Teoría de Códigos:
polinomios
Javier Artiga Garijo
Sonia Escorza Santos
Dariel Figueredo Piñero
Arturo Hermosa Moreno
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Códigos correctores de errores
• Palabras, códigos y errores
– Distancia d(a,b): Desigualdad Triangular, Teorema del
vecin...
Palabras, códigos y errores

Vn = conjunto de palabras binarias de longitud n
Ej.: V = 2 Hay 2n palabras binarias de longi...
Palabras, códigos y errores
Distancia d(a,b)
i. d(x,y) = 0 ↔ x = y
ii. d(x,y) = δ(x,y)
iii. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)► Desi...
Palabras, códigos y errores
Teorema17.1 del Principio del vecino más próximo d ≥ 2e + 1
Dem:
en C

c = palabra −con e erro...
Palabras, códigos y errores
• Corrección de errores
Representación Gráfica
Códigos Lineales
• Magnitudes

Teresacto: representación de la
cuarta dimensión en un cubo

Significado
Longitud

n

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Códigos Lineales
• Dimensión
Relación: representación física
Códigos Lineales
• Peso ω(z) = d(z,0)
d(x,y) = d(x-y, y-y) = d(x-y, 0) = ω(x-y)
Teorema17.2: δ ≥ ωmin
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Código Lineal: Puntos Cardinales
Los generadores son
cualquier conjunto de
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Códigos Cíclicos
Un código C de Vn es cíclico si es lineal y si corresponde a un ideal de Vn[x].

• Ideal
Sea R un anillo ...
Códigos Cíclicos
• Utilidad de los códigos cíclicos
– Pueden tratarse mediante mecanismos sencillos:
registros de desplaza...
Código Cíclico: Samoano
El idioma samoano (gagana Samoa) es una lengua austronesia del grupo malayo-polinesio oriental, or...
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  1. 1. Teoría de Códigos: polinomios Javier Artiga Garijo Sonia Escorza Santos Dariel Figueredo Piñero Arturo Hermosa Moreno Andrés Tomás Campo
  2. 2. Códigos correctores de errores • Palabras, códigos y errores – Distancia d(a,b): Desigualdad Triangular, Teorema del vecino más próximo, Corrección de errores • Códigos Lineales – Magnitudes: longitud, dimensión, distancia mínima, generador – Dimensión – Peso ω(z) o Código Lineal: Puntos Cardinales • Códigos Cíclicos – Ideal – Utilidad de los códigos cíclicos o Código Cíclico: Samoano
  3. 3. Palabras, códigos y errores Vn = conjunto de palabras binarias de longitud n Ej.: V = 2 Hay 2n palabras binarias de longitud n
  4. 4. Palabras, códigos y errores Distancia d(a,b) i. d(x,y) = 0 ↔ x = y ii. d(x,y) = δ(x,y) iii. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)► Desigualdad Triangular → distancia mínima δ = min{d(x,y) | a, b c, a ≠ b} z x y
  5. 5. Palabras, códigos y errores Teorema17.1 del Principio del vecino más próximo d ≥ 2e + 1 Dem: en C c = palabra −con e errores→ recibe palabra z por (iii) de δ d(c,z) = e c' = otra palabra d(c,z) + d(z,c') ≥ d(c,c') ≥δ por (iii) de d = des. triangular ≥ 2e + 1; e + d(z,c') ≥ 2e + 1 → d(z,c') ≥ e + 1 → por definición de δ por hipótesis → c es la única palabra C que está a distancia e de z
  6. 6. Palabras, códigos y errores • Corrección de errores Representación Gráfica
  7. 7. Códigos Lineales • Magnitudes Teresacto: representación de la cuarta dimensión en un cubo Significado Longitud n Las palabras son de n bits Dimensión k Hay 2k palabras disponibles δ Pueden corregirse hasta e errores, siempre que δ ≥ 2e + 1. < g(x) > Polinomio g(x) de un código cíclico C tal que C = < g(x) > Distancia mínima Generador
  8. 8. Códigos Lineales • Dimensión Relación: representación física
  9. 9. Códigos Lineales • Peso ω(z) = d(z,0) d(x,y) = d(x-y, y-y) = d(x-y, 0) = ω(x-y) Teorema17.2: δ ≥ ωmin c tal que ω(c*)= ωmin δ ≤ d(c*,0) = ω(c*) = ωmin c1,c2 están a distancia mínima δ = d(c1-c2) = ω(c1-c2) ≥ ωmin Dem: c* c1-c2 c, porque es lineal
  10. 10. Código Lineal: Puntos Cardinales Los generadores son cualquier conjunto de 4 palabras, porque 1111 NE 1100 NNE 1110 NNW 0111 E 1001 SE 1000 NEE 1101 NWW 0111 W 0110 NW 0101 SSE 1000 SSW 0001 S C4 = V4 N 0000 SW 0011 SEE 1000 SWW 0010 En el código C4 observamos que la detección de errores es imposible, al pertenecer todas las palabras disponibles a nuestro código. δmin = ωmin = 1 C4 = V4 Si duplicásemos K tendríamos C8 perteneciente a V8. (código no lineal), y la detección de errores sería muy sencilla, aunque no tanto su corrección. Las detecciones de un error siempre serían posibles, e incluso la mayoría de las de dos errores, siempre que no sean en dígitos contiguos y equivalentes a lo que en V4 era un sólo dígito; es decir, siempre que no se dé que, por ejemplo: a4 = (1101) = a8 = (11 11 00 11), a4 pertenece a V a4 pertenece a C4 a8 pertenece a V a8 pertenece a C8 ↓ error ↓ a'4 = (1100) = a'8 = (11 11 00 00), a'4 pertenece a V a'4 pertenece a C4 a'8 pertenece a V a'8 pertenece a C8 En los demás casos (por ejemplo, si b8 = (11.00.11.00) y en la transmisión errónea obtenemos b'8 = (11.00.11.01), resulta que podemos detectar el error, pero no dispondríamos de información suficiente para su corrección con esta longitud de palabras, ya que no sabríamos si en el par de dígitos erróneo ha sido confundido el 0 o el 1).
  11. 11. Código Lineal: Puntos Cardinales N 1111 NNW 0111 NNE 1110 NW 0101 NWW 0100 W 1001 SWW 0010 SW 0011 NE 1100 NEE 1101 E 0110 SEE 1000 SE 1000 SSW 0001 SSE 1000 S 0000
  12. 12. Códigos Cíclicos Un código C de Vn es cíclico si es lineal y si corresponde a un ideal de Vn[x]. • Ideal Sea R un anillo con un producto conmutativo. Se dice que un subconjunto S de R es un ideal si i. a,b s → a+b S (lineal) ii. r R y a S → ra S C es ideal si a,b C→ a+b C (lineal) p(x) En otras palabras, y a(x) C → p(x)·a(x) C si a(x) C → xa(x) C S es cerrado respecto de la suma y respecto del producto por cualquier elemento de La construcción de un CC de longitud n es equivalente a la construcción de ideales en Vn[x]. El ideal se denota por <f(x)> y nos referimos a él como el ideal generado por f(x).s Un código cíclico puede tener más de un generador, pero sólo uno tendrá grado mínimo, que será el generador canónico de C.
  13. 13. Códigos Cíclicos • Utilidad de los códigos cíclicos – Pueden tratarse mediante mecanismos sencillos: registros de desplazamientos*. n n *desplazamientos cíclicos: ejemplo en V6 V V [x] 110101 1+x+x3+x5 010110 x+x3+x4 – Pueden construirse e investigarse mediante la teoría algebraica de los anillos de polinomios.
  14. 14. Código Cíclico: Samoano El idioma samoano (gagana Samoa) es una lengua austronesia del grupo malayo-polinesio oriental, originaria de Samoa y hablada principalmente en ese país, en la vecina colonia estadounidense de Samoa Americana y en Nueva Zelanda. Los fonemas samoanos son 16: 5 vocales y 10 consonantes. Se escribe con un alfabeto latino de 16 letras, una para representar cada fonema: a, f, g, i, l, m, n, o, p, s, t, u y v. Adicionalmente, existen las letras h, k y r para escribir préstamos de otros idiomas. Conocemos las traducciones al castellano de algunas palabras, como Las vocales pueden ser agua = vai, amor = alofa, elefante = elefane, estrella = fetū breves o largas; en el montaña = mauga nube = ao, paz = filamu, pilemu, África = Aferika segundo caso se marcan con un macrón: (ˉ). Traducido a binario En Z2 y en V8 podemos diseñar un código C perteneciente a V8 con K=4 y 2k=16 palabras o, en este caso, letras. Los generadores son las cuatro primeras letras, sin contar la a (porque a = 00000000): f = 00000101 i = 01010101 g = 00001010 m = 10101010, a partir de las cuales generamos: A 00000000 S 01011111 F 00000101 T 11111111 G 00001010 U 10100000 I 01010101 V 01011010 M 10101010 L 10100101 N 01010000 H 11111010 O 00001111 K 11110101 P 10101111 R 11110000

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