Examen resuelto PAU Matemáticas II , septiembre 2012, Madrid (Comentar no cuesta nada y ayuda a mejorar los contenidos) https://sites.google.com/site/clasesapoyomates/ http://www.clasesparticularesmatematicas.es/

1. EXAMEN SEPTIEMBRE 2012
OPCION A
Ejercicio 1.
 3 x  A; Si x 3
Dada la función: f  x  

4 10 x  x ; Si x 3
2

a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de A?
b) Hallar los puntos en los que f′(x) = 0.
c) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f(x) en el intervalo [4, 8].
Solución:
 3 x  A; Si x 3

f x  
4 10 x  x ; Si x 3
2

 lim f  x  lim  3 x  A 9  A
 x3 x 3

a)
 x 3 x 3
 
x  3   lim f  x  lim 4 10 x  x 2 17  f continua en x  3  lim f  x   lim f  x   f  3  9  A  17  A 8
x 3 x 3

 f  3  9  A
f ´ 3  3

 3 x 8; Si x 3
  3; Si x 3
A  8 f  x     f ´ x    f ´ 3  f ´ 3  f no es derivable en x 3 para A 8
 

2 10 2 x ; Si x 3 f ´ 3 4

4 10 x  x ; Si x 3


 3 x  A; Si x 3 
 3; Si x 3
f x    f ´ x   
4 10 x  x ; Si x 3

2
10 2 x ; Si x 3

f ´´ x 2
b) 
Si x  3  f ´ x   0  10  2 x  0  x  5  3  P 5; f  5  P  5 ; 21 /  f ´´ 520MAXIMO
Si x  3  f ´ x   3  0
 3 x  A; Si x 3

f x  
4 10 x  x ; Si x 3
2

c) f  4   4  10  4  4  20
2

  Min. Absoluto:(8;12)

f  8   4  10  8  8  12   En 4;8  Max. Absoluto: 5;21
2



f ´ x   0  x  5  f  5  4  10  5  5  21 
2
Ejercicio 2.
3 x ay  4 z 6

Dado el sistema de ecuaciones lineales:  x  a1y  z 3 Se pide:

 a 1 x ay 3z 3
1. Discutir el sistema según los valores de a.
2. Resolverlo para a = −1.
Solución:
3 x ay  4 z 6  3 a 4 6  3 a 4 5

   a 
 x  a 1y  z 3  a 1 1  3   C  1  a 1
2 2
 1  1  3a  8a  5  C  0  3a  8a  5  0  3
  3   a 1
 a 1 x ay 3 z 3   a 1   3 
 
a 

 a 1 a 3
 C 

C*
5
a  
3   Rg  C   Rg  C *  3  nº de incognitas  S.C .D.
a 1 

3 4 
1 0  Rg  C  2

1. 5  3 5 3 4  6  1 1 

a  C 0    
  1 2 3 1  3   3 6 4   Rg C   Rg C *  S.I.
3 
 8 3 5 3 3  3  
 3 1  4  0 Rg  C *  3
 
1

8 3 3 3 
C
  
C*
3 1 
1 0 Rg  C  2 
 3 1 4  6  1 0 

a  1  C 0 
    1 0 1  3   3 1 6
     Rg C   Rg C *  nº de incognitas  S.C .I.
 2 1 3  3  
 1 0 3  0 Rg C * 2
 

2 1 3 
C
  
C*
PAU MADRID MATEMATICAS II SEPTIEMBRE 2011 Joaquín Aroca Gomez Página 1 de 5

2. 3 1 
1  0  Rg C  2  3 x  y  4 z  6 3 x  y  4 z 6
 3 1 4  6    x 3 
1 0
 
  
2. a  1  C
 0  S .C .I .   1 0 1  3   3 1 6
      x  z 3   x  z 3  y 3  ;
 2 1 3  3     z   z 
 1 0 3  0  Rg  C * 2
 
 
 2 x  y 3 z 3  
2 1 3 
C
  
C*
Ejercicio 3.
Se dan la recta r y el plano π, mediante:
x 4 y 1 z 2
r   ;  2 x  y 2 z 70
2 1 3
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno.
Solución:
x  4 2 
x 4 y 1 z 2
r    y 1  Pr  4 2 ;1 ;23 
2 1 3
z 23
3 2 5
2 4 2 1 2 2 3 7 13 51 
3 2 3 3
dP ,    1  3 2 1
22 12  2 
r 2 3 13 12 
3 3
5 Pr  5 5 5  2 8 
1   P1  4 2 ;1 ;23   P1  ; ;3 

3  3 3 3  3 3 
1 Pr  1 1 1  14 2 
2   P2  4 2 ;1 ;23   P2  ; ;3 

3  3 3 3  3 3 
Ejercicio 4.
Dadas las rectas:
x 1 y 2 z 
 x  y 4
r   ; s  
2 2 2 2 x  z 4

1. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2, 3, 4) y es paralelo a las rectas r y s.
2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por B(4,−1, 2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.
Solución:
x 1 y 2
 v r  2;2;2   1;1;1 
z
r     
2 2 2  i j k
   
 x  y 4

i j k   n  v r  v s  1 1 1   3;1;2 
1. s  v s  1 1 0  1;1;2   1 1 2
2 x  z 4
 2 0 1 

n  3;1;2  
 
   3 x 2  y 32 z 4 0  3 x  y 2 z 11 0
 A 2,3,4  
 
v n  3;1;2  
  x  4 y 1 z 2
2. m  a  por B   m    m  
 B 4,1,2  
  3 1 2
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3. EXAMEN SEPTIEMBRE 2012
OPCION B
Ejercicio 1.
Dado el punto P(2, 1,−1), se pide:
1. Hallar el punto P′ simétrico de P respecto del punto Q(3, 0, 2).
2. Hallar el punto P′′ simétrico de P respecto de la recta r ≡ x − 1 = y − 1 = z.
3. Hallar el punto P′′′ simétrico de P respecto del plano π ≡ x + y + z = 3.
Solución:
 xP  x P ´ P´  4,‐1,5 
  xQ  xP ´ 2 xQ  xP 2324
2

OP OP ´  x x Q  3,0,2 
1.  OQ   P P ´  xQ  xP ´ 2 xQ  xP 20 11  P ´ 4;1;5
2  2
 xP  xP ´
  xQ  xP ´ 2 xQ  xP 22 1 5 P  2,1,‐1 
 2
 P 2;1;1 
  a r  x  1  y  1  z , por P  2;1;1        x 2   y 1   z 1  0    x  y  z  2  0
n vr 1;1;1 
  x 1  
 r  x 1y 1 z r y 1 Pr 1 ;1 ;  

2.   r  M    z 

  M 1;1;0 
  
Pr  1 1   203 0 0 
n  vr

P´´
 xP  xP ´´ M
  xM  xP ´´ 2 xM  xP 2120 P
2

OP OP ´´  y y 
OM  P P ´´  yM  xP ´´ 2 yM  yP 2111  P ´´ 0;1;1
2  2
 zP  zP ´´
 2  zM  zP ´´ 2 zM  zP 20 11
r

 x 2 
 P 2;1;1  
n  a   x  y  z  3, por P  2;1;1     n  x  2  y  1  z  1  n   y 1   Pn  2  ;1  ;1  
vn n 1;1;1 
r  z 1 

 1 Pn  1 1 1   7 4 2 
3.   n  N  Pn   2    1     1    3  3   1  0     N  2 ;1 ;1    ; ; 
  n
3  3 3 3  3 3 3 
 xP  xP ´´´ 7 8 P
  xN  xP ´´´ 2 xN  xP 2 2 n  vn
 2 3 3
OP OP ´´´  yP  yP ´´ 4 5  8 5 1  
ON   yN  xP ´´ 2yN  yP 2  1  P ´´´ ; ; 
2  2 3 3 3 3 3  N
 zP  zP ´´  2  1
  zN  zP ´´ 2 zN  zP 2  1 
 2  3  3 P´´
Ejercicio 2.
Dada la función f ( x ) x 2 sen x  , se pide:
a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo abierto (π/2, π).
b) Calcular la integral de f en el intervalo [0, π].
c) Obtener la ecuación de la recta normal a la grafica de y = f(x) en el punto (π, f(π)). Recuérdese que la recta normal es
la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
Solución:
 x 2 0 x 02k ;k

f  x   0  x  sen  x   0  
2
 x 02k ;k
sen x 0 x  Arcsen 0 
  x   2k ;k
f es continua en  2;  
 
 BOLZANO
a) x  2 f  2  2 4 0  No se puede asegurar que: x0
 2;  / f  x0 0 x  si es solución de f  x 0 pero x   2; 
x   f  0 

No hay solución en  2; 
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4. u  x 2 du 2 x dx 
dv  Sen x dx v Cos x  
 x2 sen x   dx   x2 sen x   dx   x  Cos  x   2  xCos x   dx 
2

u  x du dx


dv Cos x dx v  Sen x 
 xCos x dx   xCos x dx  xSen x   Sen x dx  xSen x Cos x   
  x 2 sen x   dx   x  Cos  x   2   x Sen x Cos x    C   2 x 2   Cos  x   2 x  Sen  x   C
2
b)  
 
 x2 sen x   dx  2 x2 Cos x 2 xSen x   0    4
  2
0
f  x   x  sen  x 
2
f  x   x  sen  x   f ´ x   2 x  sen  x   x  Cos  x 
2 2
1
c) Normal en P0  , f   n y  f    x   P0  π;0 
f ´ 
x 1
ny 2 
f   2 sen 0
 π π
 1 1
n y  2  x   n y  2  x   2
f ´ 2 sen  Cos  
  2

Ejercicio 3.
   
Sean a ,b ,c ,d R3 , vectores columna. Si:
  

det a ,b ,d  1 
  

det a ,c ,d  3 
  

det b ,c ,d  2 
Se pide calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:
  
a) (0,5 puntos) det a ,3d ,b .
   
b) (0,75 puntos) det  a  b ,c , d  .
     
c) (0,75puntos) det  d  3b ,2a ,b 3a  d  .
Solución:
           
 
det a ,b ,d  1  a  b d 
  1; det  a ,c ,d   3  a   c d   3; det  b ,c ,d   2  b   c d   2
     
          

a) det a ,b ,d  1  det   a ,d ,b   det  a ,b ,d   1  det  a ,3d ,b   3.det  a ,d ,b   3
   
     
     c  d    a   c  d    b   c  d    det a ,c ,d   det  b ,c ,d   det a ,c ,d   det  b ,c ,d   3   2  ‐5
                

b) det a b ,c ,d  a b
  
                       
   
det d  3b ,2a ,b 3a d  2  det d  3b ,a ,b 3a d  2  det d  3b ,a ,b 3a d  3a  2  det d  3b ,a ,b  d 
      
*1 *2 *1
*2
 
     

   
 
        

  

 2  det d  3b 3 b d ,a ,b d  2  det 2d ,a ,b d   4  det d ,a ,b d   4  det d ,a ,b d d  4  det d ,a ,b 
  
*1
 
*2
   
        
  
 4  det d ,a ,b  4  det a ,d ,b   4  det a ,b ,d  4   1   4
    
*3 *3
    d 3b 2ab 2a3a 2ad   d 2ab d 2a3a d 2ad 
                    

Otra forma: det d  3b ,2a ,b 3a d  d  3b  2a  b 3a d  
   

   
*4  *5
                       
     
3b  2ab 3b  2a 3a  3b  2a d det d ,2a ,b det d ,2a ,3a  det d ,2a ,d  det 3b ,2a ,b det 3b ,2a ,3a 
    
  
       
0 *6
  0 0 0
                       
      
 det 3b ,2a ,d det d ,2a ,b  det 3b ,2a ,d 2det d ,a ,b  6det b ,a ,d 2det a ,d ,b 6det a ,b ,d 2det a ,b ,d          
     
c)  
6det a ,b ,d 4det a ,b ,d 4 1  4
 
 
1
*1 Para multiplicar a un determinante por una costante, basta multiplicar a una sola de sus filas o columnas.
 
*2 Si a una fila o columna le añadimos una combinacion lineal de otras el determinante no varia.
 
*3 Si se cambian dos filas o dos columnas consecutivas de lugar entre si el determinante cambia de signo.
 
*4  Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores.
 
*5 Distributiva del producto mixto respecto de la suma de vectores.
 
*6  Si dos columnas o filas son iguales o combinacion lineal una de otra el determinante es nulo.
 
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5. Ejercicio 4.
 x 2 z 2
Dado el sistema de ecuaciones lineales: ax  y  z 8 ; se pide:

 2 x az 4

a) Discutir el sistema según los valores de a.
b) Resolverlo para a = −5.
Solución:
 x 2 z 2  1 0 2  2  1 0 2
   
ax  y  z 8   a 1 1  8   C  a 1 1  a  4  C  0  a  4  0  a  4
   
 2 x az 4 2 0 a  4 

2 0 a

C 
C*
a) a  4  C  0  Rg  C   Rg  C *  3  nº de incognitas  S .C .D.
 1 0 2  2  F1
    1 0
 

a  4  C 0    4 1 1  8  F2  
  1 0  Rg  C   Rg  C *  2  nº de incognitas  S .C .I.
 2 0 4  4  F 2F  4 1
 


  3
 1

C
C*
2 0 2 1 2 2 1 0 2
 x 2 z 2 8 1 1 5 8 1 5 1 8
 1 0 2  2  x 2
    0 5 2 4 5
a  5  S .C .D.  5 x  y  z 8   5 1 1  8   C  1  Cramer : x 
4 2 0 4
b)  2; y   2; z   0  y 2
 2 x az 4  2 0 5  4  C C C
  z 0
 


C 

C*
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