1. VIGAS CURVAS E
INESTABILIDAD
Julio Vergara Aimone
ICM 2312

2. INTRODUCCION
Las cargas externas se traducen a la superficie e
interior de un componente mecánico, configuran-
do diferentes estados de esfuerzos en elementos
diferenciales de volumen.
En una sesión anterior, vimos los tipos de carga
elemental a las cuales podría estar sometido un
componente mecánico, lo que nos permitía revi-
sar los puntos críticos de cierto componente.
Dentro del límite elástico, podíamos superponer
estas cargas (esfuerzos) y aplicarles algún con-
centrador de esfuerzo en caso que se justificara.
J.Vergara ICM2312

3. INTRODUCCIÓN
En esta sesión, veremos efectos en ciertos com-
ponentes curvados (i.e. vigas) que son sometidos
a fuerzas combinadas y momentos.
Estos son comunes en dispositivos mecánicos,
en pescantes, grúas, mecanismos de fuerza, etc.
Por eso la ingeniería ha desarrollado modelos bá-
sicos para diseñarlos. Si no se consideran ciertos
aspectos, podrían no dar el desempeño esperado.
Antes de revisar otras materias haremos un repa-
so breve de deflexión en vigas.
J.Vergara ICM2312

4. INTRODUCCIÓN
Por otro lado, veremos que ciertos elementos de
máquinas y estructuras pueden ser sometidos a
cargas de compresión aparentemente bajas, que
se tornan inestables y colapsan.
Veremos este fenómeno y el efecto en el diseño.
Esto es común en soportes, cilindros y placas
bajo cargas críticas, que experimentan cambios
notables de geometría (comba, arruga, flexión o
pandeo) y deflexiones, que conlleva al colapso,
con un nivel de esfuerzo inferior al admisible. De
este modo, tendremos otro módulo para diseño.
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5. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión
Las vigas (así como los ejes, cigüeñales, barras,
resortes, y otras estructuras de la disciplina de
la ingeniería mecánica) se flexionan en forma no-
table con cargas laterales, lo cual se traduce en
un problema clásico en diseño. En una clase an-
terior vimos la producción de esfuerzos norma-
les y cortantes en vigas por un momento flector.
Lo siguiente es un repaso para posteriormente
diseñar ejes, columnas y otras formas.
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6. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión
Ejemplo clásico: diseño de aerosuperficies, una
de cuyas respuestas es la deflexión. La figura
(Korea Aerospace Ind.) muestra un ensayo está-
tico a un caza sometido a 150% de la carga de
diseño. La deflexión del ala puede llegar a ½ m.
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7. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
Sometiendo dx a flexión:
l
e= l = y·df
dx
La curvatura de la sección es:
1 df
=
r dx
y df y E·y
Luego: e= = Hooke: s=Ee =
r df r r
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8. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
Anteriormente se demostró:
M·y
s=
I
E·y M·y
Por Hooke: =
r I
E·y
s=
r
1 M
Luego: =
r E·I
J.Vergara ICM2312

9. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
Por matemáticas, la curvatura de
un plano curvo la describe:
d2y
1 dx2 M
= dy =
r 1 + dx
2 3/2 E·I
En el cual “y” es la deflexión de la viga.
La pendiente de la viga en cualquier
punto será:
dy
q = dx
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10. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
En el caso de pequeñas defle-
xiones y pendientes: 1 » dy
dx
d2y
M dx2 d2y
E·I
= dy 2 3/2 ≈ dx2
1 + dx
Derivando o integrando:
dy d2y d3y d4y
y = f(x) q = dx M = E·I 2 V = E·I 3 q = E·I 4
dx dx dx
Deflexión Pendiente Momentum Fza Cortante Intensidad Fza
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11. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
La resolución de las ecuaciones de deflexión se
desarrollan por los siguientes métodos:
Doble Integración: a partir del momento flector,
aplica condiciones de acoplamiento y de límite
en las diferentes secciones de la viga.
Momentos de Área: proceso semigráfico para
encontrar las pendientes en distintas secciones
y a partir de ello se encuentra la deflexión.
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12. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
La resolución de las ecuaciones de deflexión se
desarrollan por los siguientes métodos (cont):
Superposición: método simple que consiste en
separar las cargas y mediante tablas obtener la
contribución a la deflexión total de cada una.
Teorema de Castigliano: la deflexión se obtiene
a partir de la energía de deformación. La deriva-
da parcial de esa energía con respecto a cada
fuerza entrega la componente de deflexión.
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13. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
En ejemplo simplificado: Estimar la deflexión del
ala de un F-16 derivada de su peso. PMWTO(ala) = 100
kN. F
M
q = 25 kN/m
F = qL = 100 kN
qL2 25·42
M= = = 200 kNm
2 2
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14. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
El máximo esfuerzo ocurrirá en la parte inferior
donde el ala se une con el fuselaje.
F
M
I
pc·t3 p1·0.33
I= = = 1.3·10-3 m4
64 64
p(c·t3-c·t3)
I= = 7.1·10-5 m4
64
M·c 200·0.15
s= = = 420 MPa
I 7.1·10-5
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15. DEFLEXIONES EN VIGAS
Deflexión en vigas
La máxima deflexión ocurrirá en el extremo del
ala (en rigor, no se diseña para carga uniforme).
F
M w d
q·L4 x x4
w= 3-4 + 4
24·E·I L L
q·L4 25·103·44
d= =
8·E·I 8·70·109·7.1·10-5
d = 0.009 m (Al sólido)
d = 0.160 m (Al piel)
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16. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas
Hasta ahora hemos visto los esfuerzos en vigas
rectas causados por flexión. El resultado fue:
c
Y
sX(y) Compresión
y
MZ MZ X
Z Tensión
L
MZ·y MZ·cMAX MZ
sX(y) = - con: sMAX = =
IQ IQ Z
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17. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas
Los esfuerzos normales no serán proporcionales
a la distancia al eje neutro. Serán hiperbólicos:
ro
c
ro Y dy dA
A
y dF Compresión
rc e e
MZ EN´
MZ X
Z Tensión
L
ri ri
Con ello, el eje neutro se desplazará un valor “e”
hacia el centro de curvatura. “I” se modifica.
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18. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, en mayor detalle
Cambiamos el sistema de coordenadas por uno
cilíndrico y a MZ agregamos una fuerza axial F.
R ro
q dA dA
r P P dL
df df =
Z MZ EN´
MZ r-Rn
F df
L w=
ri dq
R R
n dL (r-Rn)df
eq = =
dq L rdq
(Rn-r)
Típico ejemplo eq = w
r
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19. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, en mayor detalle
(Rn-r) (Rn-r)
Dado: eq = w Por Hooke  sq = Eeq = Ew
r r
(Rn-r)
∫ ∫
F = sq·dA = Ew dA = Ew Rn dA - dA
∫ ∫
EQM A A r A r A
Fuerzas dA
F = Ew Rn·Am - A si: Am = ∫
A r
(Rn-r)
EQM ∫
M = sq·(R-r)·dA = Ew
A
∫ A r
(R-r)·dA
Momentum
M = Ew Rn·R·Am - RnA
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20. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, en mayor detalle
Tenemos: F = Ew Rn·Am - A y
M = Ew Rn·R·Am - RnA
M
EwRn =
R·Am - A
M·Am
F= - Ew A
R·Am - A
M·Am F
Luego: Ew = A (R·A - A) – A
m
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21. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, en mayor detalle
EwRn
Por Hooke: sq = Ew (Rn-r) = – Ew
r r
M – M·Am + F
Entonces: sq =
r· (R·Am – A) A (R·Am - A) A
M·(A – r·Am) F
sq = +
A·r·(R·Am – A) A
M·A
En el EN: sq = 0  r = Rn =
Am·M + F·(A - R·Am)
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22. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas: Ejemplo: encontrar los
esfuerzos impuestos por F en el siguiente marco.
3 cm
F=10 kN
F=10 kN
10 cm r1 3 cm
b 5 cm
r2 8 cm
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23. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, dimensiones y áreas
15.5 cm
3 cm
F=10 kN
A= b(r2 - r1) F M
A= 0.05(.08-.03)
A= 0.0025 m2
10 cm r1 3 cm
Am= b ln(r2 / r1) b 5 cm dA = b dr
Am= 0.05 ln(.08/.03)
Am= 0.0049 m2 r2 8 cm
∫
Am =
A r
∫r r
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24. VIGAS CURVAS
Si fuese una viga recta con similar carga axial F
F
sq = F = 10000 = 4 MPa
A 0.0025
r1 3 cm F=10 kN
b 5 cm
r2 8 cm
J.Vergara ICM2312

25. VIGAS CURVAS
Esfuerzo por Tensión F en viga recta:
-80
MPa
-60
-40
-20
Axial
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
20
40
60
80
100
120
140
J.Vergara ICM2312

26. VIGAS CURVAS
Si fuese una viga recta, con similar momentum M
sq = - M·y + F
I A
b·h3 = 0.05·0.053
I= = 5.21·10-7 m2
12 12
1550·y 10000 sq = (74.4 + 4) MPa (max)
sq = - +
5.21·10 -7 0.0025 sq = (-74.4 + 4) MPa (min)
r1 3 cm
b 5 cm
r2 8 cm
J.Vergara ICM2312

27. VIGAS CURVAS
Esfuerzo por flexión M en viga recta:
-80
MPa
-60
-40
-20
Axial
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
20
40
60
80
100
120
140
J.Vergara ICM2312

28. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, continuación A = 0.0025 m2
Am= 0.0049 m2
M·A r1 = 0.03 m
Rn = r2 = 0.08 m
Am·M + F·(A - R·Am) rc = 0.055 m
1550·0.0025
Rn = = 0.0523 m
0.049·1550+10000·(0.0025-0.055·0.049)
sq = M·(A – r·Am) + F
A·r·(R·Am – A) A
1550·(0.0025 - r·0.0490) 10000
sq = +
0.0025·r·(0.055·0.0490 - 0.0025) 0.0025
J.Vergara ICM2312

29. VIGAS CURVAS
Esfuerzo por flexión en viga curva:
-80
MPa
-60
-40
-20
Axial
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
20
40
60
80
100
120
140
J.Vergara ICM2312

30. VIGAS CURVAS
Comparando los diferentes tipos de carga:
-80
MPa
-60
-40
-20
Tensión
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
20
40
60
80
100 Efecto de la curvatura
120
140
J.Vergara ICM2312

31. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas
Entonces, cuando hay M puro, se verifican estas
expresiones de excentricidad y esfuerzo min-máx.
ro
A MZ·co
so =
rc e (e·A·ro)
e = rc - A
dA
∫r MZ·ci
ri si =
(e·A·ri)
dA ro - ri
Am =∫A r
e = rc -
ro
ln
ri
J.Vergara ICM2312

32. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas: algunas Am
dA
Forma A Am = ∫
A r
r1
b b(r2 - r1) b ln (r2 / r1)
r2
r1 br2
b ½ b(r2 - r1) ln (r2 / r1) - b
r2 b(r2 - r1)
rm
2c pc2 2p(rm – (rm2-c2)½)
rm 2pb
2a 2b pab (rm – (rm2-c2)½)
a
J.Vergara ICM2312

33. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, gancho de grua
r1 5 cm
15 cm b 2 cm
5 cm r2 15 cm
M·co
so =
A (r - r ) (e·A·ro)
e = rc - = rc - o i
Am ro M·ci
ln si =
ri (e·A·ri)
e = 10 - 15 - 5 = 10 – 9.1 = 0.9 cm
15
ln
F = 1 ton 5
J.Vergara ICM2312

34. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas, gancho de grua
rn = 0.091 m e = 0.009 m
r1 5 cm A = 0.01·0.02 = 0.002 m2
15 cm b 2 cm
5 cm r2 15 cm
En todo el radio, debemos considerar
además la tensión de F.
M·y F
so (r) = +
e·A·(rn-y) A
980·(0.091-r) 9800
so (r) = +
0.009·0.002·(0.09-r) 0.02
F = 1 ton
J.Vergara ICM2312

35. VIGAS CURVAS
Esfuerzo por flexión en viga curva:
-40
MPa
-30
-20
-10
Axial
0
0 0.050 0.010 0.015
10
20
30
40
50
60
70
J.Vergara ICM2312

36. VIGAS CURVAS
Flexión en vigas curvas
Nuevamente podemos apreciar que la flexión en
una sección curva produce un esfuerzo de ten-
sión que casi triplica el esfuerzo de compresión.
¿Podemos hacer algo para mejorar este aspecto?
Esto implica que no se requiere tanto material en
la zona exterior. Una forma de bajar la intensidad
del esfuerzo es mediante la corrección de la geo-
metría, por ejemplo, utilizando una sección trape-
zoidal o una forma I asimétrica.
J.Vergara ICM2312

37. VIGAS CURVAS
Uso de otras secciones en vigas curvas
Problema típico de herramientas
J.Vergara ICM2312

38. VIGAS CURVAS
Uso de otras secciones en vigas curvas
Problema típico de herramientas
F= 2000N
D= 10.5+10+8 = 28.5 mm
M = 57000 N mm
A= (h)(d)-2(h´)(d´) I= (1/12)(d)(h)3-(2/12)(d´)(h´)3
A= (8)(16)-2(4)(4) I= (1/12)(8)(16)3-(2/12)(2)(8)3
A= 96 mm2 I= 2560 mm4
Am= b ln(r2 / r1) – 2 b ln(r2 / r1)
Am= 8 ln(21/5) – 2 (2) ln(17 / 9)
Am= 8.93 mm2
J.Vergara ICM2312

39. VIGAS CURVAS
Esfuerzo por flexión en viga curva:
-200
MPa
-150
-100
-50
Axial
0
0 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
50
100
150
200
250
300
350
J.Vergara ICM2312

40. VIGAS CURVAS
Esfuerzo por flexión en viga curva:
-200
MPa
-150
-100
-50
Axial
0
0 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
50
100
150 330
297
264
200 231
198
165
250 132
99
66
300 33
0 MPa
350
J.Vergara ICM2312

41. VIGAS CURVAS
Otras secciones en vigas curvas
(b0 + bi) h
J.Vergara ICM2312

42. VIGAS CURVAS
Tarea grupal (eólicos)
F= 2000N
D= 10.5+10+8 = 28.5 mm
M = 57000 N mm
4 12
Determinar: ¿cuál de estas
geometrías es más eficien-
te para la prensa indicada?
6 12
Detalles geométricos en
SidIng. 4
6 12
J.Vergara ICM2312

43. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad estructural
Ciertas estructuras y elementos de máquinas (i.e.
soportes, cilindros, placas, etc. pueden ser some-
tidos a cargas de compresión que adquieren cier-
to nivel crítico, y experimenta un cambio mayor
de geometría (comba, arruga, flexión o pandeo) y
notables deflexiones que conlleva a un colapso, a
un nivel de esfuerzo menor que el admisible.
Esta falla se define como inestabilidad o pandeo,
la cual no depende de la resistencia del material,
sino que de la geometría y del módulo de Young.
J.Vergara ICM2312

44. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad estructural
Pa
Esta falla impone un factor adicio-
nal al diseño mecánico, pues un
acero de alta resistencia no está
mejor calificado que uno de baja A
resistencia de similar geometría.
El principio del pandeo se puede
B
representar por este mecanismo
articulado sujeto lateralmente por D E
resortes que no actúan cuando la
columna está alineada. C
J.Vergara ICM2312

45. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad estructural
Pa
Con Pa hay un desplazamiento (B) :
Mom. (C) alterador: MA
Pa
Mom. (C) resistente: MR d A
A
a
Pa
B
d B
D B E
Pa tan a PR= kd L
MA MR
L/2 cosa L/2
2 d a a
tan a = C
L cos a C C
J.Vergara
Pa Pa ICM2312

46. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad estructural
L P 2d L
Mom : MA = (Pa tana) cosa + Pad = a cosa + Pad
2 L cosa 2
MA = Pad + Pad
L
Mom : MR = (kd) cosa Si MA > MR  inestable
2
Pa L
d 2Pacd = (kd) cosa
B 2
Pa tan a PR= kd kL
MA MR Pac = cosa
4
2 d a kL
tan a = Pac ≈  es f (forma)
L cos a C
4
J.Vergara
Pa ICM2312

47. PANDEO E INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas
Una columna tiene un comportamiento análogo
al mecanismo pivoteado en B. La diferencia es
que acá el momento resistente (MR) lo debe pro-
veer la propia columna.
En este caso, si la carga P provee un momento MA
(subcrítico o inferior a MR), la viga se flexionará y
al relajarse la barra volverá a su sitio. Si P es tal
que MA > MR, será carga crítica (PCR), una leve per-
turbación provocará una deflexión lateral inesta-
ble, por debajo de sADM.
J.Vergara ICM2312

48. PANDEO E INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas
Este problema no es exclusivo de vigas y barras.
Ciertas estructuras comunes (usualmente delga-
das y esbeltas) pueden sufrir esta inestabilidad
ante cargas extremas o de impacto.
Un estanque de cereal
puede ceder por una
carga sísmica.
Un submarino puede
colapsar a causa de
una onda de choque.
J.Vergara ICM2312

49. PANDEO E INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas (cilíndricas)
Los submarinos se diseñan para no sufrir inesta-
bilidad. Usan reforzamientos.
Transiciones L= 1 a 2 D Cubierta Cabezal
o Domo
Conos
Casco de Presión
t = f ( h, TT, D, s,...)
Mamparos d = 0.1 a 0.2 D
Cuadernas (refuerzo,
profunda, o tipo T)
J.Vergara ICM2312

50. PANDEO E INESTABILIDAD
L
Inestabilidad en columnas
 Fluencia de Casco
entre cuadernas: D
Modo preferible de falla
(predecible en Diseño).
Modos  Deformación (pliegues)
de entre cuadernas (n ~ 8):
Falla: Cuadernas algo espaciadas
y casco algo delgado
 Inestabilidad o Colapso
Generalizado (n ~ 3,4):
Cuadernas despreciables y
casco más delgado
J.Vergara ICM2312

51. PANDEO E INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas
Este fenómeno puede ser usado positivamente
para absorber energía, en forma progresiva. Por
ejemplo, en el impacto en automóviles.
J.Vergara ICM2312

52. PANDEO E INESTABILIDAD
Inestabilidad en columnas
Ejemplo, ¿qué deformación tolerarían 2 absorbe-
dores de energía de un automóvil de 1.2 ton a 15
km/h y un shock admisible de 3 g?
1
EA = m·v2 = 2 F·d = 2 (m·a)·d
2
1
EA = 1200·4.22 = 2·(1200·3·9.81)·d
2
d = 15 cm
J.Vergara ICM2312

53. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
x
P d Para una sección elástica
P
e y (de y pequeña) cualquiera:
P e d
M = P [ e + (d - y) ]
d2y
x M = E·I 2
dx
L y
d2y P
2 = E·I [ e + (d - y) ]
y
dx
M y” = k2 [ e + (d - y) ]
P P
k2 =
P E·I
J.Vergara
P ICM2312

54. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Una ecuación diferencial describe este sistema:
y” + k2 y = k2 (e + d) P e d
y = A sen kx + B cos kx + C
sol. homo. sol. part. y
Definir A,B,C: y” = - k2 (A sen kx + B cos kx)
y” = - k2 ( y - C ) M
- k2 ( y - C ) + k2 y = k2 (e + d) P
C=e+d
J.Vergara ICM2312

55. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Condiciones de borde del caso: y (x=0) = 0
y´(x=0) = 0
P e d
De y 0 = B+C  B = - (e + d)
De y´ 0 = Ak A=0
y
Luego: y = - (e + d) cos kx + (e + d)
y = (e + d) [ 1 - cos kx ] M
P
J.Vergara ICM2312

56. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Máxima flecha yMAX = d, ocurre en x = L/2:
y = (e + d) [ 1 - cos kx ] P e d
d = (e + d) [ 1 - cos kL ]
2
d = e + d - e cos kL - d cos kL
2 2 y
1
d= e (1 - cos kL ) = e [ sec kL - 1 ]
kL 2 2
cos 2
M
d = e [ sec L P - 1 ] P
2 E·I k2 = P
E·I
J.Vergara ICM2312

57. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Es fácil notar que si P = 0, sec(0) = 1, y d = 0. Si P > 0, d
puede tender a ∞.
P kL  ∞ P e d
e=0 sec
PCR 2
d∞
y
e>0
M
d = e [ sec L P - 1 ]
2 E·I P
d
J.Vergara ICM2312

58. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
La flecha d aumenta sin límite a medida que
P  PCR, el cual está determinado haciendo:
P 4P 9P d
CR
PCR CR e
sec L PCR  ∞
2 E·I
L PCR np
= 2 n = 1, 2, 3, … y
2 E·I
El modo fundamental n = 1:
M
p2E·I
PCR = Carga crítica P
L2
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59. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
El mismo resultado se obtiene para e = 0, ya que
la flecha será nula para kL/2 = p/2:
El máximo M ocurre en L/2: P e d
MMAX = P ( e + d )
y
Con: d = e [ sec L P - 1 ]
2 E·I
M
Luego: MMAX = P·e·sec L E·I
2
P P
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60. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Por superposición, se conoce el máximo esfuerzo
de compresión:
MMAX·c P P e d
sMAX = +
I A
I
Se define Radio de Giro: k = I = A·k2
A y
D h
Ejemplos: k= k= 3
4 6
M
Se define además la L P
SE =
Razón de Esbeltez (SE): k
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61. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Por superposición, se conoce el máximo esfuerzo
de compresión (cont):
MMAX·c P P e d
sMAX = +
I A
L P c P
sMAX = P·e·sec · + y
2 E·I A·k2 A
P L P e·c P
sMAX = sec · + M
A 2 E·I k2 A
P
Se define excentricidad:
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62. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Por superposición, se conoce el máximo esfuerzo
de compresión (cont):
MMAX·c P P e d
sMAX = +
I A
P e·c L P y
sMAX = 1 + 2 sec
Fórmula de A k 2 E·I
la secante: P -1
e·c
sMAX· 1 + 2 sec L P M
=
A k 2·k E·A P
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63. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Si se establece un esfuerzo máximo, se acota el
valor de P a un valor crítico PCR (modo fund. n=1):
PCR e d
p2E·I p2E·A·k2 p2E·A
PCR = 2 = =
L L2 (L/k)2
Ecuación PCR p2E y
= = sCR
de Euler: A (L/k)2
M
Es la carga sobre la cual una columna recta
PCR
colapsaría (independiente de la resistencia).
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64. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Graficando la ecuación de Euler:
Cedencia Pandeo
P/A
PCR p2E
sy A B
=
A (L/k)2
Zona
de Falla
C
Razón de Esbeltez L/k
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65. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Similar utilidad tiene la fórmula de la secante:
PCR sy
= P e d
A e·c L PCR
1+ sec
k2 2·k E·A
Esta expresión no es fácil de resolver, ya y
que PCR está en ambos lados.
En rigor, PCR/A no se debe tratar como un M
esfuerzo, debido a su carácter no lineal,
P
aun cuando tiene las mismas unidades.
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66. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Gráficamente la fórmula de la secante  Euler:
P/A
sy
sy A B
e·c L PCR
0.1 1+ sec
0.3 k2 2·k E·A
0.6
1.0 Zona
e·c de Falla
k2 C
Razón de Esbeltez L/k
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67. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Los datos experimentales son dispersos, en es-
pecial cerca del punto B. Esto se debe a que es
difícil construir un arreglo experimental en esta
condición (esfuerzo residual, defectos, carga no
centrada, etc.). Una forma de suplir este proble-
ma es mediante la fórmula parabólica (Johnson).
2
Fórmula PCR L
= a–b a y b = constantes
Parabólica: A k
de ajuste
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68. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
La forma parabólica más usada se logra igualan-
do el intercepto con sy y haciendo que las curvas
de Euler y Johnson sean tangentes en P/A = sy/2.
PCR sy p2E L 2 2p2E
= = 2  =
A 2 (L/k) k sy
sy 2p2E s y2
= sy – b  b= 2
2 sy 4p E
PCR s y2 L 2
= sy – 2
A 4p E k
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69. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Graficando la ecuación Parabólica:
P/A Zona de Falla
2
PCR s y2 L
sy A B
= sy – 2
A 4p E k
Columnas cortas Euler Columnas largas
sy
2 p2E
Johnson
(L/k)2
Columnas medianas C
Razón de Esbeltez L/k
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70. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Hay otras relaciones empíricas para ajustar esta
información al diseño de columnas:
PCR a Fórmula de
= L 2
A 1+b k Gordon-Rankine
Los sistemas normativos adoptan las constantes,
pero podemos repetir el procedimiento anterior,
con sy cuando la razón de esbeltez es cero y una
tangente entre Euler y G-Rankine en P/A = sy/2
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71. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
En forma análoga al caso parabólico:
PCR sy p2E L 2 2p2E
= =  =
A 2 (L/k)2 k sy
sy sy s y2
= 2p2E  b = 2p2E
2 1+b s
y
PCR sy
= s y2 L
A 1+ 2 k
2
2p E
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72. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Graficando la ecuación de Euler y Gordon-Rankine:
P/A Zona de Falla
sy
sy A B s y2 L 2
1+ 2 k
2p E
Columnas cortas Euler Columnas largas
sy D
2 p2E
Gordon-Rankine
(L/k)2
Columnas medianas C
Razón de Esbeltez L/k
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73. PANDEO E INESTABILIDAD
Descripción de inestabilidad en columnas
Para diferentes materiales:
P/A Zona de Falla
sy1 A52-34 2
A B
s y2 L
A42-27 sy – 2
sy2 A37-24 4p E k
sy3 D1
D2
D3 p2E
(L/k)2
C
Johnson 100 115 Euler
Razón de Esbeltez L/k
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74. PANDEO E INESTABILIDAD
Efecto de los extremos en la inestabilidad
Tanto la fórmula de la Secante cono la fórmula
de Euler se dedujeron con la hipótesis de mo-
mento flector M nulo en los extremos. PCR e d M
Para considerar otras posibilidades
de apoyo en los extremos, la longitud y
(l) de la columna en estas ecuaciones
deberá ser reemplazada por un largo
efectivo (le). M
PCR
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75. PANDEO E INESTABILIDAD
Efecto de los extremos en la inestabilidad
Los casos de los extremos son los siguientes:
a) Ambos libres.
b) Ambos empotrados.
c) Uno empotrado, otro articulado.
d) Uno empotrado, otro con traslación.
e) Ambos articulados.
f) Uno empotrado, otro libre.
g) Uno articulado, otro con traslación.
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76. PANDEO E INESTABILIDAD
Efecto de los extremos en la inestabilidad
Le
Teórico 1.0L 0.5L 0.7L 1.0L 1.0L 2.0L 2.0L
Norma 1.0L 0.6L 0.8L 1.2L 1.0L 2.1L 2.0L
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
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77. PANDEO E INESTABILIDAD
Efecto de los extremos en la inestabilidad
Uso de la longitud equivalente (extremos):
P/A Zona de Falla
2
sy2 Le
sy – 2
sy A B
4p E k
sy D
2 Le=0.8L p2E
Le=L (L/k)2
Le=2.0L C
Razón de Esbeltez L/k
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78. CONCLUSIONES
Revisamos los tipos de carga fundamental a las
cuales puede someterse un componente. Estas
son las cargas de tensión y corte con esfuerzos
uniformes, y las cargas de flexión y torsión con
esfuerzos lineales no uniformes.
Estas pueden ser aplicadas simultáneamente,
agravando o mejorando el estado de esfuerzo.
Vimos el caso particular de flexión que impone
un momento aplicado a vigas curvas y formas de
minimizar sus efectos.
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79. CONCLUSIONES
Verificamos que ciertos elementos de máquinas
(ejes y columnas) pueden colapsar por cargas de
compresión, fenómeno que no depende de la re-
sistencia del material sino que de su geometría.
De esta forma, comprobamos un modo adicional
de falla el cual también se debe evitar en diseño:
si ≤ sy
Geometría KI ≤ KIc Material
sc ≤ scr
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