INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO
LA TEORÍA DE BLOQUES APLICAD...
ÍNDICE GENERAL
Agradecimientos i
Resumen ii
Introducción iv
Marco teórico v
Metodología xiv
Capítulo I Descripción de la g...
Capítulo VI La teoría de bloques aplicada a cámaras subterráneas 160
VI.1 Cuñas claves en el techo, piso y paredes 161
VI....
i
Agradecimientos
Agradezco a mis Padres por ser la luz que ha guiado mi vida, siempre buscando mi
bienestar, aunque yo me...
ii
Resumen
“Quien nada hace, no yerra y, quien no yerra, no aprende”
Fray Luca Pacioli (Paciolo di Borgo)
a Teoría de Bloq...
iii
de algún programa de dibujo asistido por computadora (CAD), evitando, así el uso manual
de la bien conocida estereored...
iv
INTRODUCCIÓN
ste trabajo tiene como objetivo principal, el proporcionar al interesado en el tema,
las herramientas bási...
v
MARCO TEÓRICO
La teoría es el lenguaje por medio de la cual pueden expresarse claramente lecciones de experiencia.
Cuand...
vi
Nuevo Fisuramiento
Figura i. 1. Creación de nuevos bloques por la introducción de nuevas fallas
Los bloques definidos p...
vii
Figura i. 2. Análisis estadístico para encontrar las concentraciones de un conjunto de datos geológicos, con
los cuale...
viii
TEORÍA DE BLOQUE – ANÁLISIS DE ELEMENTO FINITO
A través de la teoría de bloque, será posible analizar el sistema de d...
ix
El bloque más grande; --definido por el conjunto de discontinuidades, la sección del túnel y
la dirección del mismo--; ...
x
TEORÍA DE BLOQUE – ANÁLISIS DE ELEMENTO DISCRETO
El método de elemento discreto es un modelo numérico aproximado, el cua...
xi
Cuña Clave
Figura i.6. Arco, donde el principio de cuña clave es aplicable
Algunos de estos bloques no serán capaces de...
xii
Cuña Clave
a)
5
4
2
3
4
2
1
1
b)
4
1
1
2
2
2
2
3
Cuña Clave
c) d)
p
1234
Figura i. 8. Diversos modelos donde se aplica...
xiii
Todos estos ejemplos, intentan mostrar en dos dimensiones lo que en ocasiones sólo es
comprensible mediante el uso de...
xiv
METODOLOGÍA
Justificación del Tema
La elección del presente tema de investigación, se finalizó mediante un procedimien...
xv
Delimitaciones y Limitaciones
Crear un documento de fácil lectura y acceso para el ingeniero/estudiante
interesado.
Las...
1
Capítulo I
Descripción de la Geometría y Estabilidad de
los Bloques Utilizando Métodos Vectoriales
"If I have seen farth...
2
inclinación de ese plano y esa anotación es más concisa que la de rumbo y echado, factor
importante cuando se tiene que ...
3
sen cos
cos
sen
sen
cos
Y
Norte
X
Este
Z
n^
m
O
Figura I. 2. Sistema de coordenadas y direcciones cosenos de una normal:...
4
O
Z
X
Y
xo
x
1t x
t x1
Figura I. 3. Ecuación de una línea recta
La Intersección de un Plano y una Línea
Un punto como C ...
5
La Intersección de Dos Planos
La intersección de 2 planos de discontinuidades, crea un borde común. Considérese los
plan...
6
Las Esquinas de un Bloque
La figura I.6, muestra un bloque poliédrico. Las coordenadas de sus esquinas (vértices) son
ca...
7
DESCRIPCIÓN DE UN BLOQUE
Después de lograr describir y definir matemáticamente todas las propiedades relevantes de
un bl...
8
1
a
a4
6
a
a2
a5
5
a
a6
4
a
a3
a3
3
a
2
a
4
a
a1
3
a
5
a
2
a
4
a
b)
2
a 3
a 4
a 5
a )(
Volumen = hS1
6
1
a( 2
a 3
a 4
a ...
9
1a
a4
a3
a2
c
a
b
b x c
(x ,y ,z )2 2 2
444
(x ,y ,z )
(x ,y ,z )3 3 3
111
(x ,y ,z )
Figura I. 9. Denominación de los v...
10
1. Para cada plano i, 1i a n, determínese las constantes , ,i i i iA B C y D .
a. Los coeficientes ,i i iA B y C son ca...
11
4. Repítase el paso 3 para cada cara en turno (i.e. 1m a n ). Las esquinas verdaderas
son aquellas candidatas que sobre...
12
5. Determínese cuáles caras pertenecen a un bloque dado. Una cara verdadera está
definida por cualquier subconjunto de ...
13
La figura I.12 proporciona un ejemplo de los procedimientos descritos en los pasos 7 y 8.
Se subdividirá, en tetraedros...
14
De forma vectorial con 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, , , , , , ,a X Y Z a X Y Z y a X Y Z :
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
, ,
, ,
...
15
90 (I.28)
El ángulo entre dos planos. Como se muestra en la figura I.13b, el ángulo entre dos
planos 1 2P y P es el áng...
16
Donde , ,i i i iA B Cn es la normal al plano de discontinuidad i.
(0, 0, 0)
51e
12e
23e
45e
34e
1P
5P
4P
3P
2P
Figura I...
17
Con un bloque de n caras piramidales ( n planos), el número total de posibles bordes es
igual a
2 2
2 nC n n.
De hecho,...
18
3F
1F 2F
4FR
1F
2F
4F 3F5F
b)a)
Figura I. 15. Fuerzas como vectores: a) la resultante de varias fuerzas, b) Equilibrio ...
19
Donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Si la dirección de aceleración a
es incierta, la sumatoria de ...
20
Figura I. 16. Levantamiento o desprendimiento
Deslizamiento en una cara. Un bloque puede tender a deslizarse a lo largo...
21
R
iP
ni sxh
n x R^
=h
n^
i
Figura I. 18. Dirección de deslizamiento bajo el modo de deslizamiento en una cara
Deslizami...
22
Para el deslizamiento en una cara iP , debemos sustituir r de (I.55) junto con,
, ,i i i in A B C
En (I.53). Obteniendo...
23
Ejemplo I.2. La intersección de un plano y una línea
Considérese al plano P, cuya ecuación es: 2 3 4X Y Z y una línea r...
24
Plano α β
1 45 90
2 45 330
3 45 210
4 0 90
Tabla I.1.- Datos geométricos de los planos de discontinuidades
Los vectores...
25
1 1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
1 1 0 0
1 1 1 1.732 01 10.3920
det
1 1 1 1.732 06 6
1 1 2 0 0
1.7320
X Y Z Z
X Y Z
V
X Y Z
X ...
26
1
2 2 2 2
2
2
1.7320 1 1 1 1 1.73201
0 1 2 1 2 02
2.4494
A
A
a b
El área 3A de la cara en el plano 3, es el área triang...
27
1 2
1 2
cos
n n
n n
1 2
0.52 2 2
1
0.52 2 2
2
9, 8, 7 1, 2, 1 9 16 7 32
9 8 7 13.9284
1 2 1 2.4495
n n
n
n
32
cos 0.937...
28
Ejemplo I.9. Encontrar el block pyramid (BP) con 4 planos
Dados 4 planos. Calcular el block pyramid (BP) creado por la ...
29
12
12
0.5 0 0.8660 0 0.7660 0.4132 0.8660 ,
0.4132 0.4924 0.7660
0.4132 0.8660 0.5 0.7660 ,
0.5 0.7660 0.4132 0.8660
0....
30
Para 12I
0.5 0.42643 0 0.74084 0.8660 0.2462 0.00006 0 0
0.41317 0.42643 0.4924 0.74084 0.7660 0.2462 0.00002 0 0
0.133...
31
23
24
34
, 0.8444,0.1637,0.37720
0.4618,0.53790, 0.0967
0.7623, 0.2409, 0.1250
I
I
I
Estos 3 “vectores de borde”, defin...
32
1 2 , 1,2,3,4ijI n n i j i j
12
13
14
23
24
34
0.4264, 0.7408, 0.2462
0.6533, 0.4366, 0.3772
0.0262, 0.3443, 0.0151
0.8...
33
24Para
0.1472 0
0 0
0.5294 0
0 0
ok
ok
no
ok
I
a)
b)
c)
d)
34Para
0.2729 0
0.5293 0
0 0
0 0
ok
no
ok
ok
I
a)
b)
c)
d)
3...
34
Ejemplo I.13. Cálculo de la dirección de deslizamiento para el caso de deslizamiento en una
cara
Supóngase que la resul...
35
Los vectores unitarios de los planos 1 2P y P son:
1
2
0.3368, 0.0594, 0.9397
0.4330, 0.7500, 0.5000
n
n
De la ecuación...
36
Capítulo II
El Uso de las Proyecciones Hemisféricas
La inteligencia es como un río: cuanto más profunda, menos ruidosa....
37
PROYECCIÓN DE DISTANCIAS
ORTOGRÁFICA: Un ejemplo de la proyección ortográfica de un objeto tridimensional se
da en la f...
38
LA RED ESTEREOGRÁFICA
La red estereográfica es un nomograma que permite calcular valores angulares; constituye
un patró...
39
Proyección Ortográfica de Relaciones Angulares
A
A0R sen
R
B0
B
OA0 =R sen
a)
Figura II.3. Proyección ortográfica de un...
40
Proyección de Áreas Iguales
Conocida también como proyección de Lambert o Schmidt, se produce de la manera
siguiente (o...
41
O
B
F
B0
2
A0
R
A
OA = R0
tan 2
La figura II.6.a, presenta las bases de la proyección estereográfica, la cual será la t...
42
0A
A
O A0
O
B
B0
A0
a) b)
d)c)
Dirección de
Observación
Círculo de
Referencia
Referencia
Círculo de
Norte
Norte
Direcci...
43
Polo
Vertical
Gran Círculo
Las técnicas para el uso de estas proyecciones son idénticas y no habrá ninguna dificultad
p...
44
Cenit
Proyección
del gran círculo
Estereográfica
Gran Círculo
Polo
Gran Círculo
Figura II.7.b.- Vista lateral y en plan...
45
Los geólogos utilizan varios convencionalismos para eliminar este problema al hablar de
echado y rumbo. El geólogo empl...
46
2) Se coloca un pedazo de papel de dibujo sobre la red meridiana por medio de un
alfiler de centro. Se marca el norte y...
47
Figura II.7.e.- Obtención del polo
W
50°
90°
Polo
EGran Círculo
Figura II.7.f.- Representación del gran círculo y polo ...
48
Determinación de la Línea de Intersección de Dos Planos
N
W
S
E
250
130
Figura II.7.g.- Vista estereográfica de dos pla...
La Teoría de Bloques Aplicada a la Mecánica de Rocas _ Ayes Zamudio Juan Carlos
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La Teoría de Bloques Aplicada a la Mecánica de Rocas _ Ayes Zamudio Juan Carlos
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  1. 1. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO LA TEORÍA DE BLOQUES APLICADA A LA MECÁNICA DE ROCAS TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL PRESENTA: C. JUAN CARLOS AYES ZAMUDIO ASESOR: ING. MAGDALENO MARTÍNEZ GOVEA MÉXICO D.F. MARZO DE 2011
  2. 2. ÍNDICE GENERAL Agradecimientos i Resumen ii Introducción iv Marco teórico v Metodología xiv Capítulo I Descripción de la geometría y estabilidad de los bloques utilizando métodos vectoriales 1 I.1 Ecuaciones de líneas y planos 2 I.2 Descripción de un bloque 7 I.3 Ángulos en el espacio 14 I.4 Block Pyramid (BP) 15 I.5 Ecuaciones de fuerzas 17 I.6 Cálculo de las direcciones de deslizamiento 19 I.7 Ejemplos 22 Capítulo II El uso de las proyecciones hemisféricas 36 II.1 Enfoque tradicional 36 II.2 Enfoque aplicado a la teoría de bloques 50 II.3 Ejemplos 73 Capítulo III La removilidad de los bloques 88 III.1 Tipos de bloques 88 III.2 Teorema de finitud 92 III.3 El teorema de finitud aplicado en las proyecciones estereográficas 95 III.4 Teorema de la removilidad de un bloques convexo y finito 99 III.5 Aplicación del teorema de la removilidad en tres dimensiones utilizando la proyección estereográfica 101 Capítulo IV Joint Blocks (JB) 104 IV.1 Joint Blocks en tres dimensiones 107 IV.2 Solución estereográfica para los joint blocks 108 Capítulo V Teoría de bloques para excavaciones superficiales 113 V.1 Conceptos básicos 113 V.2 Modos de falla 114 V.3 Análisis de la cuña clave 117 V.4 Diseño 118 V.5 Condiciones para la removilidad de bloques que intersecan a superficies de excavación 119 V.6 Identificación de las potenciales cuñas claves usando la proyección estereográfica 123 V.7 Bloques removibles con un conjunto de discontinuidades repetido 129 V.8 Bloques removibles con dos conjuntos de discontinuidades repetidos 133 V.9 Evaluación de la finitud y removilidad de los bloques utilizando métodos vectoriales 134 V.10 Número de bloques de diferentes tipos en una excavación superficial 139 V.11 Procedimientos para el diseño de taludes en roca 139 V.12 Bloques removibles en una cara excavada, utilizando un levantamiento geológico 152
  3. 3. Capítulo VI La teoría de bloques aplicada a cámaras subterráneas 160 VI.1 Cuñas claves en el techo, piso y paredes 161 VI.2 Bloques removibles en el techo 161 VI.3 Bloques removibles en el piso 162 VI.4 Bloques removibles en las paredes 162 VI.5 Bloques removibles en dos planos simultáneamente: bordes cóncavos 163 VI.6 Bloques removibles simultáneamente en 3 planos: esquinas cóncavas 168 VI.7 Ejemplo: Análisis de Cuña Clave para una Cámara Subterránea 172 Capítulo VII Teoría de bloques para túneles y lumbreras 183 VII.1 Bloques con caras curvas 186 VII.2 Sistemas de coordenadas locales para puntos en el cilindro del túnel 187 VII.3 EP para bloques curvos 189 VII.4 Teorema del eje del túnel 191 VII.5 Tipos de bloques en los túneles 191 VII.6 Número de bloques infinitos de un túnel 193 VII.7 Número de bloques removibles de un túnel 193 VII.8 La cuña clave máxima 193 VII.9 Teorema de la máxima área removible en la sección del túnel 194 VII.10 Cálculo de la cuña clave máxima utilizando métodos estereográficos 196 VII.11 Determinación del área máxima removible mediante el uso de las proyecciones estereográficas 202 Capítulo VIII Estabilidad y cinemática de bloques removibles 220 VIII.1 Modos de deslizamiento 221 VIII.2 La fuerza de deslizamiento 226 VIII.3 Condiciones cinemáticas para desprendimiento/levantamiento y deslizamiento 231 VIII.4 Solución vectorial para el JP correspondiente a una dirección de deslizamiento dada 235 VIII.5 Proyección estereográfica para el JP correspondiente a una dirección de deslizamiento dada 237 VIII.6 Encontrar la dirección de deslizamiento para un JP dado 250 Análisis de resultados xvi Conclusiones xvii Recomendaciones xviii Bibliografía xix Anexo I Ejemplos de aplicación xxi Diseño de talud xxi Diseño de túnel xxviii Índice de tablas lvi Índice de figuras lviii Índice de ejemplos lxv
  4. 4. i Agradecimientos Agradezco a mis Padres por ser la luz que ha guiado mi vida, siempre buscando mi bienestar, aunque yo me oponga. Gracias por su fuerza y amor, los cuales siempre me guiarán y me dieron (a mi ver) el segundo regalo más grande que alguien puede dar, mi educación. Gracias por pensar en su hijo, incluso en aquellos momentos en los que sólo pensaba en mí, espero que estén orgullosos de su hijo, los amo. Agradezco a mi madre María, por entregar su vida a nosotros sus hijos, por anteponer nuestros deseos a los suyos; siempre te he agradeceré por ser tan buena con nosotros, por tu trabajo, perseverancia y esfuerzo… A mi padre Juan, por estar conmigo en cada paso o tropiezo que doy, por ser la guía que me enseñó el amor y el aprecio al estudio, por su dedicación, por su esfuerzo de alimentarnos en cada una de las facetas que hacen de una persona, un mejor ser humano… A mis hermanos, aunque lejanos física o emocionalmente, siempre recuerdo con agrado los momentos que hemos pasado juntos y siempre los querré. A ti mi bebé, por ser el motor de mi vida; quizá no lo sepas pero el sólo mirarte me da fuerzas, gracias por existir. Perdóname… A ti Diego, me hace inmensamente feliz tu presencia en mi vida y al igual que tu hermana los amo, más allá de lo que se puedan imaginar algún día… A mi familia (tías, tíos y primos), que siempre ha querido lo mejor para nosotros…. A ustedes (ILI), LA… A las personas que de alguna manera me han ayudado a ser mejor persona, mejor estudiante, mejor profesionista, quizá nunca se dieron cuenta, pero en cada ayuda, cada felicitación, cada regaño, hacen de mí un mejor ser humano… Al Ingeniero Magdaleno Martínez Govea, mi asesor de tesis, por su tiempo y dedicación, gracias… A mis profesores, que dejaron una huella indeleble… A mi País, por darme la oportunidad de estudiar, por brindarme las herramientas necesarias para mejorar, día a día intento retribuírtelo… A mi Alma Mater…
  5. 5. ii Resumen “Quien nada hace, no yerra y, quien no yerra, no aprende” Fray Luca Pacioli (Paciolo di Borgo) a Teoría de Bloques es una herramienta poderosa para valuar la estabilidad de excavaciones subterráneas y de taludes en masas rocosas duras y fisuradas. Su objetivo primordial es conocer el grado de estabilidad del conjunto de bloques formados por las distintas discontinuidades presentes en el macizo rocoso, antes y después de que un sistema de soporte (ademe) sea aplicado. El principio fundamental de la Teoría de Bloque es que la falla del macizo rocoso se inicia por el movimiento de ciertos bloques expuestos en una superficie de excavación. Por lo tanto, si estos bloques denominados cuñas claves, se mantienen en su lugar, se previene el movimiento de otros bloques y por ende se evita una posible falla en cadena. Las posibles aplicaciones de la teoría son: En Estabilidad de taludes: Vertedores de presas y cimentaciones Cortes permanentes en vías de comunicación Taludes naturales en zonas residenciales Etc. En Obras Subterráneas: Túneles de drenaje Cámaras subterráneas Túneles carreteros Portales de minas Etc. Debido a la casi nula bibliografía referente al tema (a excepción de artículos diseminados en diferentes congresos y simposios internacionales), se ha tenido que traducir gran parte del texto original (Goodman & Shi, Block theory and its application to rock engineering, 1985), adicionalmente se ha extendido y detallado los problemas y se hizo hincapié en llevar de la mano en el cálculo de cada uno de los ejemplos; lo anterior con el fin de minimizar al máximo el tiempo de estudio de aquellas personas que deseen conocer y aprender la teoría. Para conocer la validez matemática de los diferentes teoremas se remite al lector al texto original. Se espera que el presente trabajo, permita que aquellos lectores que no les sea posible leer el texto original, por no tener acceso al libro o por no comprender/leer en inglés, tengan posibilidad de adentrarse y conocer esta teoría. Para aquellos que deseen aprender los procedimientos de las proyecciones estereográficas, se recomienda leer (Priest, 1985), aunque en el capítulo II se presentan algunos ejemplos de construcciones básicas mediante el uso de la proyección estereográfica, además, en el mismo capítulo se dan a conocer expresiones que permiten dibujar y obtener de manera rápida y precisa las representaciones ortográficas de planos, vectores y diversas relaciones necesarias en muchos métodos empleados en la mecánica de rocas, esto mediante la ayuda L
  6. 6. iii de algún programa de dibujo asistido por computadora (CAD), evitando, así el uso manual de la bien conocida estereored de ángulos iguales. Es de importancia recalcar, que el hemisferio utilizado en la solución de los problemas a lo largo del texto, es el superior, se hace énfasis en esto, para evitar confusión al lector con conocimientos en las proyecciones estereográficas, ya que los dibujos parecerán invertidos, por lo que se pide leer el capítulo referente a las construcciones geométricas. Se utilizó con gran éxito, paquetería comercial de dibujo técnico asistido por computadora (CAD) y hojas de cálculo, que aunque no son imprescindibles para desarrollar numericamente los diversos teoremas, si son de gran ayuda para mejorar el tiempo de resolución. Finalmente, en caso de necesitar ayuda para interpretar o entender conceptos relacionados al presente trabajo, se proporciona el siguiente correo electrónico personal del autor, para contactarlo en caso de ser necesario. Email: jcaz15@hotmail.com
  7. 7. iv INTRODUCCIÓN ste trabajo tiene como objetivo principal, el proporcionar al interesado en el tema, las herramientas básicas necesarias para aplicar la teoría de bloques, además de que se proporciona una fuente de consulta en español sobre el tema. La presente tesis está organizada en 8 capítulos y un anexo; los cuales se recomiendan ser estudiados de manera secuencial, para lograr entender la teoría. El capítulo I, presenta los bases matemáticas de la teoría de bloques, las cuales se basan principalmente en sistemas vectoriales sencillos de resolver, por lo que se espera que el lector no tenga problemas para comprenderlos, asimismo se presenta una sección de ejemplos los cuales están resueltos a detalle. El capítulo II, presenta lo relacionado a las proyecciones estereográficas, sus aplicaciones en la teoría de bloques y ejemplos de aplicación. El capítulo III, presenta los teoremas medulares de la teoría de bloques, así como su aplicación utilizando métodos vectoriales y métodos estereográficos. El capítulo IV, presenta una aplicación de la teoría de bloques, la cual es aplicable a los problemas o trabajos de dinamiteo. El capítulo V, presenta la aplicación formal de la teoría a excavaciones superficiales, es decir, a taludes en roca. El capítulo VI, presenta la aplicación de la teoría a excavaciones subterráneas, específicamente a las cámaras subterráneas prismáticas. El capítulo VII presenta la aplicación de la teoría a túneles y/o lumbreras. El capítulo VIII, presenta los problemas relacionados con la estabilidad y cinemática de los bloques removibles, así como las expresiones utilizadas para obtener las fuerzas y direcciones de deslizamiento. El anexo I, presenta dos ejemplos de aplicación, en los cuales se guía de manera secuencial al lector para su fácil entendimiento. E
  8. 8. v MARCO TEÓRICO La teoría es el lenguaje por medio de la cual pueden expresarse claramente lecciones de experiencia. Cuando no hay ninguna teoría, como en las obras de tierra, no existe sabiduría adquirida, únicamente fragmentos incompresibles. Karl Terzaghi, 1919 SUPOSICIONES DE LA TEORÍA DE BLOQUE La finalidad de esta teoría es producir técnicas para especificar la formación de las cuñas críticas que intersecan a una excavación; la cual es aplicable a la ingeniería de rocas, especialmente en excavaciones en roca dura donde el movimiento de los bloques predefinidos precipitan la falla. El problema tiene limitaciones en cuanto a alcances: encontrar las cuñas críticas creadas por las intersecciones de las discontinuidades en una masa rocosa que ocurren en una superficie definida. Aún así, el problema es suficientemente difícil, por lo que es necesario adoptar una serie de suposiciones simplificadoras para obtener soluciones trabajables, y éstas son: Considerar que todas las superficies de las discontinuidades son perfectamente planas. Esto ocurre en la mayoría de las juntas y fallas, pero no en todas y esta suposición puede estar completamente mal aplicada en los miembros de los plegamientos. Se asume la perfecta planicidad con el fin de describir la morfología del bloque a través de ecuaciones con vectores lineales. Asumir que las superficies de las discontinuidades, se extienden totalmente a través del volumen de interés, esto es, ninguna discontinuidad se terminará dentro de la región de un cuña clave. Estas simplificaciones son para presuponer que todos los bloques están completamente definidos por las superficies de discontinuidades preexistentes, de tal manera, que no se suponen nuevas grietas en el análisis del movimiento del bloque estudiado. En vista de lo anterior, esto limita la aplicación a un sólo tipo de modo de falla, excluyendo fallas con nuevas grietas como en la figura i.1.
  9. 9. vi Nuevo Fisuramiento Figura i. 1. Creación de nuevos bloques por la introducción de nuevas fallas Los bloques definidos por el sistema de superficies de discontinuidades se consideran cuerpos rígidos. Esto significa que la deformación y distorsión del bloque no serán introducidas en el análisis generado por la teoría de bloque. El problema de la cuña clave es formulado entonces, enteramente a través de geometría básica y manipulaciones vectoriales. En la examinación subsecuente de la estabilidad de las cuñas claves, la cual es encontrada a través de la teoría de bloque, se introducirá las propiedades de resistencia para las discontinuidades. Debido al desarrollo de la resistencia (fricción) a lo largo de las caras de las cuñas claves, se supone una deformación a lo largo de las superficies de los bloques, lo que implica acumulación de esfuerzos y deformaciones dentro de los bloques. Se asume que las discontinuidades y las superficies de excavación son parámetros de entrada para iniciar cualquier intento de análisis; si el conjunto de discontinuidades están dispersas en torno a una tendencia central, alguna dirección deberá ser tomada como representativa del conjunto. En la práctica esto se hace a través de análisis estadísticos, los cuales proporcionan los puntos de mayor concentración de un determinado conjunto de datos. Figura i.2.
  10. 10. vii Figura i. 2. Análisis estadístico para encontrar las concentraciones de un conjunto de datos geológicos, con los cuales puede definirse el conjunto de discontinuidades principales en un macizo rocoso. A través de técnicas de simulación de Monte Carlo, debería ser posible examinar la influencia de las variaciones de los diversos ángulos presentes en el conjunto y relacionar los resultados estadísticos en términos de probabilidades. En resumen, la teoría de bloque, se desarrollará con base en la información geométrica derivada de la geología estructural y de cálculos relativos al equilibrio, usando simple estática. Se asume que la discontinuidad mecánica está relevada al segundo plano en importancia, en referencia al cálculo y descripción de los bloques claves. Solamente los movimientos del los bloques son considerados. COMPARACIÓN DE LA TEORÍA DE BLOQUE CON OTROS ENFOQUES ANALÍTICOS Un vasto número de herramientas analíticas están disponibles para cálculos ingenieriles relacionados a excavaciones. Éstas incluyen métodos numéricos (análisis por elemento finito, análisis por diferencias finitas y análisis por elementos discretos), técnicas usando modelos físicos, etc. La mayoría de las decisiones ingenieriles relacionadas a las excavaciones en roca están condicionadas de igual manera al buen criterio empírico (experiencia), como a los juicios basados en informes técnicos.
  11. 11. viii TEORÍA DE BLOQUE – ANÁLISIS DE ELEMENTO FINITO A través de la teoría de bloque, será posible analizar el sistema de discontinuidades, para encontrar los bloques críticos de la masa rocosa. El análisis es tridimensional. Con la determinación de los tipos de cuñas claves, la teoría provee una descripción de las ubicaciones alrededor de la excavación donde la cuña clave es potencialmente peligrosa. Un ejemplo del resultado final del análisis de un bloque para un túnel dado, se muestra en la figura i.3 y i.41 . Figura i. 3. Representación tridimensional de un bloque para una cámara subterránea mediante paquetería comercial (Wedge) Figura i. 4. Representación tridimensional de una cuña clave en un túnel circular, mediante paquetería comercial (Workshop Pantechnica) 1 Figura i.3. Programa Wedge, Rocscience; Figura i.4. Programa Workshop, Pantechnica. (Ph. D. John Tinucci)
  12. 12. ix El bloque más grande; --definido por el conjunto de discontinuidades, la sección del túnel y la dirección del mismo--; es dibujada en relación con el túnel. El siguiente paso será proveer soporte, para prevenir el movimiento de este bloque o analizar para conocer si la fricción disponible en las caras mantendrá al bloque en un estado seguro. Alternativamente, la teoría puede modificar la dirección del túnel como la forma del mismo (sección transversal), para encontrar la combinación más favorable. Las diferencias entre la teoría de bloque y el análisis de elemento finito, son fundamentalmente las siguientes: El análisis de elemento finito determina deformaciones y desplazamientos a través del modelo, mientras que la teoría de bloque no determina en ningún momento deformaciones o desplazamientos. A lo mucho determina una lista de bloques peligrosos o potencialmente peligrosos detrás de la superficie de excavación. Figura i. 5. Distribución de Desplazamientos Verticales Utilizando FEM El análisis de elemento finito determina esfuerzos y con dificultad, estos pueden ser manipulados para encontrar regiones de potencial peligro. La teoría de bloque inmediatamente localiza puntos o zonas peligrosas y provee un estimado de la fuerza necesaria para prevenir la falla. La teoría de bloque no encuentra esfuerzos dentro o entre los elementos estudiados. El análisis de elemento finito puede ser utilizado paramétricamente; una vez que un modelo ha sido preparado para encontrar la forma más viable de una excavación. Pero no puede proporcionar mucha ayuda para recomendar la mejor dirección de una excavación. La teoría de bloque, en cambio, puede manejar ambas tareas de una muy buena manera. El análisis de elemento finito siempre debe calcularse a partir de una malla específica, con dirección y espaciamiento de las discontinuidades predefinidas. En contraste la teoría de bloque proporciona un sistema de discontinuidades sin necesidad de utilizar un mapa de discontinuidades específico. Así, en una etapa posterior, la teoría puede ser aplicada a un punto de discontinuidad elegida previamente (si hay información específica).En general, el análisis de elemento finito es un procedimiento de cálculo mucho más largo que el necesitado por la teoría de bloque y siempre necesitará una computadora. En cambio, la teoría de bloque puede ser aplicada enteramente a través de cálculos manuales y métodos gráficos.
  13. 13. x TEORÍA DE BLOQUE – ANÁLISIS DE ELEMENTO DISCRETO El método de elemento discreto es un modelo numérico aproximado, el cual reduce los grados de libertad en comparación al análisis de elemento finito; esto se logra través de la remoción de modos de deformación en los bloques esbozados por las discontinuidades, y como resultado final solamente quedan cuerpos rígidos. El análisis de elemento discreto es una herramienta para la ingeniería en excavaciones que permite el análisis de grandes movimientos de bloques en complejas secciones geológicas, las cuales tienen varios bloques de discontinuidades. El método está restringido a 2 dimensiones, a menos que se utilicen computadoras potentes. Así como en el análisis de elemento finito, es necesario calcular a partir de una malla predeterminada, incorporando de una manera precisa las ubicaciones de todas las discontinuidades. Como se mencionó anteriormente, la teoría de bloques no requiere de un premapeo de las discontinuidades y es enteramente tridimensional. Por otro lado, no ofrece análisis donde involucren grandes deformaciones. Además esta teoría está mejor equipada para ayudar a elegir la dirección y forma de una excavación. TEORÍA DE BLOQUE – JUICIO INGENIERIL En distintas épocas, los ingenieros realizaron excavaciones en roca fracturada, muchas de ellas se hicieron antes de tener disponibilidad de herramientas numéricas. La intuición, experiencia y juicio fueron elementos utilizados y en ocasiones combinados con alguna información específica acerca de las direcciones y propiedades del conjunto principal de discontinuidades. Es de resaltar que relativamente pocas excavaciones han sido bien documentadas en la literatura técnica, por lo que, para los recién iniciados en los menesteres de diseño de excavaciones en roca, es difícil adquirir dicha experiencia a partir del auto-estudio. La realización de una excavación es totalmente tridimensional. La teoría de bloque la cual es adecuada, precisamente, a la tridimensionalidad del problema, puede atacar el problema de la excavación desde un mejor enfoque de lo que la intuición puede hacerlo. La experiencia no ofrece alternativas para racionalizar un proceso, cuando se realiza el diseño de una excavación de forma, tamaño o función, sin precedentes. EL SISTEMA DE LA CUÑA CLAVE El objetivo de la teoría de bloque; es encontrar y describir los bloques de roca más críticos que rodean a la excavación (denominados “Cuñas Claves”). La intersección de numerosos conjuntos de discontinuidades crean bloque de formas y tamaños irregulares en la masa rocosa; por lo tanto, cuando se realiza la excavación, se forman muchos bloques nuevos por la adición de superficies (techo, hombro, muro, talud, etc.).
  14. 14. xi Cuña Clave Figura i.6. Arco, donde el principio de cuña clave es aplicable Algunos de estos bloques no serán capaces de moverse hacia el espacio libre de la excavación, quizá debido a sus formas, tamaños u orientaciones, o quizá porque les impida moverse otros bloques adyacentes; Sin embargo, unos pocos bloques (figura i.6) están inmediatamente en condición de moverse, tan rápido como se forman, es decir, al mismo instante del trabajo de excavación; de tal forma que otros bloques que anteriormente estaban restringidos al movimiento, ahora no lo están. La figura i.7, muestra dos arcos de cimentación de un acueducto romano que se mantiene y soporta cargas sin pernos o tornillos. En este arco de mampostería cada bloque, es una cuña clave, debido a que la pérdida de una sola cuña, causaría el colapso de toda la estructura. Cuñas Claves Figura i. 7. Arco donde cada bloque puede ser considerado como una cuña clave Otro tipo de arco de mampostería es el bosquejado en la figura i.7a; donde el bloque sombreado, con forma diferente al resto, está sostenido por tornillos. Mientras el bloque se mantenga en su lugar, el arco funcionará como conjunto.
  15. 15. xii Cuña Clave a) 5 4 2 3 4 2 1 1 b) 4 1 1 2 2 2 2 3 Cuña Clave c) d) p 1234 Figura i. 8. Diversos modelos donde se aplica el concepto de cuña clave Este modelo es el más aproximado a una excavación que el arco romano Voissor de la figura i.7, debido a que los bloques alrededor de la excavación, no son perfectamente similares en forma. La figura i.8b, muestra una cuña clave alrededor de una sección transversal de un túnel, la pérdida de los bloques 1 permitirían el movimiento de los bloques 2, estos a su vez permitirían el movimiento de los bloques 3 hasta la destrucción de la estructura proyectada. Los taludes en excavaciones superficiales, muestran, similarmente, dependencia en una pequeña porción de bloques críticamente localizados figura i.8c. La figura i.8d, muestra cuñas claves en la cimentación de una presa; el plano P debajo de la presa parecería ser una posible superficie de deslizamiento. Sin embargo, la roca arriba de P no podrá moverse mientras el bloque 1 se mantenga en su lugar. Aún después, la gran masa de cimentación arriba de la superficie no podrá moverse, ni levantar la presa, pero podría ser destruida por un acción regresiva, primero con el movimiento de 1, después de 2, después de 3, hasta llegar a un estado de falla.
  16. 16. xiii Todos estos ejemplos, intentan mostrar en dos dimensiones lo que en ocasiones sólo es comprensible mediante el uso de tres dimensiones. La figura i.9, muestra un ejemplo más realista, de una cuña clave en una cimentación y su relación con el diseño de las anclas. El levantamiento del bloque mostrado está restringido, de las presiones posiblemente causadas por el agua y fuerzas sísmicas, mediante las fuerzas que generan los cables anclados debajo de la cuña clave. El bloque dibujado es el más grande en su tipo que puede caber en el espacio de la excavación o del valle natural donde la estructura está localizada. Figura i. 9. Ejemplo tridimensional de una cuña clave
  17. 17. xiv METODOLOGÍA Justificación del Tema La elección del presente tema de investigación, se finalizó mediante un procedimiento deductivo, es decir, de lo general a lo particular y los motivos que lo causaron fueron: Al autor así como al asesor de tesis, vieron un campo real de aplicación así como un tema poco trabajado, especialmente en la bibliografía disponible en español. Existe poca información documental o bibliografía referente al tema, además la información disponible, se encuentra en inglés además de que es poca. Planteamiento del Problema Aunque el análisis de un teoría, puede brindar un sinnúmero de trabajos como el aquí presentado, el problema a resolver se basa principalmente en la falta de un documento que proporcione, escudriñe y plasme en idioma español, los pormenores de la teoría analizada. Por lo anterior, el problema principal a resolver es la falta de bibliografía en español sobre el tema en cuestión, así como un desarrollo pormenorizado de las soluciones numéricas que involucran a la Teoría de Bloque. Objetivos de la Investigación Cumplir con el requisito de la parte escrita del examen profesional para obtener el título de ingeniero civil. Incrementar los conocimientos propios en el área específica. Proporcionar al gremio ingenieril y/o estudiantil del área, un documento que detalle y presente la teoría de bloques como una teoría utilizable –principalmente- en la práctica profesional. Tipo de Investigación Antes de plantear las hipótesis de trabajo, se realizó una extensa revisión documental, utilizando para ello diversas fuentes impresas. La investigación fue en su totalidad documental. Hipótesis de Trabajo El empleo de la Teoría de Bloque, es una herramienta de moderadamente fácil aplicación. La teoría de bloque, es al día de hoy, una herramienta de gran utilidad para el ingeniero diseñador de obras subterráneas como superficiales en roca. La omisión en la enseñanza de la presente teoría, es por una falta de apreciación de la Academia y no por una dificultad intrínseca del tema.
  18. 18. xv Delimitaciones y Limitaciones Crear un documento de fácil lectura y acceso para el ingeniero/estudiante interesado. Las limitaciones teóricas, se presentan en el Marco Teórico. Técnicas de Investigación Técnicas Documentales Bibliográfica Documental
  19. 19. 1 Capítulo I Descripción de la Geometría y Estabilidad de los Bloques Utilizando Métodos Vectoriales "If I have seen farther than other men, it is because I have stood on the shoulders of giants." Isaac Newton n este capítulo se desarrollarán ecuaciones vectoriales, que permitirán encontrar soluciones a los problemas básicos de la Teoría de Bloques. Los métodos de análisis vectorial proveen formulaciones simples de todos los aspectos relacionados a la morfología del bloque, incluyendo: el volumen de un joint block (JP)1 , el área de cada una de sus caras, la posición de sus vértices y las posiciones y posturas de sus caras y bordes. El uso de vectores, también permite llevar a cabo análisis sobre el estado cinemático y estático de las cuñas claves. La información fundamental requerida por la Teoría de Bloques, es la descripción de la orientación de cada plano de discontinuidad. Las discontinuidades se agrupan en conjuntos, cuyas orientaciones promedios (ponderados o no) están descritas por 2 parámetros; el echado y la dirección del echado . La figura I.1 explica estos términos y su relación con los términos geológicos denominados rumbo (strike) y echado (dip). Un plano inclinado, interseca al plano horizontal xy a lo largo de la línea de rumbo y se inclina en la dirección del echado, la cual es perpendicular al rumbo del plano. La dirección del echado es definida mediante el ángulo a partir de y hacia x. A través del presente trabajo se adoptará la convención de que y es el norte y que x es el este, con z hacia arriba. El echado, es medido a partir del ángulo vertical entre la dirección del echado y el trazo de la discontinuidad en un plano horizontal. El rumbo de un plano es la traza de la intersección de este plano con una superficie horizontal y la mayoría de los geólogos utilizan el término para definir la orientación de un plano. Para eliminar toda ambigüedad posible cuando se habla de rumbo es necesario definir la dirección en que se echa un plano. Por lo tanto, un plano queda totalmente definido si se registra con un rumbo de N 40º W y un echado de 20º SW. Si hubiera sido reportado con un echado de 20º, no quedaría claro si se echa hacia el suroeste o al noroeste. Los ingenieros geotecnistas, sobre todo aquellos que utilizan mucho las computadoras para su análisis, han preferido emplear la dirección del echado más que la del rumbo como manera para definir la orientación de los planos. Si la dirección del echado y el echado de un plano se reportan como 240/20, no puede haber confusión sobre la orientación y la 1 En el presente trabajo, ciertos términos como Joint Block (JP) no serán traducidos, con la finalidad de evitar confusiones al lector que esté familiarizado con la teoría o para aquel que consulte la obra en el idioma original u haga estudios adicionales en otras referencias bibliográficas. E
  20. 20. 2 inclinación de ese plano y esa anotación es más concisa que la de rumbo y echado, factor importante cuando se tiene que procesar grandes cantidades de datos geológicos por computadora. z y norte x vector echado Línea de Rum bo = echado Dirección del Echado N Echado Dirección del Echado a b Figura I. 1. Términos que describen las características de un plano: echado y dirección del echado ECUACIONES DE LÍNEAS Y PLANOS Ecuación de una Línea Siendo 1x el vector radio, que parte del origen al punto , ,i i iX Y Z . Una línea con dirección 1x a través del punto 0 0 0, ,X Y Z , está definida por el conjunto de puntos a lo largo de los vectores de una familia de vectores radio, de tal manera que: 1ox t xx (I.1) Donde 0x es el vector radio que inicia en el origen al punto 0 0 0, ,X Y Z figura I.3. El parámetro t toma cualquier valor negativo o positivo. La ecuación (I.1) puede ser transformada a una forma de coordenadas cartesianas, remplazando cada vector radio, por las coordenadas de su punta. Sustituyendo: 0 0 0 0 1 1 1 1, , , , , ,X Y Z X Y Z X Y Zx x x (I.2) Con la ecuación 1.1, se generan 3 ecuaciones paramétricas: 0 1 0 1 0 1X t Y t Z tx x y y z z (I.3)
  21. 21. 3 sen cos cos sen sen cos Y Norte X Este Z n^ m O Figura I. 2. Sistema de coordenadas y direcciones cosenos de una normal: n, normal de la discontinuidad; m, proyección de n en el plano OXY; , ángulo del echado; , dirección del echado (en el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte) Ecuación de un Plano2 Siendo ^ pn (2) el vector unitario, con dirección normal al plano P y x , siendo el vector radio partiendo del origen hacia cualquier punto del plano P. El plano P, está definido, como el conjunto de las puntas de los vectores radio x , de tal manera que: ^ px n D (I.4) Donde D es una constante. Como se muestra en la figura I.4. D es la longitud de una perpendicular que parte del origen al plano. La ecuación (I.4) puede ser convertida a coordenadas cartesianas, mediante las siguientes sustituciones: ^ , , , ,p X Y Z n A B C x (I.5) Para obtener: AX BY CZ D (I.6) Como se muestra en la figura I.2, los valores de las coordenadas normales son: A B C sen sen sen cos cos (I.7) 2 El símbolo ^ sobre una letra en minúsculas siempre significa que la letra representa a un vector unitario, es decir una dirección.
  22. 22. 4 O Z X Y xo x 1t x t x1 Figura I. 3. Ecuación de una línea recta La Intersección de un Plano y una Línea Un punto como C (figura I.4), donde una línea penetra un plano, puede ser descrito resolviendo simultáneamente las ecuaciones (I.3) y (I.6). Siendo 0 0 0, ,X Y Z un punto en una línea que tiene una dirección de un vector radio 1 1 1, ,X Y Z ; y sustituyendo los valores para X, Y y Z de la ecuación (I.3) en la ecuación de un plano (I.6) y resolviendo para t. Desarrollando matemáticamente: 0 1 0 1 0 1 X t Y t Z t x x y y z z ; AX BY CZ D ; 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 Despejando a : A X tX B X tX C X tX D AX AtX BY BtY CZ CtZ D AtX BtY CtZ D AX BY CtZ t AX BY CZ D AX BY CtZ t 0 0 1 1 1 1 D AX BY CtZ t AX BY CZ (I.8) Y el vector radio partiendo del origen al punto de intersección de la línea y el plano tiene su punta en el punto , ,X Y Z dado por: 1 1 1 o o o o oo X x t x Y y t y Z z t z (I.9) Y X Z O ^ np D x C Figura I. 4. Ecuación de un plano
  23. 23. 5 La Intersección de Dos Planos La intersección de 2 planos de discontinuidades, crea un borde común. Considérese los planos 1P y 2P (figura I.5) con una línea de intersección 12I . Siendo ^ 1n y ^ 2n las normales unitarias a los planos 1P y 2P . Debido a que la línea de intersección está contenida en cada plano, y como cada plano contiene únicamente las líneas perpendiculares a su normal, entonces 12I es perpendicular a ambos vectores normales unitarios ( ^ 1n y ^ 2n ). Por definición, una línea que es perpendicular a otros dos líneas, se puede generar por el arreglo vectorial cruz. De esta manera, la línea de intersección entre 1P y 2P es paralela a: ^ ^ 12 1 2n nI (I.10) Para transformar esta ecuación a coordenadas cartesianas, se convertirá ^ ^ 1 1 1 1 2 2 2 2, , , ,n X Y Z y n X Y Z y siendo ^ x , ^ y y ^ z los vectores unitarios paralelos a los ejes coordenadas, por lo tanto: ^ ^ ^ ^ ^ 1 2 1 1 1 2 2 2 x y z n n X Y Z X Y Z (I.11) 1 1 1 1 1 1^ ^^ 12 2 2 2 2 2 2 Y Z X Z X Y x y z Y Z X Z X Y I En forma cartesiana, tenemos: 12 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1, ,Y Z Y Z X Z X Z X Y X YI (I.12) 1n^ n2 ^ 2I1 p1 2 p Figura I. 5. Línea de intersección de dos planos
  24. 24. 6 Las Esquinas de un Bloque La figura I.6, muestra un bloque poliédrico. Las coordenadas de sus esquinas (vértices) son cada una, soluciones simultáneas para las esquinas de 3 planos que se intersecan entre sí. Por ejemplo, el vértice A, definido por la intersección de los planos 1P , 2P y 3P , es determinado por el punto , ,X Y Z ; el cual satisface al conjunto: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 A X BY C Z D A X B Y C Z D A X B Y C Z D (I.13) Descripción de un Medio-Espacio Considérese un plano P (figura I.7). Un punto como 2C está en su medio-espacio superior, esto es, el punto está localizado arriba del plano P; el punto 1C está en el medio-espacio inferior, del plano P. El determinar con certeza, cuando un punto está situado arriba o abajo de un determinado plano, es la piedra angular de la Teoría de Bloques. Siendo la ecuación del plano P. AX BY CZ D Donde , ,A B C definen las coordenadas de la punta de un vector radio ^ pn , el cual es perpendicular al plano P. Se dice que un punto , ,X Y Zx pertenece al medio-espacio inferior del plano P, si: ^ pn Dx (I.14) Ó en forma de coordenadas cartesianas: AX BY CZ D (I.15) Similarmente, un punto , ,X Y Zx , se encontrará en el medio-espacio superior, del plano P; si: ^ pn Dx (I.16) Ó en forma de coordenadas cartesianas: AX BY CZ D (I.17) D1 pn^ D 2 D C2 1 x x x2 1 C O Plano P Figura I. 7. Medio-espacio determinado por un plano A C D E B p2 2 p p3 Figura I. 6. Esquinas de un bloque
  25. 25. 7 DESCRIPCIÓN DE UN BLOQUE Después de lograr describir y definir matemáticamente todas las propiedades relevantes de un bloque; ahora estamos en posición de cuantificar las características de un bloque, como son: El número, ubicación y áreas de sus caras, la ubicación de sus esquinas y su volumen. El volumen de un Bloque Tetraédrico Un bloque de 4 lados puede ser idealizado como una parte de la división de un paralelípedo, que se ha dividido en 6 partes, como se muestra en la figura I.8. Considérese el paralelípedo dibujado en la figura I.8a, con esquinas 1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,a a a a a a a ya . Primero se puede dividir en dos prismas triangulares de igual volumen, cortando a lo largo del plano 2 3 5 6, , ,a a a a , a su vez, cada uno de estos primas puede ser dividido en tres tetraedros iguales, como se muestra en la figura I.8b. a3 1 a a2 7 a a4 6 a a8 5 a Área S h a5 8 a a6 4 a a7 2 a a1 3 a 2 a 5 a 6 a 1 a( 2 a 3 a 7 a 4 a 5 a 6 a 8 a ) Volumen = hS 1 a( 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a ) Volumen = hS1 2 2 a( 3 a 7 a 5 a 6 a 8 a ) Volumen = hS1 2 a) Figura I. 8. Subdivisión de un paralelípedo en seis tetraedros de igual volumen. a) Subdivisión en dos prismas triangulares; b) División de cada primas en tres tetraedros
  26. 26. 8 1 a a4 6 a a2 a5 5 a a6 4 a a3 a3 3 a 2 a 4 a a1 3 a 5 a 2 a 4 a b) 2 a 3 a 4 a 5 a )( Volumen = hS1 6 1 a( 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a ) 3 a 4 a 5 a 6 a )( Volumen = hS1 6 1 a 2 a 3 a 4 a )( Volumen = hS1 6 Figura I.8. (Continuación) Esto, finalmente, lleva a tetraedros con esquinas 1 2 3 4 2 3 5 6 3 4 5 6, , , , , , , , , ,a a a a a a a a y a a a a . Por definición, el volumen de un paralelípedo es igual al producto del área (S) de su base (por ejemplo, el área 1 2 3 4, , ,a a a a de la figura I.8a) multiplicada por su altura (h), esto finalmente conduce al hecho, de que cada tetraedro debe tener un volumen 1 6 S h ; lo cual se puede expresar en forma vectorial como: 1 6 tetraédroV a b c (I.18) Donde, como se muestra en la figura I.9, a, b, y c, son los 3 vectores límites (o bordes) que irradian desde cualquier vértice del tetraedro. Siendo 1 2 3 4, ,a a a y a , las 4 esquinas de un tetraedro; y tomando 1a como el vértice desde el cual irradian los vectores a, b y c.
  27. 27. 9 1a a4 a3 a2 c a b b x c (x ,y ,z )2 2 2 444 (x ,y ,z ) (x ,y ,z )3 3 3 111 (x ,y ,z ) Figura I. 9. Denominación de los vectores para los bordes de un tetraedro 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 , , , , , , X X Y Y Z Z X X Y Y Z Z X X Y Y Z Z a b c (I.19) Sustituyendo (I.19) en (I.18), el volumen del tetraedro expresado en forma de coordenadas cartesianas; se puede expresar como: 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 1 6 X X Y Y Z Z V X X Y Y Z Z X X Y Y Z Z (I.20) O alternativamente, 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 1 1 1 11 1 Det 1 16 6 1 1 X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z V X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z (I.21) X, Y, Z son las coordenadas de los vértices El volumen, bordes y esquinas de un bloque poliédrico con n caras La intersección de varios planos de discontinuidad crea bloques de varias formas, la mayoría de las cuales, en general, tendrán más de 4 caras. El procedimiento para calcular el volumen de cualquier bloque parecido, es subdividirlo en varios tetraedros y hacer uso de la formula (I.20). Considérese un bloque tridimensional con n caras formado por porciones de n planos. Cada plano (i) divide el espacio entero en un medio-espacio superior, denotado por i U , y un medio-espacio inferior, denotado por iL . La intersección de uno o del otro de los medios- espacios de cada plano ( 1i a n) determina las dimensiones y la morfología del bloque. Por ejemplo, un bloque puede ser creado por 1 2 3 4 5 6, , , ,L U L L U y L . En capítulos subsecuentes se mostrará cómo elegir cuales de las muchas combinaciones posibles de L’s y U’s definirán los bloques críticos. Por el momento se asumirá que esto ha sido dado.
  28. 28. 10 1. Para cada plano i, 1i a n, determínese las constantes , ,i i i iA B C y D . a. Los coeficientes ,i i iA B y C son calculados a partir del echado y de la dirección del echado de plano i, utilizando (I.7). A B C sen sen sen cos cos El ángulo del echado siempre se encuentra entre 0 y 90º, además de que iC siempre es positivo, lo que significa que de las dos posibles direcciones para la normal, la dirigida hacia arriba será la elegida3 . b. El coeficiente iD debe ser ingresado. Un ejemplo de cálculo de , ,i i i iA B C y D utilizando datos de campo se presentan posteriormente. 2. Calcúlese las coordenadas de todas las posibles esquinas del bloque. Una esquina ijkC se calcula como el punto de intersección de los tres planos i, j y k, como se describe en (I.13). 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 A X BY C Z D A X B Y C Z D A X B Y C Z D Ahora se debe determinar cuáles de las esquinas pertenecen al bloque (e.g. son reales). El número de esquinas calculadas en el paso 2 iguala al número de combinaciones de n objetos tomados en 3 al mismo tiempo 3 nC , lo que es igual a ! 3 ! 3! n n . Para un paralelípedo (i.e. n=6) existen por lo tanto 20 posibles esquinas; pero sólo 8 pueden ser reales. El procedimiento para realizar esta selección, es presentado en los pasos 3 y 4. 3. Considere a la cara m. Examine a cada posible esquina ijkC por turno y manténgala como una candidata real a ser esquina, si sus coordenadas ,ijk ijk ijkX Y y Z , satisfacen: m ijk m ijk m ijk mA X B Y C Z D (I.22)a (1.22a) es para el caso, si el bloque está definido con mU , ó m ijk m ijk m ijk mA X B Y C Z D (I.22)b Si el bloque está definido con iL . 3 En el caso de un plano vertical, la normal es determinada como positiva en una dirección.
  29. 29. 11 4. Repítase el paso 3 para cada cara en turno (i.e. 1m a n ). Las esquinas verdaderas son aquellas candidatas que sobrevivan al paso 3 para cada cara. En este punto, un ejemplo bidimensional será de gran ayuda. La figura I.10 muestra los polígonos creados por 5 líneas, 1 5P hasta P . Por lo tanto; ! # ! #! n n , #= dimensionalidad 5 5! 10 5 2 ! 2 ! C , en este caso #, es 2 , porque es un ejemplo bidimensional Hay 10 intersecciones de estas líneas, etiquetadas como 15 25,C C …(el orden de los índices no tienes importancia). Ahora considérese un bloque específico: 1 2 3 4 5, , ,U L L U y U . (En este caso U significa el medio-plano arriba de la línea y L el medio-plano debajo de la línea.) Considerando, primero, el medio-plano 1U , los vértices reales ijC deben satisfacer: 1 1 1ij ijA X B Y D 4 Ahora eliminando las esquinas que están fuera de 1 2 3 4 5, , ,U L L U y U (La parte con tramado en figura I.10). Eliminando lo que está del otro medio- plano de 1U , es decir, en 1L , se elimina a 34C . Considerando lo que no está en el medio-plano 2L , se elimina a 35C ; siguiendo este procedimiento se llegará a eliminar a 12 42 15,C C y C . Así las esquinas reales, son identificadas como 41 45 25 23 13, , ,C C C C y C . Ahora que se ha logrado identificar las coordenadas de todas las esquinas ijkC de un bloque poliédrico. Como paso siguiente, se encontrará todas las caras reales de un poliedro. Considérese nuevamente el ejemplo bidimensional de la figura I.10, las intersecciones de las cinco líneas produjeron polígonos de 3, 4 y 5 caras. En tres dimensiones, los bloques creados por intersecciones de n planos pueden tener desde 4 a n caras. 4 La ecuación original para la descripción de un medio-espacio es AX BY CZ ó D ; pero en este caso no hay CZ , porque es un ejemplo bidimensional, y el signo es , porque es un medio-plano superior. (El ejemplo). C12 P1 P2 P4 P3 C13 C34 C41 C15 5 C45 C42 C25 C35 C23 Y X0 Figura I. 10. Esquinas reales de un polígono dado
  30. 30. 12 5. Determínese cuáles caras pertenecen a un bloque dado. Una cara verdadera está definida por cualquier subconjunto de tres o más vértices reales (esquinas del bloque) que tienen un índice en común. Por ejemplo, la cara m (del plano m) es la región triangular existente entre las esquinas 1 2 34 25,m m mC C y C . 6. Determínese todos los bordes de un bloque. Un borde real es una línea entre un par de vértices reales ijkC que tienen dos índices en común. Por ejemplo, un borde es la línea conectando las esquinas 3 4ij ijC y D . Esta línea es paralela a la línea de intersección ijI de los planos i y j. Los siguientes pasos dividirán, primero, al poliedro en pirámides poligonales, y después en tetraedros mediante la subdivisión de las bases poligonales en triángulos. 7. Escoja una esquina real ijkC como un ápice (la cima de una pirámide poligonal). La elección de una esquina es arbitraria y únicamente una esquina será seleccionada. ijkC es el punto de intersección de los planos cara i, j y k. Excluyendo estas tres, subdivida cada una de las otras 3n caras del bloque en triángulos como a continuación se indica: Cada cara, m, es en general un polígono con t esquinas. Las esquinas de la cara m son el subconjunto de las esquinas reales t del poliedro que tiene m como uno de sus índices. Ahora subdivídase la cara m en triángulos, seleccionando una esquina y conectándola en turno con los puntos finales de cada borde de m. (Los bordes del polígono m son el subconjunto de todos los bordes, encontrados en el paso 6, que tienen a m como uno de los índices en común). La figura I.11, ilustra el procedimiento descrito arriba. Escogiendo a la esquina 1a como el vértice de todos los triángulos, el polígono 1 2 3 4 5 6a a a a a a es dividido en los triángulos 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6, ,a a a a a a a a a y a a a . 8. Finalmente, conéctese las esquinas de cada triangulo para todas 3n caras (excluyendo las caras i, j y k) con el ápice, esquina ijkC . Esto crea el conjunto de tetraedros, la suma de volúmenes de la cual es el volumen del poliedro. 2 a 1 a 3 4 a 6 a 5 a 1 a 6 a 5 a6 a ' b c 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 a 5 a 6 a Área 1 a( 5 a 6 a )6 a ' = b x c Figura I. 11. Subdivisión de polígonos en triángulos
  31. 31. 13 La figura I.12 proporciona un ejemplo de los procedimientos descritos en los pasos 7 y 8. Se subdividirá, en tetraedros, el bloque de cinco lados mostrado en la figura I.12a. Primero, arbitrariamente se seleccionará la esquina 135C como el ápice. Esto excluye a las caras 1 3 5,P P y P a partir de la descomposición de los triángulos. Las caras 2 4P y P permanecen. El primero es mostrado en la figura I.12b, y se divide en los triángulos: 235 234 124, ,C C CI y 124 235 125, ,C C CII . La cara 4P ya es un triángulo 134 124 234, ,C C C . El bloque de cinco lados es dividido en 3 tetraedros conectando estos triángulos con el ápice 135C . Estos volúmenes tetraédricos son mostrados en las figuras I.13c, (d) y (e). 234C 134C 135C 125C 235C 124CP4 P1 P2 P3 P5 234C 125C 235C 124CBorde 24 Borde 12 Borde 23 Borde25 I II Cara 2 234C 134C 135C 124C a) b) c) 234C 135C 235C 124C d) 135C 125C 235C 124C e) Figura I. 12. Subdivisión del poliedro en tetraedro LAS CARAS DE UN BLOQUE POLIÉDRICO Las esquinas, bordes y las áreas de cada cara de un bloque general de n-caras pueden calcularse utilizando los métodos descritos en la sección precedente. Una cara poligonal está definida como una región planar entre todas las esquinas ijkC que comparten cualquier índice. Cada polígono es, entonces, dividido en triángulos mediante el procedimiento de la figura I.11. Considérese a un triángulo con esquinas 1 2 3, ,a a a y lados 1 2a aa y 1 3a ab . El área del triángulo es: 1 2A a b (I.23)
  32. 32. 14 De forma vectorial con 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, , , , , , ,a X Y Z a X Y Z y a X Y Z : 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 , , , , X X Y Y Z Z X X Y Y Z Z a b Lo que resulta en: 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 Y Y Z Z Z Z X X X X Y Y A Y Y Z Z Z Z X X X X Y Y (I.24) ÁNGULOS EN EL ESPACIO El ángulo entre líneas, entre planos o entre una línea y un plano será requerido de manera rutinaria en el cálculo de la resistencia al deslizamiento de los bloques. El ángulo entre líneas. Considérese dos vectores que se intersecan, 1 2yn n en el espacio. 1 1 1 1 2 2 2 2, , , ,X Y Z X Y Zn n El ángulo entre 1 2yn n está dado por: 1 2 1 2 . cos n n n n (I.25) n2 1 P2 n2 Proyección de n1 a) n2 n1 b)P1 P2 Figura I. 13. Ángulos entre líneas y planos: a) La proyección ortográfica de una línea en un plano, b) el ángulo entre dos planos O, en formato de coordenadas: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 21 cos X X Y Y Z Z X Y Z X Y Z (I.26) Si ^ ^ 1 1 2 2n y nn n (vectores unitarios). ^^ 1 2 1 2 1 2 1 2cos .n n X X Y Y Z Z (I.27) El ángulo entre una línea y un plano. Está definido en términos del ángulo entre la línea y su proyección ortográfica en el plano (figura I.13a). Siendo 1n un vector inclinado con respecto al plano 2P , cuya normal es 2n . El ángulo entre 1n y su línea de proyección en 2P es el complemento del ángulo entre 1 2yn n .
  33. 33. 15 90 (I.28) El ángulo entre dos planos. Como se muestra en la figura I.13b, el ángulo entre dos planos 1 2P y P es el ángulo entre sus normales 1 2yn n . 1 2,n n (I.29) BLOCK PYRAMID (BP)5 Considérese un bloque real formado con cada uno de las n diferentes caras, esto es, un bloque rodeado por n superficies no paralelas. Recuérdese que un bloque particular es creado por la intersección de los medios-espacios tanto superior como inferior correspondiente a cada una de sus caras. Por ejemplo, un bloque podría estar dado por 1 2 3 4 5U U U L L . Ahora, permitiendo que cada medio-espacio sea desplazado, de tal manera que su superficie pase a través del origen. El conjunto de medio-espacios movidos 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5U U U L L crearán una pirámide, el block pyramid (BP) con ápice en el origen, como se muestra en la figura I.14. El superíndice significa que el plano en cuestión ha sido desplazado para pasar a través de 0,0,0 . La importancia de esta construcción será aparente en el capítulo IV. Pero en esta sección será apropiado el describir el BP utilizando las formulas establecidas anteriormente. Líneas a través del origen. Todos los bordes de un block pyramid (BP) son líneas que pasan a través del origen (i.e. , , 0,0,0o o o oX Y Zx ). Por lo tanto, las ecuaciones de los bordes, obtenidas a partir de (I.1) y (I.3), son: 1tx x (I.30) 1 1 1 X t X Y tY Z t Z (I.31) Caras a través del origen. Cualquier plano i del block pyramid (BP), incluirá al origen. Por lo tanto, 0iD , debido a que iD es la distancia perpendicular a partir del origen. Las ecuaciones de un plano, (I.4) y (I.6), se simplifican a: 0ix n (I.32) 0i i iA X BY C Z (I.33) 5 Como se mencionó anteriormente, algunos términos no se traducirán, éste es uno de esos pocos casos.
  34. 34. 16 Donde , ,i i i iA B Cn es la normal al plano de discontinuidad i. (0, 0, 0) 51e 12e 23e 45e 34e 1P 5P 4P 3P 2P Figura I. 14. Block Pyramid (BP) 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5U U U L L Descripción de 00 i iL y U . Cuando el plano i corta a través del origen, su medio-espacio inferior 0 iL está determinado por (2.14), como: 0in x (I.34) Ó 0i i iA X BY C Z (I.35) Similarmente, el medio-espacio superior 0 iU del plano i está determinado por (1.16), como: 0in x (I.36) Ó 0i i iA X BY C Z (I.37) Bordes de un block pyramid (BP). La normal al plano 1iP i a n es: , ,i i i iA B Cn (I.38) Siendo 0 0 0 1 2 ... nF F F el block pyramid correspondiente a un conjunto particular de medios-espacios superiores como inferiores 00 i iL ó U , Cada par de índices de 0 F i y j i define un potencial vector de borde ijI . ij i jI n n (I.39) De acuerdo a la regla del producto cruz, ji j i ijI n n I (I.40)
  35. 35. 17 Con un bloque de n caras piramidales ( n planos), el número total de posibles bordes es igual a 2 2 2 nC n n. De hecho, un block pyramid (BP) tiene menos bordes, los cuales se determinan de la manera siguiente. Para ser un borde de un block pyramid 0 0 0 1 2 ... nF F F , , ,ij ij ij ijI X Y Z (I.41) Debe satisfacer, para cada cara piramidal (m) 1m a n , 0 0 0m ij m ij m ij m mA X B Y C Z cuando F U (I.42)a 0 0 0m ij m ij m ij m mA X B Y C Z cuando F U (I.42)b Los vectores intersección ijI que satisface todas las n ecuaciones simultaneas de (I.42) son verdaderos bordes del block pyramid (BP). No hay más de n soluciones. La secuencia de estos bordes alrededor de la pirámide es determinada por la secuencia numérica de índices (i, j) debido a que cada cara piramidal yace entre dos bordes que comparte un índice en común. Por ejemplo, en la figura I.14 los bordes en orden son 12 51 45 34 23, , , yI I I I I . ECUACIONES DE FUERZAS El análisis vectorial facilita el análisis de estabilidad de bloque bajo el peso propio, presiones hidrostáticas, fuerzas debido a los sistemas de contención, fuerzas de inercia, fricción y cohesión. Representación de una fuerza mediante un vector. Se representará, tanto la magnitud como la dirección de una fuerza F, mediante el símbolo F . Sus componentes son sus valores coordenados. , ,X Y ZF (I.43) La magnitud de F es: 2 2 2 X Y ZF (I.44) Y la dirección de F está dada por: ^ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , X Y Z f X Y Z X Y Z X Y Z (I.45) La resultante de dos o más fuerzas. Una serie de fuerzas que se intersecan 1 2, ... nF F F , pueden ser reemplazadas mediante la resultante R; 1 1 1 1 , , n n n n i i i i i i i i R X Y ZF La figura I.15a muestra la solución gráfica para la suma en dos dimensiones.
  36. 36. 18 3F 1F 2F 4FR 1F 2F 4F 3F5F b)a) Figura I. 15. Fuerzas como vectores: a) la resultante de varias fuerzas, b) Equilibrio bajo varias fuerzas El equilibrio de fuerzas. Si el sistema de n fuerzas 1 2, ... nF F F están en equilibrio, su resultante R tiene una magnitud de cero (figura I.15b), por lo tanto: 1 0 n i i F (I.46) Ó 1 , , 0 n i i i i X Y Z (I.47) Fuerzas de fricción. La fricción provee una fuerza resistente que se opone a la dirección de movimiento o al movimiento incipiente. Al primer término se le denominará “dirección de deslizamiento s”. Por lo tanto, la dirección de todas las fuerzas de fricción es s . Siendo B, un potencial bloque de roca deslizable y supóngase que , 1,...,iN i n son las magnitudes de las fuerzas de reacción normales, de cada cara de deslizamiento , 1...iP i n de B. Entonces la fuerza resultante de fricción es: 1 tan n f i i i N sR (I.48) Donde i es el ángulo de fricción para la dirección de deslizamiento s en la cara i. La Gravedad y otras fuerzas en el cuerpo. La gravedad actúa vagamente y su fuerza es proporcional a la masa. Su dirección está dirigida verticalmente hacia abajo z . Las fuerzas de inercia actúan en dirección opuesta a la aceleración aplicada y también son proporcionales a la masa. Si el peso de un bloque es W, la fuerza de inercia del bloque que es acelerado por k g a es: I kW aF (I.49)
  37. 37. 19 Donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Si la dirección de aceleración a es incierta, la sumatoria de IF con otras fuerzas conocidas producen un cono circular en el espacio que contiene a todas las posibles resultantes. Fuerza hidrostática y fuerzas cohesivas. La integración de la presión debida al agua 2 FL actuando sobre la cara de un bloque produce una fuerza en la dirección de la normal (dirigida hacia el interior) del bloque. La cohesión 2 FL produce una resistencia adicional al movimiento. Si la cohesión es constante sobre una cara, la fuerza total es calculada con el área conocida de la cara. El procedimiento para calcular el área de cualquier cara de un bloque poliédrico fue dado con anterioridad en este capítulo. Las presiones debidas al agua en roca, producidas por estructuras hidráulicas (presas, etc.) tienen a variar con el tiempo. Supóngase que iP representa a las caras de un bloque poliédrico, cada una con área iA y un vector normal (dirigido hacia el interior) in . Entonces la resultante wr de todas las fuerzas hidráulicas es: 1 n w i i i S nr (I.50) Donde iS es la integral de la presión debida al agua actuando sobre la cara i. En muchos casos es suficientemente preciso el sustituir: i i iS P A (I.51) Donde iP es la presión debido al agua actuando en el centroide de la cara i. CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES DE DESLIZAMIENTO La dirección del movimiento incipiente de un bloque es determinado por el modo de falla. El levantamiento ó desprendimiento ocurre cuando un bloque pierde su contacto inicial roca/roca en todas las caras para moverse hacia el espacio libre. El deslizamiento puede ocurrir en cualquier cara o en dos caras no paralelas a lo largo de su línea de intersección. Levantamiento o Desprendimiento. La acción de las presiones hidráulicas, del empuje estructural o de la fuerza de inercia, puede “botar” a un bloque como se muestra en la figura I.16. Si el bloque existe en el techo, puede caer bajo la acción única de la gravedad. En ambos casos, la dirección del movimiento inicial del bloque coincide con la dirección r de la fuerza resultante (R) actuando en el bloque. s r (I.52)
  38. 38. 20 Figura I. 16. Levantamiento o desprendimiento Deslizamiento en una cara. Un bloque puede tender a deslizarse a lo largo sólo una de sus caras, como se muestra en la figura I.17. En este caso la dirección de deslizamiento inicial es paralela a la dirección de la proyección ortográfica de la fuerza resultante (r) en el plano de deslizamiento iP . Denotándose la normal al plano de deslizamiento mediante in . La proyección de r se encuentra a lo largo de la línea de intersección del plano i y un plano común a r y in . s Figura I. 17. Deslizamiento en una cara Por lo tanto, la dirección de deslizamiento s es: i is n nr (I.53) Donde el símbolo significa “está en la misma dirección a”. El doble uso del producto cruz está justificado en la figura I.18.
  39. 39. 21 R iP ni sxh n x R^ =h n^ i Figura I. 18. Dirección de deslizamiento bajo el modo de deslizamiento en una cara Deslizamiento en dos planos simultáneamente. Si un bloque se desliza en dos caras no paralelas simultáneamente (figura I.19), la dirección de deslizamiento es paralela a su línea de intersección. Siendo 1 2yn n los vectores normales a cada cara de deslizamiento 1 2P y P . La dirección de deslizamiento (s) es uno de los dos, la misma que 1 2n n o su opuesto 1 2n n . La actual dirección de deslizamiento es aquella que tiene el menor ángulo (i.e. menor a 90º) con r (figura I.20). Siendo signo(f) +1 si f es positivo, -1 si f es negativo y 0 si f es cero. Entonces la dirección (s) de deslizamiento a lo largo de la intersección de los planos i y j es: i j i js signo n n r n n (I.54) La dirección de deslizamiento bajo la fuerza resultante debido a la gravedad únicamente. El análisis de la estabilidad de bloques bajo la acción única del peso propio es examinado como un caso especial. Sin otras fuerzas, la fuerza resultante en el bloque es: 0, 0, Wr (I.55) Donde W es el peso del bloque (W > 0). Para el desprendimiento de un bloque, la dirección de deslizamiento debe ser, por lo tanto: 0, 0,s W (I.56) Figura I. 20. Deslizamiento en dos caras n2n1 x s n2n1 x R n1 n2 Figura I. 19. Dirección de deslizamiento para el modo de deslizamiento en dos caras
  40. 40. 22 Para el deslizamiento en una cara iP , debemos sustituir r de (I.55) junto con, , ,i i i in A B C En (I.53). Obteniendo: , , 0 0 0 i i i i i i x y z n A B C W B A W r y 0i i i i i i i x y z n r n B W AW A B C Por lo tanto: 2 2 , ,i i i i i is W A C B C A B (I.57) Para deslizamiento simultáneo en los planos i y j, se sustituye en (I.54): i j i i i i i i x y z n n A B C A B C Dando, , ,j i i j i j j i j i i i i j j is signo A B AB BC B C A C AC AB A B (I.58) EJEMPLOS Ejemplo I.1. La ecuación de un plano Considérese un plano con echado 30º y dirección del echado 320º . El plano pasa a través del punto 1, 2, 1 . La ecuación del plano es: AX BY CZ D A partir de (I.7), cos cos A sen sen B sen C Debido a que 1, 2, 1 , se encuentra en este plano, satisface su ecuación, por lo tanto, 2A B C D Sustituyendo los valores de A, B y C, se obtiene que 1.31068D (Recordar que D es la longitud de una línea perpendicular al plano, nacida en el origen). Conociendo lo anterior, se tiene que la ecuación del plano P es: 0.32139 0.38302 0.86607 1.31068X Y Z
  41. 41. 23 Ejemplo I.2. La intersección de un plano y una línea Considérese al plano P, cuya ecuación es: 2 3 4X Y Z y una línea recta pasa a través de 0 0 0, , 1, 1, 2X Y Z en dirección 1 1 1, , 2, 2, 3X Y Z . Resolviendo la ecuación (I.3); 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 2 3 X X t X X t Y Y tY Y t Ecuación de una línea Z Z t Z Z t El punto de intersección de la línea en el plano, se encuentra utilizando (I.9) y sustituyendo los siguientes valores. 0 0 1 0 0 1 0 0 1X X t X Y Y t Y Z Z t Z (Vector radio cuya punta se encuentra en el punto descrito por , ,X Y Z y que parte desde el origen al punto de intersección de la línea y el plano.) Y donde: 0 1 0 1 0 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 4 A X X B Y Y C Z Z D 0 0 0 1 2 1 2 2 3 X t Y t Z t A partir de (I.8), 0 0 0 0 1 1 1 0 1 D A X BY X Z t t A X BY C Z t t ; Sustituyendo, 3 1 1 X Y Z Ejemplo I.3. El vector de intersección de 2 planos Asúmase que: 1 1 1 2 2 2 : 20º, 280º : 60º, 150º P P A partir de (I.7) sus vectores unitarios normales 1 2n y n son: 1 20.336824,0.059391,0.939693 0.433013, 0.7500,0.5000n n El vector 2112 n nI es paralelo a la línea de intersección de 1 2P y P . A partir de (I.12), 2112 0.3368 0.0594 0.9397 0.7345,0.5753,0.2269 0.43301 0.7500 0.5000 x y z n nI Ejemplo I.4. Un tetraedro creado por los planos 1 2 3 4, ,P P P y P Asúmase que un tetraedro es la región común de las intersecciones de 1 2 3 4, ,L L L y U , donde 1 2 3, ,L L L son los medios-espacios debajo de los planos 1, 2, y 3; y 4U es el medio-espacio arriba del plano 4. Estos planos están definidos por los siguientes valores:
  42. 42. 24 Plano α β 1 45 90 2 45 330 3 45 210 4 0 90 Tabla I.1.- Datos geométricos de los planos de discontinuidades Los vectores unitarios normales a cada plano son: 1 2 3 4 0.7071,0.0000,0.7071 0.3536,0.6124,0.7071 0.3536, 0.6124,0.7071 0.0000,0.0000, 1.0000 n n n n Obteniendo las ecuaciones que describen un medio-espacio, utilizando (I.14) ó (I.16), según sea el caso: 1 2 3 4 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.3536 0.6124 0.7071 0.7071 0.3536 0.6124 0.7071 0.7071 0 0 1 0 L X Y Z L X Y Z L X Y Z U X Y Z Ahora, se debe calcular las coordenadas de cada esquina ijkC del bloque (I.13). 123C es el punto de intersección de los planos 1, 2 y 3. Este punto es encontrado mediante la solución simultánea de: 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.3536 0.6124 0.7071 0.7071 0.3536 0.6124 0.7071 0.7071 X Y Z X Y Z X Y Z Cuya solución es 1230,0,1 0,0,1C . Similarmente, 124C es el punto de intersección de los planos 1, 2 y 4; resolviendo simultáneamente sus correspondientes ecuaciones obtenemos; 124 0,1.73204,0C Realizando lo mismo con las otras esquinas, 134 234 1,1.73204,0 2,0,1 C C En este caso particular, con únicamente 4 planos, el bloque tiene exactamente 4 esquinas, por lo que no es necesario hacer una “prueba de selección” (como se describe en el apartado, volumen, bordes y esquinas de bloques poliédricos con n caras, inciso 3 y 4). El volumen del bloque puede ser calculado mediante las coordenadas de 123 124 134 234, ,C C C y C y (2.21):
  43. 43. 25 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 0 0 1 1 1 1.732 01 10.3920 det 1 1 1 1.732 06 6 1 1 2 0 0 1.7320 X Y Z Z X Y Z V X Y Z X Y Z V Ejemplo I.5. El área de cada cara Continúese considerando el tetraedro del ejemplo I.4. El área de la cara en el plano 1, es el área del triángulo con esquinas ijkC que comparten el subíndice 1. Estas esquinas son 123 124 134, ,C C C . De acuerdo a (I.23). El procedimiento para realizarlo es: De las esquinas reales, vea cuales comparten un subíndice Acomódese en orden ascendente, por ejemplo, si se tiene 123 134 124, , ,C C C acomódelos de la siguiente manera 123 124 134, ,C C C . El vector a será igual a 123 124 123 134C C y C Ca b La resta se realizará como: 124 123 134 124C C y C Ca b , es decir (en subíndices) el mayor menos el menor. 124 123 134 123 , , , , a a a b b b C C X Y Z C C X Y Z a a Calcúlese el área de cada cara mediante: 1 2 2 2 2 1 2 a a a a a a i b b b b b b Y Z X Z X Y A Y Z X Z X Y a b 6 Para 1A 123 124 124 123 123 134 134 123 1, 1.732, 0 0, 0, 1 1, 1.732, 1 , , 1, 1.732,0 0, 0, 1 1, 1.732, 1 , , a a a b b b C C C C X Y Z C C C C X Y Z a b 1 2 2 2 2 1 1 1.7320 1 1 1 1 1.73201 1.7320 1 1 1 1 1.73202 2.4494 A A a b Para el área 2A de la cara en el plano 2, es el área triangular entre aquellas esquinas que comparten el subíndice 2; es decir; 123 124 234, ,C C C . 123 124 124 123 123 234 234 123 1, 1.732, 0 0, 0, 1 1, 1.732, 1 2,0,0 0, 0, 1 2,0, 1 C C C C C C C C a b 6 En realidad, está no es la nomenclatura utilizada en el texto ecuación (2.23), pero el autor cree que es más fácil entender el concepto, de esta manera.
  44. 44. 26 1 2 2 2 2 2 2 1.7320 1 1 1 1 1.73201 0 1 2 1 2 02 2.4494 A A a b El área 3A de la cara en el plano 3, es el área triangular entre 123 134 234,C C y C . 123 134 134 123 123 234 234 123 1, 1.732, 0 0, 0, 1 1, 1.732, 1 2,0,0 0, 0, 1 2,0, 1 C C C C C C C C a b 1 2 2 2 2 3 3 1.7320 1 1 1 1 1.73201 0 1 2 1 2 02 2.4494 A A a b Y finalmente, 4A es el área triangular bajo 124 134 234,C C y C 124 134 134 124 124 234 234 124 1, 1.732, 0 1, 1.732, 0 0, 3.4640, 0 2,0,0 1, 1.732, 0 3,1.7320,0 C C C C C C C C a b 1 2 2 2 2 4 4 3.4640 0 0 0 0 3.46401 1.7320 0 3 0 3 1.73202 5.1960 A A a b Figura I.21. Isométrico del bloque Ejemplo I.6. El ángulo entre dos vectores Dados dos vectores 1 2n y n , 1 1 1 1 2 2 2 2 , , 9, 8, 7 , , 1, 2, 1 n X Y Z n X Y Z EL ángulo existente entre 1 2n y n , puede calcularse mediante (I.25).
  45. 45. 27 1 2 1 2 cos n n n n 1 2 0.52 2 2 1 0.52 2 2 2 9, 8, 7 1, 2, 1 9 16 7 32 9 8 7 13.9284 1 2 1 2.4495 n n n n 32 cos 0.937932 20.2929º 2.4495 13.9284 Ejemplo I.7. El ángulo entre dos planos Dado 1 2: 30º 320º : 50º 160ºP y P . Calcúlese el ángulo entre los dos planos. Como se explicó en el cuerpo del texto, el ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus normales, por lo tanto, primero se debe de obtener los vectores normales 1 2n y n . 1 20.321394, 0.383022, 0.866025 0.262003, 0.719846, 0.642788n n Y utilizando (I.25) o (I.26), obténgase 1 2 1 2 0.321394, 0.383022, 0.866025 0.262003, 0.719846, 0.642788 0.196746 0.890737 0.99 n n n n 0.1968 cos 0.22095 0.8907 0.99 77.24º Ejemplo I.8. El ángulo entre un plano iP y su vector v Dada un plano P con 30º, 320º , y un vector 1, 2, 1v .Utilizando (I.7), calcúlese la normal n del plano P. 0.3214, 0.3830, 0.8660n El ángulo entre n y v es calculado mediante (1.26). 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0.3214 1 0.3830 2 0.8660 1 cos 0.3214 0.3830 0.8660 1 2 1 X X Y Y Z Z X Y Z X Y Z cos 0.535306 57.6353º Sin embargo, el ángulo es el complemento del ángulo deseado, el cual es el existente entre v y P, 90º 32.349º
  46. 46. 28 Ejemplo I.9. Encontrar el block pyramid (BP) con 4 planos Dados 4 planos. Calcular el block pyramid (BP) creado por la intersección de los medios- espacios 1 2 3 4, ,U L L y U . Planos α β 1P 30 90 2P 40 320 3P 50 190 4P 10 80 Tabla I.2.- Datos geométricos de los planos Utilizando (I.7), se calcularán los vectores unitarios de estos planos. 1 2 3 4 0.5000, 0.0000, 0.8660 0.4132, 0.4924, 0.7660 0.1330, 0.7544, 0.6428 0.17101, 0.030154, 0.9848 n n n n Las ecuaciones de los planos 1 2 3 4, ,P P P y P en el block pyramid (BP) son: 1 2 3 4 : 0.5 0 0.8660 0 : 0.4132 0.4924 0.7660 0 : 0.1330 0.7544 0.6428 0 : 0.1710 0.0302 0.9848 0 P X Y Z P X Y Z P X Y Z P X Y Z Los términos a la derecha del signo igual, son cero porque los planos 1 2 3 4, ,P P P y P pasan a través del origen 0, 0, 0 . Las ecuaciones de los medios-espacios 1 2 3 4, ,U L L y U son: 1 2 3 4 : 0.5 0 0.8660 0 : 0.4132 0.4924 0.7660 0 : 0.1330 0.7544 0.6428 0 : 0.1710 0.0302 0.9848 0 U X Y Z L X Y Z L X Y Z U X Y Z a) b) c) d) Calculando todos los vectores de intersección: 1 2 , 1,2,3,4ijI n n i j i j
  47. 47. 29 12 12 0.5 0 0.8660 0 0.7660 0.4132 0.8660 , 0.4132 0.4924 0.7660 0.4132 0.8660 0.5 0.7660 , 0.5 0.7660 0.4132 0.8660 0.4264, 0.7408, 0.2462 x y z I I 13 0.5 0 0.8660 0.6533, 0.4366, 0.3772 0.1330 0.7544 0.6428 x y z I 14 0.5 0 0.8660 0.0262, 0.3443, 0.0151 0.1710 0.0302 0.9848 x y z I 23 0.4132 0.4924 0.7660 0.8944, 0.1637, 0.3772 0.1330 0.7544 0.6428 x y z I 24 0.4132 0.4924 0.7660 0.4618, 0.5379, 0.0967 0.1710 0.03015 0.9848 x y z I 34 0.1330 0.7544 0.6428 0.7623, 0.2409, 0.1250 0.1710 0.03015 0.9848 x y z I Finalmente, se prueban todos los vectores de intersección, 12 13 14 23 24 34, , , , yI I I I I I , uno a uno, sustituyendo las coordenadas , ,ij X Y ZI en las ecuaciones a), b), c) y d) simultáneamente.
  48. 48. 30 Para 12I 0.5 0.42643 0 0.74084 0.8660 0.2462 0.00006 0 0 0.41317 0.42643 0.4924 0.74084 0.7660 0.2462 0.00002 0 0 0.13302 0.42643 0.75440 0.74084 0.64278 0.2462 0.7739 0 0.17 ok cumple ok cumple no NO cumple a) b) c) d) 101 0.42643 0.030153 0.74084 0.98480 0.2462 0.1472 0 ok cumple Para 12I 0.00000087 0 0 0.0000025 0 0 0.7738 0 0.1472 0 ok ok ok no a) b) c) d) Para 13I 0.0000023 0 0 0.7739 0 0.00000092 0 0 0.27291 0 ok ok ok no a) b) c) d) Para 13I 0.0000023 0 0 0.7739 0 0.00000092 0 0 0.27291 0 ok no ok ok a) b) c) d) Para 14I 0.00000012 0 0 0.1472 0 0.2729 0 0.00000025 0 0 ok ok no ok a) b) c) d) Para 14I 0.00000012 0 0 0.1472 0 0.2729 0 0.00000025 0 0 ok no ok ok a) b) c) d) Para 23I 0.7739 0 0.0000011 0 0 0.00000067 0 0 0.5294 0 ok ok ok ok a) b) c) d) Para 23I 0.7739 0 0.0000011 0 0 0.00000067 0 0 0.5294 0 no ok ok no a) b) c) d) Para 24I 0.1472 0 0.0000033 0 0 0.5294 0 0.00000043 0 0 no ok ok ok a) b) c) d) Para 24I 0.1472 0 0.0000033 0 0 0.5294 0 0.00000043 0 0 no ok no ok a) b) c) d) Para 34I 0.2729 0 0.5294 0 0000013 0 0 0.00000012 0 0 no ok ok ok a) b) c) d) Para 34I 0.2729 0 0.5294 0 0000013 0 0 0.00000012 0 0 ok ok ok ok a) b) c) d) Como se puede observar los vectores de intersección que satisfacen simultáneamente todas las desigualdades a), b), c) y d), son 23 24 34, yI I I . Por lo tanto el joint pyramid (JP) creado por 1 2 3 4, ,U L L y U tiene únicamente 3 bordes y son:
  49. 49. 31 23 24 34 , 0.8444,0.1637,0.37720 0.4618,0.53790, 0.0967 0.7623, 0.2409, 0.1250 I I I Estos 3 “vectores de borde”, definen completamente el correspondiente joint pyramid. Ejemplo I.10. Determinación de que un block pyramid (BP) está “vacío” En los siguientes capítulos se aprenderá que un block pyramid (BP) “vacío” (i.e. sin bordes en el espacio), significa que la intersección de esto medios-espacios, siempre crean un bloque finito. El método de este ejemplo será utilizado frecuentemente para juzgar la finitud de los bloques de roca. Dados 4 planos, 1 2 3 4, ,P P P y P cuyas características son (mismos planos del ejemplo I.9): Planos Α β 1P 30 90 2P 40 320 3P 50 190 4P 10 80 Al igual que en el ejemplo I.9, se calcula el block pyramid (BP) que se crea por 1 2 3 4, ,L L L y U ; es decir: 1 2 3 4 0.5000, 0.0000, 0.8660 0.4132, 0.4924, 0.7660 0.1330, 0.7544, 0.6428 0.17101, 0.030154, 0.9848 n n n n Las ecuaciones de los planos 1 2 3 4, ,P P P y P en el block pyramid (BP) son: 1 2 3 4 : 0.5 0 0.8660 0 : 0.4132 0.4924 0.7660 0 : 0.1330 0.7544 0.6428 0 : 0.1710 0.0302 0.9848 0 P X Y Z P X Y Z P X Y Z P X Y Z Las ecuaciones de medios-espacios 1 2 3 4, ,L L L y U , son: 1 2 3 4 : 0.5 0 0.8660 0 : 0.4132 0.4924 0.7660 0 : 0.1330 0.7544 0.6428 0 : 0.1710 0.0302 0.9848 0 L X Y Z L X Y Z L X Y Z U X Y Z a) b) c) d) Calculando todos los vectores de intersección. (Son los mismos del ejemplo I.9)
  50. 50. 32 1 2 , 1,2,3,4ijI n n i j i j 12 13 14 23 24 34 0.4264, 0.7408, 0.2462 0.6533, 0.4366, 0.3772 0.0262, 0.3443, 0.0151 0.8944, 0.1637, 0.3772 0.4618, 0.5379, 0.0967 0.7623, 0.2409, 0.1250 I I I I I I Finalmente, se prueban todos los vectores 12 13 14 23 24 34, , , , yI I I I I I , uno a uno, sustituyendo las coordenadas de , ,ij X Y ZI en las ecuaciones a), b), c) y d) simultáneamente. Para 12I 0 0 0 0 0.7738 0 0.1472 0 ok ok no ok a) b) c) d) Para 12I 0 0 0 0 0.7738 0 0.1472 0 ok ok ok no a) b) c) d) Para 13I 0 0 0.7739 0 0 0 0.2729 0 ok ok ok no a) b) c) d) Para 13I 0 0 0.7739 0 0 0 0.2729 0 ok no ok ok a) b) c) d) Para 14I 0 0 0.1471 0 0.2729 0 0 0 ok ok no ok a) b) c) d) Para 14I 0 0 0.1471 0 0.2729 0 0 0 ok no ok ok a) b) c) d) Para 23I 0.7739 0 0 0 0 0 0.5294 0 no ok ok ok a) b) c) d) Para 23I 0.7739 0 0 0 0 0 0.5294 0 ok ok ok no a) b) c) d) Para 24I 0.1472 0 0 0 0.5294 0 0 0 no ok ok ok a) b) c) d)
  51. 51. 33 24Para 0.1472 0 0 0 0.5294 0 0 0 ok ok no ok I a) b) c) d) 34Para 0.2729 0 0.5293 0 0 0 0 0 ok no ok ok I a) b) c) d) 34Para 0.2729 0 0.5293 0 0 0 0 0 no ok ok ok I a) b) c) d) Como se aprecia, ninguno de los vectores ijI satisfacen simultáneamente las ecuaciones a), b), c) y d). Por lo tanto, el block pyramid (BP) formado por 1 2 3 4, ,L L L y U , no tiene bordes, así, a dicha pirámide se le denomina “Vacía o Empty”. Ejemplo I.11. Cálculo de la resultante de fuerzas Supóngase que hay tres fuerzas actuando en un bloque de roca, por el peso propio 0, 0, 5 por el agua 4, 1, 0 por la inercia 2, 2, 1 w p e Entonces la fuerza resultante r de las fuerzas w, p, y e, es: 6, 3, 4 r w p e r Ejemplo I.12. Cálculo de la dirección de deslizamiento por desprendimiento/levantamiento Asúmase conocida la fuerza resultante que tiende a causar desprendimiento/levantamiento. Supóngase que la resultante r es: 0, 3, 4r Entonces a partir de (I.52): 0.52 2 2 0 3 4 5 0 3 4 , , 5 5 5 r s r r r 0, 0.6, 0.8s r
  52. 52. 34 Ejemplo I.13. Cálculo de la dirección de deslizamiento para el caso de deslizamiento en una cara Supóngase que la resultante es: 1, 2, 1r El plano de deslizamiento es P, con 50º, 290º . El vector unitario del plano P es: ^ 0.7198,0.2620,0.6428n De la ecuación (I.53), sabemos que la dirección de deslizamiento del vector unitario ^ s es: ^ ^ s n nr 0.7198 0.2620 0.6428 1.0236, 1.3626, 1.7016 1 2 1 x y z n r 1.0236 1.3626 1.7016 1.3217, 1.8828, 0.7126 0.7198 0.2620 0.6428 x y z n nr s es el vector unitario de n nr , por lo tanto: 1.3217 1.8828 0.7126 , , 2.4082 2.4082 2.4082 0.5488, 0.7818, 0.2959 n n s n n s r r Ejemplo I.14. Cálculo de la dirección de deslizamiento para el caso de deslizamiento simultáneo en dos caras Supóngase que las caras donde ocurre el deslizamiento son los planos 1 2P y P . Las orientaciones de estas caras están dadas por, 1 1 1 2 2 2 : 20º, 280º : 60º, 150º P P La fuerza resultante está dada como: 0, 1, 1r
  53. 53. 35 Los vectores unitarios de los planos 1 2P y P son: 1 2 0.3368, 0.0594, 0.9397 0.4330, 0.7500, 0.5000 n n De la ecuación (I.54) se sabe que el vector unitario de la dirección de deslizamiento s es: 1 2 1 2s signo n n n nr Ys es calculado de la siguiente manera 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0.3368 0.0594 0.9397 0.7345, 0.5753, 0.2269 0.4330 0.7500 0.5000 0.3484 1 0.7345, 0.5753, 0.2229 x y z n n n n signo n n signo n n n n r r r s es el vector unitario de: 1 2 1 2signo n n n nr ; por lo tanto: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0.9602 0.7345 0.5753 0.2269 , , 0.9602 0.9602 0.9602 0.7650, 0.5992, 0.2363 signo n n n n s signo n n n n signo n n n n s s r r r
  54. 54. 36 Capítulo II El Uso de las Proyecciones Hemisféricas La inteligencia es como un río: cuanto más profunda, menos ruidosa. Desconocido ENFOQUE TRADICIONAL Introducción a proyección hemisférica es un método gráfico; en donde los datos con una orientación tridimensional pueden ser representados y analizados en dos dimensiones en una hoja de papel. El método es comúnmente conocido como proyección estereográfica, el cual literalmente significa “proyección de sólidos o dibujos tridimensionales”. La proyección hemisférica es ampliamente utilizada en estudios de mecánica de rocas para analizar discontinuidades; como son: fracturas, fallas y fisuras; que ocurren en varias orientaciones dentro del macizo rocoso; tales análisis pueden incluir no solamente la recolección y agrupamiento de datos; sino además la determinación de la estabilidad de bloques rocosos. Los métodos de proyección hemisférica son de gran valor en los estudios de mecánica de rocas porque presentan los datos estructurales como una representación gráfica más allá de la mera abstracción matemática. El uso del análisis vectorial para describir y analizar bloques permite soluciones rápidas para problemas reales a través del uso de computadoras, o de programas computacionales comerciales. Un método de solución alternativo incorporando las proyecciones estereográficas es presentado en este capítulo. Las técnicas discutidas en este capítulo pueden ser utilizadas completamente para obtener una solución y servir como un sustituto de la teoría previamente presentada. Aunque, estas soluciones pueden ser adoptadas como un complemento del análisis vectorial para proveer una solución semi-gráfica. El uso de gráficos para examinar las relaciones geométricas en las proyecciones en cualquier etapa de cálculo ofrece una percepción más clara de las relaciones geométricas y físicas. Aunque, la mayoría de la información esencial está disponible en la literatura, será repetida aquí, pero la mayoría de la información es nueva. El hilo que conecta las secciones de este capítulo es que los procedimientos de proyección estereográfica pueden ser refinados y mejorados mediante el uso de pequeños y fáciles cálculos. TIPOS DE PROYECCIONES Las proyecciones pueden ser organizadas en dos grupos, paralelas y perspectivas. La bien conocida proyección ortográfica pertenece al primer grupo, en la cual las líneas de construcción transfieren los puntos del objeto a la superficie de proyección. La segunda clase de técnica de proyección -en la cual la proyección estereográfica es un ejemplo- coloca todas las líneas de construcción juntas en uno o más puntos detrás de la superficie de proyección. L
  55. 55. 37 PROYECCIÓN DE DISTANCIAS ORTOGRÁFICA: Un ejemplo de la proyección ortográfica de un objeto tridimensional se da en la figura II.1. Esta técnica es probablemente la base de la mayoría de los dibujos ingenieriles. Las líneas y planos definiendo un objeto son transferidos al dibujo mediante rayos dibujados perpendicularmente al plano de proyección. En la figura II.1, un bloque poliédrico es determinado en tamaño, forma y posición por tres planos de proyección ortográficos (vistas). D B A C 1 2 6 7 8 9 4 3 A A A A SUPERFICIE "A" B SUPERFICIE "B" B B B SUPERFICIE "C" C C C C SUPERFICIE "D" D D D D 1 2 6, 7 5 4, 3 1, 9 6, 7 5, 2 7 8, 9 4, 3 5, 6 2 34 8, 7 9 SUPERIOR ENFRENTE LADO DERECHO Figura II. 1. Proyección ortográfica de un objeto tridimensional utilizando múltiples vistas OBLICUA: La figura II.2, muestra una técnica de proyección paralela en la cual los rayos de construcción son oblicuos al plano de proyección. Este método prueba su utilidad cuando se usa en conjunto con la proyección ortográfica, para proveer vistas inclinadas de objetos. PROYECCIóN PLANO DE LOS LÁPICES MUESTRAN LAS DIRECCIONES DE PROYECCIÓN OBLíCUA ORTOGRÁFICA Figura II.2. Proyección ortográfica y oblicua
  56. 56. 38 LA RED ESTEREOGRÁFICA La red estereográfica es un nomograma que permite calcular valores angulares; constituye un patrón de comparación, en el cual, se valoran las relaciones angulares entre planos, entre rectas y entre planos y rectas. Los elementos geométricos susceptibles de ser graficados en la proyección estereográfica (planos y rectas) tienen siempre, como lugar común, el centro de la esfera. Las proyecciones estereográficas de planos o de rectas que intersecan el hemisferio inferior de una esfera tienen como punto de vista el cenit de la esfera y se obtienen al intersecar las rectas proyectantes con el plano de proyección ubicado en el horizonte. Para que la utilización de los datos geológicos resulte efectiva para un ingeniero depende de su habilidad para comprenderlos, digerirlos e incorporarlos en su diseño. En casos en que las características estructurales como las fallas, fisuras, etc. afectan la estabilidad del macizo rocoso; la relación geométrica tridimensional entre las características, el techo y las paredes de la excavación es muy importante ya que esta relación es la que determina la posibilidad que tengan los bloques para caer o resbalar. La mayoría de los geólogos se han familiarizado con el uso de proyecciones esféricas para la representación y el análisis de la geología estructural, pero puede ser que muchos ingenieros desconozcan esta técnica. Es para estos para quienes se reseñarán los principios y usos de las proyecciones estereográficas. Además se presentará un método para la construcción de vistas isométricas de las características estructurales. El uso del análisis vectorial, para describir y analizar bloques, permite obtener soluciones rápidas de problemas reales, a través del uso de las computadoras. Un método alternativo el cual incorpora a la proyección estereográfica; se presenta en el siguiente capítulo. Está técnica; puede ser utilizada por sí sola, para resolver completamente un problema de la teoría de bloque, sin necesidad de incorporar al análisis vectorial. Sin embargo, es posible utilizar ambas soluciones para proveer una solución semi-gráfica, y así ofrecer una percepción más clara de las relaciones geométricas y físicas del problema. Aunque el método de la proyección estereográfica puede ser tratado de la manera convencional, como se muestra en el enfoque clásico; el método puede ser mejorado, aplicando algunos cálculos iniciales. Así, el uso de la estereored no será requerido, aunque se recomienda el aprender el enfoque tradicional, para tener mayor claridad y percepción. Tipos de Proyecciones Proyección Ortográfica Esta técnica, es probablemente la base de la mayoría de los dibujos realizados por los ingenieros. Las líneas y planos que definen a un objeto son transferidos al dibujo a través de rayos dibujados perpendicularmente al plano de proyección.
  57. 57. 39 Proyección Ortográfica de Relaciones Angulares A A0R sen R B0 B OA0 =R sen a) Figura II.3. Proyección ortográfica de una esfera de referencia a) Bases para la proyección b) red de proyección de líneas de longitud y latitud La proyección ortográfica puede se utilizada para mostrar las relaciones entre líneas y planos en el espacio y además medir los ángulos existentes entre ellos. Imagínese una infinidad de vectores unitarios, los cuales irradian de un punto central. El conjunto de vectores unitarios producen una esfera y la punta de cada una de ellos, se localiza en un punto específico en la superficie de la esfera. La proyección ortográfica produce la vista en planta de un plano diametral de la esfera, a través de la construcción de rayos (líneas) dirigidas perpendicularmente al plano diametral. Así el vector unitario OA es proyectado al punto Ao. Una serie de planos inclinados con una línea de intersección común a través del centro de la esfera crean una familia de grandes círculos en la esfera de referencia. Esto se proyecta en el plano de proyección diametral como una familia de curvas elípticas, como se muestra en la figura II.3.b. Estas líneas son análogas a las líneas de longitud de un globo terráqueo. Los círculos pequeños de la esfera de referencia que son generados a partir de una familia de conos alrededor del eje de los grandes círculos, se proyectarán al plano diametral como líneas rectas (líneas de latitud), como se muestra en la figura II.3.b. La proyección ortográfica de una esfera es utilizada comúnmente en cartografía. Esta técnica tiene la desventaja, que ángulos iguales pueden producir áreas con gran distorsión entre si en la proyección. Además, debido al congestionamiento de las líneas de longitud cerca de los bordes de la proyección, la medición de ángulos entre planos puede ser inexacta. Una razón más para desechar la proyección ortográfica de la esfera para el desarrollo de los gráficos utilizados en la Teoría de Bloque; es su falla para distinguir puntos simétricos en los hemisferios superior e inferior. Por ejemplo, si la línea OA tiene una inclinación α con la vertical superior o inferior, la distancia OAo a partir del centro de la proyección a su representación gráfica, punto Ao, tendrá el mismo valor, R sen , donde R es el radio de la esfera de referencia. Por lo tanto, una técnica de proyección perspectiva, será requerida para diferenciar puntos simétricos en los hemisferios superior como inferior.
  58. 58. 40 Proyección de Áreas Iguales Conocida también como proyección de Lambert o Schmidt, se produce de la manera siguiente (observar simultáneamente el croquis anexo). 1. Un punto A sobre la superficie de la esfera se proyecta al punto B trasladándolo en un arco centrado en el punto de contacto de la esfera y de un plano horizontal sobre el que esta esfera descansa. 2. Se repite la operación con diversos puntos localizados por la intersección del círculo de longitud y latitud de espaciamiento igual sobre la esfera, se obtendrá una red de áreas iguales. Figura II.4. Proyección de áreas iguales Figura II.5. Proyección ortográfica Esta red tiene un diámetro más grande que la esfera y para reducir su diámetro al tamaño de la esfera, se reduce el tamaño de cada punto en la red por 2 . La ventaja de una proyección de áreas iguales es su homogeneidad, lo cual significa que un ángulo producirá una proyección de área única (pero no, de forma única), esto es, el área de su proyección es la misma en cualquier sitio de la esfera. Esta propiedad facilita las operaciones estadísticas con línea. Sin embargo, los grandes y pequeños círculos en la esfera, se proyectan con un radio de curvatura no circular (no cónico), lo que dificulta su construcción geométrica. Proyección de Ángulos Iguales ó de Wulff La proyección C de un punto A que se encuentra sobre la superficie de la esfera se define como el punto donde el plano horizontal que pasa por el centro de la esfera queda perforado por una línea que va de A al cenit de la esfera. El cenit es el punto donde la esfera queda perforada por su eje vertical. A B Proyección de Área Iguales
  59. 59. 41 O B F B0 2 A0 R A OA = R0 tan 2 La figura II.6.a, presenta las bases de la proyección estereográfica, la cual será la técnica utilizada para el desarrollo gráfico de la teoría de bloque. Considérese la línea OA inclinada un ángulo α con respecto a la vertical. El punto A de esta línea, que corta a la esfera; se proyectada a un plano horizontal (Ecuatorial) a través de la línea AF, donde el punto F, se encuentra localizado en el nadir de la esfera. El punto Ao, el cual representa la proyección estereográfica de la línea OA, se localiza a una distancia tan 2 R del centro del plano de proyección. La figura II.6.b, muestra las familias de grandes círculos y pequeños círculos que corresponden a las líneas de longitud y latitud. Nótese, de la figura II.6.b que un ángulo dado, proyectará con diferentes áreas en diferentes regiones de la esfera; esto es, la proyección no es homogénea. A este respecto, la calidad de esta proyección, está en un punto intermedio entre la proyección ortográfica y la proyección de áreas iguales. Figura II.6. Proyección estereográfica de una esfera de referencia a) Bases para la proyección b) Una red de proyecciones de líneas de longitud y latitud Comparado con la proyección ortográfica, los métodos de proyección estereográfica y de áreas iguales, producirán un único punto el cual corresponde a una única dirección que irradia del centro de la esfera. Por lo tanto no hay confusión entre puntos simétricos que se encuentran en el hemisferio superior e inferior. La figura II.7, compara una proyección estereográfica con el punto focal en el cenit, y otra proyección estereográfica con el punto focal en el nadir, sin importar que punto focal sea escogido, el plano ecuatorial es proyectado como un círculo, al cual se denomina el círculo de referencia. Todos los puntos en este círculo representan líneas horizontales. 0350 340 330 320 310 300 290 280 270260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 9080 70 60 50 40 30 20 10
  60. 60. 42 0A A O A0 O B B0 A0 a) b) d)c) Dirección de Observación Círculo de Referencia Referencia Círculo de Norte Norte Dirección de Observación Figura II.7. Proyecciones estereográficas con el punto focal en la parte superior e inferior, de una línea y un plano. a.- Sección de la esfera de referencia b.- Plano de Proyección c.- Sección de la esfera de referencia d.- Plano de Proyección y b) dan la proyección con punto focal inferior de una línea y d) dan la proyección con punto focal superior de una línea Si el punto focal se encuentra en el nadir de la esfera de referencia, como se muestra en la figura II.7.a, una línea OA que toca a la esfera en su mitad superior, se proyectará en un punto, que se encuentra dentro del círculo de referencia. Figura II.7.b. Si la parte superior de la esfera (cenit) es tomado como el punto focal, un punto como OB (figura II.7.c) que toca a la esfera en su mitad inferior, se proyectará dentro del círculo de referencia, como se muestra en la figura II.7.d. Es de hacer notar, que en el uso de la teoría de bloque, se ha adoptado el uso de proyecciones hemisféricas con el punto focal en el nadir, es decir, se utiliza el hemisferio superior. Ambos tipos de proyección (ángulos iguales y áreas iguales) se emplean para el análisis de datos geológicos estructurales. En términos generales los geólogos prefieren la proyección de áreas iguales ya que como lo indica su nombre, la red queda dividida en unidades de áreas iguales, lo que permite la interpretación estadística de los datos estructurales. Los ingenieros tienden a dar su preferencia a la proyección de ángulos iguales, ya que las construcciones geométricas que se necesitan para dar solución a los problemas de ingeniería son más sensibles y precisas de lograr con esta proyección que con la otra.
  61. 61. 43 Polo Vertical Gran Círculo Las técnicas para el uso de estas proyecciones son idénticas y no habrá ninguna dificultad para pasar de un sistema a otro. La única limitación que existe es que el mismo tipo de proyección debe usarse durante todo un análisis determinado. El pretender analizar datos originalmente marcados sobre una red de áreas iguales como si lo fueran en una red de ángulos iguales o viceversa, resultará un completo fracaso. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UN PLANO Y SU POLO Imagínese una esfera que se mueve libremente en el espacio y que pueda centrarse sobre un plano inclinado como lo muestra la figura en la derecha. La intersección del plano y de la superficie de la esfera es un gran círculo, mismo que está sombreado en la figura. Una recta que pasa por el centro de la esfera, perpendicularmente al plano, sale de la esfera en dos puntos diametralmente opuestos que se llaman los polos del gran círculo que representa el plano. Debido a que la información que aparece tanto en la parte superior como la inferior de la esfera es la misma, no se necesita más que una sola hemiesfera para la representación de los datos de geología estructural. La figura anexa muestra el método de construcción de la proyección estereográfica de un gran círculo y su polo, la figura muestra la apariencia de estas proyecciones. La inclinación y la orientación de un plano inclinado se definen únicamente por el gran círculo o por el polo del plano. Figura II.7.a.- Vista lateral del concepto de polo y gran círculo Generalmente se marcan los polos en el campo al recabarse los datos geológicos y los grandes círculos correspondientes se usan por regla general cuando se analizan estos datos para fines de ingeniería. Para ayudar a visualizar una proyección estereográfica de planos, imagine un tazón (figura inferior), coloque la mano de tal manera que pase por el centro de la hemiesfera e interseque la superficie interior del tazón. Desde este punto de vista, la intersección de su mano con el tazón corresponde a una proyección estereográfica de su mano.
  62. 62. 44 Cenit Proyección del gran círculo Estereográfica Gran Círculo Polo Gran Círculo Figura II.7.b.- Vista lateral y en planta del concepto de polo y gran círculo Mientras coloca la mano más inclinada, el trazo ciclográfico de su mano se acerca al centro del tazón y comienza a parecerse a una línea recta. Y mientras su mano tiene una menor inclinación, el trazo ciclográfico de su mano se acerca más al borde del tazón y comienza a parecerse a un círculo. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS GEOLÓGICOS Un plano geológico inclinado se define por su inclinación con respecto a la horizontal, denominado echado (dip o plunge) y por su orientación con respecto al Norte, lo que se denomina rumbo o dirección del echado. La relación entre estos términos se ilustra en el esquema siguiente: N Echado Dirección del Echado a b Figura II.7.c.- Esquema ilustrativo del echado y dirección del echado El rumbo de un plano es la traza de la intersección de este plano con una superficie horizontal y la mayoría de los geólogos utilizan el término para definir la orientación de un plano. Para eliminar toda ambigüedad posible cuando se habla de rumbo es necesario definir la dirección en que se echa un plano. Por lo tanto, un plano queda totalmente definido si se registra con un rumbo N 40º W y un echado de 20º SW. Si hubiera sido reportado con un echado de 20º, no quedaría claro si se echa hacia el suroeste o el noroeste.
  63. 63. 45 Los geólogos utilizan varios convencionalismos para eliminar este problema al hablar de echado y rumbo. El geólogo empleará aquella norma con la que se haya familiarizado más, pero deberá tener en cuidado de incluir en sus notas la información suficiente para que cualquier persona que trabaje con sus reportes sepa cual norma se ha empleado. Los ingenieros geotécnistas, sobre todo aquellos que utilizan mucho las computadoras para su análisis, han preferido emplear la dirección del echado más que la del rumbo como manera para definir la orientación de los planos. Si la dirección del echado y el echado de un plano se reportan como 240º/20º, no puede haber confusión sobre la orientación y a la inclinación de ese plano y esa anotación es más concisa que la de rumbo y echado, factor importante cuando se tiene que procesar grandes cantidades de datos geológicos por computadora. Además se muestran las normas que se utilizan en la proyección estereográfica sobre el hemisferio de referencias inferior en relación con el echado, la dirección del echado y el rumbo. Se notará que la dirección del echado siempre se mide en el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte y que la línea del rumbo se encuentra a 90º con respecto a la dirección del echado de un plano. EJEMPLOS DE CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Construcción de un Gran Círculo para Representar un Plano 1) Considere un plano definido por una dirección de echado de 130º y un echado de 50º. Esto se puede anotar como 130º/50º.Como alternativa, el plano se define con rumbo N 40º E y echado de 50º SE. El gran círculo que represente este plano se construye de la siguiente manera: 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270280 290 300 310 320 330 340 350 0 W 130º Figura II.7.d.- Obtención de un echado y rumbo determinado
  64. 64. 46 2) Se coloca un pedazo de papel de dibujo sobre la red meridiana por medio de un alfiler de centro. Se marca el norte y el centro y la red sobre el papel de dibujo. Si se tienen que realizar varios análisis estereográficos será útil tener a la mano una serie de hojas de papel de dibujo en las que la circunferencia de la red, el norte y el centro ya se encuentran marcados. 3) Se mide 130º en el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte siguiendo la circunferencia de la red y se marca este punto sobre el papel de dibujo. Como alternativas se miden 40º y se marca la línea del rumbo, misma que se indica con guiones en el esquema siguiente. 4) Se gira el papel de dibujo de 40º alrededor del alfiler central hasta que la marca de 130º queda sobre el eje oeste-este de la red, o sea hasta que esta marca coincida con la marca de 90º de la red. Se cuentan 50º sobre el eje este-oeste, a partir de la circunferencia de la red, y se traza el gran círculo de este punto. El polo que representa el plano se localiza contando otros 90º sobre el eje oeste-este, mientras la marca de los 130º sobre el papel de dibujo sigue alineada con este eje. N W S 50°90° Polo EGran Círculo
  65. 65. 47 Figura II.7.e.- Obtención del polo W 50° 90° Polo EGran Círculo Figura II.7.f.- Representación del gran círculo y polo para una dirección dada 5) Se quita el papel de dibujo de la red que se colocará nuevamente con el norte a la vertical. La proyección estereográfica del gran círculo y de su polo se verá finalmente como lo muestra el esquema que sigue.
  66. 66. 48 Determinación de la Línea de Intersección de Dos Planos N W S E 250 130 Figura II.7.g.- Vista estereográfica de dos planos que intersecan entre sí 1) El plano definido por una dirección del echado y un echado de 130/50 ( o rumbo y echado de N 40 E y 50 SE). Se quiere saber el buzamiento y la tendencia de la línea de intersección de estos dos planos. 2) Vuélvase a colocar el papel de dibujo sobre la red con el alfiler de centro y mídase 250º en el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte; gírese el papel de dibujo otros 20º hasta que la marca de 250º que indica el papel coincida con la marca de los 270º de la red. 3) Descuéntese 30 divisiones de grados a partir de la marca de 270º sobre la red hacia adentro, rumbo al centro de la red. Trácese el gran círculo que se ubica en esta posición. Cuéntese otros 90º sobre el eje oeste-este y márquese la posición del polo del segundo plano. Gírese el papel de dibujo hasta que la intersección de los dos grandes círculos, que define la línea del intersección de los dos planos, se encuentre

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