Este documento presenta un modelo formal de externalidades propuesto por Baumol y Oates. 1) El modelo define las condiciones para asignaciones Pareto eficientes en una economía con múltiples consumidores, productores y bienes donde hay externalidades. 2) Las condiciones óptimas surgen de maximizar la utilidad total sujeta a restricciones tecnológicas y de recursos. 3) El documento analiza cómo los precios de mercado y los impuestos compensatorios podrían inducir comportamientos que lleven a la asignación óptima en

1. Un Modelo Formal de Externalidad
(Baumol + Oates, 1987: 36-56)
1
Eco. J.C.Segura-Ortiz
Universidad de La Salle / Escuela Colombiana de Ingeniería

2. In welfare economics, perhaps as much in any branch of our subject, there
is a real danger in partial analysis. When we consider expanding one
sector of the economy, say, because of the net social benefits that it
generates, it is essential that we take into account where the necessary
resources will come from and what the consequences in other sectors could 2
be. Interdependency among location decisions, levels of polluting outputs,
and the use of pollution suppressing devices are all at the heart of the
problem. Indeed, the very concept of externality implies a degree of
interdependence suffient to cast doubt upon the reliability of the partial
analysis that, curiosusly, has often characterized writings in this area.
(Baumol + Oates, 1987: 36).

3. Un Modelo de Externalidad
Baumol & Oates [B+O] (1987: 36 &ss) presentan un modelo de
externalidad basado en un Welfare Optimum o Programa de
Negishi (Gisnburg & Keyzer, 1997: 89).
Se puede mostrar que dicho programa es representación del 3
problema del planeador central con pesos (Negishi Weights),
iguales a la inversa de la utilidad marginal del ingreso de cada
consumidor.
Se presenta un modelo de Equilibrio General con Externalidad
con el que se definen las condiciones que hacen posible
asignaciones Pareto eficientes.

4. Dimensiones del Modelo [B+O]:
La economía está habitada por ݆ = 1, ⋯ , ݉ consumidores;
4
La producción está cargo de ݇ = 1, ⋯ , ℎ firmas privadas;
Se dispone de ݅ = 1, ⋯ , ݊ bienes (recursos) en la economía;

5. Variables y Funciones de Retorno
‫ݔ‬௜௝ Cantidad de bien (recurso) ݅ consumido por el individuo ݆.
‫ݕ‬௜௞ Demanda (Oferta) del bien ݅ de la ݇-ésima firma
[݊݉ variables]
‫ݎ‬௜ Oferta agregada de bien ݅
[݊ℎ variables]
‫ݏ‬௞ Flujo de daños emitidos por la firma ݇-ésima
[݊ variables] 5
‫ݖ‬ Oferta total de externalidad para le economía. ‫∑ = ݖ‬௛ ‫ݏ‬௞
[ℎ variables]
௞ୀଵ
‫ ݑ‬௝ ൫‫ܠ‬௝ ; ‫ݖ‬൯ Utilidad del j-ésimo consumidor. ‫ܠ‬௝ = ൫‫ݔ‬ଵ௝ , … , ‫ݔ‬௡௝ ൯
[1 variable]
݂ ௞ ሺ‫ܡ‬௞ ; ‫ݏ‬௞ , ‫ݖ‬ሻ Conjunto de producción de la k-ésima firma. ‫ܡ‬௞ = ሺ‫ݕ‬ଵ௞ , … , ‫ݕ‬௡௞ ሻ
[m variables]
[k-variables]

6. Se supondrá que los conjuntos de elección de consumidores y
productores son coherentes con los supuestos C y P (i.e., satisfacen el
supuesto S).
Se puede mostrar que bajo C, P (S), existe una única solución para el 6
problema del Planeador Central.
݂ ௞ ሺ‫ܡ‬௞ ; ‫ݏ‬௞ , ‫ݖ‬ሻ ≤ 0 describe un conjunto de netputs cuya elección óptima
maximiza el beneficio de la k-ésima firma en la economía.

7. Una Asignación Pareto eficiente es solución del Programa de Bienestar:
‫ ݆ݑ‬൫‫ݖ ; ݆ݔ‬൯ ≥ ‫∗ݑ‬௝
‫ۓ‬
ۖ ݂݇ ൫‫ݖ , ݇ݏ ; ݇ݕ‬൯ ≤ 0
max ‫ݑ‬ଵ ሺ‫ݖ ; 1݊ݔ , … , 11ݔ‬ሻ ‫:ܽ ܽݐ݆݁ݑݏ‬
‫∑۔‬௠ ‫ݔ‬௜௝ − ∑௛ ‫ݕ‬௜௞ ≤ ‫ݎ‬௜
7
ۖ ௝ୀଵ ௞ୀଵ
‫ݔ ە‬௜௝ ≥ 0; ‫ݏ‬௞ ≥ 0; ‫0 ≥ ݖ‬

8. La Función de Lagrange es:
௠ ௛
ℒ=෍ ߣ௝ ൣ‫ ݑ‬൫‫ݖ ; ݆ݔ‬൯ − ‫ݑ‬
݆ ∗௝ ൧
−෍ ߤ௞ ݂݇ ൫‫ݖ , ݇ݏ ; ݇ݕ‬൯
௝ୀଵ ௞ୀଵ
௠ ௛
8
݊
−෍ ߱݅ ቆ෍ ‫ݔ‬௜௝ − ෍ ‫ݕ‬௜௞ − ‫ݎ‬௜ ቇ
݅=1 ௝ୀଵ ௞ୀଵ

9. Las condiciones relevantes para una asignación Pareto Óptima (KKT) resultan
ser:
ߣ݆ ‫߱ − ݅ݑ‬௜ ≤ 0
݆
ൣ‫ݔ‬௜௝ ൧: ൝
‫ݔ‬௜௝ ቀߣ݆ ‫߱ − ݅ݑ‬௜ ቁ = 0
݆
ሾ‫ݕ‬௜௞ ሿ: ቄ−ߤ݇ ݂݇ + ߱௜ = 0
݅
݉ ℎ
‫ۓ‬ −ߤ݇ ݂‫ݏ‬
ഥ
݇
+෍ ߣ݆ ‫ݖݑ‬
݆
−෍ ߤ݇ ݂௭௞ ≤ 0
ۖ ഥ
9
݆=1 ݇=1
ሾ ‫ݏ‬௞ ሿ :
ത
‫۔‬ ݉ ℎ
‫ݏ‬௞ ቆ−ߤ݇ ݂‫ + ݏ‬෍ ߣ݆ ‫ − ݖݑ‬෍ ߤ݇ ݂௭௞ ቇ = 0
ഥ
݇ ݆
ۖ ത ഥ
‫ە‬ ݆=1 ݇=1
ത
• ‫ݑ‬௜ = ߲‫ ݑ‬௝ ൗ߲‫ݔ‬௜௝ ; ݂௜௞ = ߲݂௜ ⁄߲‫ݕ‬௜௞ ; ݇ identifica a la firma que genera la
௝
externalidad;

10. Se tienen en cuenta, además, las condiciones de holgura complementaria:
ߣ݆ ൣ‫ ݑ‬௝ ൫‫ܠ‬௝ ; ‫ݖ‬൯ − ‫ ݆∗ݑ‬൧ = 0
‫ۓ‬
ۖ ߤ݇ ݂ ௞ ሺ‫ܡ‬௞ ; ‫ݏ‬௞ , ‫ݖ‬ሻ = 0
ሾ‫ܵܥ‬ሿ:
‫۔‬ ݉ ℎ
ۖ߱௜ ቆ෍ ‫ − ݆݅ݔ‬෍ ‫ ݅ݎ − ݇݅ݕ‬ቇ = 0
‫ە‬ ݆=1 ݇=1
10
De modo que ൣ‫ݔ‬௜௝ ൧, ሾ‫ݕ‬௜௞ ሿ, ሾ‫ݏ‬௞ ሿ, y ሾ‫ܵܥ‬ሿ, junto con las condiciones de
ത
convexidad y compactitud en los conjuntos de elección y de producción,
constituyen condiciones necesarias para asignaciones Pareto Óptimas en presencia
de externalidades.

11. Las Soluciones Descentralizadas
En presencia de externalidad (positiva/negativa) las soluciones de los agentes
individuales no tienen por qué coincidir con las CPO del modelo del Planeador
Central.
Los requerimientos para un equilibrio de mercado implican la no consideración
de los costos/beneficios causados por la externalidad. 11
Se quiere determinar el conjunto de características de los precios y los
impuestos (o compensaciones) que inducirían los patrones de conducta
económica necesarios para satisfacer las condiciones para una asignación Pareto
Eficiente:
ܱܲ∗ = {ൣ‫ݔ‬௜௝ ൧, ሾ‫ݕ‬௜௞ ሿ, ሾ‫ݏ‬௞ ሿ, y ሾ‫ܵܥ‬ሿ}
ത

12. Una Distinción
• Precio: monto o cantidad pecuniaria que se carga sobre cada unidad de
actividad y que no distingue entre consumidores y/o entre productores, i.e.,
cada agente económico enfrenta el precio.
12
• Impuesto Compensatorio / Tasa de Subsidio: cargo pecuniario que
depende del daño causado a un individuo o firma y que puede diferir de
persona en persona. Si el valor óptimo de un impuesto resulta negativo,
representará una compensación a la víctima. Si es positivo (Coase)
representará un incentivo para que la víctima adopte estrategias para
autoprotegerse del daño.

13. Impuestos, Tasas y Subsidios
Se asigna a cada individuo y a cada firma un impuesto (o compensación) por el
daño que pueda experimentar. Sean así,
‫ ݐ‬௝ : Tasa de impuesto (compensación) para el consumidor ݆;
‫ ݐ‬௞ : Tasa de impuesto o compensación sobre la firma ݇;
‫ ݐ‬௦ : Tasa de impuesto sobre cada unidad de emisión.
13
Las magnitudes de estas tasas no son constantes y dependen del nivel de
‫ ݐ‬௝ ≡ ‫ ݐ‬௝ ൫‫ݔ‬௜௝ ൯
actividad de cada agente, i.e.,
‫ :ݐ‬ቐ‫ ݐ‬௞ ≡ ‫ ݐ‬௞ ሺ‫ݕ‬௜௞ ሻ
‫ ݐ‬௦ ≡ ‫ ݐ‬௦ ሺ‫ݏ‬௞ ሻ

14. Comportamiento del Consumidor
un plan de consumo que le reporta un nivel de utilidad ‫∗ݑ‬௝ . Su problema es
El Consumidor j-ésimo se puede considerar como minimizador del gasto que en
encontrar el saddle point de:
Ψሺ∙ሻ = Σ௜ ‫݌‬௜ ‫ݔ‬௜௝ + ‫ ݐ‬௝ ൫‫ݔ‬௜௝ ൯ − ߙ௝ ൣ‫ ݑ‬௝ ሺ∙ሻ − ‫∗ݑ‬௝ ൧
14
Las condiciones KKT son:
߲‫ ݐ‬௝ ሺ∙ሻ ߲‫ ݑ‬௝ ሺ∙ሻ
‫ۓ‬ൣ‫ݔ‬௜௝ ൧: ‫݌‬௜ + − ߙ௝ ≥0
ۖ ߲‫ݔ‬௜௝ ߲‫ݔ‬௜௝
‫ܶܭܭ‬ሺܿ ሻ ≔
‫۔‬ ߲‫ ݐ‬௝ ሺ∙ሻ ߲‫ ݑ‬௝ ሺ∙ሻ
ۖሾ‫ܵܥ‬ሿ: ‫ݔ‬௜௝ ቈ‫݌‬௜ + − ߙ௝ ቉=0
‫ە‬ ߲‫ݔ‬௜௝ ߲‫ݔ‬௜௝

15. Comparemos estas condiciones con las ܱܲ∗ relativas a ‫ݔ‬௜௝ :
ߣ௝ ‫ݑ‬௜ − ߱݅ ≤ 0
௝ ߲‫ ݐ‬௝ ሺ∙ሻ ߲‫ ݑ‬௝ ሺ∙ሻ
Negishi Mercado
‫݌‬௜ + − ߙ௝ ≥0
߲‫ݔ‬௜௝ ߲‫ݔ‬௜௝
‫ݔ‬௜௝ ቀߣ݆ ‫߱ − ݅ݑ‬௜ ቁ
݆ ߲‫ ݐ‬௝ ሺ∙ሻ ߲‫ ݑ‬௝ ሺ∙ሻ
‫ݔ‬௜௝ ቈ‫݌‬௜ + − ߙ௝ ቉=0
߲‫ݔ‬௜௝ ߲‫ݔ‬௜௝ 15
Note que:
‫݌‬௜ + − ߙ௝ ≥ 0 → ߙ௝ ≤ ‫݌‬௜ +
డ௧ ೕ ሺ∙ሻ డ௨ೕ ሺ∙ሻ డ௨ೕ ሺ∙ሻ డ௧ ೕ ሺ∙ሻ
డ௫೔ೕ డ௫೔ೕ డ௫೔ೕ డ௫೔ೕ
ߣ = ߙ௝
Es decir,
ߙ௝ ‫݌ ≤ ݅ݑ‬௜ + ‫ݐ‬௜ ≡ ߣ݆ ‫߱ − ݅ݑ‬௜ ≤ 0 ↔ ൜ ݆
݆ ௝ ݆
‫݌‬௜ = ߱௜

16. Comportamiento del Productor
El objetivo de la firma competitiva (que no considera el coste de la
condiciones tecnológicas que le impone el conjunto de producción, ݂ ௞ ≤ 0 que
externalidad) es maximizar su beneficio neto de impuestos sujeto a las
le caracteriza:
Φሺ∙ሻ = Σ௜ ‫݌‬௜ ‫ݕ‬௜௞ − ‫ ݐ‬௞ ሺ‫ݕ‬௜௞ ሻ − ‫ݐ‬௦ ‫ݏ‬௞ − ߚ௞ ݂ ௞ ሺ‫ݕ‬௞ ; ‫ݏ‬௞ , ‫ݖ‬ሻ
16
߲‫ ݐ‬௞ ሺ∙ሻ ߲݂ ௞ ሺ∙ሻ
‫ۓ‬ሾ‫ݕ‬௜௞ ሿ: ‫݌‬௜ − − ߚ௞ =0
ۖ ߲‫ݕ‬௜௞ ߲‫ݕ‬௜௞
ۖ
߲݂ ௞ ሺ∙ሻ
ത
‫ܶܭܭ‬ሺ‫݌‬ሻ ≔ ሾ‫ݏ‬௞ ሿ: −‫ݐ‬௦ − ߚ௞ ≤0
߲‫ݏ‬௞
ത ത
‫۔‬ ത
ۖ ߲݂ ௞ ሺ∙ሻ
ത
ۖ ሾ‫ܵܥ‬ሿ: ‫ݏ‬௞ ቈ−‫ݐ‬௦ − ߚ௞ ቉=0
߲‫ݏ‬௞
ത ത
‫ە‬ ത

17. Comparando con las ܱܲ∗ relativas a ‫ݕ‬௜௝ :
Negishi Mercado
ቄ−ߤ݇ ݂݅ + ߱௜ = 0
݇ ߲‫ ݐ‬௞ ሺ∙ሻ ߲݂ ௞ ሺ∙ሻ
‫݌‬௜ − − ߚ௞ =0
߲‫ݕ‬௜௞ ߲‫ݕ‬௜௞
߱௜ = ߤ݇ ݂݅
݇
17
൝
‫݌‬௜ = ߚ௞ ݂݅ + ‫݇ݐ‬
݇
݅
߱௜ = ‫݌‬௜ ↔ ߤ݇ ݂݅ = ߚ௞ ݂݅ + ‫݇ݐ‬
݇ ݇
݅
ߤ௞ ≡ ߚ݇

18. Comparando ‫ܶܭܭ‬ሺ‫݌‬ሻ con las ܱܲ∗ relativas a ‫ݏ‬௞ :
ത
߲݂ ௞ ሺ∙ሻ
Negishi Mercado
௠ ௛ ത
−ߤ௞ ݂ ௞+෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭
− ෍ ߤ௞ ݂௭௞ ≤ 0
ത ௝
ത ௦ −‫ݐ‬௦ − ߚ௞ ≤0
߲‫ݏ‬௞
ത
௝ୀଵ ௞ୀଵ ത
௠ ௛
߲݂ ௞ ሺ∙ሻ
ത
‫ݏ‬௞ ቆ−ߤ௞ ݂ + ෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭ − ෍ ߤ௞ ݂௭௞ ቇ
ത ௝
‫ݏ‬௞ ቈ−‫ݐ‬௦ − ߚ௞ ቉=0
௞
ത ത ௦
߲‫ݏ‬௞
ത ത
௝ୀଵ ௞ୀଵ ത
=0 18
‫ۓ‬
݉ ℎ
+෍ −෍ 0
ത
−ߤ݇ ݂݇ ߣ݆ ‫ݖݑ‬ ߤ݇ ݂݇ ≤
݆
ۖ ത ‫ݏ‬
݆=1 ݇=1
‫ݖ‬
‫۔‬ ߲݂݇ ሺ∙ሻ
ത
ۖ −‫݇ߚ − ݏݐ‬ ≤ 0
‫ە‬
ത
߲‫݇ݏ‬
ത

19. Es decir
௛ ௠
−ߤ௞ ݂௦௞ + ≤ ෍ ߤ௞ ݂௭௞ − ෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭
ത ௝
ത
ቐ ௞ୀଵ ௝ୀଵ
−ߚ௞ ݂௦௞
ത
ത
≤ ‫ݐ‬௦
Por lo tanto, si ߤ௞ ݂௦௞ = ߚ௞ ݂௦௞ , i.e., si ߤ௞ = ߚ௞ ,
ത
ത
ത
ത
ത ത
19
௠ ௛
‫ݐ‬௦ = − ෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭ +෍ ߤ௞ ݂௭௞ ∎
௝
௝ୀଵ ௞ୀଵ
‫݌‬௜ = ߱௜ ; ߣ௝ = ߙ௝ ;ߤ௞ = ߚ௞ , ∀݅, ݆, ݇
Note que ‫ݐ‬௜ = ‫ݐ‬௜∗ = ‫ݐ‬௜௞ = ‫ݐ‬௜∗ = 0
௝

20. Resumiendo:
Var Negishi Mercado Precios
ൣ‫ݔ‬௜௝ ൧ ߣ௝ ‫ݑ‬௜ − ߱௜ ≤ 0
௝
‫݌‬௜ − ߙ௝ ‫ݑ‬௜ + ‫ݐ‬௜ ≤ 0
௝ ௝ ‫݌‬௜ = ߱௜
‫ݔ‬௜௝ ൫ߣ௝ ‫ݑ‬௜ − ߱௜ ൯ ‫ݔ‬௜௝ ൫‫݌‬௜ − ߙ௝ ‫ݑ‬௜ + ‫ݐ‬௜ ൯ = 0 ‫ݐ‬௜ = ‫ݐ‬௜∗
௝ ௝ ௝ ௝
ሾ‫ݕ‬௜௞ ሿ ‫݌‬௜ = ߱௜
൛−ߤ௞ ݂௜௞ +߱௜ = 0 ‫݌‬௜ − ߚ௞ ݂௜௞ − ‫ݐ‬௜௞
‫ݐ‬௜௞ = ‫ݐ‬௜∗
20
ሾ‫ݏ‬௞ ሿ ௠ ௛
−‫ݐ‬௦ − ߚ௞ ݂௦௞ ≤ 0
ത ‫ݐ‬௦
−ߤ௞ ݂ ௞ +෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭ − ෍ ߤ௞ ݂ ௞ ≤0
ത ത ௝ ത
ത ௦ ௭ ௠
= −෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭
௝ୀଵ ௞ୀଵ ௝
௝ୀଵ
௛
௠ ௛
‫ݏ‬௞ ൣ−‫ݐ‬௦ − ߚ௞ ݂௦௞ ൧ = 0
ത +෍ ߤ௞ ݂௭௞
‫ݏ‬௞ ቆ−ߤ௞ ݂ ௞ +෍ ߣ௝ ‫ݑ‬௭ −෍ ߤ௞ ݂ ௞ ቇ = 0
ത ௝ ത ത
ത ത ௦ ௭ ௞ୀଵ
௝ୀଵ ௞ୀଵ

21. Un Ejemplo (Maté & Pérez, 2007: 178)
Suponga ݆ = ሺ‫ܤ ,ܣ‬ሻ. La empresa 1 produce energía nuclear, ‫ݍ‬ଵ produciendo ܽ unidades de
emisiones radioactivas, [mercacnía ‫ݍ‬ଶ ]. Los costos de esta empresa son:
ܿ஺ ሺ‫ݍ‬ଵ ሻ = ‫ݍ‬ଵ + ሺ‫ݍ‬ଶ − 3ሻଶ
ଶ
‫ݍ‬ଷ . Dada externalidad generada por la firma A los costos de esta firma son:
El producto contaminante se vierte a un río donde una empresa piscícola produce truchas,
ܿ஻ ሺ‫ݍ‬ଷ , ‫ݍ‬ଶ ሻ = 2‫ݍ‬ଶ + ‫ݍ‬ଷ
ଶ 21
Cuales son las cantidades de energía y truchas en el equilibrio competitivo?
Este equilibrio es PO?
Como consecuencia del Protocolo de Kyoto se define el derecho a un río límpio para B; ese
derecho tiene un valor de mercado que se puede mercadear. En esta situación, la empresa A
debe adquirir un derecho por cada unidad de contaminación que vaya a generar. ¿A qué
precio la empresa B venderá dicho derecho para que la economía sea PO?

22. El Equilibrio Competitivo
La producción de contaminación está dada por:
‫ݍ‬ଶ ሺ‫ݍ‬ଵ ሻ = ߙ‫ݍ‬ଵ
ܿ஺ ሺ‫ݍ‬ଵ ሻ = ‫ݍ‬ଵ + ሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻଶ
Luego:
ଶ
ܿ஻ ሺ‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଷ ሻ = 2ߙ‫ݍ‬ଵ + ‫ݍ‬ଷ
ଶ 22
La firma A resuelve:
max ߨ஺ ሺpሻ = ‫݌‬ଵ ‫ݍ‬ଵ − ‫ݍ‬ଵ − ሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻଶ
ଶ
௤భ
ሾ‫ݍ‬ଵ ሿ: ‫݌‬ଵ − 2‫ݍ‬ଵ − 2ߙሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻ = 0

23. ‫݌‬ଵ + 6ߙ
‫ݍ‬ଵ =
2 + 2ߙ ଶ
°
La firma B resuelve (‫ݍ‬ଵ es exógena para esta firma):
max ߨ஻ ሺpሻ = ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − ܿ஻ ሺ‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଷ ሻ = ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − 2ߙ‫ݍ‬ଵ − ‫ݍ‬ଷ
ଶ
௤య
ሾ‫ݍ‬ଷ ሿ: ‫݌‬ଷ − 2‫ݍ‬ଷ = 0
‫݌‬ଷ
23
→ ‫ݍ‬ଷ =
2
°
Resumiendo, en equilibrio competitivo,
‫݌‬ଵ + 6ߙ ‫݌‬ଷ
൛‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଷ ൟ =൤ , ൨∎
2 + 2ߙ ଶ 2
° °

24. La Solución de Eficiencia:
max Πሺߨ஺ , ߨ஻ ሻ = ߨ஺ + ߨ஻
La internalización del efecto de la externalidad, se formula un problema del tipo de Negishi:
୯
max ‫݌‬ଵ ‫ݍ‬ଵ + ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − ‫ݍ‬ଵ − ሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻଶ − ‫ݍ‬ଷ − 2ߙ‫ݍ‬ଵ
ଶ ଶ
୯
ሾ‫ ݍ‬ሿ: ‫݌‬ଵ − 2‫ݍ‬ଵ − 2ߙሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻ − 2ߙ = 0
ܱܲ ∗ : ൜ ଵ
ሾ‫ݍ‬ଷ ሿ: ‫݌‬ଷ − 2‫ݍ‬ଷ = 0
24
Es decir:
‫݌‬ଵ + 4ߙ ‫݌‬ଷ
{‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଷ } = ൤
௉ை ௉ை
, ൨
2 + 2ߙ ଶ 2
i.e., el equilibrio competitivo no es Pareto Óptimo, de hecho, ‫ݍ‬ଵ < ‫ݍ‬ଵ ∎
௉ை °

25. El Mercado de Derechos de Contaminación:
La firma A compra un derecho de propiedad por cada unidad de contaminación, ‫ݍ‬ଶ luego
los costos deben aumentar y el problema de decisión es ahora:
max ߨ஺ ሺpሻ = ‫݌‬ଵ ‫ݍ‬ଵ − ‫ݍ‬ଵ − ሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻଶ − ߪ‫ݍ‬ଶ
ଶ
௤భ
max ߨ஺ ሺpሻ = ‫݌‬ଵ ‫ݍ‬ଵ − ‫ݍ‬ଵ − ሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻଶ − ߪߙ‫ݍ‬ଵ
O sea,
ଶ
25
௤భ
ሾ‫ݍ‬ଵ ሿ: ‫݌‬ଵ − 2‫ݍ‬ଵ − 2ߙሺߙ‫ݍ‬ଵ − 3ሻ − ߪߙ = 0
‫݌‬ଵ − ߙ ሺߪ − 6ሻ
∴ ‫ݍ‬ଵ =
ො
2 + 2ߙ ଶ

26. La firma B tiene una nueva fuente de ingresos, proveniente de la venta de derechos. Por lo
tanto, su problema de decisión cambia a:
max ߨ஻ ሺpሻ = ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − ܿ஻ ሺ‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଷ ሻ = ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − 2ߙ‫ݍ‬ଵ − ‫ݍ‬ଷ + ߪ‫ݍ‬ଶ
ଶ
௤య
Es decir, (Ahora ‫ݍ‬ଵ informa la decisión de B)
max ߨ஻ ሺpሻ = ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − ܿ஻ ሺ‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଷ ሻ = ‫݌‬ଷ ‫ݍ‬ଷ − 2ߙ‫ݍ‬ଵ − ‫ݍ‬ଷ + ߪߙ‫ݍ‬ଵ
ଶ 26
௤య
ሾ‫ݍ‬ଷ ሿ: ‫݌‬ଷ − 2‫ݍ‬ଷ = 0
ሾ‫ݍ‬ଵ ሿ: −2ߙ + ߪߙ = 0
‫݌‬ଷ
‫= ݍ‬
ො
∴ ቊ ଷ 2
ߪ=2

27. Sustituyendo ߪ = 2 en ‫ݍ‬ଵ
ො
‫݌‬ଵ − ߙሺ2 − 6ሻ
‫ݍ‬ଵ =
ො
2 + 2ߙ ଶ
‫݌‬ଵ − 4ߙ
‫ݍ‬ଵ =
ො
2 + 2ߙ ଶ
Comparando las Asignaciones PO-Eficientes con las logradas luego del intercambio de
27
derechos,
‫݌‬ଵ + 4ߙ ‫݌‬ଵ − 4ߙ
PO Derechos
‫ݍ‬ଵ = ‫ݍ‬ଵ =
ො
2 + 2ߙ ଶ 2 + 2ߙ ଶ
°
‫݌‬ଷ ‫݌‬ଷ
‫ݍ‬ଷ = ‫ݍ‬ଷ =
ො
2 2
°

28. Apéndice: Condiciones (Suficientes) de Kuhn Tucker1
Considere el programa no lineal:
max ݂ሺ‫ܠ‬ሻ ‫݃ ܽ ܽݐ݆݁ݑݏ‬௝ ሺ‫ܠ‬ሻ ≤ ܿ௝ , ݆ = 1, ⋯ , ݉
Siendo ݂ y ݃௝ continuamente diferenciables, ݂ cóncava y ݃௝ convexas. Suponga que existe
un vector λ௝ = ሾߣଵ , ⋯ , ߣ௠ ሿ y un vector factible ‫ ܠ‬଴ tal que,
28
߲݂ ሺ‫ ܠ‬଴ ሻ ௠ ∂݃௝ ሺ‫ ܠ‬଴ ሻ
ሺ݅ ሻ − ෍ λ௝ = 0 ∀݅
߲‫ݔ‬௜ ௝ୀଵ ߲‫ݔ‬௜
ሺ݅݅ሻ λ௝ ≥ 0 ൫= 0 ‫݃ ݅ݏݏ‬௝ ሺ‫ ܠ‬଴ ሻ < ܿ௝ ൯ ∀݆
Entonces ‫ ܠ‬଴ es solución del problema.
1
Cfr Sydsaeter, K and P.J. Hammond (1996): Mathematics for Economic Analysis. N.Y.: Prentice-Hall. Ver en particular cap 18.

29. Referencias
[1.] Baumol, W. and W.E. Oates (1988): The Theory of Environmental Policy. Cambridge
University Press.
[2.] Feldman, A. and R. Serrano (2010): Welfare Economics and Social Choice Theory.
Springer.
29
[3.] Maté, J. y C. Domínguez (2007): Microeconomía Avanzada. Pearson.
[4.] Sydsaeter, K. and P. Hammond (1996): Mathematics for Economic Analysis. Prentice-
Hall.