ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
Aplicaciones de las derivadas 01
1. TANGENTE A LA GRAFICA DE LA FUNCION y = f(x) EN UN PUNTO
t0 y ‐ f x0 = f´ x0 x ‐ x0
y f x y´ f ´ x m0 f ´ x0
P0 x0 ; f x0
x x0 P0 x0 ; f x0
x = f x0
y = f x
Tangente en P0:
t0 y y0 m0 x x0 t0 y f x0 f ´ x0 x x0
m = tg = f´ x 0 x = x0
Ejemplo:
Determinar la tangente a la función: f x x 2 x 8 , en el punto de abcisa x=1.
2
t0 y = 4x ‐ 9
f x x 2 x 8 f ´ x 2 x 2
2
y = x 2 + 2x ‐ 8
f 15P0 1;5
x 1 t0 y f 1 f ´1 x 2
m f ´14
P0 1;‐5
t0 y 5 4 x 1 t0 y 4x 9
TANGENTES A LA GRAFICA DE LA FUNCION y = f(x) PARALELAS A UNA RECTA DADA Y SUS PUNTOS DE CONTACTO
r y mx n
y f x
t2 t1
r
1. y f x y ´ f ´ x
P2 x 2 ; f x 2
x x1 P1 x1 ; f x1
2. f ´ x m *1 P1 x1 ; f x1
x x2 P2 x2 ; f x2
[*1} Pueden existir más de una solución dependiendo
del grado de la ecuación f´(x)=m.
t1 y f x1 m x x1 y = f x
3.
t2 y f x2 m x x2
Ejemplo:
Determinar las tangentes a la función: f x x x 2 x , paralelas a la recta y x .
3 2
f x x x 2 x f ´ x 3 x 2 x 2
3 2 2
y x y mx n m 1
y = x 3 ‐ x 2 ‐ 2x
r y=x
1 10
x1
f ´ x 1 3 x 2 x 2 1 3 x 2 x 3 0 3
2 2
1 10 P1
y= x‐
29 + 20 10
x2 3
t2
27
1 10 1 10 20 11 10
x1 P1 x1 ; f x1 P1 ;
3 3 27 t1 y= x‐
29 ‐ 20 10 P2
27
1 10 1 10 20 11 10
x2 P2 x2 ; f x2 P2 ;
3 3 27
20 11 10 1 10 29 20 10
t1 y f x1 m x x1 t1 y
x t1 yx
27 3 27
20 11 10 1 10 29 20 10
t2 y f x2 m x x2 t2 y
x t2 yx
27 3 27
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 1 de 4
2. EXTREMOS RELATIVOS DE LA FUNCION y = f(x) [MAXIMOS Y MINIMOS, CRECIMIENTO DECRECIMIENTO]
y = f x
f ´ x0 0 DECRECIENTE
f ´ x0 0 CRECIENTE P0 x0 ; f x0 t0 y = f x 0
t0 y = f x 0
f ´ x0 0 DECRECIENTE
P0 x0 ; f x0
f ´ x0 0 CRECIENTE
x0 x0 x0 x0
x0 x0
MINIMO
MAXIMO y = f x
y´ f ´ x
1. y f x
y´´ f ´´ x
x x1
x x
2. f ´ x 0
RESOLVIENDO LA ECUACION
2
x xi POSIBLES EXTREMOS
....
x xn
f ´ x i 0 f ´ xi 0
3. x xi MINIMO MAXIMO
f ´´ xi 0 f ´´ x i 0
f ´n xi 0 MINIMO
Si la primera derivada no nula es par ´n
NOTA: Cuando f ´´ x i 0 f xi 0 MAXIMO
Si la primera derivada no nula es impar PUNTO DE INFLEXION.
f ´ xi 0
f ´ xi 0
Tambien podemos aplicar : x x i MINIMO f ´ x i 0 MAXIMO f ´ xi 0
f ´ xi 0
f ´ xi 0
Ejemplo 1:
Determinar los máximos, mínimos y monotonía de la función: f x 2 x 9 x 12 x .
3 2
f ´ x 6 x 2 18 x 12
f x 2 x 9 x 12 x
3 2
1.
f ´´ x 12 x 18
2. f ´ x 0 6 x 18 x 12 0
2
x1 1
x2 2
f ´1 0
x x 1 1 P1 x1 ; f x1 1; 5 MAXIMO
f ´´1 6 0 P1 1; 5 MAXIMO
3.
f ´2 0
x x 2 2 P2 x 2 ; f x 2 2; 4 MINIMO
f ´´2 6 0 P2 2; 4 MINIMO
f ´1 f ´ 0, 9 0, 66 0
x x 1 1 f ´1 0 P1 x1 ; f x1 1; 5 MAXIMO
f ´1 f ´1,1 0, 54 0
f ´2 f ´1, 9 0, 54 0
x x 2 2 f ´2 0 P2 x2 ; f x2 2; 4 MINIMO x1 = 1 x2 = 2
f ´2 f ´2,1 0, 66 0
MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO)
x ;1 x 1 x 1;2 x 2 x 2;
CRECIENTE x ;1 2;
f ´ x 6 x 18 x 12 f ´ x 0 f ´ x 0 f ´ x 0 f ´ x 0 f ´ x 0
2
DECRECIENTE x 1;2
y f x 3 x 9 x 12 x
3 2
CRECIENTE MAXIMO DECRECIENTE MINIMO CRECIENTE
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 2 de 4
3. Ejemplo 2:
3
x
Determinar los máximos y mínimos de la función: f x .
x 1
3 x 2 x 1 x 3 2 x 3 3 x 2
f ´ x
x 1 x 12
1. f x
x
3
f ´´ x
2
6 x 2 12 x x 1 2 2 x 3 6 x 2 x 1 2 x 3 6 x 2 6 x
x 1 x 14 x 13
24
f ´´´ x
x 15
x1 0
f ´ x 0 2 x 3 x 0
3 2
2. 3
x2 2
3 27
P2 ; MINIMO
2 4
f ´ 0 0
x x 1 0
f ´´ 0 0
f ´´ 0 0 f ´´´ 0 24 0 Primera derivada no nula impar
3
P1 x1 ; f x1 0; 0 PUNTO DE INFLEXION
P1 0; 0 P. INFLEXION x2 =
2
3.
x1 = 0
f´ 3 0
P2 x 2 ; f x 2 ; MINIMO
3 2 3 27
x x 2
2 3
f ´´ 2 18 0
2 4
MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO)
3 3
x ;0
3
x0 x 0; x x ;
2 2 2
f ´ x 0 3
CRECIENTE x ;
2
f ´ x 6 x 18 x 12
2
f ´ x 0 f ´´ x 0 f ´ x 0 f ´ x 0 f ´ x 0
3
DECRECIENTE x ;0 0;
f ´´´ x 0 2
PUNTO DE
y f x 3 x 9 x 12 x
3 2
DECRECIENTE DECRECIENTE MINIMO CRECIENTE
INFLEXION
PUNTOS DE INFLEXION DE LA FUNCION y = f(x) [CURVATURA]
y = f x t0
y = f x
P0 x0 ; f x0
f ´ x0 0 CRECIENTE
f ´ x0 0 DECRECIENTE
P0 x0 ; f x0
t0
f ´ x0 0 DECRECIENTE
f´´ x0 0
f ´ x0 0 CRECIENTE
x0 x0 x0 x0 f´´´ x0 0
x0 f´´ x0 0
x0
P. INFLEXION f´´´ x0 0
P. INFLEXION
t0 t0
P0 x0 ; f x0 P0 x0 ; f x0
f´´ x0 0 f´´ x0 0
y = f x
y = f x
x0 x0
CONCAVA HACIA ARRIBA
CONCAVA HACIA ABAJO
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4. y´ f ´ x
1. y f x y´´ f ´´ x
y´´´ f ´´´ x
x x1
x x
2. f ´´ x 0
2
x xi POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION
RESOLVIENDO LA ECUACION
....
x xn
f ´´ x i 0
3. x xi PUNTO DE INFLEXION
f ´´´ x i 0
NOTA: Cuando f ´´ x i 0 Si la primera derivada no nula es impar PUNTO DE INFLEXION.
f ´´ x i 0
f ´´ x i 0
Tambien podemos aplicar : x x i PUNTO DE INFLEXION f ´´ xi 0 PUNTO DE INFLEXION f ´´ x i 0
f ´´ x i 0
f ´´ xi 0
Ejemplo 1:
Determinar los puntos de inflexión y curvatura de la función: f x 2 x 9 x 12 x .
3 2
f ´ x 6 x2 18 x 12 3 9
P1 ; P. INFLEXION
2 2
f x 2 x 9 x 12 x f ´´ x 12 x 18
3 2
1.
f ´´´ x 12
18 3
2. f ´´ x 0 12 x 18 0 x1
12 2
3
x x 1
0 P
f ´´
3
2
3 9
x1 ; f x1 ; PUNTO DE INFLEXION
f ´´´ 12 0
3.
2 3 1
2 2
2 x1 =
3
2
CURVATURA
3 3 3
x ; x x ;
2 2 2
f ´´ x 0 3
CONVEXA x ;
f ´´ x 12 x 18 f ´´ x 0 f ´´ x 0
2
f ´´´ x 0
3
CONCAVA x ;
CONCAVA CONCAVA 2
y f x 3 x 9 x 12 x
3 2
HACIA ABAJO P. INFLEXION HACIA ARRIBA
OPTIMIZACION DE FUNCIONES
La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a
determinadas condiciones. La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular superficies o volúmenes
máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras...
Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele depender de dos variables. El
ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la función a
optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar
máximos o mínimos. Aquí van algunos ejemplos:
EJEMPLO 1.
Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las dimensiones que debe tener dicho campo para que
la superficie vallada sea máxima.
2 x 2y 100
S x x y Perimetro : 2x + 2y = 100 m.
x y 50 y 50 x S x x 50 x S x 50 x x 2 SUPERFICIE QUE QUEREMOS SEA MAXIMA
S x x y
S´ x 50 2 x
S = x y
S x 50 x x 2 y
S´´ x 2
S´ x 0 50 2 x 0 x 25 / S´´ 25 2 0 MAXIMO x
Las dimensiones del campo serán 25x25 m. Para que la superficie vallada sea máxima.
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