CONTROL DE TRAYECTORIA DE ROBOT DE 3 GDL
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MODELO DEL ROBOT                          Cinemática Directa

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Jacobiano
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Elección de los coeficientes r, b, A y a.                Es     necesario   elegir   un     coeficiente   de
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Los controladores, con

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CONCLUSIONES

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El presente trabajo de investigación trata sobre el control PID para el seguimiento de trayectoria de un sistema robótico de 3 grados de libertad, a partir del modelo del robot RV-M1 de mitsubishi. Se introduce un nuevo criterio menos conservador, para seleccionar las ganancias del controlador, y cuando se toma en consideración durante el diseño la dinámica eléctrica de los motores de corriente directa (DC) con escobillas usados para el servocontrol de par de los actuadores. Este resultado no requiere que la dinámica eléctrica de los actuadores sea rápida comparada con la dinámica de la parte mecánica. Se presenta un estudio formal de la técnica de control conocida como control de par la cual es ampliamente utilizada en la práctica industrial.

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  1. 1. CONTROL DE TRAYECTORIA DE ROBOT DE 3 GDL Javier A. Rojas T.1 Nilton C. Anchayhua A2. jartm6uni@gmail.com cesar.anchayhua@gmail.com Universidad Nacional de Ingeniería RESUMEN El presente trabajo de investigación trata sobre el control PID para el seguimiento de trayectoria de un sistema robótico de 3 grados de libertad, a partir del modelo del robot RV-M1 de mitsubishi. Se introduce un nuevo criterio menos conservador, para seleccionar las ganancias del controlador, y cuando se toma en consideración durante el diseño la dinámica eléctrica de los motores de corriente directa (DC) con escobillas usados para el servocontrol de par de los actuadores. Este resultado no requiere que la dinámica eléctrica de los actuadores sea rápida comparada con la dinámica de la parte mecánica. Se presenta un estudio formal de la técnica de control conocida como control de par la cual es ampliamente utilizada en la práctica industrial. Palabras clave: Control de robot, Control por corriente, Diseño y simulación. ABSTRACT This research deals with the PID control for tracking the trajectory of a robotic system with 3 degrees of freedom, from the model of the robot Mitsubishi RV-M1. A new less conservative criterion for selecting the controller gains, and when taken into consideration when designing the dynamics of electric direct current motors (DC) for use with brushed servo torque actuators. This result does not require that the dynamics of electric actuators is rapid compared with the dynamics of the mechanical part. We present a formal study of the control technique known as torque control which is widely used in industrial practice. Key words: Robot Control, Current Control, Simulation and design. INTRODUCCION Este trabajo esta organizado del siguiente modo. Se Los sistemas de control para manipuladores diversa inicia con el proceso de modelado de la dinámica del topología, como es el caso de los de cadena abierta o manipulador. En la siguiente sección se presenta un serial, los reguladores PID pueden satisfacer un estudio sobre el control de par del motor DC, para control, sin embargo la selección de sus parámetros posteriormente mostrar los resultados de simulación se ajustan mucho mejor cuando el sistema a controla incluyendo la dinámica de los actuadores. sea conocido, caso contrario esta la sintonización de Finalmente las conclusiones correspondientes.1 este en simulación y en la practica industrial. Para el presente, se considerara la dinámica de los actuadores, como es el motor de corriente directa, con su respectiva caja de reducción, a fin de que el sistema a controlar sea más verídico y/o realista del sistema. 1 Universidad Nacional de Ingeniería – Alumno de Esp. Ing. Mecatrónica 2 Universidad Nacional de Ingeniería – Docente de Esp. Ing. Mecatrónica
  2. 2. MODELO DEL ROBOT Cinemática Directa Nuestro robot de 5 grados de libertad, es el RV – Determinar la posición del efector final, a partir de la M1, a partir del cual obtendremos nuestros posición de los eslabones que lo conforman, para parámetros de la cinemática directa e inversa. El desarrollar la cinemática del manipulador se utilizan robot RV – M1, Fig. 1, y con la representación matrices de transformación homogénea [1]. En la según Denavit – Hartenberg. tabla 1, se tiene los parámetros D – H del manipulador. Tabla 1. Parámetros DH del Manipulador RV- M1 Eslabón αi ai di θi 1 90 0 d1 θ1 2 0 l2 0 θ2 3 0 l3 0 θ3 4 90 0 0 90 + θ 4 5 0 0 l4 θ5 Figura 1. Manipulador RV-M1 A partir de la configuración hallada, las matrices Homogéneas Representación del robot. Las matrices de transformación homogénea para la cinemática directa son representadas por la letra A, con un subíndice que representa el eje de coordenadas inicial y un superíndice que representa el eje de coordenadas final. Los términos i θ representan el ángulo en radianes de cada eslabón, partiendo desde la base y hasta el último eslabón y l los i representan la longitud de cada eslabón, de igual forma desde la base y hasta el último eslabón, considerando la herramienta. Figura 2. Equivalente en D-H La cinemática directa es el resultado de multiplicar todas las matrices de transformación homogénea, Cinemática para tener una matriz que va del eje de coordenadas La cinemática del manipulador es necesaria, ya que 0 al eje de coordenadas 5 representada como T50 , es la base para desarrollar la simulación, poder como muestra la ecuación 1. observar cómo el robot manipulador sigue la trayectoria y evaluar sí los resultados de los T50 = A10 A2 A32 A4 A54 1 3 (1) algoritmos son correctos, para poder pasar éstos resultados al robot manipulador real. Al realizar las operaciones matemáticas para obtener Así es de interés el desarrollo completo de la la matriz de transformación homogénea del sistema, cinemática del manipulador, dar a entender el se obtiene: procedimiento que se siguió para el cálculo de la cinemática inversa con base a los resultados de la cinemática directa.
  3. 3. ⎡nx ox ax px ⎤ ⎡nx ox ax px ⎤ ⎢n oy ay py ⎥ ⎢n oy ay py ⎥ T5 = ⎢ y 0 ⎥ (2) Td = ⎢ y ⎥ (4) ⎢ nz ox az pz ⎥ ⎢ nz ox az pz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 0 0 1⎦ Donde: n x = s5 s1 − c1c5 (s2 c43 + c2 s43 ) n y = − s5 c1 − s1c5 (s2 c43 + c2 s43 ) Donde los vectores n, o y a representan la orientación del efector final con respecto al sistema n z = c5 (c2 c43 − s2 s43 ) base y el vector p la posición en el espacio igualmente referenciado a la base. Para resolver la o x = c5 s1 + c1 s5 (s2 c43 + c2 s43 ) cinemática inversa basta igualar la matriz de transformación deseada con la matriz de o y = −c5 c1 + s1 s5 (s2 c43 + c2 s43 ) transformación original, T =T, y resolver para los d o z = s5 (− c2 c43 + s2 s43 ) ángulos q1, q2, q3, q4 y q5. a x = c1 (− s2 s43 + c2 c43 ) La orientación de la herramienta en el espacio, esta a y = s1 (− s2 s43 + c2 c43 ) determinada por la trayectoria que se obtendrá en la generación de trayectorias a través de curvas y/o a z = c2 s43 + s2 c43 líneas paramétricas y de la ubicación de éstas en el espacio de trabajo del manipulador. El espacio de p x = c1 (l2 c2 − s2 (l3 s3 + l4 s43 ) + c2 (l3c3 + l4 c43 )) trabajo para este manipulador se muestra en la figura p y = s1 (l2 c2 − s2 (l3 s3 + l4 s43 ) + c2 (l3c3 + l4 c43 )) 3. p z = d1 + l2 s2 + c2 (l3 s3 + l4 s43 ) + s2 (l3c3 + l4 c43 ) Considerando, solo los 3 primeros grados de libertad, tenemos T30 = A10 A2 A32 1 (3) ⎡c1c23 − c1 s 23 s1 c1 (l3 c23 + l 2 c2 ) ⎤ ⎢s c − s1 s 23 c1 s1 (l3 c23 + l 2 c 2 ) ⎥ T50 = ⎢ 1 23 ⎥ ⎢ s 23 c 23 0 l3 s 23 + l 2 s 2 + d1 ⎥ Figura 3. Espacio de Trabajo del manipulador ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1 ⎦ Para la resolución del problema cinemático inverso, Cinemática Inversa los métodos geométricos es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se Para los cálculos de la cinemática inversa, primero consideren sólo los primeros grados de libertad, hay que conocer la trayectoria que debe seguir el dedicados a posicionar el extremo. Es decir, robot, en función de la trayectoria se encuentra la encontrar suficiente número de relaciones orientación del efector final con respecto al sistema geométricas en las que intervendrán las coordenadas base, esta orientación junto con cada punto de la del extremo del robot, sus coordenadas articulares y posición de la trayectoria (px, py, pz), forman la las dimensiones físicas de sus elementos. Para matriz de transformación deseada T . mostrar el procedimiento seguiremos los siguientes d pasos, con dato de inicio las ( ) coordenadas p = p x , p y , p z , y los ángulos de orientación, “pitch - roll” referidas al sistema base en las que se quiere posicionar su extremo.
  4. 4. Jacobiano Pasos: i. Dato: Posición y Orientación. A partir de las matrices obtenidas con los parámetros P = ( px , p y , pz ) de Denavit – Hartenberg. El jacobiano se evalúa O = (o pitch , oroll ) según las derivadas parciales de esta con respecto a las articulaciones. ii. El ángulo de orientación “Roll”, q5 = oroll ∂T iii. Primer ángulo de giro. q1 J= , i = 1 : n (5) ∂qi q1 = arcTg ( p y p x ) Por otro lado, del esquema equivalente del robot, iv. Tercer ángulo q3 podemos obtenerlo del siguiente modo. P3 = P − l4 ⋅ μ(q1,opitch ) Ejes en la dirección de articulación de las juntas b0 = (0,0,1) b1 = (s1 ,−c1 ,0) ⎛ cos(q1 ) cos(o pitch )⎞ T T ⎛ px3 ⎞ ⎛ px ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b2 = (s1 ,−c1 ,0 ) ⎜ sin (q1 ) cos(o pitch ) ⎟ T ⎜ p y 3 ⎟ = ⎜ p y ⎟ − l4 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ejes directores de los eslabones pz3 ⎠ ⎝ pz ⎠ ⎜ sin (o ) ⎟ ⎝ ⎝ pitch ⎠ r0 = (0,0,1) r1 = (c1c 2 , s1c1 , s 2 ) T T r2 = (c1c 23 , s1c 23 , s 23 ) T ( cos(q3 ) = ( p z 3 − d1 ) + p x 3 + p y 3 − l2 − l3 2 2 2 2 2 ) 2l l 2 3 Las distancias del efector final hacia el sistema base. r2,e = l3 ⋅ r2 v. Segundo ángulo q2 r1,e = r2,e + l 2 ⋅ r1 r0,e = r1,e + l1 ⋅ r0 tan A = ( p z 3 − d1 ) px3 + p y3 El Jacobiano queda definido, de la siguiente forma 2 2 ⎛ b0 × r0,e b1 × r1,e b2 × r2,e ⎞ J =⎜ ⎜b ⎟ ⎟ tan B = l3 sin (q3 ) (l2 + l3 cos(q3)) ⎝ 0 b1 b2 ⎠ q2 = A − B Evaluando, con las constantes, tenemos: vi. Cuarto ángulo q4 , Verificar Orientación Pitch. ⎛ − s1 (l2c 2 + l3c23 ) − c1 (l2 s2 + l3 s23 ) − c1 (l3 s23 )⎞ q4 = o pitch − q3 − q2 ⎜ ⎜ c1 (l2c2 + l3c23 ) − s1 (l2 s2 + l3s23 ) ⎟ − s1 (l3 s23 ) ⎟ (6) ⎜ l2c2 + l3c23 l3c23 ⎟ vii. fin de cinemática inversa J =⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 s1 s1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − c1 − c1 ⎟ ⎜ ⎟ Ejecutado los pasos anteriores, obtenemos los ⎝ 1 0 0 ⎠ valores las articulaciones que toman, a fin de dar la ubicación deseada del efector final. Ahora para el jacobiano inverso. Necesitamos hallar el jacobiano inverso para que cuando se tenga la trayectoria deseada ( Td , conjunto de puntos deseados, Pd ), hallando las articulaciones deseadas ( qd ). Luego con estos y la velocidad
  5. 5. deseada de la trayectoria, V pd y los qd , podremos Entonces el conjunto hallado de condicionas definirá que valores de las articulaciones harán que el obtener las velocidades deseadas de las sistema perderá grados de libertad o no es posible articulaciones. Velocidades que el controlador de los alcanzar. Evaluando el determinante, tenemos. actuadores tendrá que lograr . El sistema tiene la siguiente forma, donde se Det ( J ) = −l 2 l3 s3 (l 2 c2 + l3 c 23 ) = 0 considera la velocidad lineal y angular del efector Condiciones lineal. q3 = 0 ∨ l 2 c 2 + l3 c 23 = 0 ⎛ q1 ⎞ & ⎛ ve ⎞ ⎜ ⎟ Dinámica P = ⎜ ⎟ = J 6×3 ∗ ⎜ q 2 ⎟ (7) ⎜w ⎟ & ⎝ e ⎠ 6×1 ⎜q ⎟ Los cálculos realizados previamente serán de ⎝ & 3 ⎠ 3×1 utilidad, sin embargo se adicionara nuevos términos Analizando solo la velocidad lineal de efector final, a fin de simplificar su representación. entonces el jacobiano lo podremos reducir al siguiente modo: r0,c1 = lc1 ⋅ r0 r1,c 2 = lc 2 ⋅ r1 r0,c 2 = l1 ⋅ r0 + lc 2 ⋅ r1 J = (b0 × r0,e b1 × r1,e b2 × r2,e ) (8) r1,c 3 = l2 ⋅ r1 + lc 3 ⋅ r2 r0,c 3 = l1 ⋅ r0 + l2 ⋅ r1 + lc 3 ⋅ r2 Con lo que solo tendremos como referencia la r2,c 3 = lc 3 ⋅ r2 velocidad lineal del efector final, por lo que ahora obtendremos la inversa de esta matriz, a partir del Por otro lado, hallaremos el jacobiano para cada uno jacobiano modificado. de los puntos, centro de masa de los eslabones. ⎛ − s1 (l2c2 + l3c23 ) − c1 (l2 s2 + l3s23 ) − c1 (l3s23 )⎞ ⎜ J = ⎜ c1 (l2c2 + l3c23 ) − s1 (l2 s2 + l3s23 ) ⎟ − s1 (l3s23 )⎟ J L1) = { b0 × r0,c1 ( 0 0 } ⎜ ⎝ 0 l2c2 + l3c23 l3c23 ⎟ ⎠ J L2 ) = { b0 × r0,c 2 b1 × r1, c 2 ( 0 } Obteniendo la inversa del jacobiano, a partir de la J L3) = { b0 × r0,c 3 b1 × r1,c 3 b2 × r2, c 3 ( } definición: Adj ( J ) J A1) = { b0 0 0 ( } J −1 = Det ( J ) J A2) = { b0 b1 ( 0} Llegado a este resultado, podremos evaluar las J A3) = { b0 b1 ( b2 } velocidades angulares de las articulaciones a fin de lograr el objetivo y/o referencia dentro de la Con el conjunto de matrices hallados, podremos generación de trayectoria. Sin embargo, como es de evaluar la energía cinética del sistema y la energía esperar todo sistema robótico posee un espacio de potencial gravitatoria. trabajo, entonces es necesario predecir si la trayectoria a desarrollarse se encontrara en este. Energía cinética Singularidad Para el sistema robótico, la energía cinética queda definida como: El análisis de singularidad es llevado a acabo a fin ( ) de determinar aquellos puntos o superficie de 1 3 ∑ mi qi J L(i ) J L(i ) qi + qi J Ai ) I i J Ai ) qi T T ( T T= condiciones donde el sistema robótico puede perder T ( & & & & grados de libertad de una u otra forma. Un indicador 2 i =1 de esta situación es mediante la evaluación del ( 10) determinante del jacobiano, si es igual a cero. Det ( J ) = 0 ( 9)
  6. 6. Energía potencial G3 = −m3 g (lc 3c23 ) En el calculo de la energía cinética jf, necesitamos Sistema dinámico del robot de 3 GDL. hallar a la energía potencial U, y las fuerzas generalizadas a fin de derivar las ecuaciones de Definido movimiento bajo el principio de Lagrange. 3 3 3 La energía potencial queda definida como: ∑ H ij q&j + ∑∑ hijk q j qk + Gi = Qi j =1 & & & j =1 k =1 (14) ( ) 3 U = ∑ mi g T r0,ci (11) (H i1q&1 + H i 2 q&2 + H i 3 q&3 ) + & & & i =1 ⎛ hi11 q1 2 + hi12 q1 q 2 + hi13 q1 q3 + ⎞ & & & & & U = m1 g r0,c1 + m2 g r0,c 2 + m3 g r0,c 3 T T T ⎜ ⎟ ⎜ hi 21 q 2 q1 + hi 22 q 2 + hi 23 q 2 q3 + ⎟ & & & 2 & & Evaluando ⎜ ⎟ U = −m1 glc1 − m2 g (d1 + lc 2 s2 ) − m3 g (d1 + l2 s2 + lc 3 s23 ) ⎜ hi 31 q3 q1 + hi 32 q3 q 2 + hi 33 q3 2 ⎟ ⎝ & & & & & ⎠ + Gi = Qi Tensor Inercia Del análisis de energía cinética, la matriz H es Actuadores calculada, la matriz H incorpora todas las La ganancia del actuador es definido a partir de la propiedades de masa de todas las articulaciones que consideración de una caja de trasmisión (reductor), conforman el brazo, reflejado en los ejes de las entre el actuador y la articulación correspondiente juntas, y se conoce como tensor inercia de del manipulador, representado en la figura 4 manipulador, del calculo en la energía cinética, el tensor inercia se define, así 3 ( i =1 ( H = ∑ mi J Li ) J Li ) + J Ai ) I i J Ai ) ( ( T ( T ) Coeficientes de Christoffel Definido a partir de la matriz de tensor de inercia, H. ∂H ij 1 ∂H jk hijk = − (12) Figura 4. Junta con trasmisión del eje del motor ∂qk 2 ∂qi Con la suposición de cuerpos rígidos de la Calculando, i, j, k=1:3, se tendrá 27 coeficientes. trasmisión y la ausencia de holgura (backlash), la relación entre el torque de entrada y las fuerzas de Derivada de potencial salida, son definidos de manera proporcional. Definido a partir de la derivada de la energía potencial θ m = k r qi (15) ∂U ( ) 3 Gi = = ∑ m j g T J Lij ) (13) ( Donde θ m es el desplazamiento angular del motor, qi ∂qi j =1 es el cambio angular de la junta del robot y la Evaluando constante k r es un parámetro que se define a partir Gi = m1 g T J Li) + m2 g T J Li2 ) + m3 g T J Li ) (1 ( (3 de la caja de reducción., τ i es el torque de carga en el eje del robot, y τ m es el torque producido por el Para cada articulación actuador en su eje de giro, cuya relación es: G1 = 0 G2 = − m2 g (lc 2 c2 ) − m3 g (l2 c2 + lc 3c23 ) τ m = τ i kr (16)
  7. 7. CONTROL POR CORRIENTE Considerando una carga externa, donde la carga mecánica esta formado por un rozamiento fluido (f) Dado el modelo del motor DC. y una inercia (J), como: C (s ) − f ⋅ W (s ) = J ⋅ s ⋅ W (s ) (19) El sistema estudiado conduce al siguiente esquema de bloques. Figura 5. Motor DC. Figura 7. Sistema de Control con Carga. Considerando el motor como una maquina excitada por corriente, en vacío. En este caso, la tensión suministrada a los bornes del inducido del motor esta Y la función de transferencia en función de una tensión de control U C (s ) y de una tensión S (s ) ⋅ I (s ) , imagen del corriente del W (s ) k ⋅ A(s ) = 2 U C (s ) k + ( f + Js )(Ra + La s + S (s ) ⋅ A(s )) inducido. U (s ) = A(s )(U C (s ) − S (s ) ⋅ I (s )) (17) Observación A(s ) := FT del controlador de corriente. Si A(s ) y S (s ) son funciones de transferencia S (s ) := FT del sensor de corriente. constantes, el retorno de la corriente es equivalente a un aumento de la resistencia del inducido. Ra → Ra + r ⋅ A (Observador de resistencia) Si A(s ) es la función de transferencia de un control tipo PI: Figura 6. Sistema de Control en Vacío. A(s ) = A (1 + as ) Debido a que algunos casos, la imagen de la s corriente no es perfecta y necesita que se filtre, por ejemplo un filtro de primer orden, como: Y si el detector de intensidad tiene una función de transferencia constante e igual a “r”, se obtiene una FT del conjunto. S (s ) = r 18) 1 + bs ⋅ (1 + as ) k W (s ) r⋅ f = U C (s ) k + Ra ⋅ f + r ⋅ A ⋅ J + Ra ⋅ J + Ra ⋅ a ⋅ A ⋅ f 2 Por otro lado A(s ) es la función de transferencia de 1+ Ra ⋅ A ⋅ f s+ asocia un corrector de intensidad al interfaz de Ra ⋅ J + La ⋅ f + r ⋅ a ⋅ A ⋅ J 2 L ⋅J 3 s + a s potencia. Si en régimen estático la ganancia de este r ⋅ A⋅ f r ⋅ A⋅ f corrector es infinitamente grande (acción integral, por ejemplo), I tiende hacia U c r .
  8. 8. Elección de los coeficientes r, b, A y a. Es necesario elegir un coeficiente de amortiguamiento suficiente, ya que esta FTBC será En todas las aplicaciones la constante de tiempo incluida en el bucle externo (servocontrol de eléctrico es netamente inferior a la constante de posición o velocidad). tiempo mecánica. Por ejemplo, si se escoge un coeficiente de El establecimiento de la corriente se hace muy amortiguamiento e igual a “1” se obtiene A=R/4rb rápidamente, antes de que la velocidad haya tenido tiempo de evolucionar y/o estabilizarse. IMPLEMENTACION EN MATLAB La corriente en régimen estable es impuesta por el Para la evaluación del controlador, se tomo como coeficiente r (presencia de la acción integral en el parámetros del robot, los siguientes datos: corrector de intensidad). Se escoge r para que esta corriente sea máxima cuando la tensión de control d 1 = 0.367 metro. l 3 = 0.160 metro. sea también máxima. m1 = 1 Kg . m 2 = 1 Kg . m.3 = 1 Kg . Uc U max I= ⇒r= Control PID r I max El Sistema Total implementado, con ganancias de Por regla general, se escoge la constante de tiempo controlador, de altas ganancias “a” igual a la constante de tiempo eléctrica L/R (compensación de la constante de tiempo dominante K p = 742 K I = 4 K D = 32.9 en el bucle). La constante de tiempo “b” del filtro de la imagen de la corriente esta en función de la Modelo frecuencia de funcionamiento del recortador del 3 3 interfaz de potencia. em 3 3 GeomDireta MATLAB Function [3x1] 3 Error de P Gravedad MATLAB [3x1] [3x1] Function 3 xr yr Graph xy rb [3x1] [3x1] Tensor Inercia Se elegirá: xz rb Scope xr zr Graph1 Error de Posicion Angular Torque [3x3] MATLAB Function [3x1] 1 b> 3 H po(1)+vpf(1)*u [3x3] [3x1] Scope1 [3x1] q xr [3x1] 2πFH e G 3 MATLAB [3x1] qd [3x1] [3x1] po(2)+vpf(2)*u 3 Function [3x1] [3x1] yr GeomInversa taur tau [3x1] [3x1] dq po(3)+vpf(3)*u de C MATLAB [3x1] [3x1] 3 zr [3x3] Function ddq JacInversa Coriolisis Control PID [3x1] vpf(1) Se ha elegido “A” para que la estabilidad del bucle Clock xr1 vpf(2) 3 [3x3] A B A*B 3 [3x1] [3x1] MATLAB Function [6x1] [3x1] [3x1] sea correcta. La función de transferencia en bucle yr1 vpf(3) Jinv*Vp [3x1] Error de Velocidad zr1 cerrado tiene por expresión: 4 ⋅ (1 + bs ) 1 Tiempo I (s ) r Figura 8. Sistema Robótico = U C (s ) R b ⋅ Ra 2 1+ a s + s A⋅r A⋅r Para este segundo caso, se incluyen saturadores en el torque y en la velocidad del actuador, a partir de las Esta FTBC es de segundo orden, pudiéndose poner especificaciones del motor, y un aproximado de la el denominador de la forma habitual de segundo relación de reducción. orden. s ⎛ s ⎞ 2 τ Max = ±15 N .m ω Max = ±2 rad / seg 1+ 2 ⋅ z ⋅ +⎜ ⎟ w0 ⎜ w0 ⎝ ⎟ ⎠ Con: Impulso propio no amortiguado A⋅r ω0 = b ⋅ Ra Coeficiente de amortiguamiento 1 Ra z= 2 b⋅r⋅ A
  9. 9. Los controladores, con K p = 60 KI = 6 K D = 18 Gain GeomDireta -K- Error de P MATLAB em -K- Gain1 Function Gravedad MATLAB Function xr yr Graph xy rb Tensor Inercia Scope Error de Posicion Torque MATLAB xz rb Angular Function xr zr Graph1 H po(1)+vpf(1)*u Scope1 q xr e G MATLAB qd po(2)+vpf(2)*u Function yr GeomInversa taur tau Torq. Maximo dq po(3)+vpf(3)*u de del Actuador C zr MATLAB Function ddq JacInversa Coriolisis Control PID vpf(1) A MATLAB Clock xr1 A*B Function vpf(2) B Vel. Maxima yr1 Jinv*Vp Error de Velocidad de Articulacion vpf(3) zr1 0 Tiempo Figura 9. Inclusión de Saturadores de Torque y Figura 11. Expansión de la Respuesta Velocidad transitoria. RESULTADOS EXPERIMENTALES Los resultados experimentales de la simulación son desarrollados incluyendo la dinámica de los actuadores, cada uno con sus respectivos controles de par de actuador. Experimento Respuestas ante una trayectoria recta. Figura 12. Error de Posición Angular (Articulaciones). Figura 10. Error de Posición del Efector Final. Figura 13. Referencia X-Y
  10. 10. CONCLUSIONES El sobreimpulso de la respuesta transitoria es relativo, pues esta condicionado a partir de las condiciones iniciales del robot; es decir ubicado el robot en la posición Pa, (Posición aleatoria dentro del espacio de trabajo), desea llegar a un Po, (Punto inicial de trayectoria a seguir), cuanto distante se encuentre la respuesta transitoria será mas evidente. La implementación del controlador en simulación, toma valores muy altos, lo que se aproxima a un controlador no lineal. Figura 14. Referencia X-Z Dada la no linealidad de la dinámica del manipulador RV – M1, los valores fueron hallados en base a pruebas iterativas de acuerdo al tipo de respuesta requerida, para el presente caso, fue lograr un margen de error de ± 1mm, lo que equivale a ± 0.001m en el grafico de error de posición del efector final, error en el espacio X. El esquema de control y la función de transferencia de la maquina de corriente continua depende de cómo este alimentado y, por consiguiente, del interfaz de potencia utilizado. Una alimentación por tensión permite minimizar la influencia de las constantes de tensión mecánica sobre el comportamiento dinámico del conjunto motor carga. Siempre es preciso señalar que, en este caso, a Figura 15. Respuesta del Robot XY – Efector menudo interviene una limitación de corriente final cuando existen grandes variaciones en la tensión de control. Mientras dure esta limitación, la maquina estará alimentada con una corriente constante, de valor igual a la corriente limitadora. REFERENCIAS [1] John Dorsey. “Sistemas de Control Continuos y Discretos: Modelado, Identificación, Implementación”. Mc GrawHill, 2005. [2] Ragazzini, J. R and Franklin, G. F. “Sampled Data Control System”. Mc GrawHill, 1958. [3] Lung –Wen Tsai, 1999, “Robot analysis: The mechanical of serial and parallel manipulators”, J. Wiley. Figura 16. Respuesta del Robot XZ – Efector final. [4] Barrientos A. y Balaguer C., 1997, “Fundamentos de Robótica”, Mc Graw Hill, Primera Edición, España.

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