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FUNCIONES DE
VARIABLE REAL
Definiciones
Definición
• Una función f es una correspondencia que asigna a cada
elemento x en un conjunto A exactamente (uno y sólo un)
elemento en un conjunto B, al que denotaremos por f(x).
• Al conjunto A de llamaremos conjunto origen y al
conjunto B conjunto imagen.
• Pueden existir elementos del conjunto origen que no
tengan ninguna imagen
• Pueden existir elementos del conjunto imagen que no
tengan ningún origen.
Esquema
A B
f
x f(x)
a f(a)
c
m
Conjunto origen
Conjunto imagen
Notación
• Se dice que la función es real, de variable real, cuando
los conjuntos origen e imagen son los números reales.
• Un símbolo arbitrario que representa los valores posibles
del conjunto origen se denominará variable
independiente. Utilizaremos en esta presentación
normalmente la variable x.
• Un símbolo también representará la imagen de la variable
independiente, es decir, el elemento del conjunto imagen
correspondiente a un elemento del conjunto origen a
través de la función. Utilizaremos en esta presentación
normalmente la variable y.
El plano cartesiano
• Se utiliza, entre otras, para representar funciones.
• Está formado por dos rectas perpendiculares,
denominadas ejes.
• El eje horizontal se denomina eje de abscisas y el eje
vertical eje de ordenadas.
• El punto de corte de los ejes se denomina origen.
• El plano queda dividido en 4 partes, denominadas
cuadrantes.
Representación de puntos en el plano
• Cada punto del plano queda representado por un par
ordenado (a,b):
• La primera componente (a) es la distancia al origen de la
proyección al eje de abscisas del segmento que une el origen y el
punto.
• La segunda componente (b) es la distancia al origen de la
proyección al eje de ordenadas del segmento que une el origen y
el punto.
• Cuando se representa una función, en el eje de abscisas
se representa la variable independiente y en el eje de
ordenadas eje de ordenadas.
Ejemplo
Primer
cuadrante
x>0 y > 0
Segundo cuadrante
x < 0 y > 0
Tercer cuadrante
x < 0 y < 0
Cuarto cuadrante
x > 0 y < 0
Dominio y rango (o recorrido)
• El dominio de una función es el subconjunto del conjunto
origen que tiene al menos una imagen, es decir, donde
tiene sentido que la función se encuentre definida.
• El rango de una función es el subconjunto del conjunto
imagen que tiene al menos un elemento origen.
A B
f
x f(x)
a f(a)
c m
Conjunto origen
Conjunto imagen
d
Dominio
Rango
Representación / definición de funciones
• Hay cuatro formas de representar una función:
• Con lenguaje natural (descripción mediante palabras)
• Numéricamente (utilizando una tabla de valores)
• Visualmente (utilizando una gráfica)
• Algebraicamente (mediante una fórmula explícita)
• Ninguno de los métodos es excluyente, dependiendo de
la función, un método será mejor que otro
complementándose todos ellos.
Gráficas y funciones
• La gráfica de una función
permite observar el
comportamiento de una
función.
• Permite también conocer
el valor de las variables
dependientes e
independientes
x
f(4)
f(x)
f(-2)
Ejemplos I
• El área de un círculo (definición mediante lenguaje
natural) se puede expresar mediante la siguiente fórmula
algebraica
𝐴 𝑟 = 𝜋 · 𝑟2
• También es posible recopilar en una tabla diferentes
valores del radio y el área que le corresponde al círculo.
• Su gráfica se corresponde con media parábola, pues el
radio debe ser siempre positivo, siendo el dominio
𝑥 ∈ ℝ 𝑥 > 0 = 0, +∞ , y el recorrido también 0, +∞
pues las áreas también son positivas.
Ejemplo 2
• Podemos disponer de un
conjunto de pares de valores
que representan, por
ejemplo, el crecimiento de
una población bacteriana a
lo largo del tiempo.
Tiempo
(minutos)
Población
587.5 296.3
663.5 815.3
612.9 1511.6
739.4 1954.6
625.5 2448.3
802.7 2840.7
878.7 3359.7
Como en la realidad, una función
puede comenzar por una
descripción, posteriormente en una
tabla y finalmente modelizado por
una función:
𝒇 𝒙 = 𝟐 · 𝟏. 𝟎𝟏 𝒙
Ejemplo 3
• No siempre la
representación verbal o la
gráfica de una función es
la mejor forma de
representarla. Por
ejemplo, el coste del
envío de un paquete
depende de su peso y es
mas conveniente
representar la función de
forma tabular
Peso (kg) Euros
0,5 kg 51
1,0 kg 51
1,5 kg 53,45
2,0 kg 53,45
2,5 kg 56,45
3,0 kg 56,45
3,5 kg 57,5
4,0 kg 57,5
4,5 kg 58,45
5,0 kg 58,45
Ejemplos: dominio de una función
• Calculad el dominio de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3
El cálculo de la raíz cuadrada negativo no tiene sentido por
lo que exigiremos que 𝑥 + 3 ≥ 0, por tanto, el dominio es,
[−3, +∞)
• Calculad el dominio de la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2−4
La división por cero no tiene sentido, por tanto, exigiremos
que 𝑥2 − 4 ≠ 0 lo que ocurre cuando x es distinto de -2 y 2.
Por tanto, el dominio es ℝ − {−2, 2}
Prueba de la línea vertical
• Una curva en el plano se corresponde a una gráfica de
una función si y sólo sí no existe una línea vertical que
interseca a la curva en más de un punto.
Esta gráfica no se
corresponde con
una función
Esta gráfica se
corresponde con
una función
Funciones definidas a trozos
• Una función se encuentra definida a trozos cuando a
distintas partes de su dominio se le asigna una fórmula
diferente.
𝑓 𝑥 =
−𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 > −1
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𝑓 𝑥 = 𝑥2
Ejemplo I
• Parte entera de un número: 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒_𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎(𝑥)
Nota:
Los números comprendidos
entre 0 y 1 (sin incluir éste
último), su parte entera es 0.
Los números comprendidos
entre 1 y 2 (sin incluir éste
último) su parte entera es 1….
Simetría: función par
• Si una función verifica que f(-x)=f(x) para cualquier valor x
de su dominio, entonces se dice que la función f es par.
• La importancia geométrica de que una función sea par es
que su gráfica es simétrica respecto el eje OY.
• Por tanto, si somos capaces de dibujar la función para
x>0, por reflexión, podremos dibujar la función para los
valores de x negativos.
Simetría, función impar
• Si se verifica que –f(x)=f(-x) para cualquier valor x del
dominio de la función, se dice que la función es impar.
• La importancia geométrica de que una función sea impar
es que su gráfica es simétrica respecto el eje origen de
coordenadas.
• Por tanto, si somos capaces de dibujar la función para
x>0, realizando un giro de 180º con centro el origen de
coordenadas seremos capaces de dibujar la función.
Ejemplo I: función par, función impar
f(x)f(-x)
x-x
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 2 es par pues,
𝑓 −𝑥 = (−𝑥)2+2 = 𝑥2 + 2 = 𝑓 𝑥
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 𝑥 es impar pues,
𝑓 −𝑥 = (−𝑥)3− −𝑥 = −𝑥3 + 𝑥 = −𝑓 𝑥
f(x)
f(-x)
-x
x
Funciones periódicas
Una función se dice periódica si tiene la misma imagen a
intervalos regulares de la variable independiente.
Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que
pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor
número p se le llama período.
El periodo son 4 unidades
Crecimiento de una función
• Una función f se dice que crece en un intervalo I si
𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 cualesquiera 𝑥1 < 𝑥2 valores que
pertenezcan al intervalo I.
• Una función f se dice que decrece en un intervalo I si
𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 cualesquiera 𝑥1 < 𝑥2 valores que
pertenezcan al intervalo I.
Ejemplo: función creciente en un intervalo
Esta función en el intervalo (-0’5,1) es creciente, pues verifica para cualquier par
de puntos que se encuentren en el intervalo que la “imagen del mayor es
mayor que la imagen del menor”
𝑥1 𝑥2
𝒇(𝒙 𝟐)
𝒇(𝒙 𝟏)
Ejemplo: función decreciente en un intervalo
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐
𝒇(𝒙 𝟐)
𝒇(𝒙 𝟏)
Esta función en el intervalo (-1’5,-0’5) es decreciente, pues verifica para
cualquier par de puntos que se encuentren en el intervalo que la “imagen del
mayor es menor que la imagen del menor”
RECTAS
La recta y = mx
• Todas las funciones que están definidas algebraicamente
por y = mx tienen como gráfica una línea recta y se
denomina función lineal.
• El valor m se denomina pendiente de la recta y
representa la inclinación de la recta respecto del eje de
abscisas. Este valor distingue una función lineal de otra.
• El valor m se obtiene como cociente de la distancia de
dos valores del conjunto imagen (eje de ordenadas) y la
distancia de los valores del conjunto origen (eje de
abscisas)
Ejemplo
La función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 tiene 2
de pendiente. Por cada
unidad que aumenta x, la
imagen (y) aumenta el doble
x f(x)
-1 -2
0 0
1 2
2 4
3 6
Tabla de valores
Ejemplo
Las rectas a mayor pendiente
mayor inclinación
Las rectas que tienen una
pendiente negativa son
decrecientes.
La recta y = mx + n
• Todas las funciones que están definidas algebraicamente
por y = mx + n tienen como gráfica una línea recta y se
denomina función afín.
• El valor m es la pendiente de la recta.
• El valor n es el valor de la ordenada para x=0; se
denomina ordenada en el origen.
• Si n=0 representará la función lineal, si m=0 la función es
constante, siendo su gráfica una recta horizontal.
Ejemplo
La función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
tiene 2 de pendiente. Por
cada unidad que aumenta x,
la imagen (y) aumenta el
doble
x f(x)
-1 -1
0 1
1 3
Tabla de valores
Ordenada en el origen
Ejemplo
Las tres rectas son paralelas
pues tienen la misma
pendiente.
Distancia 3 unidades
Distancia -3 unidades
Rectas que no son funciones
• Las expresiones del tipo x = k siendo k una constante se
representa como una recta vertical al eje de abscisas que
pasa por el punto (k,0).
• Estas rectas no son funciones, pues un solo valor tiene
infinitas imágenes.
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Parábolas
La función cuadrática
• La función cuadrática se
encuentra definida por una
expresión algebraica que es
un polinomio de grado 2.
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
• La representación gráfica de
estas funciones son
parábolas con el eje de la
parábola paralelo al eje de
ordenadas.
Vértice
Eje
La función f(x) = x2
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
• Siempre es positiva
• Es par
• Para valores negativos es
decreciente
• Para valores positivos es
creciente
• Para x = 0 alcanza su valor
mínimo, que es 0.
x f(x)
-3 9
-1,25 1,562
0 0
1 1
2 4
Tabla de valores
Valor mínimo
Decreciente Creciente
La función f(x)=kx2
La función 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥2
se puede
estudiar a partir de 𝑔 𝑥 = 𝑥2
• Si 0<k<1, la función f tiene las
ramas mas abiertas que g
• Si k > 1, la función f tiene las
ramas mas cerradas que g
• Si k < 0, la función f invierte las
ramas respecto de g
• En todos los casos, el eje de la
parábola es el eje de abscisas y el
vértice (0,0)
La función f(x)=(x+k)2
La función 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 𝑘)2
se puede estudiar a partir de 𝑔 𝑥 = 𝑥2
• Si k<0, la función f se desplazará hacia la derecha k unidades.
• Si k > 0, la función f se desplazará hacia la izquierda k unidades.
El vértice se desplaza a (k,0)
y el eje de la parábola se
traslada a x = k
La función f(x)=x2+k
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑘 se puede estudiar
a partir de 𝑔 𝑥 = 𝑥2
• Si k<0, la función f sufrirá un
desplazamiento inferior de k unidades
• Si k > 0, la función f sufrirá un
desplazamiento superior k unidades.
• El vértice se desplaza a (0,k) y el eje de
la parábola sigue siendo el eje OY
La función cuadrática f(x) = ax2 +bx+c
La función cuadrática completa viene dada por la expresión
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Las propiedades más importantes son:
• Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba
• SI a < 0 la parábola está abierta hacia abajo
• El vértice de la parábola es 𝑽 𝒑 = −
𝒃
𝟐𝒂
, −
𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟒𝒂
• El eje de la parábola es la recta 𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
• Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtiene resolviendo la
ecuación de segundo grado 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
• El punto de corte con el eje de ordenadas es (0,c)
Justificación del cálculo del vértice de una
parábola.
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙 𝟐 +
𝒃
𝒂
𝒙 +
𝒄
𝒂
= 𝒂 𝒙 𝟐 +
𝒃
𝒂
𝒙 +
𝒄
𝒂
+
𝒃 𝟐
𝟒𝒂
−
𝒃 𝟐
𝟒𝒂
=
= 𝒂 𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
+
𝒄
𝒂
−
𝒃 𝟐
𝟒𝒂
= 𝒂 𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
+
𝟒𝒄 − 𝒃 𝟐
𝟒𝒂
= 𝒂 𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
−
𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂
𝟒𝒂
Desplazamiento
horizontal respecto a
f(x)=x2
Desplazamiento
vertical respecto a
f(x)=x2

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Funciones de variable real: definiciones

  • 2. Definición • Una función f es una correspondencia que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente (uno y sólo un) elemento en un conjunto B, al que denotaremos por f(x). • Al conjunto A de llamaremos conjunto origen y al conjunto B conjunto imagen. • Pueden existir elementos del conjunto origen que no tengan ninguna imagen • Pueden existir elementos del conjunto imagen que no tengan ningún origen.
  • 3. Esquema A B f x f(x) a f(a) c m Conjunto origen Conjunto imagen
  • 4. Notación • Se dice que la función es real, de variable real, cuando los conjuntos origen e imagen son los números reales. • Un símbolo arbitrario que representa los valores posibles del conjunto origen se denominará variable independiente. Utilizaremos en esta presentación normalmente la variable x. • Un símbolo también representará la imagen de la variable independiente, es decir, el elemento del conjunto imagen correspondiente a un elemento del conjunto origen a través de la función. Utilizaremos en esta presentación normalmente la variable y.
  • 5. El plano cartesiano • Se utiliza, entre otras, para representar funciones. • Está formado por dos rectas perpendiculares, denominadas ejes. • El eje horizontal se denomina eje de abscisas y el eje vertical eje de ordenadas. • El punto de corte de los ejes se denomina origen. • El plano queda dividido en 4 partes, denominadas cuadrantes.
  • 6. Representación de puntos en el plano • Cada punto del plano queda representado por un par ordenado (a,b): • La primera componente (a) es la distancia al origen de la proyección al eje de abscisas del segmento que une el origen y el punto. • La segunda componente (b) es la distancia al origen de la proyección al eje de ordenadas del segmento que une el origen y el punto. • Cuando se representa una función, en el eje de abscisas se representa la variable independiente y en el eje de ordenadas eje de ordenadas.
  • 7. Ejemplo Primer cuadrante x>0 y > 0 Segundo cuadrante x < 0 y > 0 Tercer cuadrante x < 0 y < 0 Cuarto cuadrante x > 0 y < 0
  • 8. Dominio y rango (o recorrido) • El dominio de una función es el subconjunto del conjunto origen que tiene al menos una imagen, es decir, donde tiene sentido que la función se encuentre definida. • El rango de una función es el subconjunto del conjunto imagen que tiene al menos un elemento origen. A B f x f(x) a f(a) c m Conjunto origen Conjunto imagen d Dominio Rango
  • 9. Representación / definición de funciones • Hay cuatro formas de representar una función: • Con lenguaje natural (descripción mediante palabras) • Numéricamente (utilizando una tabla de valores) • Visualmente (utilizando una gráfica) • Algebraicamente (mediante una fórmula explícita) • Ninguno de los métodos es excluyente, dependiendo de la función, un método será mejor que otro complementándose todos ellos.
  • 10. Gráficas y funciones • La gráfica de una función permite observar el comportamiento de una función. • Permite también conocer el valor de las variables dependientes e independientes x f(4) f(x) f(-2)
  • 11. Ejemplos I • El área de un círculo (definición mediante lenguaje natural) se puede expresar mediante la siguiente fórmula algebraica 𝐴 𝑟 = 𝜋 · 𝑟2 • También es posible recopilar en una tabla diferentes valores del radio y el área que le corresponde al círculo. • Su gráfica se corresponde con media parábola, pues el radio debe ser siempre positivo, siendo el dominio 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 > 0 = 0, +∞ , y el recorrido también 0, +∞ pues las áreas también son positivas.
  • 12. Ejemplo 2 • Podemos disponer de un conjunto de pares de valores que representan, por ejemplo, el crecimiento de una población bacteriana a lo largo del tiempo. Tiempo (minutos) Población 587.5 296.3 663.5 815.3 612.9 1511.6 739.4 1954.6 625.5 2448.3 802.7 2840.7 878.7 3359.7 Como en la realidad, una función puede comenzar por una descripción, posteriormente en una tabla y finalmente modelizado por una función: 𝒇 𝒙 = 𝟐 · 𝟏. 𝟎𝟏 𝒙
  • 13. Ejemplo 3 • No siempre la representación verbal o la gráfica de una función es la mejor forma de representarla. Por ejemplo, el coste del envío de un paquete depende de su peso y es mas conveniente representar la función de forma tabular Peso (kg) Euros 0,5 kg 51 1,0 kg 51 1,5 kg 53,45 2,0 kg 53,45 2,5 kg 56,45 3,0 kg 56,45 3,5 kg 57,5 4,0 kg 57,5 4,5 kg 58,45 5,0 kg 58,45
  • 14. Ejemplos: dominio de una función • Calculad el dominio de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 El cálculo de la raíz cuadrada negativo no tiene sentido por lo que exigiremos que 𝑥 + 3 ≥ 0, por tanto, el dominio es, [−3, +∞) • Calculad el dominio de la función 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2−4 La división por cero no tiene sentido, por tanto, exigiremos que 𝑥2 − 4 ≠ 0 lo que ocurre cuando x es distinto de -2 y 2. Por tanto, el dominio es ℝ − {−2, 2}
  • 15. Prueba de la línea vertical • Una curva en el plano se corresponde a una gráfica de una función si y sólo sí no existe una línea vertical que interseca a la curva en más de un punto. Esta gráfica no se corresponde con una función Esta gráfica se corresponde con una función
  • 16. Funciones definidas a trozos • Una función se encuentra definida a trozos cuando a distintas partes de su dominio se le asigna una fórmula diferente. 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > −1 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2
  • 17. Ejemplo I • Parte entera de un número: 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒_𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎(𝑥) Nota: Los números comprendidos entre 0 y 1 (sin incluir éste último), su parte entera es 0. Los números comprendidos entre 1 y 2 (sin incluir éste último) su parte entera es 1….
  • 18. Simetría: función par • Si una función verifica que f(-x)=f(x) para cualquier valor x de su dominio, entonces se dice que la función f es par. • La importancia geométrica de que una función sea par es que su gráfica es simétrica respecto el eje OY. • Por tanto, si somos capaces de dibujar la función para x>0, por reflexión, podremos dibujar la función para los valores de x negativos.
  • 19. Simetría, función impar • Si se verifica que –f(x)=f(-x) para cualquier valor x del dominio de la función, se dice que la función es impar. • La importancia geométrica de que una función sea impar es que su gráfica es simétrica respecto el eje origen de coordenadas. • Por tanto, si somos capaces de dibujar la función para x>0, realizando un giro de 180º con centro el origen de coordenadas seremos capaces de dibujar la función.
  • 20. Ejemplo I: función par, función impar f(x)f(-x) x-x La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2 es par pues, 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)2+2 = 𝑥2 + 2 = 𝑓 𝑥 La función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 es impar pues, 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)3− −𝑥 = −𝑥3 + 𝑥 = −𝑓 𝑥 f(x) f(-x) -x x
  • 21. Funciones periódicas Una función se dice periódica si tiene la misma imagen a intervalos regulares de la variable independiente. Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor número p se le llama período. El periodo son 4 unidades
  • 22. Crecimiento de una función • Una función f se dice que crece en un intervalo I si 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 cualesquiera 𝑥1 < 𝑥2 valores que pertenezcan al intervalo I. • Una función f se dice que decrece en un intervalo I si 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 cualesquiera 𝑥1 < 𝑥2 valores que pertenezcan al intervalo I.
  • 23. Ejemplo: función creciente en un intervalo Esta función en el intervalo (-0’5,1) es creciente, pues verifica para cualquier par de puntos que se encuentren en el intervalo que la “imagen del mayor es mayor que la imagen del menor” 𝑥1 𝑥2 𝒇(𝒙 𝟐) 𝒇(𝒙 𝟏)
  • 24. Ejemplo: función decreciente en un intervalo 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒇(𝒙 𝟐) 𝒇(𝒙 𝟏) Esta función en el intervalo (-1’5,-0’5) es decreciente, pues verifica para cualquier par de puntos que se encuentren en el intervalo que la “imagen del mayor es menor que la imagen del menor”
  • 26. La recta y = mx • Todas las funciones que están definidas algebraicamente por y = mx tienen como gráfica una línea recta y se denomina función lineal. • El valor m se denomina pendiente de la recta y representa la inclinación de la recta respecto del eje de abscisas. Este valor distingue una función lineal de otra. • El valor m se obtiene como cociente de la distancia de dos valores del conjunto imagen (eje de ordenadas) y la distancia de los valores del conjunto origen (eje de abscisas)
  • 27. Ejemplo La función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 tiene 2 de pendiente. Por cada unidad que aumenta x, la imagen (y) aumenta el doble x f(x) -1 -2 0 0 1 2 2 4 3 6 Tabla de valores
  • 28. Ejemplo Las rectas a mayor pendiente mayor inclinación Las rectas que tienen una pendiente negativa son decrecientes.
  • 29. La recta y = mx + n • Todas las funciones que están definidas algebraicamente por y = mx + n tienen como gráfica una línea recta y se denomina función afín. • El valor m es la pendiente de la recta. • El valor n es el valor de la ordenada para x=0; se denomina ordenada en el origen. • Si n=0 representará la función lineal, si m=0 la función es constante, siendo su gráfica una recta horizontal.
  • 30. Ejemplo La función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 tiene 2 de pendiente. Por cada unidad que aumenta x, la imagen (y) aumenta el doble x f(x) -1 -1 0 1 1 3 Tabla de valores Ordenada en el origen
  • 31. Ejemplo Las tres rectas son paralelas pues tienen la misma pendiente. Distancia 3 unidades Distancia -3 unidades
  • 32. Rectas que no son funciones • Las expresiones del tipo x = k siendo k una constante se representa como una recta vertical al eje de abscisas que pasa por el punto (k,0). • Estas rectas no son funciones, pues un solo valor tiene infinitas imágenes.
  • 34. La función cuadrática • La función cuadrática se encuentra definida por una expresión algebraica que es un polinomio de grado 2. 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 • La representación gráfica de estas funciones son parábolas con el eje de la parábola paralelo al eje de ordenadas. Vértice Eje
  • 35. La función f(x) = x2 La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 • Siempre es positiva • Es par • Para valores negativos es decreciente • Para valores positivos es creciente • Para x = 0 alcanza su valor mínimo, que es 0. x f(x) -3 9 -1,25 1,562 0 0 1 1 2 4 Tabla de valores Valor mínimo Decreciente Creciente
  • 36. La función f(x)=kx2 La función 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥2 se puede estudiar a partir de 𝑔 𝑥 = 𝑥2 • Si 0<k<1, la función f tiene las ramas mas abiertas que g • Si k > 1, la función f tiene las ramas mas cerradas que g • Si k < 0, la función f invierte las ramas respecto de g • En todos los casos, el eje de la parábola es el eje de abscisas y el vértice (0,0)
  • 37. La función f(x)=(x+k)2 La función 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 𝑘)2 se puede estudiar a partir de 𝑔 𝑥 = 𝑥2 • Si k<0, la función f se desplazará hacia la derecha k unidades. • Si k > 0, la función f se desplazará hacia la izquierda k unidades. El vértice se desplaza a (k,0) y el eje de la parábola se traslada a x = k
  • 38. La función f(x)=x2+k La función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑘 se puede estudiar a partir de 𝑔 𝑥 = 𝑥2 • Si k<0, la función f sufrirá un desplazamiento inferior de k unidades • Si k > 0, la función f sufrirá un desplazamiento superior k unidades. • El vértice se desplaza a (0,k) y el eje de la parábola sigue siendo el eje OY
  • 39. La función cuadrática f(x) = ax2 +bx+c La función cuadrática completa viene dada por la expresión 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Las propiedades más importantes son: • Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba • SI a < 0 la parábola está abierta hacia abajo • El vértice de la parábola es 𝑽 𝒑 = − 𝒃 𝟐𝒂 , − 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄 𝟒𝒂 • El eje de la parábola es la recta 𝒙 = − 𝒃 𝟐𝒂 • Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 • El punto de corte con el eje de ordenadas es (0,c)
  • 40. Justificación del cálculo del vértice de una parábola. 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒂 𝒙 + 𝒄 𝒂 = 𝒂 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒂 𝒙 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 𝟐 𝟒𝒂 − 𝒃 𝟐 𝟒𝒂 = = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 + 𝒄 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝟒𝒂 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 + 𝟒𝒄 − 𝒃 𝟐 𝟒𝒂 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂 𝟒𝒂 Desplazamiento horizontal respecto a f(x)=x2 Desplazamiento vertical respecto a f(x)=x2