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TANGENTE A LA GRAFICA DE LA FUNCION  y = f(x)  EN UN PUNTO 
                                                                                                                                                                                                                           t0  y ‐ f  x0  = f´  x0    x ‐ x0 
            y  f  x   y´ f ´ x   m0  f ´ x0 
                                                                                                                                                                                       P0  x0 ; f  x0  
            x  x0  P0   x0 ; f  x0  
                                                                                                                                                               x = f  x0 

                                                                                                                                                                                                                                             y = f x
            Tangente en P0:
            t0  y  y0  m0   x  x0   t0  y  f  x0   f ´ x0    x  x0   
                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                            m = tg   = f´ x        0                x = x0

 
Ejemplo: 
Determinar la tangente a la función:  f  x   x  2 x  8 , en el punto de abcisa x=1. 
                                                                                          2
                                                                                                                                                                                                                                           t0  y   = 4x ‐ 9
            f  x   x  2 x  8  f ´ x   2 x  2
                             2
                                                                                                                                                                                     y = x 2 + 2x ‐ 8

                              f 15P0 1;5 
                             
            x 1                                  t0                                y  f 1  f ´1   x 2  
                             
                                  m  f ´14
                                                                                                                                                                                                                                   P0  1;‐5 
            t0    y  5  4   x 1                       t0     y  4x  9
 
 
TANGENTES A LA GRAFICA DE LA FUNCION   y = f(x)  PARALELAS A UNA RECTA DADA Y SUS PUNTOS DE CONTACTO 
 
 r  y  mx  n
 
 
 y  f  x 
                  
                                                                                                                                                                                                   t2                                                  t1
                                                                                                                                                                                                                       r
 
      1.    y  f  x   y ´ f ´ x   
                                                                                                                                                   P2  x 2 ; f  x 2  

                                     x  x1  P1  x1 ; f  x1  
                                    
      2.     f ´ x   m    *1                                                                                                                                                                                        P1  x1 ; f  x1  

                                     x  x2  P2  x2 ; f  x2  
                              
                                    
             [*1} Pueden existir más de una solución dependiendo 
                                                  
              del grado de la ecuación f´(x)=m. 
            t1  y  f  x1   m   x  x1                                                                                              y = f x
      3.                                          
            t2  y  f  x2   m   x  x2 
 
Ejemplo: 
Determinar las tangentes a la función:  f  x   x  x  2 x , paralelas a la recta   y  x . 
                                                                                               3         2


            f  x   x  x  2 x  f ´ x   3 x  2 x  2
                             3         2                                           2


            y  x    y mx  n  m  1
                                                                                                                                                                                            y = x 3 ‐ x 2 ‐ 2x
                                                                                                                                                                                                                                                                  r   y=x

                                                                         1 10
                                                                    x1 
                                                                   
            f ´ x   1  3 x  2 x  2  1  3 x  2 x  3  0          3
                                           2                                          2

                                                                         1 10                                                                                                                                                       P1
                                                                                                                                                                                                                                                                             y= x‐
                                                                                                                                                                                                                                                                                      29 + 20 10
                                                                    x2  3
                                                                                                                                                                                                                                                                        t2
                                                                                                                                                                                                                                                                                        27


                     1  10                                                             1 10 20 11 10 
            x1                          P1  x1 ; f  x1    P1                          ;           
                             3                                                          3          27                                            t1   y= x‐
                                                                                                                                                                     29 ‐ 20 10                                                                              P2
                                                                                                                                                                                27
                     1  10                                                     1 10 20 11 10 
            x2                          P2  x2 ; f  x2               P2       ;           
                            3                                                   3          27    

                                                                                                20  11 10                               1  10                                                      29  20 10
            t1    y  f  x1   m   x  x1   t1  y 
                                                                                                                            x                               t1             yx
                                                                                                           27                                    3                                                                27

                                                                                                 20  11 10                               1  10                                                        29  20 10
            t2    y  f  x2   m   x  x2   t2  y 
                                                                                                                            x                               t2              yx
                                                                                                             27                                   3                                                               27
 
 
 
 
 

             APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 1 de 4 

              
EXTREMOS RELATIVOS DE LA FUNCION   y = f(x)  [MAXIMOS Y MINIMOS, CRECIMIENTO DECRECIMIENTO] 
 
                                                                                         y = f x
 
 
      
    f ´ x0   0  DECRECIENTE
                                                                                            
                                                                                         f ´ x0   0  CRECIENTE                                                               P0  x0 ; f  x0                  t0  y = f  x 0 
 
                                                                                                 t0  y = f  x 0                                                                                         
                                                                                                                                                                                                        f ´ x0   0  DECRECIENTE
 
                                                                 P0  x0 ; f  x0  
                                                                                                                                  
                                                                                                                                f ´ x0   0  CRECIENTE
 
                                                     x0              x0                                                                                             x0               x0 
                                                                x0                                                                                                             x0
 
 
                                      MINIMO
                                                                                                                                                           MAXIMO                                                  y = f x

                                          y´ f ´ x 
             1.  y  f  x  
                                          y´´ f ´´ x 
                                                           x  x1
                                                          x  x
                                                          
             2.  f ´ x   0  
                               RESOLVIENDO  LA  ECUACION
                                                                2
                                                                     x  xi   POSIBLES  EXTREMOS 
                                                                                                  
                                                           ....
                                                           x  xn
                                                          
                                                                                               
                                           f ´ x i   0                     f ´ xi   0 
                                                                             
                             
             3.  x  xi     MINIMO                             MAXIMO                     
                                          f ´´ xi   0                     f ´´ x i   0 
                                                                                             
                                                                                               f ´n  xi   0  MINIMO
                                                                                               
                                             Si la primera derivada no nula es par   ´n
             NOTA: Cuando f ´´ x i   0                                                     f  xi   0  MAXIMO  
                                                                                               
                                             
                                              Si la primera derivada no nula es impar  PUNTO DE INFLEXION.
                                                         
                                                         
                                                                      f ´ xi   0
                                                                     
                                                                                                            f ´ xi   0 
                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                              
                                                                                                                        
                  Tambien podemos aplicar : x  x i     MINIMO     f ´ x i   0           MAXIMO     f ´ xi   0 
                                                                                                                         
                                                         
                                                                    
                                                                              
                                                                      f ´ xi  0
                                                                                                                    
                                                                                                            f ´ xi  0 
                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                              
 
Ejemplo 1: 
Determinar los máximos, mínimos y monotonía de la función:  f  x   2 x  9 x  12 x . 
                                                                                                                                                           3          2


                                                                           f ´ x 6 x 2 18 x 12
                                                                          
              f  x   2 x  9 x  12 x  
                                  3              2
     1.                                                                                                                
                                                                          
                                                                                 f ´´ x 12 x 18

     2.       f ´ x   0  6 x  18 x  12  0 
                                             2
                                                                                            x1  1
                                                                                             x2  2
                                                                                                     

                                                      f ´1  0
              x  x 1  1                                                              P1  x1 ; f  x1    1; 5   MAXIMO
                                              f ´´1  6  0                                                                                                                                                                 P1  1; 5  MAXIMO
     3.                                                                                                                                                     
                                              f ´2  0
              x  x 2  2                         P2  x 2 ; f  x 2     2; 4   MINIMO
                                f ´´2   6  0                                                                                                                                                                                                        P2  2; 4  MINIMO


                                 f ´1   f ´ 0, 9   0, 66  0
                                
                x  x 1  1                 f ´1  0                     P1  x1 ; f  x1    1; 5  MAXIMO
                                 f ´1   f ´1,1  0, 54  0
                                
                                                                                                                       
                                 f ´2   f ´1, 9   0, 54  0
                                
                x  x 2  2                  f ´2   0                   P2  x2 ; f  x2     2; 4   MINIMO                                                                                                                    x1 = 1     x2 = 2


                                 f ´2   f ´2,1  0, 66  0
                                          
                                
        
       MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO) 
                                 x  ;1   x 1                                                                                      x  1;2                     x 2                     x   2;   
                                                                                                                                                                                                                        CRECIENTE  x    ;1   2; 
                     f ´ x   6 x 18 x 12                                    f ´ x   0               f ´ x   0               f ´ x   0               f ´ x   0                 f ´ x   0
                                      2                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                              DECRECIENTE  x  1;2 
              y  f  x   3 x  9 x  12 x 
                                      3          2
                                                                              CRECIENTE                    MAXIMO                  DECRECIENTE                   MINIMO                    CRECIENTE 
 
 
 

               APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 2 de 4 

                
Ejemplo 2: 
                                                                                                                                         3
                                                                                                                                     x
Determinar los máximos y mínimos de la función:  f  x                                                                                             . 
                                                                                                                                     x 1
                                                         3 x 2  x 1 x 3 2 x 3 3 x 2
                                               f ´ x                     
                                                                  x 1         x 12
                          
    1.     f x 
                    x
                      3
                          
                          
                          f ´´ x 
                                                               2
                                                                                          
                                                                                             
                                        6 x 2 12 x  x 1 2 2 x 3 6 x 2  x 1 2 x 3 6 x 2 6 x
                                                                                                                                            
                   x 1                                     x 14                          x 13
                          
                                           24
                           f ´´´ x 
                          
                                        x 15
                                                                                        x1  0
                                                                                       
           f ´ x   0  2 x  3 x  0  
                                            3              2
    2.                                                                                              3 
                                                                                        x2  2
                                                                                                                                                                                                                                                                  3 27 
                                                                                                                                                                                                                                                                P2  ;    MINIMO
                                                                                                                                                                                                                                                                  2 4 
                                                                                                                  f ´ 0   0
                                           
           x  x 1  0    
                                 
                                                                           f ´´ 0 0
                                                                                       
                                  f ´´ 0   0  f ´´´ 0 24  0 Primera derivada no nula impar 
                                                                                                        

                                                                                                                                                                                                                                                                       3

            P1  x1 ; f  x1     0; 0   PUNTO DE INFLEXION
                                                                                                                                                                                                                        P1  0; 0  P. INFLEXION                x2 =
                                                                                                                                                                                                                                                                       2
    3.                                                                                                     

                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                    x1 = 0

                           f´ 3  0
                          
                                             P2  x 2 ; f  x 2     ;    MINIMO
                    3              2                                    3 27 
           x  x 2      
                    2            3
                           f ´´ 2  18  0
                                                                    2 4 

 
     MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO) 
                                                                                                                                                                 3                                                    3 
                                                                                       x    ;0 
                                                                                                                                                                                                      3
                                                                                                                              x0                           x   0;                         x                    x   ;             
                                                                                                                                                                 2                                  2                 2 
                                                                                                                           f ´ x   0                                                                                                                                  3 
                                                                                                                                                                                                                                                         CRECIENTE  x   ; 
                                                                                                                                                                                                                                                                         2 
                  f ´ x   6 x 18 x 12
                                 2
                                                                                        f ´ x   0                       f ´´ x   0                    f ´ x   0                   f ´ x   0               f ´ x   0                                                              
                                                                                                                                                                                                                                                                              3
                                                                                                                                                                                                                                               DECRECIENTE  x    ;0    0; 
                                                                                                                           f ´´´ x   0                                                                                                                                     2

                                                                                                                        PUNTO DE 
           y  f  x   3 x  9 x  12 x 
                                  3             2
                                                                                 DECRECIENTE                                                              DECRECIENTE                    MINIMO                    CRECIENTE 
                                                                                                                        INFLEXION 
 
 
 
PUNTOS DE INFLEXION DE LA FUNCION   y = f(x)  [CURVATURA] 
 
 
                                                                                                                                                     y = f x                                                           t0
                                                                                  y = f x
 
                                                                                                                                                                               P0  x0 ; f  x0  
                                                                                                    
                                                                                                 f ´ x0   0  CRECIENTE
                                                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                         f ´ x0   0  DECRECIENTE
                                                P0  x0 ; f  x0  
                                                                                                         t0
                                                                                                                                      f ´ x0    0  DECRECIENTE
                                                                                                                                                 



                                                                                                                                                                                                                                      f´´  x0   0
           
         f ´ x0   0  CRECIENTE                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                     
                                                          x0                   x0                                                                                                    x0                 x0                        f´´´  x0   0
                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                   x0                                             f´´  x0   0
                                                                                                                                                                                                x0
                                                                                                                 
                                          P.  INFLEXION                                                           f´´´  x0   0
                                                                                                                 
                                                                                                                                                                     P.  INFLEXION
 
 
                                                                                                    t0                                                                                                                        t0
 
 
                                                     P0  x0 ; f  x0                                                                                                           P0  x0 ; f  x0  
 
                                                                                           f´´  x0   0                                                                                                          f´´  x0   0
                                                                                                                                                                                                                                               y = f x
                    y = f x

                                                                           x0                                                                                                                         x0
 
                                          CONCAVA HACIA ARRIBA       
                                                                                                                                                                   CONCAVA HACIA ABAJO       
                                                                                                                                                                                              
 
 
 

            APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 3 de 4 

             
 y´ f ´ x 
                              
            1.  y  f  x    y´´ f ´´ x 
                              y´´´ f ´´´ x 
                              
                                         x  x1
                                        x  x
                                        
            2.  f ´´ x   0  
                                                2
                                                     x  xi   POSIBLES  PUNTOS DE INFLEXION 
                                            RESOLVIENDO  LA  ECUACION
                                                                                             
                                           ....
                                         x  xn
                                        
                                                    f ´´ x i   0                                                                                                                                                                                          
                                                   
           3.  x  xi     PUNTO DE INFLEXION                              
                                                    f ´´´ x i   0
                                                   
           NOTA: Cuando f ´´ x i   0  Si la primera derivada no nula es impar  PUNTO DE INFLEXION. 
                                                        
                                                        
                                                                                 f ´´ x i   0
                                                                                                                                 
                                                                                                                                                    
                                                                                                                                   f ´´ x i   0 
                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                 
                 Tambien podemos aplicar : x  x i     PUNTO DE INFLEXION     f ´´ xi   0           PUNTO DE INFLEXION     f ´´ x i   0 
                                                                                                                                                 
                                                        
                                                                               
                                                                                           
                                                                                 f ´´ x i  0
                                                                                                                                             
                                                                                                                                   f ´´ xi  0 
                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                           
          
Ejemplo 1: 
Determinar los puntos de inflexión y curvatura de la función:  f  x   2 x  9 x  12 x . 
                                                                                                                                                     3            2


                                          f ´ x 6 x2 18 x 12                                                                                                                                                                  3 9
                                                                                                                                                                                                                                 P1  ;   P. INFLEXION
                                                                                                                                                                                                                                    2 2
            f  x   2 x  9 x  12 x   f ´´ x 12 x 18  
                                3               2
     1.
                                                  f ´´´ x 12
                                         
                                                                                      18 3
     2.     f ´´ x   0  12 x  18  0  x1                                           
                                                                                      12 2
 

                     3     
            x  x 1      
                                               
                                                         0 P 
                                                       f ´´
                                                                3
                                                                2
                                                                                                                   3 9
                                                                                                    x1 ; f  x1    ;    PUNTO DE INFLEXION  
                                                f ´´´   12  0
     3.
                     2                                      3                               1
                                                                                                                    2 2
                                                           2                                                                                                                                                                             x1 =
                                                                                                                                                                                                                                                 3
                                                                                                                                                                                                                                                 2
 
 
 
       CURVATURA 
                                                                                      3                                  3                          3 
                                                                             x    ;                           x                             x   ;            
                                                                                      2                                  2                          2 
                                                                                                               f ´´ x   0                                                                             3
                                                                                                                                                                                 CONVEXA    x    ; 
                    f ´´ x   12 x  18                                    f ´´ x   0                                                       f ´´ x   0
                                                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                                         2
                                                                                                               f ´´´ x   0                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                     3 
                                                                                                                                                                                  CONCAVA    x   ; 
                                                                                                                                                                                           
                                                                          CONCAVA                                                            CONCAVA                                                 2 
            y  f  x   3 x  9 x  12 x 
                                    3           2
                                                                         HACIA ABAJO                       P. INFLEXION                     HACIA ARRIBA 
                                                                                      
                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                          
 
 
OPTIMIZACION DE FUNCIONES 
La  optimización  es  una  aplicación  directa  del  cálculo  diferencial  y  sirve  para  calcular  máximos  y  mínimos  de  funciones  sujetas  a 
determinadas  condiciones.  La  aplicación  práctica  de  los  problemas  de  optimización  es  bien  clara:  calcular  superficies  o  volúmenes 
máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras... 
     Es  importante  en  este  tipo  de  problemas  identificar  claramente  la  función  a  optimizar  que  suele  depender  de  dos  variables.  El 
ejercicio  nos  dará  una  condición  que  liga  a  ambas  y  lo  que  debemos  hacer  es  despejar  una  de  ellas  y  sustituirla  en  la  función  a 
optimizar,  de  forma  que  tengamos  una  sola  variable.  A  partir  de  aquí  aplicaremos  la  teoría  del  cálculo  diferencial  para  identificar 
máximos o mínimos. Aquí van algunos ejemplos: 
 
EJEMPLO 1. 
Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las  dimensiones que debe tener dicho campo para que 
la superficie vallada sea máxima. 
            2 x  2y  100
                                                      S  x   x y                                                                   Perimetro : 2x + 2y = 100 m.
                                                                                                                       
                             x  y  50  y  50  x  S x  x  50  x  S x  50 x  x 2 SUPERFICIE QUE QUEREMOS  SEA  MAXIMA
                                                                                                                                                
            S  x   x  y
                                                                                                                                                                                                                             
            
                                    S´ x   50  2 x
                                                                                                                                                                                                                                                      S = x y
            S  x   50 x  x 2                                                                                                                                                                                                    y
                                    S´´ x   2
                                   
            S´ x   0  50  2 x  0  x  25 / S´´ 25  2  0  MAXIMO                                                                                                                                                                                     x
           Las dimensiones del campo serán 25x25 m. Para que la superficie vallada sea máxima. 
             APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 4 de 4 

              

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Aplicaciones de las derivadas 01

  • 1. TANGENTE A LA GRAFICA DE LA FUNCION  y = f(x)  EN UN PUNTO    t0  y ‐ f  x0  = f´  x0    x ‐ x0  y  f  x   y´ f ´ x   m0  f ´ x0  P0  x0 ; f  x0   x  x0  P0   x0 ; f  x0     x = f  x0      y = f x Tangente en P0: t0  y  y0  m0   x  x0   t0  y  f  x0   f ´ x0    x  x0          m = tg   = f´ x  0 x = x0   Ejemplo:  Determinar la tangente a la función:  f  x   x  2 x  8 , en el punto de abcisa x=1.  2 t0  y = 4x ‐ 9 f  x   x  2 x  8  f ´ x   2 x  2 2 y = x 2 + 2x ‐ 8  f 15P0 1;5   x 1  t0  y  f 1  f ´1   x 2     m  f ´14 P0  1;‐5  t0  y  5  4   x 1  t0  y  4x  9     TANGENTES A LA GRAFICA DE LA FUNCION   y = f(x)  PARALELAS A UNA RECTA DADA Y SUS PUNTOS DE CONTACTO    r  y  mx  n   y  f  x     t2 t1 r   1. y  f  x   y ´ f ´ x    P2  x 2 ; f  x 2    x  x1  P1  x1 ; f  x1    2. f ´ x   m    *1        P1  x1 ; f  x1    x  x2  P2  x2 ; f  x2      [*1} Pueden existir más de una solución dependiendo     del grado de la ecuación f´(x)=m.  t1  y  f  x1   m   x  x1  y = f x 3.       t2  y  f  x2   m   x  x2    Ejemplo:  Determinar las tangentes a la función:  f  x   x  x  2 x , paralelas a la recta   y  x .  3 2 f  x   x  x  2 x  f ´ x   3 x  2 x  2 3 2 2 y  x    y mx  n  m  1 y = x 3 ‐ x 2 ‐ 2x r y=x  1 10  x1   f ´ x   1  3 x  2 x  2  1  3 x  2 x  3  0   3 2 2  1 10 P1 y= x‐ 29 + 20 10  x2  3 t2  27 1  10  1 10 20 11 10  x1   P1  x1 ; f  x1    P1  ;  3  3 27  t1 y= x‐ 29 ‐ 20 10   P2 27 1  10  1 10 20 11 10  x2   P2  x2 ; f  x2    P2  ;  3  3 27  20  11 10 1  10 29  20 10 t1  y  f  x1   m   x  x1   t1  y    x  t1 yx 27 3 27 20  11 10 1  10 29  20 10 t2  y  f  x2   m   x  x2   t2  y    x  t2 yx 27 3 27           APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 1 de 4   
  • 2. EXTREMOS RELATIVOS DE LA FUNCION   y = f(x)  [MAXIMOS Y MINIMOS, CRECIMIENTO DECRECIMIENTO]      y = f x         f ´ x0   0  DECRECIENTE   f ´ x0   0  CRECIENTE P0  x0 ; f  x0   t0  y = f  x 0    t0  y = f  x 0    f ´ x0   0  DECRECIENTE   P0  x0 ; f  x0     f ´ x0   0  CRECIENTE   x0  x0  x0  x0    x0 x0     MINIMO MAXIMO y = f x y´ f ´ x  1.  y  f  x   y´´ f ´´ x   x  x1 x  x  2.  f ´ x   0   RESOLVIENDO  LA  ECUACION  2   x  xi   POSIBLES  EXTREMOS     ....  x  xn     f ´ x i   0  f ´ xi   0     3.  x  xi     MINIMO             MAXIMO        f ´´ xi   0  f ´´ x i   0        f ´n  xi   0  MINIMO  Si la primera derivada no nula es par   ´n NOTA: Cuando f ´´ x i   0    f  xi   0  MAXIMO      Si la primera derivada no nula es impar  PUNTO DE INFLEXION.    f ´ xi   0   f ´ xi   0                 Tambien podemos aplicar : x  x i     MINIMO     f ´ x i   0           MAXIMO     f ´ xi   0            f ´ xi  0   f ´ xi  0          Ejemplo 1:  Determinar los máximos, mínimos y monotonía de la función:  f  x   2 x  9 x  12 x .  3 2  f ´ x 6 x 2 18 x 12  f  x   2 x  9 x  12 x   3 2 1.     f ´´ x 12 x 18 2. f ´ x   0  6 x  18 x  12  0  2  x1  1 x2  2    f ´1  0 x  x 1  1      P1  x1 ; f  x1    1; 5   MAXIMO  f ´´1  6  0 P1  1; 5  MAXIMO 3.    f ´2  0 x  x 2  2      P2  x 2 ; f  x 2     2; 4   MINIMO  f ´´2   6  0 P2  2; 4  MINIMO  f ´1   f ´ 0, 9   0, 66  0  x  x 1  1     f ´1  0  P1  x1 ; f  x1    1; 5  MAXIMO  f ´1   f ´1,1  0, 54  0     f ´2   f ´1, 9   0, 54  0  x  x 2  2     f ´2   0  P2  x2 ; f  x2     2; 4   MINIMO x1 = 1 x2 = 2  f ´2   f ´2,1  0, 66  0     MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO)    x  ;1   x 1  x  1;2    x 2  x   2;    CRECIENTE  x    ;1   2;  f ´ x   6 x 18 x 12  f ´ x   0 f ´ x   0 f ´ x   0 f ´ x   0 f ´ x   0 2               DECRECIENTE  x  1;2  y  f  x   3 x  9 x  12 x  3 2   CRECIENTE  MAXIMO  DECRECIENTE  MINIMO  CRECIENTE        APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 2 de 4   
  • 3. Ejemplo 2:  3 x Determinar los máximos y mínimos de la función:  f  x   .  x 1  3 x 2  x 1 x 3 2 x 3 3 x 2  f ´ x    x 1  x 12  1. f x  x 3     f ´´ x  2    6 x 2 12 x  x 1 2 2 x 3 6 x 2  x 1 2 x 3 6 x 2 6 x     x 1   x 14  x 13   24  f ´´´ x     x 15  x1  0  f ´ x   0  2 x  3 x  0   3 2 2. 3   x2  2   3 27  P2  ;   MINIMO 2 4   f ´ 0   0  x  x 1  0      f ´´ 0 0   f ´´ 0   0  f ´´´ 0 24  0 Primera derivada no nula impar   3  P1  x1 ; f  x1     0; 0   PUNTO DE INFLEXION P1  0; 0  P. INFLEXION x2 = 2 3.    x1 = 0  f´ 3  0   P2  x 2 ; f  x 2     ;    MINIMO 3 2  3 27  x  x 2       2 3  f ´´ 2  18  0   2 4    MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO)   3 3  x    ;0  3     x0   x   0;    x   x   ;     2 2 2  f ´ x   0 3  CRECIENTE  x   ;  2  f ´ x   6 x 18 x 12 2   f ´ x   0   f ´´ x   0   f ´ x   0   f ´ x   0   f ´ x   0      3 DECRECIENTE  x    ;0    0;  f ´´´ x   0  2 PUNTO DE  y  f  x   3 x  9 x  12 x  3 2   DECRECIENTE  DECRECIENTE  MINIMO  CRECIENTE  INFLEXION        PUNTOS DE INFLEXION DE LA FUNCION   y = f(x)  [CURVATURA]        y = f x t0   y = f x   P0  x0 ; f  x0       f ´ x0   0  CRECIENTE   f ´ x0   0  DECRECIENTE   P0  x0 ; f  x0   t0 f ´ x0    0  DECRECIENTE     f´´  x0   0   f ´ x0   0  CRECIENTE     x0  x0  x0  x0   f´´´  x0   0    x0  f´´  x0   0  x0    P.  INFLEXION  f´´´  x0   0  P.  INFLEXION       t0 t0       P0  x0 ; f  x0   P0  x0 ; f  x0     f´´  x0   0 f´´  x0   0   y = f x   y = f x   x0 x0   CONCAVA HACIA ARRIBA          CONCAVA HACIA ABAJO                APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 3 de 4   
  • 4.  y´ f ´ x   1.  y  f  x    y´´ f ´´ x  y´´´ f ´´´ x    x  x1 x  x  2.  f ´´ x   0    2   x  xi   POSIBLES  PUNTOS DE INFLEXION  RESOLVIENDO  LA  ECUACION    ....  x  xn   f ´´ x i   0    3.  x  xi     PUNTO DE INFLEXION              f ´´´ x i   0  NOTA: Cuando f ´´ x i   0  Si la primera derivada no nula es impar  PUNTO DE INFLEXION.     f ´´ x i   0      f ´´ x i   0              Tambien podemos aplicar : x  x i     PUNTO DE INFLEXION     f ´´ xi   0           PUNTO DE INFLEXION     f ´´ x i   0           f ´´ x i  0   f ´´ xi  0          Ejemplo 1:  Determinar los puntos de inflexión y curvatura de la función:  f  x   2 x  9 x  12 x .  3 2  f ´ x 6 x2 18 x 12 3 9  P1  ;   P. INFLEXION 2 2 f  x   2 x  9 x  12 x   f ´´ x 12 x 18   3 2 1.  f ´´´ x 12  18 3 2. f ´´ x   0  12 x  18  0  x1     12 2   3  x  x 1         0 P  f ´´ 3 2 3 9 x1 ; f  x1    ;    PUNTO DE INFLEXION    f ´´´   12  0 3. 2 3 1 2 2  2 x1 = 3 2       CURVATURA   3 3 3    x    ;    x   x   ;     2 2 2  f ´´ x   0  3 CONVEXA    x    ;  f ´´ x   12 x  18  f ´´ x   0 f ´´ x   0            2 f ´´´ x   0   3  CONCAVA    x   ;    CONCAVA  CONCAVA  2  y  f  x   3 x  9 x  12 x  3 2    HACIA ABAJO  P. INFLEXION  HACIA ARRIBA                  OPTIMIZACION DE FUNCIONES  La  optimización  es  una  aplicación  directa  del  cálculo  diferencial  y  sirve  para  calcular  máximos  y  mínimos  de  funciones  sujetas  a  determinadas  condiciones.  La  aplicación  práctica  de  los  problemas  de  optimización  es  bien  clara:  calcular  superficies  o  volúmenes  máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras...       Es  importante  en  este  tipo  de  problemas  identificar  claramente  la  función  a  optimizar  que  suele  depender  de  dos  variables.  El  ejercicio  nos  dará  una  condición  que  liga  a  ambas  y  lo  que  debemos  hacer  es  despejar  una  de  ellas  y  sustituirla  en  la  función  a  optimizar,  de  forma  que  tengamos  una  sola  variable.  A  partir  de  aquí  aplicaremos  la  teoría  del  cálculo  diferencial  para  identificar  máximos o mínimos. Aquí van algunos ejemplos:    EJEMPLO 1.  Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las  dimensiones que debe tener dicho campo para que  la superficie vallada sea máxima.  2 x  2y  100  S  x   x y   Perimetro : 2x + 2y = 100 m.      x  y  50  y  50  x  S x  x  50  x  S x  50 x  x 2 SUPERFICIE QUE QUEREMOS  SEA  MAXIMA     S  x   x  y     S´ x   50  2 x  S = x y S  x   50 x  x 2     y  S´´ x   2  S´ x   0  50  2 x  0  x  25 / S´´ 25  2  0  MAXIMO x Las dimensiones del campo serán 25x25 m. Para que la superficie vallada sea máxima.  APLICACIONES DE DERIVADAS      (Joaquín Aroca Gomez)                                                                                                                                                                                                                  Página 4 de 4