x+y)ˆk calcular la fuerza y el torque magnético sobre el circuito rectangular de lados a y b, que conduce una corriente I. 7
  8. 8. Problema: Una partícula de carga q y masa m se deja con velocidad inicial nula en el origen de coordenadas, en presencia de un campo gravitatorio que ejerce una fuerza −mgˆk y un campo magnético uniforme B = B0 ˆj. Formular las ecuaciones de movimiento de la partícula y calcular las distintas componentes de la velocidad. 8
  9. 9. Ley de Biot-Savart Ampere dedujo que la fuerza magnética entre dos conductores que transportan corrientes I1 e I2 es F2 = µ0 4π I1I2 1 2 dl2 ×[dl1 ×(r2 −r1)] |r2 −r1|3 9
  10. 10. Teniendo en cuenta que F2 = I2 2 dl2 ×B(r2) se tiene B(r2) = µ0 4π I1 1 dl1 ×(r2 −r1) |r2 −r1|3 dB(r2) = µ0 4π I1 dl1 ×(r2 −r1) |r2 −r1|3 Expresando en términos de la densidad de corriente B(r2) = µ0 4π V J(r1)×(r2 −r1) |r2 −r1|3 dv1 dB(r2) = µ0 4π J(r1)×(r2 −r1) |r2 −r1|3 dv1 B(r2) = µ0 4π S K(r1)×(r2 −r1) |r2 −r1|3 dS1 10
  11. 11. Problema: Determinar el campo magnético generado por un conductor rectilíneo infinito que conduce una corriente I a x = tan(π −θ) = −tanθ 11
  12. 12. Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud que se ejercen dos conductores paralelos separados una distancia d y que conducen corrientes I1 e I2 F L = µ0 2π I1I2 d 12
  13. 13. Problema: Determinar el campo magnético generado por una espira circular que conduce una corriente I 13
  14. 14. Problema: Calcular el campo magnético en el centro de un solenoide 14
  15. 15. Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud que ejerce el conductor plano de ancho W que conduce una corriente de densidad K = K0 ˆj sobre el alambre conductor que conduce una corriente I0. 15
  16. 16. Ley de Ampere Para corrientes estacionarias ∇·J = 0, entonces ∇2 ×B(r2) = µ0 4π V ∇2 × J(r1)×(r2 −r1) |r2 −r1|3 dv1 ∇×B(r2) = µ0J(r2) C B·dl = µ0 S J·ndS 16
  17. 17. Verificar la ley de ampere utilizando una corriente lineal infinita. 17
  18. 18. Problema: Determinar el campo magnético en cada región del cable coaxial que conduce una corriente uniforme I entrante por la parte interior y saliente por la exterior. 18
  19. 19. Potencial vector magnético Ley de Gauus ∇2 ·B(r2) = 0 entonces B = ∇×A es decir ∇2 A = −µ0J solución A(r2) = µ0 4π V1 J(r1) |r2 −r1| dv1 en puntos muy alejados A(r) = µ0 4π m×r r3 19
  20. 20. Potencial escalar magnético ∇×B(r2) = µ0J(r2), si J = 0 entonces B = −µ0∇ϕ de acuerdo a ∇·B = 0 ϕ cumple con ∇2 ϕ = 0 solución en puntos muy alejados ϕ(r) = m·r 4πr3 20
  21. 21. Problema: En la figura, sean las regiones 0 < z < 0.3 m y 0.7 < z < 1.0 m barras conductoras que transportan densidades de corriente uniformes de 10 A/m2 en direcciones opuestas. Encontrar B en (a) z = −0.2; (b) z = 0.2; (c) z = 0.4; (d) z = 0.75 y (e) z = 1.2 m. 21
  22. 22. Problema: Por un cilindro conductor de radio a muy largo circula una corriente de densidad J = J0 ρ a ˆz Calcular el potencial vector magnético, considerando que el potencial vector de referencia es A(ρ = a) = 0 Solución: consideramos A = Az(ρ)ˆz ∇2 A = 1 ρ d dρ ρ dAz dρ = −µ0J0 ρ a si ρ ≤ a 0 si ρ > a 22
  23. 23. Problemas 1. Un conductor lineal de la figura conduce corriente I constantes, si las partes rectas del conductor tienen longitud L y la parte semi-circular tiene radio R determine la fuerza magnética que ejerce el campo magnético B = B0xˆy sobre el conductor. 2. Un conductor plano de ancho W que tiene la forma mostrada e la figura conduce una corriente total constante I0, si las partes rectas del conductor son semi-infinitas, determine el campo magnético producido por el conductor en el origen de coordenadas. 23
  24. 24. (Sugerencia: utilice ley de Biot y Savart.) 3. Un conductor filamentario forma un triángulo equilátero cuyos lados son de longitud l y transporta una corriente I. Determine la intensidad del campo de inducción magnética en el centro del triángulo. 4. Un cilindro conductor largo de radio R conduce a lo largo de su longitud una corriente de densidad J = J0 1− r R , 24
  25. 25. donde r es la distancia radial de un punto del espacio a partir del eje del cilindro. Determine El campo magnético producido por la corriente en puntos (a) r < R y (b) r > R. (Sugerencia: Utilizar ley de Ampere) 5. Un protón cuya velocidad es de 107 m/s se lanza perpendicularmente a un campo uniforme de inducción magnética de 0.15 T. (a) ¿Cuánto se desvía la trayectoria de la partícula de una línea recta después de que ha recorrido una distancia de 1 cm? (b) ¿Cuánto tarda el protón en recorrer un arco de π/2?. 6. Dado el campo magnético B = B0 ρ R ˆz T (Tesla), donde R es una constante y 0 ≤ ρ ≤ R (ρ distancia radial a partir del eje z). Determine la fuerza y torque magnético total que ejerce B sobre una espira de la figura, que conduce una corriente I en sentido antihorario. Considere el radio del arco circular igual a R. 25
  26. 26. 7. Un disco conductor delgado de radio interno a y radio externo b, conduce una corriente superficial K uniforme, se dobla por la mitad que modo que una mitad del disco se encuentra en el plano xy y la otra mitad en el plano xz, si la dirección de la corriente en la mitad que se encuentra sobre el plano xy es ˆφ determine la inducción magnético B en un punto z0ˆz (z0 > b) sobre el eje z. 8. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico 26
  27. 27. macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interior conduce una corriente de densidad J0 1− r R , con 0 ≤ r ≤ R y el conductor exterior conduce una corriente de densidad uniforme. Si toda la corriente que ingresa por el conductor interior regresa por el conductor exterior, determine el potecial vector y el campo de inducción magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R. 9. Dado el campo magnético B = B0 ρ L ˆz T (Tesla), donde L es una constante y 0 ≤ ρ ≤ L (ρ distancia radial a partir del eje z). Determine la fuerza y el torque magnético total que ejerce B sobre la espira triangular de la figura, que conduce una corriente I en sentido antihorario. 27
  28. 28. 10. Sobre el cilindro semicircular dieléctrico de la figura se enrolla con un alambre de cobre esmaltado (haciendo espiras semicirculares de radio C), tal que el número de vueltas por unidad de longitud n = N/B sea constante. Si sobre la bobina así construida se aplica una corriente I0, determine el campo magnético que genera la bobina en un punto sobre la base del cilindro y a la mitad de la distancia A. 28
  29. 29. 11. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico hueco de radio R y exterior 2R y el conductor exterior es cilíndrico hueco con radio interior 2R y radio exterior 3R. El conductor interior conduce una corriente de densidad J0 1− r 2R , con R ≤ r ≤ 2R y el conductor exterior conduce una corriente de densidad uniforme. Si toda la corriente que ingresa por el conductor interior regresa por el conductor exterior, determine el potencial vector y el campo de inducción magnética en (a) R < r < 2R, (b) 2R < r < 3R y (c) r > 3R. 12. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en una región con campo magnético uniforme B = B0 ˆy y campo eléctrico constante E = E0ˆz. Si la partícula en t = 0 se encontraba en el origen de coordenadas con velocidad inicial v0 ˆx, determine la posición en función del tiempo y realice una gráfica aproximada de la trayectoria seguida por la partícula. 29
  30. 30. 13. En una región con campo magnético B = A|x|ˆz T (Tesla), donde A es una constante se encuentra un anillo semicircular de radio R que bordea la sección semicircular 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π y z = 0. Si la corriente I en la espira circula en sentido antihorario, determine el torque magnético total que ejerce B sobre la espira. 14. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origen tiene una corriente superficial de densidad K = K0|z| ˆφ, si la región dentro de la esfera es aire, determine el campo de inducción magnética en el centro de la cascara esférica. 15. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interior conduce una corriente de densidad J0 1− r R , con 0 ≤ r ≤ R y el conductor exterior conduce una corriente uniforme cuya densidad 30
  31. 31. −JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductor interior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducción magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R. 16. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en una región con campo magnético uniforme B = B0 ˆx y campo eléctrico constante E = E0ˆz. Si la partícula en t = 0 se encontraba en el origen de coordenadas con velocidad inicial v0 ˆy, determine la posición en función del tiempo y realice una gráfica aproximada de la trayectoria seguida por la partícula. 17. En una región con campo magnético B = A|x|(ˆx+ ˆz) T (Tesla), donde A es una constante se encuentra un anillo circular de radio R que bordea la sección semicircular 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 3π/2 y z = 0. Si la corriente I en la espira circula en sentido antihorario, determine el torque magnético total que ejerce B sobre la espira. 31
  32. 32. 18. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origen tiene una corriente superficial de densidad K = K0|z| ˆφ, si la región dentro de la esfera es aire, determine el campo de inducción magnética en el punto Rˆz de la cáscara esférica. 19. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor exterior conduce una corriente de densidad J0 2− r R , con R ≤ r ≤ 2R y el conductor interior conduce una corriente uniforme cuya densidad es −JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductor exterior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducción magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R. 32
  33. 33. Inducción electromagnética Flujo magnético Cantidad de líneas de campo magnético que pasan a través de una superficie. Φ = S B·dS webers(Wb) 33
  34. 34. Ley de Gauss del magnetismo En la naturaleza no existen monopolos magnéticos ∇·B = 0 o S B·ndS = 0 34
  35. 35. Inducción electromagnética Propuesta por Faraday y Henry a principios del siglo XIX. En electrostática tenemos ∇×E = 0 y ∇·D = ρ Fuerza electromotriz C E · dl = ε que es igual a cero para campos E y B estáticos. 35
  36. 36. Pero si el flujo magnético sobre un circuito cerrado varía con el tiempo entonces se encuentra que ε = − dΦ dt siendo Φ = S B·ndS el flujo magnético. C E·dl = − d dt S B·ndS Utilizando el teorema de Stokes S ∇×E·ndS = − S ∂B ∂t ·ndS Forma diferencial de la ley de Faraday ∇×E = − ∂B ∂t 36
  37. 37. Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida es tal, que produce una corriente, cuyo campo magnético se opone al cambio de flujo magnético externo aplicado. 37
  38. 38. Fem por movimiento: producida cuando una barra conductora se mueve dentro de un campo magnético La fuerza magnética produce la separación de cargas eléctricas positivas y negativas sobre el conductos, hecho que induce un un campo eléctrico de modo que la fuerza resultante sobre una carga del 38
  39. 39. conductor es F = q(E+v×B) si v es perpendicular a B en el caso límite se obtiene E = vB, de modo que si B = cte la diferencia de potencial entre los extremos de la barra es ε = ∆ϕ = − b a E·dl = El = BLv Se obtienen resultados similares si se considera la ley de Faraday sobre el circuito cerrado imaginario abcd, es decir ε = − dΦ dt = Blv. En general si v no es perpendicular a B, pero B = cte ε = B·l×v 39
  40. 40. Autoinducción Representa la inducción electromagnética que produce un circuito sobre sí mismo. Se encuentra que el flujo magnético sobre el circuito es proporcional a la corriente dΦ dt = dΦ dI dI dt siendo la Autoinductancia L = dΦ dI es decir ε = −L dI dt 40
  41. 41. Bobina toroidal B = µ0NI l Φ1 = µ0NIA l , Φ = µ0N2 IA l , L = µ0N2 A l 41
  42. 42. Inductancia Mutua Dado un sistema de n circuitos, el flujo sobre el i-ésimo circuito es Φi = Φi1 +Φi2 +...+Φii +...+Φin = n ∑ j=1 Φij La fem inducida sobre el circuito i es εi = − dΦi dt = − n ∑ j=i dΦij dt Si los cambios de flujo dependen de las corrientes dΦij dt = dΦij dIj dIj dt → Mij = dΦij dIj , i = j 42
  43. 43. Embobinados toroidales B = µ0N1I1 l , Φ11 = µ0N2 1 I1A l , Φ21 = µ0N1N2I1A l L1 = µ0N2 1 A l M21 = µ0N1N2A l B = µ0N2I2 l , Φ22 = µ0N2 2 I2A l , Φ12 = µ0N1N2I2A l L2 = µ0N2 2 A l M12 = µ0N1N2A l M12 = M21 M12 = √ L1L2, M12 = k √ L1L2, 0 ≤ k ≤ 1 k coeficiente de acoplamiento. 43
  44. 44. Inductancias en serie y paralelo Serie V = (R1 +R2)I +(L1 +L2 +2M) dI dt Lef = L1 +2k √ L1L2 +L2 Paralelo Lef = L1L2 −M2 L1 +L2 −2M 44
  45. 45. Problemas 1. La ubicación de la barra deslizante de la figura está dada por x = 5t + 2t3 y la separación entre los dos rieles es de 20 cm. Sea B = 0.8x2 ˆz T. Encontrar la lectura del voltímetro en a) t = 0.4 s y b) x = 0.6 m 45
  46. 46. 2. Un conductor metálico que tiene la forma de un segmento de alambre de longitud L se mueve en un campo magnético B con velocidad v. Partiendo de una consideración detallada de la fuerza de Lorentz sobre los electrones del alambre, demuestre que los extremos de este se encuentran a la diferencia de potencial: B·L×v. 3. Una varilla metálica de un metro de longitud gira en torno a un eje, que pasa por uno de sus extremos y que es perpendicular a la varilla, con una velocidad angular de 12 rad/s. El plano de rotación de la varilla es perpendicular al campo magnético uniforme de 0.3 T. ¿Cuál es la fem inducida por movimiento entre los extremos de la varilla? 46
  47. 47. 4. Un cilindro conductor de radio R muy largo que coincide con el eje y conduce una corriente eléctrica de densidad J1(t) = J0 r R cosωt ˆy y una espira triangular de vértices (R + b)ˆx, (R + b + L)ˆx y (R + b)ˆx + Lˆy se encuentra en el plano xy y conduce una corriente I2(t) en sentido antihorario. Determine: (a) la fem inducida por el alambre sobre la espira cuadrada y (b) la inductancia mutua entre el alambre y la espira. 47
  48. 48. 5. Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve con velocidad constante v hacia la derecha como se muestra en la figura, penetra en una región de anchura 2b donde hay un campo magnético B = B0xcosωtˆz perpendicular al plano del papel y hacia fuera. Calcular (a) El flujo en función de la posición x del centro de la espira. (b) La fem y el sentido de la corriente inducida, justificando la respuesta en términos de la ley de Lenz 48
  49. 49. 6. Para una corriente rectilínea y una espira rectangular. (a) Calcular el coeficiente de inducción mutua. (b) Supongamos ahora, que la corriente rectilínea tiene una amplitud de 10 A y una frecuencia de 60 Hz, determinar la intensidad de la corriente inducida en la espira, si su resistencia es de 40 Ω. Dibújese sobre la espira el sentido de dicha corriente cada cuarto de periodo. Dibujar en un mismo gráfico, intensidad - tiempo, la intensidad en la corriente rectilínea y la intensidad en la espira. Razónese las respuestas. 49
  50. 50. Magnetismo en materiales 50
  51. 51. Dipolo magnético A = µ0I 4π dl r en puntos muy alejados A = µ0m× ˆr 4πr2 1 |r−r | = 1 r + r·r r3 +O(δ2 ) 51
  52. 52. A = µ0Iπa2 senθ 4πr2 ˆφ, m = 1 2 I C r× dr = ISˆn B = ∇×A = µ0m 4πr3 2cosθ ˆr +senθ ˆθ 52
  53. 53. Magnetización Objetivo: efecto del campo magnético sobre los materiales. La materia se compone de átomos, cada átomo tiene electrones que describen órbitas al rededor del núcleo y rotan en torno su propio eje (dipolos magnéticos). Estos dipolos magnéticos producen campo magnético. Magnetización: momento dipolar magnético por unidad de volumen M = l´ım ∆V→0 1 ∆V ∑ i mi mi es el momento dipolar magnético del i-ésimo átomo. En el SI M se mide en Am−1 53
  54. 54. Magnetización uniforme: las corrientes magnéticas se distribuyen uniformemente en el material (se eliminan todas las corrientes atómicas), pero existe corriente superficial. Magnetización no uniforme: la distribución de las corrientes atómicas varía en el espacio, generando corrientes de magnetización dentro del material (estas corrientes no implican movimiento de cargas eléctricas libres). 54
  55. 55. Corriente de magnetización El momento dipolar de un volumen ∆V es ∆m = M∆V, que a su vez se expresa como ∆m = ISˆn, entonces los momentos dipolares de los elementos de volumen de la figura son Mx∆x∆y∆z = Ic∆y∆z, Mx + ∂Mx ∂y ∆y ∆x∆y∆z = Ic ∆y∆z 55
  56. 56. La corriente magnética paralela al eje z en la región entre los dos elementos de volumen es Ic −Ic = − ∂Mx ∂y ∆x∆y al considerar elementos de volumen de magnetización My y My+∆y se tiene (Ic) = ∂My ∂x ∆x∆y La corriente total paralela al eje z es Jz = ∂My ∂x − ∂Mx ∂y Considerando elementos de volúmenes similares se encuentra 56
  57. 57. Jx = ∂Mz ∂y − ∂My ∂z , Jy = ∂Mx ∂z − ∂Mz ∂z Entonces la corriente de magnetización JM se expresa como JM = ∇×M JM es una corriente ficticia que aparece en un material magnetizado. Campo magnético producido por un material magnetizado Considerando elementos de volumen con ∆m = M∆V el potencial vector A es 57
  58. 58. A(r) = µ0 4π V0 M(r )×(r−r ) |r−r |3 dV ∇×(ϕF) = (∇ϕ)×F+ϕ∇×F, V ∇×FdV = S n×FdS 58
  59. 59. A(r) = µ0 4π V0 ∇ ×M |r−r | dV + µ0 4π S0 M×n |r−r | dS entonces JM = ∇×M, KM = M×n es decir A(r) = µ0 4π V0 JM |r−r | dV + µ0 4π S0 KM |r−r | dS Calculando ahora el campo de inducción magnética B(r) = ∇×A = µ0 4π V0 JM ×(r−r ) |r−r |3 dV + µ0 4π S0 KM ×(r−r ) |r−r |3 dS 59
  60. 60. Por otro lado B(r) = ∇×A = µ0 4π V0 ∇× M× r−r |r−r |3 dV ∇× M× r−r |r−r |3 = M∇· r−r |r−r |3 −(M·∇) r−r |r−r |3 ∇·M = 0 entonces B = BI(r)+BII(r) BI = µ0 4π V0 M∇· r−r |r−r |3 dV BII = − µ0 4π V0 (M·∇) r−r |r−r |3 dV 60
  61. 61. BI = µ0 4π V0 M4πδ(r−r )dV = µ0M(r) BII = −µ0∇ 1 4π V0 M· r−r |r−r |3 dV BII = −µ0∇ϕ(r) ϕ(r) = 1 4π V0 M· r−r |r−r |3 dV B(r) = −µ0∇ϕ(r)+ µ0M(r) 61
  62. 62. Potencial escalar y densidad de polo magnético ϕ(r) = 1 4π V0 M· r−r |r−r |3 dV M· r−r |r−r |3 = ∇ · M |r−r | − 1 |r−r | ∇ ·M entonces ϕ(r) = 1 4π V0 ρMdV |r−r | + 1 4π S0 σMdS |r−r | donde ρM y σM son la densidad de polo magnético dados por 62
  63. 63. ρM = −∇·M y σM = M·n el campo B es B(r) = µ0 4π V0 ρM r−r |r−r |3 dV + µ0 4π S0 σM r−r |r−r |3 dS + µ0M(r) 63
  64. 64. Fuentes de campo magnético e intensidad magnética Si existe corriente eléctrica, entonces el campo B en un medio material es B(r) = µ0 4π V J×(r−r ) |r−r |3 dV − µ0∇ϕ(r)+ µ0M(r) Considerando que la intensidad de campo magnético en el material es H dado por H(r) = 1 4π V J×(r−r ) |r−r |3 dV −∇ϕ(r) A/m tenemos 64
  65. 65. H = 1 µ0 B−M B = µ0(H+M) 65
  66. 66. Ley de Gauss y Ampere La ley de Gauss en medios materiales es expresado por ∇·B = 0, S B·ndS = 0 La ley de Ampere se escribe como ∇×B = µ0(J+JM) teniendo en cuenta que JM = ∇×M ∇× 1 µ0 B−M = J es decir 66
  67. 67. ∇×H = J Integrando a través de una superficie y utilizando el teorema de Stokes tenemos C H·dl = S J·ndS Medios magnéticos lineales Son materiales en las cuales la magnetización es proporcional al campo magnético H. M = χmH 67
  68. 68. donde χm es una constante adimensional llamada susceptibilidad magnética del material. La susceptibilidad depende de las propiedades del material: estructura electrónica, atómica, densidad, temperatura, etc. No depende del campo aplicado. En materiales isótropos, χm es una cantidad escalar. Esto implica que la magnetización es paralela al campo aplicado. En los materiales magnéticos anisótropos, la susceptibilidad es un tensor χm =    χxx χxy χxz χyx χyy χyz χzx χzy χzz    de forma que en estos materiales la magnetización no necesariamente es paralela al campo aplicado. 68
  69. 69. Permeabilidad magnética: En medios lineales el campo B también es proporcional al campo magnético H B = µ0(H+M) = µ0(1+ χm)H = µH a la cantidad µ = µ0(1+χm) se denomina permeabilidad magnética del material y a la cantidad µr = µ/µ0 = 1+ χm es la permeabilidad magnética relativa. 69
  70. 70. Materiales diamagnéticos: poseen susceptibilidad negativa con |χm| << 1 de modo que µ ≈ µ0. En estos materiales el campo aplicado se reduce debido a la magnetización. Material 105 χm Material 105 χm Bismuto -16.6 Mercurio -2.9 Plata -2.6 Carbono (diamante) -2.1 Carbono (grafito) -1.6 Plomo -1.8 Cloruro sódico -1.4 Cobre -1.0 Agua -0.91 CO2 -0.0012 70
  71. 71. Materiales paramagnéticos: tienen susceptibilidad positiva, que hace que la magnetización del material refuerce al campo externo aplicado, en general χm << 1, tal que µ ≈ µ0, sin embargo existen casos con χm alto. Material 105 χm Material 105 χm Gadolinio 48000 Óxido de hierro (FeO) 720 Uranio 40 Platino 26 Tungsteno 6.8 Aluminio 2.2 Lithium 1.4 Magnesio 1.2 Sodio 0.72 Oxígeno gaseoso 0.19 71
  72. 72. Ferromagnetismo: Un material está dividido en dominios magnéticos, separados por superficies conocidas como paredes de Bloch. En cada uno de estos dominios, todos los momentos magnéticos están alineados. La relación que tiene la magnetización M con el campo aplicado H es no lineal. 72
  73. 73. Condiciones de frontera Las condiciones de contorno que deben verificar los campos B y H en la superficie de separación entre dos medios se obtienen al utilizar la ley de Gauss del magnetismo y la ley de Ampere resultando (B2 −B1)·n2 = 0, n2 ×(H2 −H1) = K 73
  74. 74. Al utilizar la ley de Ampere se obtiene H2 ·l−H1 ·l = K·lˆt (H2 −H1)·l = K·lˆt siendo ˆt un vector perpenicular a l = hˆl, ademas ˆl = ˆt × ˆn2 lˆt ·[ˆn2 ×(H2 −H1)] = K·lˆt es decir n2 ×(H2 −H1) = K 74
  75. 75. Problemas de frontera En medios donde la corriente eléctrica es nula J = 0, la ley Ampere se escribe como ∇×H = 0, que nos permite expresar H en la forma H = −∇ϕ en medios magnéticos lineales o uniformemente magnetizados tenemos ∇·M = 0, es decir en la ley de Gauss ∇·B = 0 tenemos ∇·(µ0[−∇ϕ +M]) = 0 es decir ∇2 ϕ = 0 75
  76. 76. Problema: Determinar el campo B generado por una esfera magnética de radio a magnetizada uniformemente con M = M0ˆz La solución de ϕ(r,θ) en r < a es ϕ1(r,θ) = ∞ ∑ n=0 (Anrn +Bnr−(n+1) )Pn(θ) pero l´ım r→0 r−(n+1) no está definido, Bn = 0, ϕ1(r,θ) = ∞ ∑ n=0 Anrn Pn(θ) En r > a tenemos ϕ2(r,θ) = ∞ ∑ n=0 (Cnrn +Dnr−(n+1) )Pn(θ) debido a que las funciones rn son divergentes, es decir l´ım r→∞ rn = ∞, 76
  77. 77. Cn = 0 ϕ2(r,θ) = ∞ ∑ n=0 Dnr−(n+1) Pn(θ) Para obtener An y Dn usamos las condiciones de frontera H2t = H1t y B2n = B1n H1 = −∇ϕ1 = − 1 3 M, H2 = −∇ϕ2 = 1 3 M0 a3 r3 (2cosθ ˆr +senθ ˆθ) 77
  78. 78. Problema: Esfera magnética en un campo magnético uniforme Determinar el campo B generado por una esfera magnética de permeabilidad µ que se encuentra dentro de un campo de inducción magnética uniforme B = B0ˆz La solución de ϕ(r,θ) en r < a es ϕ1(r,θ) = ∞ ∑ n=0 (Anrn +Bnr−(n+1) )Pn(θ) pero l´ım r→0 r−(n+1) no está definido, Bn = 0, ϕ1(r,θ) = ∞ ∑ n=0 Anrn Pn(θ) En r > a tenemos ϕ2(r,θ) = ∞ ∑ n=0 (Cnrn +Dnr−(n+1) )Pn(θ) 78
  79. 79. Si B = B0ˆz, entonces en r → ∞ ϕ2 → − B0 µ0 rcosθ, es decir C1 = − B0 µ0 , así mismo como rn son funciones divergentes en r → ∞ entonces Cn = 0 para n = 1 ϕ2(r,θ) = − B0 µ0 rP1(θ)+ ∞ ∑ n=0 Dnr−(n+1) Pn(θ) Usando ahora las condiciones de frontera H2t = H1t y B2n = B1n 79
  80. 80. Problemas 1. Una esfera magnética de radio R tiene magnetización constante M0ˆz, determine el campo de inducción magnética B en el centro de la esfera. 2. Un imán cilíndrico de radio R y longitud L se define por medio de 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ z ≤ L, y tiene una magnetización dada por M = M0 1− ρ R ˆz, si 0 ≤ ρ ≤ R,0 ≤ φ ≤ 2π,0 ≤ z ≤ L 0 en cualquier otra región Determine el campo de inducción magnética B en el origen de coordenadas. 80
  81. 81. 3. Dados dos cilindros concéntricos muy largos determine el potencial vector y la densidad de energia magnética en todo punto del espacio, determine también la energía total magnética por unidad de longitud, teniendo en cuenta que el primer cilindro es conductor de radio R y conduce una corriente de densidad J = J0ˆz y el segundo conductor es un cilindro magnético hueco de radio interior R y radio exterior 2R con una magnetización M = M0 ρ R ˆφ, donde ρ es la distancia radial de un punto al eje del cilindro y M0 una constante. Considere que el campo de inducción magnética B es cero en ρ = 0 y el potencial vector A es una función continua en todo el espacio y toma el valor cero en ρ = 0. 81
  82. 82. 4. Un magneto permanente en a forma de un cilindro de longitud L y radio R es orientada tal que su eje de simetría coincide con el eje z. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del magneto. Si el cilindro tiene una magnetización constante M, (a) determine el potencial escalar en puntos sobre el eje z, dentro y fuera del magneto. (d) use los resultados de la parte (a) para encontrar la inducción magnética Bz en puntos del eje de simetría. 5. Una esfera de material magnético de radio R es ubicado en el origen de coordenadas. La magnetización es dado por M = (ax2 +b)ˆi, donde a y b son constantes. Determine las densidades y corrientes de magnetización. 82
  83. 83. Energía magnética Para establecer un campo es necesario realizar un gasto de energía. Si a un circuito eléctrico con resistencia R se aplica una fuente V, que produce una fem inducida ε, entonces V +ε = RI el trabajo que realizaV para mover un incremento de carga dq = Idt es Vdq = VIdt = (RI −ε)Idt = RI2 dt −εIdt de la ley de Faraday εdt = −dΦ, luego 83
  84. 84. Vdq = IdΦ+RI2 dt si no existen pérdidas por efecto Joule dWb = IdΦ El trabajo realizado por un agente externoa para alterar el campo magnético de un conjunto de circuitos es dWb = n ∑ i=1 IidΦi Si los flujos dΦi varían con las corrientes Ij dΦi = n ∑ j=1 dΦij dIj dIj = n ∑ j=1 MijdIj 84
  85. 85. Si las corrientes en cada circuito i varían linealmente desde cero hasta las corrientes finales Ii, es decir Ii = αiIi, dΦi = Φidα entonces dWb = 1 0 dα n ∑ i=1 IiΦi = n ∑ i=1 IiΦi 1 0 αdα U = 1 2 n ∑ i=1 IiΦi U = 1 2 n ∑ i=1 n ∑ j=1 MijIiIj Para dos circuitos acoplados U = 1 2 L1I2 1 +MI1I2 + 1 2 L2I2 2 85
  86. 86. Para un solo circuito Φ = LI, U = 1 2 IΦ = 1 2 LI2 = 1 2 Φ2 L Densidad de energía magnética Φi = Si B·ndS = Ci A·dli entonces U = 1 2 ∑ i IiΦi = 1 2 ∑ i Ci IiA·dli sustituyendo Iidli → JdV y ∑i Ci → V tenemos U = 1 2 V J·AdV 86
  87. 87. reemplazando ∇ × H = J y teniendo en cuenta que ∇ · (A × H) = H·(∇×A)−(∇×H)·A se obtiene U = 1 2 V [H·(∇×A)−∇·(A×H)]dV usando el teorema de la divergencia U = 1 2 V H·(∇×A)dV − 1 2 S A×H·ndS teniendo en cuenta que ninguno de los circuitos se extiende al infinito y considerando que la superficie S tiende al infinito, entonces la integral de superficie anterior es nula. Por tanto, la energía magnética en todo el espacio con B = ∇×A es U = 1 2 V H·BdV 87
  88. 88. definiendo la densidad de energía u = 1 2 H·B, tal que U = V udV Para un medio lineal e isótropo u = 1 2 µH2 = 1 2 B2 µ 88
  89. 89. Problema.- Un imán permanente tiene la forma de un cilindro circular recto de longitud L. Si la magnetización M es uniforme y tiene la dirección del eje del cilindro, encontrar las densidades de corriente de magnetización JM y KM y determinar el campo B en un punto sobre el eje del imán. 89
  90. 90. Problema.- Encontrar la distribución de las corrientes de magnetización correspondientes a una esfera con magnetización uniforme M. Determine el campo de inducción magnética B. Puede utilizar dicha información para diseñar un devanado, que produzca un campo magnético uniforme dentro de la región esférica. 90
  91. 91. Problema.- Una esfera magnética de permeabilidad magnética µ constante y radio R, centrada en el origen tiene una magnetización uniforme M = M0ˆz donde M0 es una constante. Determinar la densidad de energía y la energía magnética total almacenada en el campo magnético. ∇2 ϕ∗ = 0, H = −∇ϕ∗ , ϕ∗ (r,θ) = ∞ ∑ n=0 Anrn +Bnr−(n+1) Pn(cosθ) u = 1 2 B·H, U = 1 2 B·HdV, P0 = 1, P1 = cosθ, P2 = 1 2 (3cos2 θ −1) 91
  92. 92. Problema.- Dado una cáscara esférica de radio interior R1 y radio exterior R2, uniformemente magnetizada en la dirección del eje z. Encontrar le energía magnética almacenada. 92
  93. 93. Problema.- Un elipsoide con ejes principales de longitudes 2a, 2a y 2b, es magnetizada uniformemente en la dirección paralela al eje 2b. La magnetización del elipsoide es M0ˆz encontrar la densidad de polos magnéticos. 93
  94. 94. Problemas 1. Si M = M0 a (−yˆx + xˆy) en un cubo de arista a. Suponiendo k0 constante y el medio tiene permeabilidad constante 5µ0 calcule la energía magnética almacenada dentro del cubo. 94
  95. 95. Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue sintetizar las contribuciones de Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo campo: el campo electromagnético. 95
  96. 96. 1. Ley de Gauss de la Electrostática S D· ˆndS = 1 ε0 ρdV, ∇·D = ρ 2. Ley de Gauss del magnetismo S B· ˆndS = 0, ∇·B = 0 3. Ley de Ampere general C H·dl = S J+ ∂D ∂t · ˆndS, ∇×H = J+ ∂D ∂t 4. Ley de Inducción electromagnética de Faraday C E·dl = − d dt S B· ˆndS, ∇×E = − ∂ ∂t B 96
  97. 97. Generalización de la ley de Ampere Al considerar la ley de Ampere a través del área S1 tenemos C H·dl = S1 J· ˆndS = I Por otro lado si usamos el área S2 encontramos C H·dl = S2 J· ˆndS = 0 97
  98. 98. Maxwell corrige la incoherencia con la corriente de desplazamiento. De la ley de Ampere ∇×H = J tenemos ∇·J = 0 Pero la conservación de carga exige ∇·J+ ∂ρ ∂t = 0 Para resolver la incoherencia en ∇ · J usamos ∇ · D = ρ que reemplazado en la ecuación de continuidad produce ∇· J+ ∂D ∂t = 0 si agregamos ∂D ∂t a J en la ley de Ampere la inconsistencia desaparece ∇×H = J+ ∂D ∂t 98
  99. 99. Energía electromagnética De las ecuaciones de Maxwell ∇·(E×H) = −H· ∂B ∂t −E· ∂D ∂t −E·J ∇·(E×H) = − ∂ ∂t 1 2 (H·B+E·D)−E·J Considerando el vector Poynting S = E × H y la densidad de energía electromagnética u = 1 2 (H·B+E·D) ∇·S+ ∂u ∂t = −J·E en medios no conductores ∇·S+ ∂u ∂t = 0 99
  100. 100. Ecuación de onda para E en medios no conductores ∇×(∇×E) = − ∂ ∂t (∇×B) Sustituyendo ∇ × B de acuerdo a la ley de Ampere y aplicando identidad del rotacional tenemos: ∇(∇·E)−∇2 E = − ∂ ∂t µ(J+ε0 ∂E ∂t ) En medios no conductores J y ρ son ceros −∇2 E = −µε ∂2 E ∂t2 100
  101. 101. Igualando a cero y teniendo que µε = 1 v2 , siendo v la velocidad de la luz, tenemos ∇2 E− 1 v2 ∂2 E ∂t2 = 0 Ecuación de onda para H en el vacío ∇×(∇×H) = ∇×(J+ε ∂E ∂t ) Teniendo que J es también cero, nos queda: 101
  102. 102. ∇(∇·H)−∇2 H = ε ∂ ∂t (∇×E) Sustituyendo ∇ × E de acuerdo a la ley de Faraday e igualando a cero, tenemos la ecuación de onda para H es ∇2 H− 1 v2 ∂2 H ∂t2 = 0 Onda Electromagnética.- Perturbación (oscilación) de campos eléctricos y magnéticos que no necesitan un medio para propagarse, en el vacío se propaga a c = 3×108 m/s. Transmite energía y cantidad de movimiento. 102
  103. 103. Problema.- Compruebe si los campos siguientes son campos electromagnéticos genuinos; es decir si satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Suponga que existen en regiones sin carga. A = 40sen(ωt +10x)ˆz B = 10 ρ cos(ωt −2ρ) ˆφ C = 3ρ2 cotφ ˆρ + cosφ ρ ˆφ 40sen(ωt) D = 1 r senθ sen(ωt −5r) ˆθ 103
  104. 104. Potenciales electromagnéticos Como ∇·B = 0 entonces B = ∇×A en la ley de Faraday ∇× E+ ∂A ∂t = 0 entonces E = −∇ϕ − ∂A ∂t en la ley de Ampere con B = µH y D = εE tenemos ∇×∇×A = µJ+εµ ∂ ∂t −∇ϕ − ∂A ∂t 104
  105. 105. ∇(∇·A)−∇2 A = µJ−εµ∇ ∂ϕ ∂t −εµ ∂2 A ∂t2 −∇2 A+∇ ∇·A+εµ ∂ϕ ∂t +εµ ∂2 A ∂t2 = µJ Considerando la condición de Lorentz ∇·A+εµ ∂ϕ ∂t = 0 ∇2 A−εµ ∂2 A ∂t2 = −µJ en la ley de Gauss ε∇· −∇ϕ − ∂A ∂t = ρ, con ∇·A = −εµ ∂ϕ ∂t ∇2 ϕ −εµ ∂2 ϕ ∂t2 = − ρ ε 105
  106. 106. Las soluciones formales de las ecuaciones de Poisson para los potenciales electromagnéticos A y ϕ son: A = µ 4π V J(r ,t ) |r−r | dV ϕ = 1 4πε V ρ(r ,t ) |r−r | dV siendo t = t −|r−r |/c el tiempo de retardo. Indice de refracción.- se define como la razón de la velocidad c de propagación de la luz en el vacío a la velocidad v de la luz en el medio: n = c v n = εµ ε0µ0 106
  107. 107. Ondas monocromáticas OEM con una sola frecuencia cuyo campo eléctrico es E(r,t) = E(r)e−jωt , H(r,t) = H(r)e−jωt Las ecuaciones de Maxwell son ∂ ∂t → −jω ∇·D = ρ ∇·B = 0 ∇×E = jωB ∇×H = J− jωD Ecua. de onda espacial de E en un medio no conductor ∇2 E+ω2 εµE = 0 107
  108. 108. Si la OEM se propaga en la dirección de eje z d2 E(z) dz2 +k2 E(z) = 0 con k = ω √ εµ = ω v número de onda. Luego E(z) = E0e±jkz , → E(z,t) = E0e−j(ωt±kz) cuando se realizan las mediciones experimentales la OEM es E(z,t) = E0 cos(ωt ±kz), E(z,t) = E0 cosω t ± z v ) 108
  109. 109. Ondas planas monocromáticas En un medio no conductor la Ec. de onda para E es ∇2 −εµ ∂E ∂t = 0, cuya solución se expresa como E(r,t) = E0e−j(ωt−k·r) donde k = k ˆu = n ω c ˆu es el vector de propagación, ˆu un vector unitario en la dirección de propagación. Además el frente de onda (planos) en un instante de tiempo t es dado por ωt −k·r = constante. H(r,t) = H0e−j(ωt−k·r) 109
  110. 110. 110
  111. 111. En las ecuaciones de Maxwell con ∂ ∂t = −jω y ∇ = jk, D = εE, B = µH tenemos k·D = 0 → k·E = 0 k·B = 0 → k·H = 0 k×E = ωB → H = k×E ωµ k×H = −ωD → E = − k×H ωε 111
  112. 112. Problema.- El campo eléctrico de una onda plana en un medio no conductor es dado por E(r,t) = E0e−j(ωt−k·r) , determine el vector Poynting S promedio y la Intensidad de flujo de energía que transporta la OEM, definida como el módulo del valor medio de S (potencia media por unidad de área). 112
  113. 113. Problema.- El campo eléctrico en el vacío es dado por E = 50cos(108 t +βx)ˆyV/m (a) Halle la dirección de la propagación de la onda, (b) Calcule β y el tiempo que tarda en recorrer una distancia de λ/2, (c) Trace la onda en t = 0, T/4 y T/2, (d) Halle el campo magnético y (e) la intensidad de energía. 113
  114. 114. Problema.- La componente del campo magnético de una onda plana en un dieléctrico sin pérdidas es H = 30sen(2π ×108 t −5x)ˆz (a) Si µr = 1 halle εr, (b) Calcula la longitud de onda y la velocidad de onda. (c) Determine la impedancia de la onda. (d) Halle el campo eléctrico y (e) halle el vector Poynting Promedio. 114
  115. 115. Problema.- Una onda plana uniforme que viaja en el un medio dieléctrico de permitividad eléctrica ε = 1.5ε0 en la dirección del eje z positivo tiene asociado un campo magnético de amplitud H0 = 1/π A/m, dirigido en la dirección dada por el vector ˆx+ ˆy. La frecuencia de la onda es de 100 MHz, determine (a) el vector de propagación (b) los campos eléctrico y magnético, (c) el vector Poynting y (d) la intensidad de energía transmitida. 115
  116. 116. Polarización de OEM Si el campo eléctrico es de la forma: E = E0 · e−j(ωt−k·r) , cuando la onda viaja en la dirección del eje z la amplitud de la onda, E0, se descompone como suma de dos vectores E0 = E0x ·ejθ1 ˆx+E0y ·ejθ2 · ˆy La polarización depende de la diferencia θ1 − θ2 y según el resultado se tendrá: Polarización lineal.- si la diferencia es 0 o un múltiplo entero (positivo o negativo) de π. Polarización circular.- si la diferencia es un múltiplo entero impar (positivo o negativo) de π 2. En este caso se cumple, además, que E0x = E0y. 116
  117. 117. En el resto de casos se producirá polarización elíptica. En el caso de polarización elíptica, el sentido de giro de la polarización de la onda depende de la diferencia θ1 −θ2 Si θ1 −θ2 < 0 se trata de polarización elíptica levógira ó helicidad negativa. Si θ1 −θ2 > 0 se trata de polarización elíptica dextrógira ó helicidad positiva. 117
  118. 118. 118
  119. 119. Ondas en medios disipativos En un medio disipativo la OEM pierde potencia al propagarse a causa de una conducción deficiente. Es decir es un medio en el que σ = 0, donde consideramos ρ = 0 de modo que las ecuaciones de Maxwell en el dominio de las frecuencias con E(r,t) = E(r)e−jωt , D = εE y B = µH es ∇·E = 0 ∇·H = 0 ∇×E = jωµH ∇×H = (σ − jωε)E Ecuación de onda para E ∇×∇×E = jωµ∇×H 119
  120. 120. ∇(∇·E)−∇2 E = jωµ(σ − jωε)E ∇2 E+γ2 E = 0 con γ2 = jωµ(σ − jωε). Así mismo para H tenemos ∇2 H+γ2 H = 0. Considerando que γ = α + jβ y reemplazando en γ2 se tiene α2 + j2αβ −β2 = jωµσ +ω2 µε α2 −β2 = ω2 µε 2αβ = ωµσ resolviendo α = ω µε 2 1+ σ ωε 2 −1 β = ω µε 2 1+ σ ωε 2 +1 120
  121. 121. Si la OEM viaja a lo largo del eje z entonces E = E(z) d2 dz2 E−γ2 E = 0 → E(z) = E0e±γz E(z,t) = E0e−αz cos(ωt −βz) Profundidad pelicular δ = 1 α , impedancia η = jωµ σ + jωε . 121
  122. 122. En un buen conductor σ ωε es decir σ ∞, ε = ε0 y µ = µ0µr, entonces α = β = ωµσ 2 , η = ωµ σ 45 de modo que E se adelanta a H en 45°. 122
  123. 123. Reflexión y refracción de OEM Cuando una OEM que se propaga en un medio de características µ1, ε1 pasa a otro medio con µ2 y ε2 el campo eléctrico E y el campo magnético H deben verificar las condiciones de frontera n2 ×(E2 −E1) = 0, (D2 −D1)·n2 = σ n2 ×(H2 −H1) = K, (B2 −B1)·n2 = 0 Ei = E0ie−j(ωit−ki·r) , Er = E0re−j(ωrt−kr·r) , Et = E0te−j(ωtt−kt·r) La condición n2 ×(E2 −E1) = 0 exige 123
  124. 124. E0ie−j(ωit−ki·r) +E0re−j(ωrt−kr·r) tangente = E0te−j(ωtt−kt·r) tangente Donde la frecuencia ωi de la onda incidente se conserva, es decir ωi = ωr = ωt = ω. Así mismo si las fases de todas las OEM en la frontera son iguales entonces k1 senθi = k1 senθr = k2 senθt k1 = ki = kr = n1ω c , k2 = n2ω c entonces θi = θr , n1 senθi = n2 senθt 124
  125. 125. Incidencia normal en medios no conductores Sea el medio 1 de incidencia z < 0 y el medio 2 de refracción z > 0, en incidencia normal la OEM viaja en la dirección paralela al eje z Ei = E0i ˆxe−j(ωt−k1z) , Er = E0r ˆxe−j(ωt+k1z) , Et = E0t ˆxe−j(ωt−k2z) µ1 = µ2 = µ0, k1 = ω √ ε1µ1, k2 = ω √ ε2µ2 125
  126. 126. Los coeficientes de reflexión r y de transmisión t son: r = E0r E0i = n1 −n2 n1 +n2 ; t = E0t E0i = 2n1 n1 +n2 La Reflectancia R que es definido como la fracción del flujo de energía incidente que es reflejada es R = Sr Si = n1 −n2 n1 +n2 2 La Transmitancia T que representa el flujo de energía incidente que es transmitida es T = St Si = n2 n1 2n1 n1 +n2 2 126
  127. 127. Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarización paralela) medio de incidencia 1 (z < 0) y medio de refracción 2 (z > 0), plano de incidencia y = 0. Ei = E0ie−j(ωt−ki·r) , Er = E0re−j(ωt−kr·r) , Et = E0te−j(ωt−kt·r) 127
  128. 128. E0i = E0i(ˆicosθi − ˆksenθi), E0r = E0r(ˆicosθr + ˆksenθr) E0t = E0t(ˆicosθt − ˆksenθt) r = E0r E0i = ε1 senθi cosθt −ε2 senθt cosθi ε2 senθt cosθi +ε1 senθi cosθt t = E0t E0i = 2ε1 senθi cosθt ε2 senθt cosθi +ε1 senθi cosθt R = Sr n Si n , T = St n Si n 128
  129. 129. Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarización perpendicular) 129
  130. 130. Reflexión en un plano conductor (incidencia normal) Sea la onda incidente y reflejada en un medio no disipativo Ei = E0i ˆxe−j(ωt−k1z) , Er = E0r ˆxe−j(ωt+k1z) y la onda refractada en el medio conductor Et = E0t ˆxe−j(ωt−γ2z) γ2 = α2 + jβ2 = ω2ε2µ2 + jωg2µ2 α2 = ω √ ε2µ2 1 2 1 2 1+(g2/ω2ε2) 1/2 , β = ωqµ2 2α E0r E0i = 1−(γ2/ωµ2) µ1/ε1 1+(γ2/ωµ2) µ1/ε1 E0t E0i = 2 1+(γ2/ωµ2) µ1/ε1 130
  131. 131. Reflexión total interna.- Ocurre cuando n1 > n2 senθc = n2 n1 , θc = ángulo crítico 131
  132. 132. Guías de Onda Medio dieléctrico que permite transmitir energía electromagnética de un punto a otro. Se utiliza generalmente a altas frecuencias (frecuencias ópticas), en las que las líneas de transmisión no son eficientes. 132
  133. 133. Campos en una guía de onda Dada una guía de onda con eje paralelo al eje z, de modo que E(r,t) = ξ(x,y)e−j(ωt−kgz) , H(r,t) = ℵ(x,y)e−j(ωt−kgz) ξ(x,y) = ξx(x,y)ˆx+ξy(x,y)ˆy+ξz(x,y)ˆz ℵ(x,y) = ℵx(x,y)ˆx+ℵy(x,y)ˆy+ℵz(x,y)ˆz k0 = nω c = 2π λ0 número de onda en el medio dieléctrico kg = 2π λg constante de propagación de la guía de onda λg longitud de onda de la guía de onda. 133
  134. 134. Entonces las ecuaciones de Maxwell se reescriben como: ∇·E = 0 =⇒ ∂ξx ∂x + ∂ξy ∂y + jkgξz = 0 ∇·H = 0 =⇒ ∂ℵx ∂x + ∂ℵy ∂y + jkgℵz = 0 ∇×E = −µ ∂H ∂t =⇒    ∂ξz ∂y − jkgξy = jωµℵx jkgξx − ∂ξz ∂x = jωµℵy ∂ξy ∂x − ∂ξx ∂y = jωµℵz 134
  135. 135. ∇×H = ε ∂E ∂t =⇒    ∂ℵz ∂y − jkgℵy = −jωεξx jkgℵx − ∂ℵz ∂x = −jωεξy ∂ℵy ∂x − ∂ℵx ∂y = −jωεξz De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwell despejamos ξx, ξy, ℵx y ℵy en función de ξz y ℵz ξx = j k2 c kg ∂ξz ∂x +ωµ ∂ℵz ∂y ξy = j k2 c kg ∂ξz ∂y −ωµ ∂ℵz ∂x ℵx = j k2 c −ωε ∂ξz ∂y +kg ∂ℵz ∂x 135
  136. 136. ℵy = j k2 c ωε ∂ξz ∂x +kg ∂ℵz ∂y ∂2 ξz ∂x2 + ∂2 ξz ∂y2 +k2 cξz = 0 ∂2 ℵz ∂x2 + ∂2 ℵz ∂y2 +k2 cℵz = 0 k2 c = k2 0 −k2 g ⇒ kg = k2 0 −k2 c Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real, si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de la guía de onda sufren atenuación. 136
  137. 137. Modo de propagación transversal eléctrico TE El campo eléctrico no tiene componente en el eje z ξz = 0 y ℵz = 0 ∂2 ℵz ∂x2 + ∂2 ℵz ∂y2 +k2 cℵz = 0 Modo de propagación transversal magnético TM El campo magnético no tiene componente en el eje z ξz = 0 y ℵz = 0 ∂2 ξz ∂x2 + ∂2 ξz ∂y2 +k2 cξz = 0 Modo transversal electromagnético TEM ξz = 0 y ℵz = 0 137
  138. 138. Guías de Onda Slab Propagación por reflexión múltiple → genera modos diferentes a TEM |ku| = |kd| = k = ω √ µε ξx = j k2 c kg ∂ξz ∂x , ξy = − j k2 c ωµ ∂ℵz ∂x ℵx = j k2 c kg ∂ℵz ∂x , ℵy = j k2 c ωε ∂ξz ∂x ∂2 ξz ∂x2 +k2 cξz = 0, ∂2 ℵz ∂x2 +k2 cℵz = 0 138
  139. 139. Modos TE y TM en guias de onda SLAB con paredes conductoras Modo TE ξz = 0 y ℵz = 0 ∂2 ℵz ∂x2 +k2 cℵz = 0 solución ℵz(x) = Acoskcx+Bsenkcx ξy = − j k2 c ωµ ∂ℵz ∂x = jωµ kc (Asenkcx−Bcoskcx) 139
  140. 140. Usando las condiciones de frontera ξy(0) = 0 tenemos B = 0 y si ξy(a) = 0 entonces senkca = 0 kc = mπ a , m = 0,1,2,... kg = nω c 2 − mπ a 2 ξy = jωµ kc Asenkcx Ey(r,t) = jωµ kc Asenkcxe−j(ωt−kgz) ℵx = jkg k2 c ∂ℵz ∂x = jkg kc Asenkcx ℵy = jωε k2 c ∂ξz ∂x = 0 ℵz(x) = Acoskcx 140
  141. 141. Modo TM ξz = 0 y ℵz = 0 ∂2 ξz ∂x2 +k2 cξz = 0 solución ξz(x) = Acoskcx+Bsenkcx Usando las condiciones de frontera ξz(0) = 0 tenemos A = 0 y si ξz(a) = 0 entonces senkca = 0 kc = nπ a , m = 0,1,2,... kg = nω c 2 − mπ a 2 ξz = Bsenkcx ξx = jkg kc Bcoskcx ξy = 0 ℵy = jωε k2 c ∂ξz ∂x = jωε kc Bcoskcx 141
  142. 142. Guías de onda rectangulares ∂2 ψ ∂x2 + ∂2 ψ ∂y2 +k2 cψ = 0, ψ(x,y) = X(x)Y(y) 1 X d2 X dx2 = − 1 Y d2 Y dy2 −k2 c = k2 1 d2 X dx2 +k2 1X = 0, d2 Y dy2 +k2 2Y = 0, k2 c = k2 1 +k2 2 ψ(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y) 142
  143. 143. Modo TE ξz = 0 y ℵz = 0 ℵz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y) ξx = jωµ k2 c ∂ℵz ∂y = jωµk2 k2 c (Asenk1x+Bcosk1x)(Ccosk2y−Dsenk2y) ξy = − jωµ k2 c ∂ℵz ∂x = − jωµk1 k2 c (Acosk1x−Bsenk1x)(Csenk2y+Dcosk2y) considerando que las componentes tangenciales del campo eléctrico son nulos en las fronteras ξx(x,0) = 0 ⇒ C = 0 ξy(0,y) = 0 ⇒ A = 0 143
  144. 144. ℵz(x,y) = BDcos(k1x)cos(k2y) ξx = − jωµk2 k2 c BDcos(k1x)sen(k2y) ξy = jωµk1 k2 c BDsen(k1x)cos(k2y) ξx(x,b) = 0 ⇒ k1 = mπ b m = 0,1,2,3,... ξy(a,y) = 0 ⇒ k2 = pπ a p = 0,1,2,3,... Condición para modos de propagación permitidos kg = nω c 2 −π2 p a 2 + m b 2 144
  145. 145. ξx = − jωµ k2 c pπ a H0 cos mπ b x sen pπ a y ξy = jωµ k2 c mπ b H0 sen mπ b x cos pπ a y ξz = 0 ℵz(x,y) = H0 cos mπ b x cos pπ a y ℵx = − jkg k2 c mπ b H0 sen mπ b x cos pπ a y ℵy = − jkg k2 c pπ a H0 cos mπ b x sen pπ a y Modo TE10 145
  146. 146. Modo TM ξz = 0 y ℵz = 0 ξz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y) considerando que ξz es cero en las fronteras ξz(0,y) = 0 ⇒ B = 0 ξz(x,0) = 0 ⇒ D = 0 ξz(x,y) = ACsen(k1x)sen(k2y) ξz(a,y) = 0 ⇒ k1 = mπ a m = 0,1,2,3,... 146
  147. 147. ξy(x,b) = 0 ⇒ k2 = pπ b p = 0,1,2,3,... ξx = jkg k2 c ∂ξz ∂x , ξy = jkg k2 c ∂ξz ∂y ℵx = − jωε k2 c ∂ξz ∂y , ℵy = jωε k2 c ∂ξz ∂x Condición para modos de propagación permitidos kg = nω c 2 −π2 p a 2 + m b 2 Componentes de los campos eléctrico y magnético ξx = jkg k2 c E0 mπ a cos mπ a x sen pπ b 147
  148. 148. ξy = jkg k2 c E0 pπ b sen mπ a x cos pπ b ξz = E0 sen mπ a x sen pπ b y ℵx = − jωε k2 c E0 pπ b sen mπ a x cos pπ b ℵy = jωε k2 c E0 mπ a cos mπ a x sen pπ b ℵz = 0 Modo TM10 148
  149. 149. Problema.- Una guía de ondas rectangular con vacío en su interior tiene a = 8 cm y b = 6 cm. Si dentro de la guía se propaga una onda cuya frecuencia es ν = 4 × 109 Hz, ¿cuales son los modos permitidos? 149
  150. 150. Problema.- Considerar una guía de onda de sección cuadrada. ¿Qué condiciones debe satisfacer el lado a para que sea posible que se propague un modo TE10 pero no uno TE11, TM11 o cualquiera de orden superior? 150
  151. 151. Problema.- Para un modo TE10 en una guía rectangular: (a) encontrar u , (b) encontrar S (c) encontrar los promedios con respecto al espacio u y S , integrando los resultados anteriores para los promedios con respecto al tiempo sobre la sección de la guía. 151
  152. 152. Problema.- Encontrar la superposición de una onda TEmn y una onda TMmn en una guía rectangular, que hace que E sea transversal a la dirección y, es decir Ey = 0 mientras que todas las demás componentes de E y de H son diferentes de cero. 152
  153. 153. Guías de onda circulares Dada una guía de onda circular con eje paralelo al eje z, de modo que E(r,t) = ξ(r,φ)e−j(ωt−kgz) , H(r,t) = ℵ(r,φ)e−j(ωt−kgz) ξ(r,φ) = ξr(r,φ)ˆr +ξφ(r,φ) ˆφ +ξz(r,φ)ˆz ℵ(r,φ) = ℵr(r,φ)ˆr +ℵφ(r,φ) ˆφ +ℵz(r,φ)ˆz ∇·E = 0 =⇒ 1 r ∂(rξr) ∂r + 1 r ∂ξφ ∂φ + jkgξz = 0 ∇·H = 0 =⇒ 1 r ∂(rℵr) ∂r + 1 r ∂ℵφ ∂φ + jkgℵz = 0 153
  154. 154. ∇×E = −µ ∂H ∂t =⇒    1 r ∂ξz ∂φ − jkgξφ = jωµℵr jkgξr − ∂ξz ∂r = jωµℵφ 1 r ∂(rξφ) ∂r − 1 r ∂ξr ∂φ = jωµℵz ∇×H = ε ∂E ∂t =⇒    1 r ∂ℵz ∂φ − jkgℵφ = −jωεξr jkgℵr − ∂ℵz ∂r = −jωεξφ 1 r ∂(rℵφ) ∂r − 1 r ∂ℵr ∂φ = −jωεξz De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwell despejamos ξr, ξφ, ℵr y ℵφ en función de ξz y ℵz 154
  155. 155. ξr = j k2 c kg ∂ξz ∂r + ωµ r ∂ℵz ∂φ ξφ = j k2 c kg r ∂ξz ∂φ −ωµ ∂ℵz ∂r ℵr = j k2 c − ωε r ∂ξz ∂φ +kg ∂ℵz ∂r ℵφ = j k2 c ωε ∂ξz ∂r + kg r ∂ℵz ∂φ 1 r ∂ ∂r r ∂ξz ∂r + 1 r2 ∂2 ξz ∂φ2 +k2 cξz = 0 1 r ∂ ∂r r ∂ℵz ∂r + 1 r2 ∂2 ℵz ∂φ2 +k2 cℵz = 0 155
  156. 156. k2 c = k2 0 −k2 g ⇒ kg = k2 0 −k2 c Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real, si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de la guía de onda sufren atenuación. 156
  157. 157. Modo de propagación transversal eléctrico TE El campo eléctrico no tiene componente en el eje z ξz = 0 y ℵz = 0 1 r ∂ ∂r r ∂ℵz ∂r + 1 r2 ∂2 ℵz ∂φ2 +k2 cℵz = 0 Modo de propagación transversal magnético TM El campo magnético no tiene componente en el eje z ξz = 0 y ℵz = 0 1 r ∂ ∂r r ∂ξz ∂r + 1 r2 ∂2 ξz ∂φ2 +k2 cξz = 0 Modo transversal electromagnético TEM ξz = 0 y ℵz = 0 157
  158. 158. 1 r ∂ ∂r r ∂ψ ∂r + 1 r2 ∂2 ψ ∂φ2 +k2 cψ = 0 Por separación de variables ψ(r,φ) = R(r)Φ(φ), entonces reemplazando y multiplicado por r2 RΦ se tiene r R d dr r dR dr +(kcr)2 = − 1 Φ d2 Φ dφ2 = m2 d2 Φ dφ2 +m2 Φ = 0, Φ(φ) = cos(mφ),sen(mφ),e−jmφ ,e+jmφ Considerando que Φ(φ) = Φ(φ +2π) tenemos sen(m(φ +2π)) = sen(mφ)cos(2mπ)+cos(mφ)sen(2mπ) = sen(mφ) 158
  159. 159. cos(2mπ) = 1, 2mπ = 0,2π,4π,... por tanto m es un número entero. Por otro lado R(r) verifica la ecuación de Bessel de orden m r d dr r dR dr + (kcr)2 −m2 = 0 Solución R(r) = Jm(kcr),Nm(kcr), es decir R(r) = CnJm(kcr)+DnNm(kcr) Jm(kcr) es la función de Bessel de orden m del primer tipo. Nm(kcr) es la función de Bessel de orden m del segundo tipo. 159
  160. 160. Jm(x) = ∞ ∑ k=0 (−1)k k!Γ(k +m+1) x 2 2k+m 160
  161. 161. Nα(x) = Jα(x)cos(απ)−J−α(x) sin(απ) , ∀α /∈ Z Nm(x) = l´ım α→m Nα(x), ∀m ∈ Z 161
  162. 162. Para una guía de onda circular de radio a, tenemos que en r < a el campo debe ser finito, pero en r = 0, tenemos que l´ım r→0 Nm(r) no existe entonces ψ(r,φ) = Jm(kcr)[Am sen(mφ)+Bm cos(mφ)] ademas Am sen(mφ)+Bm cos(mφ) = A2 +B2 cos mφ +tan−1 Am Bm ψ(r,φ) = ψ0Jm(kcr)cos(mφ) 162
  163. 163. Modos transversal eléctrico TEmp (ξz = 0 y ℵz = 0) m número de ciclos de λ en dirección φ en 2π radianes. p número de ceros del campo ξφ en dirección radial, excluyendo el origen. ℵz = H0Jm(kcr)cos(mφ) condiciones de borde ξφ(a,φ) = 0 campo eléctrico tangencial nulo y ℵr(a,φ) = 0 campo magnético radial. ξr = jωµ k2 c 1 r ∂ℵz ∂φ ξφ = − jωµ k2 c ∂ℵz ∂r 163
  164. 164. ℵr = jkg k2 c ∂ℵz ∂r ℵφ = jkg k2 c 1 r ∂ℵz ∂φ Si ξφ(a,φ) = 0 entonces ∂ℵz ∂r r=a = 0 es decir Jm(kca) = 0 Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros de Jm(kca) = 0 164
  165. 165. Modos transversal magnético TMmp (ξz = 0 y ℵz = 0) ξz = E0Jm(kcr)cos(mφ) condiciones de borde ξz(a,φ) = 0 entonces Jm(kca) = 0 Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros de Jm(kca) = 0 165
  166. 166. k J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x) 1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715 2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386 3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002 4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801 5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178 k J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x) 1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012 5.3175 6.4156 2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152 9.2824 10.5199 3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459 12.6819 13.9872 4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858 15.9641 17.3128 5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887 19.1960 20.5755 166
  167. 167. Cavidades Resonantes Región (volumen) totalmente encerrado por paredes perfectamente conductoras ψ(r,t) = ψ0(r)e−jωt ∇2 ψ0 +k2 0ψ0 = 0 167
  168. 168. ψ0(r) = X(x)Y(y)Z(z) X(x) = A1 senk1x+B1 cosk1x Y(y) = A2 senk2x+B2 cosk2x Z(z) = A3 senk3x+B3 cosk3x k2 0 = k2 1 +k2 2 +k2 3 haciendo que las componentes tangentes a las superficies son nulas tenemos: k1 = mπ a , k2 = nπ b , k3 = pπ c 168
  169. 169. Ex = (A1 senk1x+B1 cosk1x)senk2ysenk3ze−jωt Ey = senk1x(A2 senk2y+B2 cosk2y)senk3ze−jωt Ez = senk1xsenk2y(A3 senk3z+B3 cosk3z)e−jωt Ecuación de posibles frecuencias de oscilación en la cavidad k2 0 = ω v 2 = π2 m a 2 + n b 2 + p c 2 Si cualquiera de los enteros m, n o p son ceros todas las componentes de E son ceros. 169

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