SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 23
APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS
Teoremas y su aplicación
Valor máximo y mínimo
• Una de las aplicaciones mas importantes de las derivadas son los
problemas de optimización.
• ¿Cuál es la forma de determinado elemento para que el coste sea
mínimo?
• ¿Cuál es la inversión mínima que maximiza el beneficio?
• Los anteriores enunciados pueden reducirse a encontrar el máximo o
mínimo de una función.
Máximo y mínimo absoluto
Máximo absoluto de la función en a
Mínimo absoluto de la función en b
a
b
Máximos y mínimos locales
La función alcanza un máximo local
La función alcanza un mínimo local
Ejemplos:
Teorema del valor extremo
Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un
máximo absoluto en f(c) y un mínimo absoluto en f(d), donde c y d son
valores del intervalo cerrado [a,b].
Este teorema proporciona condiciones en las que una función
dispone de valores extremos.
a dc b a c d=b a c bd
Teorema de Fermat (análisis)
Si f tiene una mínimo o máximo local en c, y si f’(c) existe, entonces
f’(c)=0.
Este teorema ayuda a localizar los posibles máximos y mínimos
locales de una función utilizando su derivada.
c d e
f’(c)=0
f’(d)=0
f’(e)=0
Algunos comentarios
Es posible que una
función verifique el
teorema de Fermat y no
tenga ningún extremo
local.
Es posible que una
función no sea derivable
y presente un valor
extremo.
Puntos críticos
Un punto crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal
que o bien f’(c)=0, o bien, f’(c) no existe.
Para encontrar los máximos y mínimos absolutos de una función
continua en un intervalo cerrado [a,b]:
1. Encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo
abierto (a,b)
2. Encontrar los valores de la función en los extremos del
intervalo
3. Los valores mayores y menores de los pasos 1 y 2 son el
máximo y mínimo absoluto, respectivamente
Ejemplo I
Se trata de una función continua y derivable en todo su dominio, por
tanto, buscamos los valores que anulan su derivada:
En este caso los puntos críticos proporcionan
un máximo y un mínimo relativo
El teorema de Rolle
Si f una función que satisface las siguientes tres hipótesis:
• f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
• f(a)=f(b)
Entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo abierto, tal
que f’(c)=0.
Interpretación gráfica del teorema de
Rolle.
a bc1 c2
a bc
f(a)=f(b)
a bc
f(a)=f(b)
Teorema del valor medio
Si f una función que satisface las siguientes hipótesis:
• f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
Entonces existe al menos un valor c perteneciente a (a,b),tal que:
Interpretación gráfica del teorema del
valor medio.
(a, f(a))
(b, f(b))
(c, f(c))
a c b
Ejemplo (Teorema del valor medio)
Resolviendo la anterior ecuación de segundo grado, podemos
obtener el valor buscado (en este caso dos): c = 1 y c = 1/3
Crecimiento de funciones
La derivada, en cada punto de una función, representa la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función. Por tanto:
• Si f’(x) > 0 en un intervalo, entonces, f es creciente en el intervalo
• Si f’(x) < 0 en un intervalo, entonces, f es decreciente en el
intervalo
Ejemplo (intervalos de crecimiento)
Intervalo x-1 x+1 Signo de f’ ¿Crece f?
x < -1 - - + f crece en el intervalo
-1 < x < 1 - + - f decrece en el intervalo
x > 1 + + + f crece en el intervalo
Ejemplo (intervalos de crecimiento)
Intervalos de crecimiento
Intervalos de decrecimiento
Como habíamos calculado
anteriormente, la gráfica
confirma el estudio de la
derivada.
Primera derivada y extremos locales
Si c es un punto crítico de una función continua f :
• Si f’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un máximo local en c.
• Si f’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un mínimo local en c.
• Si f’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un máximo local ni un mínimo
local en c.
c c c
f’(x)>0
f’(x)>0
f’(x)>0
f’(x)<0
f’(x)<0
f’(x)>0
Ejemplo (extremos locales)
Intervalos de crecimiento
Intervalos de decrecimiento
Concavidad y convexidad
• Una función se dice cóncava si el segmento formado por
dos de sus puntos queda por debajo de la gráfica de la
función.
• Una función se dice convexa, si el segmento formado por
dos de sus puntos queda por encima de la gráfica de la
función.
Función cóncava Función convexa
Curvatura y segunda derivada
Si observamos una función cóncava, su derivada decrece, por tanto, la
segunda derivada deberá ser menor que 0. En una función convexa, la
derivada crece, por tanto, la segunda derivada será positiva.
Por tanto:
1. Si f’’(x) >0 en todos los valores de un intervalo I, entonces f es convexa.
2. Si f’’(x) < 0 en todos los valores de un intervalo I, entonces f es cóncava.
Función cóncava Función convexa
Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función, donde la
función es continua pero pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.
En matemáticas, los puntos de inflexión se caracterizan por ser cero o no
existir la segunda derivada de la función.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

FUNCIONES IMPLICITAS
FUNCIONES IMPLICITASFUNCIONES IMPLICITAS
FUNCIONES IMPLICITAS
 
Concepto de integral definida (1)
Concepto de integral definida (1)Concepto de integral definida (1)
Concepto de integral definida (1)
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Integrales dobles
Integrales doblesIntegrales dobles
Integrales dobles
 
FUNCIONES ESCALONADAS
FUNCIONES ESCALONADASFUNCIONES ESCALONADAS
FUNCIONES ESCALONADAS
 
LIMITES AL INFINITO
LIMITES AL INFINITOLIMITES AL INFINITO
LIMITES AL INFINITO
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Teorema de rolle
Teorema de rolleTeorema de rolle
Teorema de rolle
 
Infografia integral triple shey
Infografia integral triple sheyInfografia integral triple shey
Infografia integral triple shey
 
Funciones primitivas y constante de integración
Funciones primitivas y constante de integraciónFunciones primitivas y constante de integración
Funciones primitivas y constante de integración
 
Calculo I Aplicaciones De La Derivada
Calculo I Aplicaciones De La DerivadaCalculo I Aplicaciones De La Derivada
Calculo I Aplicaciones De La Derivada
 
Derivacion implicita
Derivacion implicitaDerivacion implicita
Derivacion implicita
 
Valores extremos de una función
Valores extremos de una funciónValores extremos de una función
Valores extremos de una función
 
Sesión 03,Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccional
Sesión 03,Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccionalSesión 03,Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccional
Sesión 03,Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccional
 
Funciones Algebraicas
Funciones AlgebraicasFunciones Algebraicas
Funciones Algebraicas
 
Regla de L'Hôpital
Regla de L'HôpitalRegla de L'Hôpital
Regla de L'Hôpital
 
Teorema del valor intermedio y valores extremos
Teorema del valor intermedio y valores extremosTeorema del valor intermedio y valores extremos
Teorema del valor intermedio y valores extremos
 
La integral definida
La integral definidaLa integral definida
La integral definida
 
7 sustituciones diversas
7 sustituciones diversas7 sustituciones diversas
7 sustituciones diversas
 
Integrales Definidas
Integrales DefinidasIntegrales Definidas
Integrales Definidas
 

Similar a Derivadas: aplicaciones

Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...JEANPAULMOSQUERA
 
Aplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadasAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadasRosa Leal
 
Aplicación de la derivada
Aplicación de la derivadaAplicación de la derivada
Aplicación de la derivadaJose Pacheco
 
Utilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasUtilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasAna Pedrazas
 
Introducción alicaciones de la derivada
Introducción alicaciones de la derivadaIntroducción alicaciones de la derivada
Introducción alicaciones de la derivadaNoelBologna
 
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularJoseToledo67
 
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularJoseToledo67
 
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADAMauricio Morocho
 
Utilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasUtilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasAna Pedrazas
 
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaLaura Torres
 
aplicaciones de la derivada.ppt
aplicaciones de la derivada.pptaplicaciones de la derivada.ppt
aplicaciones de la derivada.pptosornoosorno
 
Devivadas
DevivadasDevivadas
Devivadasaymarm
 
Introducción alicaciones de la derivada ppt
Introducción alicaciones de la derivada   pptIntroducción alicaciones de la derivada   ppt
Introducción alicaciones de la derivada pptNoelBologna
 
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdfUnidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdfcacerescristian1
 

Similar a Derivadas: aplicaciones (20)

Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
 
Matematicasdia
MatematicasdiaMatematicasdia
Matematicasdia
 
Aplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadasAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas
 
Aplicación de la derivada
Aplicación de la derivadaAplicación de la derivada
Aplicación de la derivada
 
Graficacion optimizacion2011
Graficacion optimizacion2011Graficacion optimizacion2011
Graficacion optimizacion2011
 
Utilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasUtilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadas
 
Máximos y mínimos
Máximos y mínimosMáximos y mínimos
Máximos y mínimos
 
Introducción alicaciones de la derivada
Introducción alicaciones de la derivadaIntroducción alicaciones de la derivada
Introducción alicaciones de la derivada
 
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
 
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popularRepùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
Repùblica bolivariana de venezuela ministerio del poder popular
 
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADAAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA
 
Utilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadasUtilidad de las derivadas
Utilidad de las derivadas
 
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivada
 
aplicacion d la derivada
aplicacion d la derivadaaplicacion d la derivada
aplicacion d la derivada
 
CáLculo I
CáLculo ICáLculo I
CáLculo I
 
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivada
 
aplicaciones de la derivada.ppt
aplicaciones de la derivada.pptaplicaciones de la derivada.ppt
aplicaciones de la derivada.ppt
 
Devivadas
DevivadasDevivadas
Devivadas
 
Introducción alicaciones de la derivada ppt
Introducción alicaciones de la derivada   pptIntroducción alicaciones de la derivada   ppt
Introducción alicaciones de la derivada ppt
 
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdfUnidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
 

Más de jcremiro

Sucesiones: conceptos elementales
Sucesiones: conceptos elementalesSucesiones: conceptos elementales
Sucesiones: conceptos elementalesjcremiro
 
Combinatoria
CombinatoriaCombinatoria
Combinatoriajcremiro
 
Funciones: conceptos básicos
Funciones: conceptos básicosFunciones: conceptos básicos
Funciones: conceptos básicosjcremiro
 
Vectores en el epacio
Vectores en el epacioVectores en el epacio
Vectores en el epaciojcremiro
 
Geometría analítica plana
Geometría analítica planaGeometría analítica plana
Geometría analítica planajcremiro
 
Cálculo vectorial en el plano
Cálculo vectorial en el planoCálculo vectorial en el plano
Cálculo vectorial en el planojcremiro
 
Numeros complejos
Numeros complejosNumeros complejos
Numeros complejosjcremiro
 
Razones trigonométricas
Razones trigonométricasRazones trigonométricas
Razones trigonométricasjcremiro
 
Probabilidad
ProbabilidadProbabilidad
Probabilidadjcremiro
 
Cuerpos geometricos
Cuerpos geometricosCuerpos geometricos
Cuerpos geometricosjcremiro
 
Semejanza teorema tales
Semejanza teorema talesSemejanza teorema tales
Semejanza teorema talesjcremiro
 
Razones trigonométricas
Razones trigonométricasRazones trigonométricas
Razones trigonométricasjcremiro
 
Inecuaciones. Programación lineal
Inecuaciones. Programación linealInecuaciones. Programación lineal
Inecuaciones. Programación linealjcremiro
 
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntosTeoria de conjuntos
Teoria de conjuntosjcremiro
 
Semejanza: Teorema tales
Semejanza: Teorema talesSemejanza: Teorema tales
Semejanza: Teorema talesjcremiro
 
Estadística
EstadísticaEstadística
Estadísticajcremiro
 
Elementos básicos de geometría
Elementos básicos de geometríaElementos básicos de geometría
Elementos básicos de geometríajcremiro
 
Figuras planas
Figuras planasFiguras planas
Figuras planasjcremiro
 

Más de jcremiro (20)

Sucesiones: conceptos elementales
Sucesiones: conceptos elementalesSucesiones: conceptos elementales
Sucesiones: conceptos elementales
 
Combinatoria
CombinatoriaCombinatoria
Combinatoria
 
Funciones: conceptos básicos
Funciones: conceptos básicosFunciones: conceptos básicos
Funciones: conceptos básicos
 
Vectores en el epacio
Vectores en el epacioVectores en el epacio
Vectores en el epacio
 
Cónicas
CónicasCónicas
Cónicas
 
Geometría analítica plana
Geometría analítica planaGeometría analítica plana
Geometría analítica plana
 
Cálculo vectorial en el plano
Cálculo vectorial en el planoCálculo vectorial en el plano
Cálculo vectorial en el plano
 
Numeros complejos
Numeros complejosNumeros complejos
Numeros complejos
 
Razones trigonométricas
Razones trigonométricasRazones trigonométricas
Razones trigonométricas
 
Probabilidad
ProbabilidadProbabilidad
Probabilidad
 
Cuerpos geometricos
Cuerpos geometricosCuerpos geometricos
Cuerpos geometricos
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
Semejanza teorema tales
Semejanza teorema talesSemejanza teorema tales
Semejanza teorema tales
 
Razones trigonométricas
Razones trigonométricasRazones trigonométricas
Razones trigonométricas
 
Inecuaciones. Programación lineal
Inecuaciones. Programación linealInecuaciones. Programación lineal
Inecuaciones. Programación lineal
 
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntosTeoria de conjuntos
Teoria de conjuntos
 
Semejanza: Teorema tales
Semejanza: Teorema talesSemejanza: Teorema tales
Semejanza: Teorema tales
 
Estadística
EstadísticaEstadística
Estadística
 
Elementos básicos de geometría
Elementos básicos de geometríaElementos básicos de geometría
Elementos básicos de geometría
 
Figuras planas
Figuras planasFiguras planas
Figuras planas
 

Último

Tema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificación
Tema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificaciónTema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificación
Tema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificaciónIES Vicent Andres Estelles
 
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionUNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionCarolVigo1
 
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er gradoSECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er gradoAnaMara883998
 
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..La Gatera de la Villa
 
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primariaficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primariamichel carlos Capillo Dominguez
 
Adoración sin fin al Dios Creador por sus bendiciones
Adoración sin fin al Dios Creador por sus bendicionesAdoración sin fin al Dios Creador por sus bendiciones
Adoración sin fin al Dios Creador por sus bendicionesAlejandrino Halire Ccahuana
 
Escrito administrativo técnico y comerciales
Escrito administrativo técnico y comercialesEscrito administrativo técnico y comerciales
Escrito administrativo técnico y comercialesmelanieteresacontrer
 
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacionCARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacionCarolVigo1
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptxTECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptxFranciscoCruz296518
 
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
Presentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativaPresentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativaricardoruizaleman
 
Anuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad pública
Anuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad públicaAnuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad pública
Anuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad públicaIvannaMaciasAlvarez
 
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptexplicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptjosemanuelcremades
 
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptxPPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptxKarenSepulveda23
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialeshanda210618
 

Último (20)

Tema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificación
Tema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificaciónTema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificación
Tema 4 Rocas sedimentarias, características y clasificación
 
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionUNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
 
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er gradoSECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
 
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
 
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primariaficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
 
Adoración sin fin al Dios Creador por sus bendiciones
Adoración sin fin al Dios Creador por sus bendicionesAdoración sin fin al Dios Creador por sus bendiciones
Adoración sin fin al Dios Creador por sus bendiciones
 
Power Point E. Sab: Adoración sin fin...
Power Point E. Sab: Adoración sin fin...Power Point E. Sab: Adoración sin fin...
Power Point E. Sab: Adoración sin fin...
 
Escrito administrativo técnico y comerciales
Escrito administrativo técnico y comercialesEscrito administrativo técnico y comerciales
Escrito administrativo técnico y comerciales
 
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacionCARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptxTECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
 
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
 
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdfTema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
 
Presentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativaPresentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativa
 
Anuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad pública
Anuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad públicaAnuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad pública
Anuncio de Remitido Colegio SEK a la comunidad pública
 
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptexplicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
 
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA _
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA                   _VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA                   _
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA _
 
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptxPPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
 

Derivadas: aplicaciones

  • 2. Valor máximo y mínimo • Una de las aplicaciones mas importantes de las derivadas son los problemas de optimización. • ¿Cuál es la forma de determinado elemento para que el coste sea mínimo? • ¿Cuál es la inversión mínima que maximiza el beneficio? • Los anteriores enunciados pueden reducirse a encontrar el máximo o mínimo de una función.
  • 3. Máximo y mínimo absoluto Máximo absoluto de la función en a Mínimo absoluto de la función en b a b
  • 4. Máximos y mínimos locales La función alcanza un máximo local La función alcanza un mínimo local
  • 6. Teorema del valor extremo Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un máximo absoluto en f(c) y un mínimo absoluto en f(d), donde c y d son valores del intervalo cerrado [a,b]. Este teorema proporciona condiciones en las que una función dispone de valores extremos. a dc b a c d=b a c bd
  • 7. Teorema de Fermat (análisis) Si f tiene una mínimo o máximo local en c, y si f’(c) existe, entonces f’(c)=0. Este teorema ayuda a localizar los posibles máximos y mínimos locales de una función utilizando su derivada. c d e f’(c)=0 f’(d)=0 f’(e)=0
  • 8. Algunos comentarios Es posible que una función verifique el teorema de Fermat y no tenga ningún extremo local. Es posible que una función no sea derivable y presente un valor extremo.
  • 9. Puntos críticos Un punto crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que o bien f’(c)=0, o bien, f’(c) no existe. Para encontrar los máximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]: 1. Encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo abierto (a,b) 2. Encontrar los valores de la función en los extremos del intervalo 3. Los valores mayores y menores de los pasos 1 y 2 son el máximo y mínimo absoluto, respectivamente
  • 10. Ejemplo I Se trata de una función continua y derivable en todo su dominio, por tanto, buscamos los valores que anulan su derivada: En este caso los puntos críticos proporcionan un máximo y un mínimo relativo
  • 11. El teorema de Rolle Si f una función que satisface las siguientes tres hipótesis: • f es continua en el intervalo cerrado [a,b]. • f es derivable en el intervalo abierto (a,b). • f(a)=f(b) Entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo abierto, tal que f’(c)=0.
  • 12. Interpretación gráfica del teorema de Rolle. a bc1 c2 a bc f(a)=f(b) a bc f(a)=f(b)
  • 13. Teorema del valor medio Si f una función que satisface las siguientes hipótesis: • f es continua en el intervalo cerrado [a,b]. • f es derivable en el intervalo abierto (a,b). Entonces existe al menos un valor c perteneciente a (a,b),tal que:
  • 14. Interpretación gráfica del teorema del valor medio. (a, f(a)) (b, f(b)) (c, f(c)) a c b
  • 15. Ejemplo (Teorema del valor medio) Resolviendo la anterior ecuación de segundo grado, podemos obtener el valor buscado (en este caso dos): c = 1 y c = 1/3
  • 16. Crecimiento de funciones La derivada, en cada punto de una función, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. Por tanto: • Si f’(x) > 0 en un intervalo, entonces, f es creciente en el intervalo • Si f’(x) < 0 en un intervalo, entonces, f es decreciente en el intervalo
  • 17. Ejemplo (intervalos de crecimiento) Intervalo x-1 x+1 Signo de f’ ¿Crece f? x < -1 - - + f crece en el intervalo -1 < x < 1 - + - f decrece en el intervalo x > 1 + + + f crece en el intervalo
  • 18. Ejemplo (intervalos de crecimiento) Intervalos de crecimiento Intervalos de decrecimiento Como habíamos calculado anteriormente, la gráfica confirma el estudio de la derivada.
  • 19. Primera derivada y extremos locales Si c es un punto crítico de una función continua f : • Si f’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un máximo local en c. • Si f’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un mínimo local en c. • Si f’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un máximo local ni un mínimo local en c. c c c f’(x)>0 f’(x)>0 f’(x)>0 f’(x)<0 f’(x)<0 f’(x)>0
  • 20. Ejemplo (extremos locales) Intervalos de crecimiento Intervalos de decrecimiento
  • 21. Concavidad y convexidad • Una función se dice cóncava si el segmento formado por dos de sus puntos queda por debajo de la gráfica de la función. • Una función se dice convexa, si el segmento formado por dos de sus puntos queda por encima de la gráfica de la función. Función cóncava Función convexa
  • 22. Curvatura y segunda derivada Si observamos una función cóncava, su derivada decrece, por tanto, la segunda derivada deberá ser menor que 0. En una función convexa, la derivada crece, por tanto, la segunda derivada será positiva. Por tanto: 1. Si f’’(x) >0 en todos los valores de un intervalo I, entonces f es convexa. 2. Si f’’(x) < 0 en todos los valores de un intervalo I, entonces f es cóncava. Función cóncava Función convexa
  • 23. Puntos de inflexión Un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función, donde la función es continua pero pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. En matemáticas, los puntos de inflexión se caracterizan por ser cero o no existir la segunda derivada de la función.