DE JAVIER SALAZAR SAICO

1. SISTEMAS
LINEALES DE
INECUACIONES
Alejandro Camblor Fernández
Departamento de Matemáticas
IES Rey Pelayo
Cangas de Onís

2. ÍNDICE
 Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................
 Sistemas de inecuaciones lineales ......................................
 Problemas textuales
 de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ...........
 de programación lineal (2º bachillerato) ..................

3. 1/4
La solución de una inecuación de dos incógnitas
es un semiplano.
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.


4. 2/4
Resuelve la inecuación: 5x + 2 y ≤ 3
Represento la recta: 5x + 2 y = 3
3 − 5x
Despejo la variable y: y=
2
Tabla de valores: x y
1 -1
3 -6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
5( 0 ) + 2 ( 0 ) ≤ 3 → 0 ≤ 3
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano
en el que está es la solución.


5. 3/4
Algunas inecuaciones son sencillas:
a x≥0
) b) y ≤ 0 c) x < 3 d ) x > −2 e) y ≥ −4
Si la inecuación tiene una sola variable, la
recta es paralela a alguno de los ejes.
b d
Asocia cada inecuación con su solución
c
e a


6. 4/4
Resuelve las inecuaciones:
a 2 x + 3y ≥ 6
) b) 2 x ≥ y c) x − 2 y < −4 d ) 3x − 4y > 7
Asocia cada inecuación con
su solución
d c
b a


7. 1/5
La solución de un sistema de inecuaciones de
dos incógnitas es una región (si existe).
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.


8. 2/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones: 
2 x + 3y > 7
1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 3x − y = −1
Despejo la variable y: y = 3x + 1
Tabla de valores: x y
1 4
-2 -5
Elijo el punto (2,2), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: 3( 2 ) − ( 2 ) ≤ −1 → 4 ≤ −1
Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

9. 3/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones: 
2 x + 3y > 7
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 2 x + 3y = 7
7 − 2x
Despejo la variable y: y=
3
Tabla de valores: x y
2 1
-2 3
Elijo el punto (0,0), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: 2 ( 0 ) + 3( 0 ) > 7 → 0 > 7
Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

10. 4/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones: 
2 x + 3y > 7
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación
3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores


11. 5/5
Resuelve los sistemas de inecuaciones:
a x + y ≥ 3
) b ) 2 x + y > −4 c) 3x + y ≤ 9 d ) x + y ≤ 4
 
2 x − y < 4 2 x + y ≤ 6 
x − y < −1  x + y > −1 


y > −6  x < 3
y ≤ 6
Asocia cada sistema con su solución
d
a
c
b


12. 1/9
Problemas de texto con inecuaciones
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.
2º paso: resolver el sistema dibujando la región
solución.
3er paso: resolver el problema, dando la solución con
una frase si es posible.


13. 2/9
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de
manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de
azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?
1er paso: Organizamos los datos en una Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Tarta
tabla y hallamos las inecuaciones
Chocolate x 0’5x 5x
0 ' 5 x + y ≤ 9
5 x + 6y ≤ 60
 Manzana y 1y 6y

x ≥ 0 Disponible 9 60
y ≥ 0

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 0' 5x + y = 9 Tabla de valores:
Despejo la variable y: y = 9 − 0' 5x x y
2 8
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 6 6
0 ' 5( 0 ) + ( 0 ) ≤ 9 → 0 ≤ 9
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

14. 3/9
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 5 x + 6y = 60 Tabla de valores:
60 − 5 x
Despejo la variable y: y= x y
6
6 5
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 12 0
5( 0 ) + 6( 0 ) ≤ 60 → 0 ≤ 60
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
x≥0 y≥0

15. 4/9
5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen
los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)


16. 5/9
Resuelve los problemas:
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Asocia cada problema con su solución
d a b c


17. 6/9
Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
x : ca ida
 nt d de nev a nor l
er s maes ( en decena )
s
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
 nt d de nev a
er s de l o ( en decena )
uj s
3x + 3y ≤ 12
3x + 6y ≤ 18

Planteamos las inecuaciones: 
x ≥ 0
y ≥ 0

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


18. 7/9
Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
x : ca ida
 nt d de bolos
l t
ipo A ( en decena )
s
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
 nt d de bolos
l t B ( en decena )
ipo s
0 ' 5 x + 0 ' 25 y ≤ 2
0 ' 25 x + 0 ' 25 y ≤ 1' 5

Planteamos las inecuaciones: 
x ≥ 0
y ≥ 0

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


19. 8/9
Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
x : ca ida
nt d de bicis de paseo ( en decena )
s
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
nt d de bicis de mont ñ
aa ( en decena )
s
x + 2 y ≤ 8
3x + 2 y ≤ 12

Planteamos las inecuaciones: 
x ≥ 0
y ≥ 0

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


20. 9/9
ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
x : ca ida
nt d de microbuses
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
nt d de a obuses
ut
25 x + 50 y ≥ 200
x + y ≤ 6

x ≥ 0

Planteamos las inecuaciones: y ≥ 0

x ≤ 5

y ≤ 4

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


21. 1/6
Problemas de programación lineal
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la
función objetivo.
2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la
región solución.
3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el
punto de la región solución que la optimiza.
4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.


22. 2/6
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para
fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se
vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué
cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?
1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) 0 ' 5 x + y ≤ 9
5 x + 6y ≤ 60
Chocolate x 0’5x 5x 

x ≥ 0
Manzana y 1y 6y y ≥ 0

Disponible 9 60
La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor
posible: v a = 12 x + 15 y
ent

23. 3/6
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación 0' 5x + y ≤ 9
Represento la recta: 0' 5x + y = 9 Tabla de valores:
Despejo la variable y: y = 9 − 0' 5x x y
2 8
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 6 6
0 ' 5( 0 ) + ( 0 ) ≤ 9 → 0 ≤ 9
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación 5 x + 6y ≤ 60
Represento la recta: 5 x + 6y = 60 Tabla de valores:
60 − 5 x
Despejo la variable y: y= x y
6
6 5
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 12 0
5( 0 ) + 6( 0 ) ≤ 60 → 0 ≤ 60
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

24. 4/6
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
x≥0 y≥0
5º paso: Busco la región solución del sistema como
intersección de los semiplanos anteriores
La solución del problema está en esta región.
Realmente, sólo valen los valores x e y no
decimales (los puntos de intersección de las
cuadrículas).
6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo
v a = 12 x + 15 y
ent
El vector de la función objetivo es: ( − 15,12 ) ∞( − 5,4)
Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

25. 5/6
7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está
más alejado.
Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el
mismo valor a la función objetivo. Con cada recta
paralela cambia el valor de la función objetivo:
paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo,
y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la
región factible más alejados están los valores
óptimos: máximo y mínimo.
Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores
decimales de x e y no tienen sentido en este problema.
SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se
obtienen 147 €.


26. 6/6
Resuelve los problemas:
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240
en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de
cada tipo para maximizar el beneficio?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se
dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para
maximizar la venta?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la
vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €.
¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?
a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.
b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €.
c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.
d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €. 