DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA

JAVIER BERENGUER MALDONADO
Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con ...
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento...
m=0
m>0

m<0

m=0

m<0

En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
E...
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
La...
(3,2)
(1,-1)

Conocidos dos puntos de
la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
Pasa por (1,-1)
y=mx+n
-1=m+n
Pasa por...
(3,2)=(x1,y1)
(1,-1) )=(x0,y0)

Lo anterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla ha...
y1 - y 0
m=
x1 - x0
O LO QUE ES LO MISMO:

f ( x1 ) - f ( x0 )
m=
x1 - x0
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t
tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el
punto de t...
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de
tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda
una distanci...
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las
coordenadas de los dos puntos A y P.

P(a+h,f(a+h))

f(a+h)-f(a)
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Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De
esta forma:

P

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P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendi...
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendi...
Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2

f (2 + h ) - f (2)
f '(2) = lim
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h
2
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( 2 + h)
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f(x)=x2/4

f '(2) = 1

* La pendiente de la recta tangente
a la función en el punto x=2 es 1,
por lo que la recta tangente...
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Interpretacion de derivadas1267608478248

  1. 1. DEFINICIÓN DE DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA JAVIER BERENGUER MALDONADO
  2. 2. Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer: • Dominio • Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y •Continuidad •Asíntotas y ramas parabólicas Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: • Intervalos de crecimiento / decrecimiento • Máximos y mínimos relativos Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
  3. 3. La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
  4. 4. m=0 m>0 m<0 m=0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.
  5. 5. Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” y=3 y=1,2x+1,5 f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. f’(-2)= 0 f’(2)=1,2 y=-1,3x+13 y=-3/2x-24 y=-4 f’(4)=0 f’(6)=-1,3
  6. 6. (3,2) (1,-1) Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. Pasa por (1,-1) y=mx+n -1=m+n Pasa por (3,2) 2=m·3+n Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2 De esta manera f’(3)=3/2
  7. 7. (3,2)=(x1,y1) (1,-1) )=(x0,y0) Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil: y1 - y 0 2 - (- 1) 3 m= = = x1 - x0 3- 1 2 De esta manera f’(3)=3/2
  8. 8. y1 - y 0 m= x1 - x0 O LO QUE ES LO MISMO: f ( x1 ) - f ( x0 ) m= x1 - x0
  9. 9. Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas. Recta t A(a,f(a))
  10. 10. Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) P(a+h,f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t a a+h
  11. 11. Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P. P(a+h,f(a+h)) f(a+h)-f(a) A(a,f(a)) Recta t h a a+h f ( a + h ) - f ( a ) f (a + h ) - f ( a ) m= = a+ h- a h
  12. 12. Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma: P A h a 0 a+h
  13. 13. P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite. P A h a 0 a+h
  14. 14. P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente h® 0 f ( x + h) - f ( x ) lim = f '(a ) h® 0 h P A a Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite a+h
  15. 15. Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2 f (2 + h ) - f (2) f '(2) = lim h® 0 h 2 ì ï ( 2 + h) 4 + 4h + h 2 ï ï f (2 + h ) = = = 1 + h + 0,25h 2 ï í 4 4 ï ï ï f (2) = 1 ï î f (2 + h ) - f (2) h + 0,25h 2 f '(2) = lim = lim = lim(1 + 0,25h) = 1 h® 0 h® 0 h® 0 h h
  16. 16. f(x)=x2/4 f '(2) = 1 * La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es: y = f (a ) + f '(a )( x - a ) y = 1 + 1( x - 2) y = x- 1 * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente. (x0,y0) y=y0+m(x-x0)
  17. 17. ACTIVIDADES: 1 Y 2 DE PÁGINA 308

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