Teoría de los Juegos: Juegos de Suma Cero

Teoría de los Juegos: Juegos de Suma Cero
Una Introducción

J.C.Segura Ms.Sc.
Universidad de La Salle
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela Colombiana de Ingeniería
Facultad de Economía

Bogotá, D.C., Enero de 2013

Teoría de los Juegos // @JackFlash

Una Escena de “A Beautiful Mind” (2001)

¿Adoptamos solución de Mano Invisible, i.e., cada uno
va a la suya por la rubia, —enfrentando una más que
probable derrota—, o cooperamos, la ignoramos y
vamos por sus amigas, con una ganancia no negativa
para cada uno de nosotros?

Vea esta escena en:
http://www.youtube.com/watch?v=IcTHiS7hQnI


Motivación
En los primeros cursos de microeconomía se han tratado problemas
concernientes a una única unidad de decisión: consumidor y productor eligen
planes de consumo y de producción de entre sus conjuntos factibles para
optimizar una cierta función objetivo.

En dichos modelos, el individuo reacciona ante cambios en los parámetros que
delimitan su ambiente pero (y mucho menos en forma estratégica) no ante otros
individuos. El Supuesto céteris páribus del análisis Marshalliano supone
demasiado acerca del mundo real.

En la práctica agentes, -consumidores, productores, gobiernos- interactúan
entre si y adoptan conductas estratégicas unos respecto de la conducta de otros.


Motivación
En algunos casos es razonable asumir que el individuo no
reacciona dada su estimación de lo que otros individuos van a
hacer, sino que decide actuar dado el valor de alguna estadística
agregada que varía en menor proporción con la elección de un
individuo. En estos casos constituye una razonable estrategia de
modelamiento representar a los agentes decisores como unos
individuos que toman como dado el valor de una cierta variable
agregada. La principal aproximación de este enfoque es la Teoría
del Equilibrio General


Motivación

En la Teoría de las Interacciones o teoría de los Juegos, por
el contrario, introduciremos el estudio de las interacciones
racionales entre individuos que quieren mejorar sus
condiciones, a través de la aplicación de decisiones
estratégicas.


Motivación

Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones
Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se remontan a A.A.Cournot
(1838) y a F.Y.Edgeworth (1881), no es sino hasta 1944 cuando se
logra una primera formalización de la materia1.

1
En Hillas et. al. se ofrece la crónica del desarrollo de la Teoría de los Juegos de Paul Walker: http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pages/paul_walker/gt/hist.htm
http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pa

Motivación
La Teoría de los Juegos solo llegó a conformarse como un cuerpo
disciplinario y científico coherente tras la publicación, en 1944 de la
Theory of Games and Economic Behavior del matemático húngaro John von
Neumann y del economista austriaco Oskar Morgenstern.


Motivación
En 1928 Von Neumann reportó ante la Sociedad Matemática de Göttingen el
hallazgo de una estrategia racional para elegir en el lanzamiento de una
moneda al aire. La prueba de Von Neumann se podía extender a otros juegos
como el ajedrez y algunos juegos de cartas y mostraba que, para cada caso,
existía un mejor método posible de juego que se podía determinar
matemáticamente.

La “mejor estrategia posible” es aquella que garantiza al jugador la máxima
ventaja sin importar las respuestas de los competidores. Morgenstern
entendió con claridad que los agentes debían comprender la naturaleza
interactiva de la economía y que sus decisiones deben estar contextualizadas
en el ambiente prevalente. En 1930 Morgenstern y Von Neumann inician
una colaboración que hizo de la Teoría de los Juegos una verdadera disciplina
científica.

Juegos No Cooperativos con Información
Simétrica
Los juegos de Von Neumann y Morgenstern presentan varios elementos comunes:

• Hay un número finito, N de jugadores y cada uno tiene un conjunto finito S de
estrategias para jugar;
• El juego comprende un número finito de etapas o movidas;
• Al terminar el juego se asigna un pago numérico a cada jugador que es a su
turno la suma ponderada de los pagos recibidos en cada una de las etapas
precedentes;
• La naturaleza puede mutar: las decisiones de los jugadores pueden ser aleatorias;
• La información sobre las opciones de juego, estrategias, reglas y pagos es pública:
cada jugador tiene conocimiento completo y simétrico de las reglas del juego.


Representación de un Juego
Hay varias formas de describir un juego. La forma extensiva
presenta una descripción “extensa” de un juego. En contraste, la
forma estratégica presenta un resumen reducido de las
dimensiones de un juego particular.

, , en la cual:
Definición 1. Un juego finito en forma estratégica es una tupla

= 1,2, ⋯ , , ⋯ ,
= × × ⋯× × ⋯×
es el conjunto de jugadores;
es el conjunto de perfiles de

= ,⋯, ,⋯, siendo : → ℝ la función de beneficio
estrategias puras, y

o utilidad del n-ésimo individuo.

Juegos en Forma Estratégica (Normal)
La anterior especificación implica entonces la definición de un conjunto de
jugadores numerados de 1 hasta N.

Para cada uno de los N jugadores se ha especificado a su vez un número finito de
acciones o estrategias que éste puede adoptar, y se ha notado con . El producto
cartesiano de estos conjuntos se ha notado a su vez con .

Como consecuencia, un elemento típico del conjunto S es = , ,⋯, en el
que cada sn es una estrategia pura del jugador , esto es, un elemento de Sn. El
conjunto s es un perfil de estrategias puras.

Para cada jugador también se ha definido una función : → ℝ que representa el
pago correspondiente a un perfil de estrategia definido.

Para N = 2 jugadores, S = (s1, s2) estrategias disponibles con funciones de pago u1, u2
que dependen tanto de sus acciones individuales como de las acciones de su
contendor, es posible resumir un juego mediante una bimatriz como la siguiente:

1 2 3 L j L n
1 2 1 2 1 2
1 u11 , u11 u12 , u12 u13 , u13 L u1 j , u12j L u1n , u12n
1 1

2 u1 , u21
21
2
u1 , u22
22
2
u1 , u23
23
2
L u 1 j , u 2 j L u1 n , u 2 n
2
2
2
2
Jugador 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 u31 , u31 u32 , u32 u33 , u33 L u3 j , u3 j L u3n , u3n
M M M M O M O M
i ui11 , ui2
1 ui12 , ui22 ui13 , ui23 1 2
uij , uij 1 2
uin , uin
M M M M M M M M
m u1 1 , um1 um 2 , um 2
m
2 1 2
u1 3 , um 3 L u1 , umj L u1 , umn
m
2
mj
2
mn
2


Donde = 1,2, , y 1,2, , son estretégias puras para los
jugadores 1 y 2 respectivamente, y son los pagos del jugador cuando juega y
cuando el otro jugador juega .

Si dichos pagos son tales que , es decir, si 0 se dice que se
trata de un juego de suma cero. La Matriz de pagos se pueden entonces resumir
registrando la ganancia del jugador 1, por ejemplo:
Jugador 2
1 2 3 L j L n
1 u11 u12 u13 L u1 j L u1n
2 u21 u22 u23 L u2 j L u2 n
3 u31 u32 u33 L u3 j L u3n
Jugador 1

M M M M O M O M
i ui1 ui 2 ui 3 uij uin
M M M M M M M M
m um1 um 2 um 3 L umj L umn


El juego así definido consiste en que el jugador 1 escoge “filas” en tanto que el
jugador 2 escoge “columnas” buscando hacer máximos sus pagos. Con Von
Neumann y Morgenstern, los jugadores elegirán de acuerdo con una regla
específica:

El Jugador 1 escogerá la estrategia i que le maximiza el mínimo pago posible que le
permite adquirir el jugador 2, es decir, resuelve el siguiente problema:

max min

El Jugador 2 sabiendo que su oponente seleccionará la fila con el mayor pago, tratará
de minimizar este resultado escogiendo aquella columna que hará mínimas sus
pérdidas resolviendo el siguiente problema:

min max
Encontrando de este modo una estrategia minimax que le genera un pago $ que es, a
su turno, la ventaja que el jugador 2 obtiene por jugar el juego

Una posible solución consistente para el juego es aquella estrategia (i,j) que satisfaga la
condición de maximización de ganancia igual a minimización de pérdidas, o sea:

$ = max min min max $

Este valor de equilibrio se denominó punto de silla o valor del juego:

1

05
.

0

-.
05
1
-1
-1 05
.

-.
05 0
0
-.
05
05
.

-1
1


Ejemplo: Elecciones (Monsalve & Arévalo, 2005):

Dos candidatos se enfrentan en debate electoral en torno a la promesa de construir
Para una de dos ciudades A, B un sistema de transporte masivo (STM). Cada uno de
ellos debe anunciar, no sin costo político, su iniciativa al respecto, buscando el
mayor número de votos posible.

Podemos modelar esta situación como un juego en el que N = {1,2} son los
jugadores (candidato 1 y candidato 2), S1 = S2 = {A, B, O} (Construir el STM en la
ciudad A, construirlo en la ciudad B u omitir el tema), y la matriz de pagos es:

Candidato 2
A B O
Candidato 1

A .45 .50 .40
B .60 .55 .50
O .45 .55 .40


Si el candidato 1 dice construir el STM en la ciudad A y el candidato 2 promete
construirlo para la ciudad B, cada uno obtendría un 50% de los votos.

Para determinar el valor maximin de este juego suponga inicialmente dada la elección
del candidato 1 y búsquese la estrategia del candidato 2 que minimiza el pago del
candidato 1. Como consecuencia de esta política, el candidato 2,
independientemente de la elección del candidato 1, deberá omitir el tema [que tiene
los pagos más bajos para el candidato 1: (A,O)=.40 , (B,O)=.50 y (O,O)=.40 ]

Candidato 2
A B O
Candidato 1

A .45 .50 .40 max min uij
1 2
B .60 .55 .50
O .45 .55 .40

Como el candidato 1 debe ahora maximizar su mínimo pago, deberá elegir Construir el
STM a la ciudad B. El valor maxmin del juego, v1 = .50.

En el otro extremo, la definición del valor minimax del juego, empieza por
encontrar los máximos valores de pago para el candidato 1: (B,A)=.60, (B,B)=.55, y
(B,O)=.55:

Candidato 2
A B O
Candidato 1
A .45 .50 .40 min max uij
2 1
B .60 .55 .50
O .45 .55 .40

El candidato 2 debe minimizar estos pagos por lo que su elección debería ser “Omitir
el tema” que, a la luz de la elección del candidato 1 da (B,O)=.50. El valor minmax
del juegos es, por tanto v2 = 0.5 = v1.


Ejemplo: Un modo de saber si el juego tiene un saddle point consiste en computar
los mínimos de cada fila y los máximos de cada columna para encontrar el número
de la matriz que sea el menor de su fila y el máximo de su columna. Considere la
siguiente matriz de juego (Fidalgo, 2005: 3):

Movistar Entphone Underhill Windtel Min
Movistar 10 -20 -5 -10 -20
Entphone 15 10 -5 -5 -5
Underhill 30 40 -10 -5 -10
Windtel 25 25 -30 -20 -30
PhoneCasie 10 -20 15 -5 -20
Max 30 40 15 -5

En -5 hay un punto de silla y corresponde a la elección (EntPhone,Windtel) y
ninguno de los jugadores puede beneficiarse de un cambio unilateral. Fila pierde $5
como mal menor y columna gana $5 seguros


En contraste, la siguiente matriz de juego, no tiene punto de silla (en estrategias
puras):

Movistar Entphone Underhill Windtel Min
Movistar 10 -20 -5 -1 -20
Entphone 15 10 -5 -10 -10
Underhill 30 40 -10 5 -10
Windtel 25 25 -30 -20 -30
PhoneCasie 10 -20 15 -5 -20
Max 30 40 15 5


Ejemplo.— Encontrando Soluciones MiniMax con GAMS. La Siguiente pieza de
código GAMS sugiere una forma de encontrar el valor de un juego usando las
funciones smin() y smax() de ese lenguaje de computación técnica:
set i Probabilidades /1*3/ display A0, minrow, maxcol, minr, maxc;
j Probabilidades /1*3/;
if( abs(minr-maxc)>0,
alias(i,k); display 'No Saddle Point Solution
alias(j,l); Exist';
else
table A0(i,j) Pagos if( minr=maxc,
display 'Existe una Solución MaxMin de
1 2 3 estrategias puras en:', minr;
1 3 -1 -3 )
2 -3 3 1 );
3 -4 -3 3;

parameter minrow(i) Valor Mínimo Fila
maxcol(j) Valor Máximo Fila
minr Mínimo de los Valores Fila
maxc Máximo de los Valores Columna;

minrow(i) = smin(j, a0(i,j));
maxcol(j) = smax(i, a0(i,j));
minr = smin(i, minrow(i));
maxc = smax(j, maxcol(j));


Ejemplo: Matching Pennies (Monsalve & Arévalo, 2005):

Dos jugadores tiran dos monedas al áire para ver sobre qué costado caen. Si caen
con las dos caras o los dos sellos hacia arriba, el jugador 2 (jugador columna
entregará su moneda al jugador 1 (jugador fila). Si las monedas caen, una mostrando
la cara y la otra el sello ( o viceversa), será el jugador 1 quien deberá entregar su
moneda al jugador 2. En este caso se tendrá:

= 1,2 , %&'&, ())*

Y la representación del Juego es:

Jugador 2 Jugador 2
Cara Sello Cara Sello
Jugador 1 Cara 1, -1 -1, 1 Jugador 1 Cara 1 -1
Sello -1, 1 1,-1 Sello -1 1


Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1 Cara 1 -1
Sello -1 1

=1
Es decir, los pagos son: +
1,
1 1

Los valores del juego para los jugadores 1,2 se computan como sigue:

$ max min max 1, 1 1
$ min max min 1, 1 1

Donde, como es claro $ - $ y no hay valor minimax del juego.


Ejemplo: Piedra, Papel, Tijera (Monsalve & Arévalo, 2005): Dos niños juegan
monedas de $1 a la piedra, papel, tijera. Las reglas de este conocido juego son como
sigue (por si alguien no las recuerda):

Papel Envuelve Piedra;
Tijera Corta Papel;
Piedra Rompe Tijera.

La matriz de juego es:
Jugador 2
Piedra Papel Tijera
Jugador 2 Piedra 0 -1 1

Papel 1 0 -1

Tijera -1 1 0


El jugador 1 deberá hallar aquella(s) estrategia(s) que maximiza(n) los pagos
(mínimos) que con su elección estratégica, le permite el jugador 2:

$ = max min = max = −1, . = −1, . = −1 = −1

En tanto que en el caso del jugador 2,

$ = min max = min = 1, . = 1, =1 =1
De nuevo, en este caso, $ ≠ $ y no hay valor minimax del juego.


El Principio de Solución sugerido por Von Neumann y Morgenstern presenta
entonces un difícil inconveniente por resolver porque el modelo no siempre tendrá
una solución. Sobre esta situación, Monsalve y Arévalo (2005) comentan:

Lo sucedido en los ejemplos clásicos de “Tirar la Moneda” y “Piedra-Papel-Tijera”
obligó a los autores del Theory of Games a tomar una decisión: o aceptaban el hecho
de que los valores minimax no siempre existen (así que, en general, cierta
indeterminación estaría presente en el análisis de múltiples situaciones de interacción
entre agentes racionales) o se deshacían de la indeterminación mediante una
modificación ingeniosa del proceso que conduce a la elección de la estrategia
apropiada.2 (Monsalve & Arévalo, 2005: 21)

Dicha modificación consiste en dejar de lado la elección sobre estrategias puras,
asignando a cada una de ellas un grado de certidumbre/incertidumbre descrito por
una función de probabilidad específica. Solo por formalizar, tengamos en cuenta la
siguiente definición:

2
Monsalve, S. y J. Arévalo (2005): Un Curso de teoría de Juegos Clásica. Bogotá: universidad Externado de Colombia.

probabilidades / = / , ⋯ , / , … , /1 donde / ∀ = 1, … , es la probabilidad de
Definición: Estrategia Mixta.— Una estrategia mixta para el jugador 1 es un vector de

que el jugador 1 juegue la estrategia , con / ≥ 0 y ∑1 / = 1. En forma paralela,
5
una estrategia mixta para el jugador 2 es un vector 6 = 76 , … , 6 , … , 6 8 de
probabilidades donde 6 es la probabilidad de que el jugador 2 juegue la j-ésima
estrategia a su disposición, ∀ = 1, … , , con 6 ≥ 0 y ∑ 5 6 = 1.


En Hillas (1998), el concepto de estrategia mixta, puede estar asociado a
la incertidumbre presente en la mente de los otros jugadores respecto de
lo que el jugador bajo examen hará realmente.

Pero quizás, de nuevo con Hillas, lo más importante es la idea de
extender la función de utilidad de un jugador de aquella definida por el
perfil de estrategias puras de un jugador a aquellas que se definen sobre
las estrategias mixtas disponibles para un jugador. Si un representa la
utilidad esperada del jugador n como función de un perfil de estrategias

= , ,…,
mixtas:

Entonces es el valor esperado de cuando es una variable
aleatoria con distribución .


probabilidad / para el jugador 1, y 6 para el jugador 2. En particular
Para dos jugadores 1 y 2 supongamos que existen distribuciones de

tomemos:
1
/9 = / , / , … , /1 , : / = 1, / ∈ <0,1= ∀
5

69 = 6 , 6 , … , 6 , : 6 = 1, 6 ∈ <0,1= ∀
5
/ es la probabilidad de elegir la estrategia i por parte del jugador 1mientras
que 6 es la probabilidad de elegir la estrategia j por parte del jugador 2.

El valor esperado de una estrategia mixta es una combinación lineal de los
pagos que para un jugador representan las estrategias disponibles por las
probabilidades asociadas a cada una de ellas.


Así, por ejemplo, para los jugadores 1 y 2 tendremos, respectivamente:

? /, = / +/ +, … + /1 1
? 6, = 6 +6 +, … + 6

Los jugadores deberán procurar elegir probabilidades adecuadas para resolver:

max min ? /,
A

min max ? 6,
En el caso del jugador 1, y
B

Entonces / y 6 son una solución del juego (punto de silla del juego). El valor esperado
del juego, dadas las probabilidades / y 6 encontradas es, justamente, el valor minimax
del juego.


Ejemplo: Matching Pennies Otra Vez. — Consideremos de nuevo el juego de las dos
monedas pero ahora tengamos en cuenta que los jugadores tienen distribuciones de
probabilidad p y q con elementos correspondientes a cada una de las estrategias
puras del juego:

J2 [q] [1-q]
J1 Cara Sello
[p] Cara 1 -1

[1-q] Sello -1 1

Para el jugador 1 el valor esperado del juego se calcula como sigue:

? /, %&'& / 1 @ 1 / 1 / 1@/ 2/ @ 1

? /, ())* / 1 @ 1 / 1 /@1 / 2/ @ 1

Gráficamente,

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-

0.000

0.125

0.250

0.375

0.500

0.625

0.750

0.875

1.000
-0.2

-0.4

-0.6 E(p, cara)
-0.8 E(p, sello)
min{ E(p,cara), E(p, sello)}
-1.0

En el eje x aparece el conjunto de salida que es la distribución p; el conjunto de
salida es el valor esperado del juego. La función min{ E(p, cara), E(p, sello) } es
justamente la línea gruesa resaltada.


En particular, para esta función tendremos:

2/ − 1 / ≤ 1/2 ,
? / =+
−2/ + 1 / ≥ 1/2

Recuerde que el jugador 1 deberá elegir apropiadamente valores de p que resuelvan:

max min ? /,
A

Esto es, debe encontrar p que haga a E(p) lo más grande posible. El examen de la
gráfica, y en especial, de la función de mínimo, permite deducir que este valor es
cero (v1=0) y se obtiene cuando la probabilidad p es igual a ½.


En el caso del jugador 2, este deberá resolver el problema contrario: minimizar el
máximo pago para el jugador 2 eligiendo la probabilidad q adecuada. En particular,
los valores esperados del juego, cuando el jugador 1 juega “cara” o “sello” son:

? 6, %&'& = 6 1 + 1 − 6 −1 = 6 − 1 + 6 = 26 − 1
? 6, ())* = 6 −1 + 1 − 6 +1 = −6 + 1 − 6 = −26 + 1

La solución para este jugador es la misma para el jugador 1: v2=0 cuando q = ½.
Como conclusión el valor del juego v = v1 = v2 = 0, y se alcanza cuando p = q = ½.


Ejemplo: Piedra, Papel y Tijera, Otra Vez.— Asignemos las distribuciones de
probabilidad p y q a los jugadores 1 y 2, respectivamente de manera que la matriz de
juego, incluyendo estas probabilidades queda:

Jugador 2 [q1] [q2] [1-q1-q2]
Piedra Papel Tijera
[p1] Piedra 0 -1 1
[p2] Papel 1 0 -1
[1-p1-p2] Tijera -1 1 0

Los valores esperados para el Jugador 1, dadas las distintas posibles elecciones del
jugador 2 son:

? /, E (F'& 0 / @ 1 / @ 1 1 / / / @ 2/ 1
? /, E&/() 1 / @ 0 / @ 1 1 / / 2/ / @1
? /, G ('& 1 / @ 1 / @ 0 1 / / / @/

Recuerde otra vez que el Jugador 1 deberá escoger probabilidades p que le permitan

max min ? /,
resolver:
A
En este caso, la función de mínimo es, precisamente,

min ? /, E (F'& , ? /, E&/() , ? /, G ('&

O sea,

</ + 2/ − 1=, <−2/ − / + 1=, </ + / =

Es fácil comprobar que:

K / + 2/ − 1 ↔ 0 ≤ / , / ≤ .
I
</ + 2/ − 1=, <−2/ − / + 1=, </ + / = = −2/ − / + 1 ↔ . ≤ / , . − / ≤ / ≤ 1,
J
I / + / ↔ / ∈ M0, .N , / ∈ ., 1=
H


Gráficamente,
1
0.5
0 1
-0.5 0.5
-1 0
-0.5
4 -1
4
2
2
4
2 0 0
1
0 -2
-2 0.5 -2
-4
-4 1

-1 0 -4 0.5
-1
-0.5 0
-0.5
0 -0.5
0 -0.5

0.5 0.5 -1
-1
1 1


Los valores mínimos de los valores esperados del juego son negativos en las
regiones especificadas y, consecuentemente, el máximo valor de esa función de
mínimo es cero: ¿Cómo se resuelve el problema?

La respuesta consiste en buscar donde se anula E(p) igualando las funciones
encontradas, esto es, donde:

</ + 2/ − 1= = <−2/ − / + 1= = </ + / =

/ + 2/ − 1 = −2/ − / + 1 ∴ / = .
Tomando las dos primeras ecuaciones

Note que ? / = / + / = 0 ↔ / = / → / = P, por lo cual 1 − / − / = P
Q Q

El estudiante deberá comprobar que esto sucede igual para el jugador 2 y que, en efecto, v1
= v2 = 0, que es un valor que se alcanza cuando se juega piedra, papel o tijera con la misma
probabilidad (1/3).


Ejemplo (Monsalve & Arévalo, 2005): Dada la siguiente matriz de pagos, determine el valor
del juego:

Jugador 2 [q1] [q2]] [1-q 1-q 2]
Jugador 1 a b c
[p] A 3 4 1
[1-p] B 2 0 3

Para el Jugador 1, se tendrá:

? /, & 3/ @ 2 1 / /@2
? /, S 4/
? /, U /@3 1 / 2/ @ 3

Con la tabla y el gráfico a continuación, determinaremos el valor de:

min </ @ 2=, <4/=, < 2/ @ 3=

Para así determinar $ = max min ? /, & , ? /, S , ? /, U

E (p,a ) E (p,b ) E (p,c )
p
p+2 4p -2p + 3 min { . }
0.125 2.125 0.500 2.750 0.500
0.250 2.250 1.000 2.500 1.000
0.375 2.375 1.500 2.250 1.500
0.500 2.500 2.000 2.000 2.000
0.625 2.625 2.500 1.750 1.750
0.750 2.750 3.000 1.500 1.500
0.875 2.875 3.500 1.250 1.250
1.000 3.000 4.000 1.000 1.000

E(p)
4.500

4.000

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

0.500 p
12.5% 25.0% 37.5% 50.0% 62.5% 75.0% 87.5% 100.0%

p+2 4p -2p + 3 min { . }


Ejemplo: Paramilitares y Guerrilleros (Monsalve & Arévalo, 2005): Actores de un
conflicto armado, Paramilitares y Guerrilleros deben decidir acerca del número de
comandos armados que deben enviar a dos frentes de batalla: X, Y. Las reglas son
fáciles: el ejercito que más comandos envíe a un frente, vence allí.

El ejército paramilitar tiene dos columnas armadas en tanto que el ejercito
guerrillero cuenta con cuatro de esos comandos. Los pagos del ejército paramilitar
dadas diferentes estrategias disponibles para cada ejercito en relación con el frente
de batalla X:

Guerrilla Estrategia j
Paras 0 1 2 3 4
i 0 -1 -2 -1 0 0
1 0 -1 -2 -1 0
2 0 0 -1 -2 -1


Note que si los paramilitares envían una columna al frente X, y los guerrilleros no
envían ninguna allí, los paras evidentemente se anotarán una victoria en ese frente;
pero al mismo tiempo los guerrilleros enviarán todas sus columnas frente Y donde
ganarán: el pago es cero porque se observa un empate.

Además, como Monsalve y Arévalo hacen notar, al ejercito guerrillero le resultará
igualmente redituable enviar 0 o 1 columnas al frente X; enviar un ejercito al frente X es
al menos tan bueno como no enviar ninguno. Al mismo tiempo, enviar 4 columnas al frente Y es
al menos tan bueno como enviar 3.

Guerrilla Estrategia j
Paras 0 1 2 3 4
i 0 -1 -2 -1 0 0
1 0 -1 -2 -1 0
2 0 0 -1 -2 -1


Si pi es la probabilidad de elegir la i-ésima estrategia por parte del jugador fila
(paramilitares) y qj es la probabilidad de elegir la j-ésima estrategia por parte del
jugador columna (guerrilleros) , la matriz de pagos (reducida) es:

Guerrilla j
q1 q2 1-q1-q2
Paras 1 2 3
i p1 0 -2 -1 0
p2 1 -1 -2 -1
1-p1-p2 2 0 -1 -2


Para el jugador fila, el valor del juego es aquel que:

$ = max min ? /,
A
En este caso concreto:

? /, 1 = −2/ − /
? /, 2 = −1 − /
? /, 3 = 2/ + / − 2

? 0, 6 = −26 − 6
En el caso del jugador 2:

? 1, 6 = −1 − 6
? 2, 6 = 26 + 6 − 2

En el caso del jugador 1, al comparar las funciones de valor esperado se se
encuentra fácilmente que, por ejemplo:

−2/ − / = −1 − / → −2/ = −1 ∴ / = , / = 0, 1 − / − / =


Bajo estas consideraciones, el valor del juego es v1 = -1, según se corrobora
observando el gráfico de la función,

min < 2/ / =, < 1 / =, <2/ @ / 2=

En donde resulta claro que el máximo valor de dicha función es justamente -1
cuando, según se ha encontrado, p1 = 0.5 y p2 = 0

-1

H
L
E p
-1.5

-2
1

0.75
-2.5

-3
0 0.5
p2
0.25

0.5 0.25

p1
0.75

0
1


En el caso del ejercito guerrillero, el problema a resolver es:

min max ? , 6
B

? 0, 6 = −26 − 6
Para la cual, en este caso,

? 1, 6 = −1 − 6
? 2, 6 = 26 + 6 − 2

Y de donde q1 = 0.5, q2 = 0, 1 – q1- q2 = 0.5. Para estos valores, v2 = -1 de manera
que:

−1 = $ = max min ? /, = min max ? , 6 = $ = −1
A B

La solución (valor) de este juego de guerra dice sencillamente que el valor esperado
del conflicto es perder. En particular el ejercito paramilitar debe lanzar una moneda
para decidir si va con todas sus columnas al frente X o al frente Y, en tanto que el
ejercito guerrillero debe lanzar una moneda para decidir a cual de los dos frentes
envía tres de sus comandos, enviando el cuarto al otro.

El Teorema MinMax
Formalicemos los hallazgos obtenidos a través de los ejemplos provistos:

hay = 1,2 jugadores, el primero con m estrategias y el segundo con n, la
En un juego de suma cero, en el que los intereses de los jugadores son opuestos y

representación del juego admite una representación matricial:

X ⋯ X
V=W ⋮ ⋱ ⋮ [
X1 ⋯ X1

Donde X es el pago recibido por el jugador 1 cuando juega la estrategia i y el
jugador 2 juega la estrategia j.


probabilidad /9 = / , … , / , … /1
6 9 = 76 , … , 6 , … 6 8 el pago esperado por el jugador 1 (fila) al decidirse por la
Para las distribuciones de y

X /6 .
estrategia i, cuando su oponente (jugador columna) decide jugar la estrategia j es:

El pago total esperado es, ex ante:
1
: : X /6
5 5

En términos matriciales,

6V/9


Ejemplo: Considere la siguiente representación del juego de Matching Pennies:

−1
V=M
1
N
1 1

6V/ = 6, 1
Entonces
9 1 1 /
6 M N ]
1 1 1 /

6V/9 1, 1 6 2/ 1, 1 2/ 2 @ 46 / 26 @ 1

HL
E p,q
1
0.5

-0.5
0
0.75
1

-1
0 0.5
q
0.25
0.5 0.25
p 0.75
10


En estas circunstancias, el Jugador 1 tendrá una ganancia de por lo menos:

$ ≥ max min 6V/9
A B

En tanto que el Jugador II tendrá una perdida de cuando más

$ ≤ min max 6V/9
A B

que el Jugador 2 está dispuesto a perder (y viceversa), deberían encontrarse /∗ y 6 ∗
Si se quiere asegurar que la cantidad que el Jugador 1 busca ganar coincida con la

max min 6V/9 = min max 6V/9
tales que:
A B A B

La existencia de los vectores /∗ y 6 ∗ constituye el contenido del teorema MinMax
que se presenta a continuación:


Teorema MinMax (Von Neumann, 1928):
Sea V una matriz cualquiera de orden × . Para esta matriz existen distribuciones
de probabilidad /∗ ∈ ℝ_ y 6 ∗ ∈ ℝ1 tales que:
_

max min 6 ∗ V/∗9 = min max 6 ∗ V/∗9
A B B A

adición, si el máximo en el lado izquierdo se alcanza en /∗ y el mínimo en el lado
Es decir, el valor minmax sobre todas las estrategias mixtas iguala al valor maxmin. En

derecho se alcanza en 6 ∗ , entonces ningún jugador estará dispuesto a cambiar su
estrategia en forma unilateral, o sea:

6 ∗ V/9 ≤ 6 ∗ V/∗9 ≤ 6V/∗9


Ejemplo: Se lanza al aire una moneda y muestra el resultado al jugador H que puede pasar o
apostar. Si pasa le paga $1 al jugador K. si sigue, el jugador K puede pasar o apostar. Si pasa y
había salido Cara debe pagar $2 al jugador H, pero si había salid sello, es H el que debe pagar
$2 a K. Si los dos jugadores siguen jugando K debe pagar $1 a H.

El perfil de estrategias de H es: {P, A, PA, AP} donde:

P: Pasar Siempre,
A: Apostar Siempre,
PA: Pasar si sale cara y apostar si sale sello,
AP: Apostar si sale Cara y pasar si sale sello

El perfil de estrategias para K contiene solamente P (pasar) o A (Apostar).


Por lo tanto hay cuatro (4) consecuencias posibles para la ganancia de H:

i. Ganancia de $1 si los dos deciden apostar,
ii. Ganancia de -$1 si H pasa,
iii. Ganancia de $2 si H apuesta, K apuesta y sale cara; y
iv. Ganancia de -$2 si H apuesta, K pasa y sale sello.

Si la probabilidad de sacar cara es ½, la matriz de juego es:

Jugador K
Jugador H Mínimos
P A

−1 + −2 =− −1 + 1 =0 −
. .
P -1 -1 -1

2 + −1 = 1 + −1 =0
PA

2 + −2 =0
AP 0
A 1 0
Máximos 1

El juego no tiene punto de silla. Sin embargo, note que las estrategias P y PA del jugador H
producen la peores ganancias para el jugador H, sin importar qué juegue K y se dicen

dominadas por las estrategias PA, y A. El jugador H no las va a jugar. Si se eliminan estas
estrategias, tendremos la siguiente matriz de juego

Jugador K
Jugador H Mínimos

2 + −1 = 1 + −1 =0
P A

2 + −2 =0
AP 0
A 1 0
Máximos 1

Suponiendo las estrategias mixtas /, 1 − / para el jugador H y 6, 1 − 6 para el jugador
Al tener solo dos estrategias por jugador es posible obtener una solución gráfica.

K, se tendrá:


Si K decide pasar: P/ + 1 / 0
`
P
`
/
Si K decide apostar: 0 / @ 1 1 / 1 /
Si H decide PA: P6 @ 0 1 6
`
6
Si H se decide por A: 0 6 @ 1 1 6 1 6

Jugador H Jugador K


Juegos de Suma Constante con dos Jugadores
Aquí la suma de los pagos de los dos jugadores es constante como el caso de una
cantidad fija que hay que repartir entre los dos individuos (ejemplo de la votación):
Los juegos de suma cero son un caso especial.

Ejemplo (López Fidalgo, 2007: 3) dos empresas de catering ofrecen servicios en un
evento de 3000 personas. Deben ofrecer menú y publicidad. La firma 1 ofrece tres
modalidades distintas, en tanto que la firma 2, ofrece dos combinaciones distintas.
La matriz de pagos es:

Firma 2
Firma 1
Modalidad 1 Modalidad 2 Mínimos
Modalidad 1 1500 2400 1500
Modalidad 2 1400 2600 1400
Modalidad 3 1500 1400 1400
Maximos 1500 2600


Algunos Métodos de Solución

Solución General

1. Verificar la Existencia de Saddle Points;
2. De no haber solución de saddle point inmediata, elimine las estrategias
dominadas por jugador fila y por jugador columna hasta que no haya
estrategias dominadas (eliminación iterada de estrategias dominadas).
3. Si la matriz de juego es 2x2 resuelva gráficamente. En caso contrario
formule y resuelva un programa lineal que represente el juego


Solución vía Programación Lineal

Considere el caso del Jugador Fila.

$ ≤ & / +, … + &1 /1
K⋮
I$ ≤ & / +, … + & /
1 1,
max a = $ . &. 1
J1 = : /
I 5
H0 ≤ / , = 1, … ,

c ≤ & 6 +, … + & 6
En tanto que para el jugador columna, el programa es:
K⋮
Ic ≤ & / +, … + &
max a = c . &.
1
,
J1 = : 6
I 5
H0 ≤ 6 , = 1, … ,


Ejemplo.— Considere dos firmas que compiten en una licitación pública.

/ / /. . La matriz A de pagos es la que sigue. (1 significa vencer, -1
Cada una de ellas ofrece tres tipos distintos de configuraciones de proyecto,

perder la licitación y 0, declaración de desierto para la licitación):

Firma C
Firma F Mínimos
Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3
Proyecto 1 0 -1 1 -1
Proyecto 2 1 0 -1 -1
Proyecto 3 -1 1 0 -1
Máximos 1 1 1

De la comparación de mínimos fila y máximos columna se observa que

max + min & d ≠ min e max & f
5 ,…,1 5 ,…, 5 ,.., 5 ,…,1


Formulando el problema como un programa lineal, para el jugador Fila (Firma F) el

$ ≤ / − /.
problema es3:
K $ ≤ −/ + /
I .
max a = $ . &.: $ ≤/ −/ ,
J1 = / + / + /.
I
H 0 ≤ / , / , /.

/ +/
Igualando las dos primeras ecuaciones:
/ − /. = −/ + /. → /. =
2
Utilizando la Restricción 1 = / + / + /. ,
/ +/ 3
/ +/ + =1→/ +/ =
2 2
/ +/ 3⁄2 1
/. = = ∴ /. =
2 2 3

/ − / = −/ + /. → /. + 3/ = . ∴ / = .
Ahora, considerando
h

9
Luego / = 3 ∗ ] ∎
1 1 1
3 3

3
La solución en el caso del jugador II se obtiene mediante procedimientos análogos y se deja como ejercicio.

El Principio de Indiferencia (Ferguson, 2011: 17)
Sea V1× una matriz de juego. Si el jugador I usa una estrategia mixta /9 = / , … , /1 9 y

∑1 / &
el jugador II opera sobre la j-ésima columna, entonces el pago promedio del Jugador I es
5

Si $ es el valor del juego, entonces una estrategia óptima / está caracterizada por el hecho de
que el pagor promedio del Jugador I es por lo menos igual a j sin importar lo que juegue el
Jugador II:
1
: /& ≥$ ∀
5

En forma similar, para el Jugador II se esperaría que

: & 6 ≤$ ∀
5


Cuando los jugadores I y II usan estrategias óptimas el pago promedio es
exactamente igual al valor del juego, i.e.,

: : /& 6 =$

En efecto, usando la inecuación de Von Neumann-Morgenstern:

1 1
$=: $6 ≤ : k: / & l =: : / & 6 = : / m: & 6n
5 5 5 5 5
1
≤: /$=$
5


Teorema del Equilibrio (Ferguson, 2007: II-17)
Considere un juego caracterizado por una matriz V de orden × y valor del
juego $ . Sea / = / , … , / , … , /1 9 una determinada estrategia óptima para el
Jugador I (digamos, el jugador fila), y 6 = 76 , … , 6 , … , 6 8 una estrategia óptima
9

para el Jugador II (el jugador columna). Entonces:

: & 6 = j ∀/ > 0
5
y
1
: / & = j ∀6 = 0
5


Demostración.— Suponga que no es cierto y que existe un /p > 0 y que ∑ 5 &p 6 ≠ j.
Entonces, dado

: & 6 ≤j ∀
5
Necesariamente
: &p 6 < j ∀
5
Pero por la inecuación de Von Neumann-Morgenstern

1 1
j=: / m: & 6 n<: /j=j
5 5 5

Que implica una desigualdad estricta puesto que es estricta para el k-ésimo término en la
suma∎


Intuitivamente, el significado del teorema propuesto es que si existe una estrategia óptima
para el Jugador I que otorga probabilidades estrictamente positivas a la i-ésima fila, entonces
toda estrategia óptima del Jugador II proporciona al jugador I el valor del juego, si este usa la
fila i.

El teorema sugiere, —para el caso del Jugador I—, tratar de encontrar una solución para el
sistema de ecuaciones
1
: / & = j ∀6 = 0
5

Conformada por todas aquellas j para las cuales se cree que existen / > 0. “Una forma de
decir lo mismo es que el Jugador I busca una estrategia que hace indiferente al Jugador II respecto de cuales
estrategias (de valor positivo) usar. En forma similar, el Jugador II debería jugar de manera tal que al
Jugador I le resulte indiferente cualquiera de las estrategias puras a su disposición. Esto es lo que se llama
Principio de Indiferencia” (Ferguson: 2007: 18)


Ejemplo: Considere el siguiente juego (Pares y Nones):

0 1 −2
r1 −2 3 s
−2 3 4
En este caso resulta difícil saber quien tiene la ventaja. Si se juega el juego en forma
repetida, parecería ser el caso de que el jugador columna dará probabilidades positivas a
todas las columnas. Si este supuesto es adecuado, entonces el Jugador I debería jugar a
hacer al Jugador II indiferente y por tanto la estrategia óptima del Jugador I debería
satisfacer:

/ − 2/. = j <1=
/ − 2/ + 3/. = j <2=
−2/ + 2/ + 4/. = j <3=

Para algún $, habida cuenta que se espera que / + / + /. = 1 <4=


A partir de [1] y [2]:

/ − 2/. = / − 2/ + 3/.

∴ / − 3/ + 5/. = 0 <5=

Considerando en Forma Conjunta a [2] y [3]:

/ − 2/ + 3/. = −2/ + 2/ + 4/.

∴ 3/ − 5/ + 7/. = 0 <6=

Junto con la identidad [4] se tiene el siguiente sistema de ecuaciones de la forma Vw = S

1 −3 5 / 0
r3 −5 7s r/ s = r0s <7=
1 1 1 /. 1


De donde, como es usual, una solución del tipo w = Vx S es, en este caso:

/ 1 −3 5 0 −3 2 1 0
r/ s = r3 −5 7s r0s = y r 1 −1 2s r0s
P

/. 1 1 1 1 2 −1 1 1
Esto es,
9
/ / /. 9
= h ] ∎
h h

En consecuencia, el valor del juego es por lo menos $ = 0 si el supuesto de acuerdo con el
cual la estrategia óptima del Jugador II otorga ponderaciones positivas a todas las columnas
es correcto.


Un programa GAMS (General Algebraic Modeling System) para resolver el sistema [1]~[4]
es el que aparece a continuación (fragmento):

variables
p1 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 1
V Valor del Juego;

equations
eq1 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 1
eq4 Identidad Probabilistica;

eq1.. p2 - 2*p3 =e= V;

eq2.. p1 - 2*p2 + 3*p3 =e= V;

eq3.. -2*p1 +3*p2 - 4*p3 =e= V;

eq4.. p1 + p2 + p3 =e= 1;

model oddeven /all/;

Los resultados del programa se muestran a continuación (SolEQU, SolVAR):

LOWER LEVEL UPPER

---- EQU eq1 . . .
---- EQU eq2 . . .
---- EQU eq3 . . .
---- EQU eq4 1.000 1.000 1.000

eq4 Identidad Probabilistica

LOWER LEVEL UPPER

---- VAR p1 . 0.250 +INF
---- VAR p2 . 0.500 +INF
---- VAR p3 . 0.250 +INF
---- VAR V -INF -1.11E-16 +INF

V Valor del Juego


Ejemplo: (López Fidalgo, 2008: 11). Considere de nuevo el juego de las licitaciones ya
presentado. La matriz de juego es:

Firma C
Firma F Mínimos
Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3
Proyecto 1 0 -1 1 -1
Proyecto 2 1 0 -1 -1
Proyecto 3 -1 1 0 -1
Máximos 1 1 1

Y supondremos con el principio de indiferencia que el Jugador I (La firma F) resuelve el
problema:

$ ≤ / − /.
K $ ≤ −/ + /
I .
max a = $ . &.: $ ≤/ −/ ,
J1 = / + / + /.
I
H 0 ≤ / , / , /.


Si suponemos que el Jugador Fila adoptará una estrategia mixta que mantenga al jugador II
indiferente w.r.t. sus estrategias puras, el problema puede transformarse en el de encontrar la
solución del CNS:

/ + / − 2/. = 0
−2/ + / + /. = 0
/ + / + /. = 1
En formato matricial,

1 1 −2 / 0
r−2 1 1 s r/ s = r0s
1 1 1 /. 1

/ 1 1 −2 x 0 0 −1 1 0 1/3
De modo que r/ s = r−2 1 1 s r0 s = . r 1 1 1s r0s = r1/3s
/. 1 1 1 1 −1 0 1 1 1/3


Juegos No Singulares:
Considere un juego con matriz de pagos × cuadrada V y suponga que esta matriz tiene
inversa. Asuma que I tiene una estrategia óptima con ponderadores positivos para todas y cada una de las

indiferencia, cada una de las estrategias óptimas 6 del Jugador II deberá satisfacer:
filas (es decir, se asume que todas las estrategias están activas). Entonces, por el principio de

1
: & 6 =$
5

Que es un sistema de ecuaciones en variables. Si V es no singular, el sistema se podrá
resolver para 6 . En términos matriciales, si 6 es el vector de estrategias del individuo II, y
1 = 1,1, … ,1 9 representa un vector columna de unos, el sistema es:

V6 = $1

Note que $ no puede ser cero pues en otro caso V sería singular. Como se supone lo
contrario, existe Vx


Multiplicando por Vx los dos lados de
& ⋯ &1 6 1
W ⋮ ⋱ ⋮ [ W ⋮ [ = $ W1[
&1 ⋯ &11 1×1
61 1× 1 1×

& ⋯ &1 & ⋯ &1 x 6 & ⋯ & x
1
Se tendrá:
1
W ⋮ ⋱ ⋮ [ W ⋮ ⋱ ⋮ [ W ⋮ [ = $W ⋮ ⋱ ⋮ [ W1[
&1 ⋯ &11 1×1
&1 ⋯ &11 1×1 61 1×
&1 ⋯ &11 1×1 1 1×

6 = $Vx 1
Es decir:

Si el valor del juego $ fuera conocido, se tendría la estrategia óptima única para el Jugador II.
Para encontrar $ se puede partir del hecho de que ∑1 6 = 1. En notación vectorial:
5
6
1, … ,1 9 r ⋮ s = 19 6 = 1
61


Entonces, multiplicando a ambos lados de 6 = $Vx 1 por 19 , se tendría, en consecuencia:

1 = 19 6 = $19 Vx 1

$19 Vx 1 = 1

Y por lo tanto, el valor estimado del juego es:

1
$=
19 Vx 1

Reuniendo todo a partir de 6 = $Vx 1:

Vx 1
6 = 9 x
∗
1 V 1

Observación: Si algún componente 6 es negativo, el supuesto de acuerdo con el cual el
Jugador I tiene una estrategia con pesos todos positivos debe revisarse (y el problema
resolverse utilizando, por ejemplo, el método simplex)

En cualquier caso, si se encuentra que 6 ≥ 0 ∀ = 1, … , la estrategia óptima para el
Jugador I se puede encontrar aplicando el mismo conjunto de hipótesis. En particular,

19 Vx
/∗9 = 9 x
1 V 1

Si, finalmente, / ≥ 0 ∀ = 1, … , entonces, / y 6 son estrategias óptimas pues ambas
garantizan un pago promedio igual a $ sin importar lo que el otro jugador haga.


Teorema.— Estrategias Óptimas en Juegos No Singulares
Suponga que la matriz de juego V es no singular y que 19 Vx 1 ≠ 0. Entonces, el valor del
juego con matriz de pagos V es:

1
$=
19 Vx 1
Mientras que las estrategias óptimas para los jugadores involucrados son:

/9 = $19 Vx

6 = $Vx 1

Siempre que / ≥ 0 y 6 ≥ 0


Ejemplo: Suponga que un juego presenta la siguiente matriz:

1 2 −1
V = r 2 −1 4s
−1 4 −3

0,8125 −0,1250 −0,4375
En este caso,

Vx = r−0,1250 0,2500 0,3750 s
−0,4375 0,3750 0,3125

0,8125 −0,1250 −0,4375 1
Note que

19 Vx 1 = 1 1 1 r−0,1250 0,2500 0,3750 s r1s = 1
−0,4375 0,3750 0,3125 1

De modo que $ = 19 Vx 1 x
= 1⁄1 = 1


Además,

0,8125 −0,1250 −0,4375
/9 = 19 Vx = 1 1 1 ×. r−0,1250 0,2500 0,3750 s
−0,4375 0,3750 0,3125 .×.

/9 = 0.25 0.50 0.25 ×.

0,8125 −0,1250 −0,4375 1
6 = Vx 1 = r−0,1250 0,2500 0,3750 s r1s
−0,4375 0,3750 0,3125 .×. 1 .×

0.25
6 = r0.50s
0.25

/, 6 ≥ 0 luego son óptimas y el valor del juego es $ = 1


Ejemplo: Suponga que un juego presenta la siguiente matriz:

3 −1 −3
V = r−3 3 1s
−4 −3 3

−0.3750 −0.3750 −0.2500
La matriz inversa de A es:

V
x
= r−0.1563 0.0938 −0.1875s
−0.6563 −0.4063 −0.1875

La inversa de la suma de los elementos de Vx da $ = 1/ 19 Vx 1 x
=
x .|
= −0.4. De aquí,
las estrategias óptimas para los Jugadores I y II son,

/9∗ = 0.475, 0.275, 0.250 9

69∗ = 0.400, 0.100, 0.500 9


Alternativamente, es posible representar este juego como un problema de
optimización típico de la forma:

c ≤ & 6 +, … + & 6
K⋮
Ic ≤ & / +, … + &
max a = c . &.
1
,
J1 = : 6
I 5
H0 ≤ 6 , = 1, … ,

Para resolver numéricamente el mismo ejemplo, considere el listado GAMS a
continuación.


*---
*--- Solución de Via Programación Matemática de un Juego Singular
*---

set i Estrategias Puras – Jugador Fila /1*3/
j Estrategias Puras – Jugador Columna /1*3/;

alias(i,k);
alias(j,l);

table A0(i,j) Matriz de Pagos

1 2 3
1 3 -1 -3
2 -3 3 1
3 -4 -3 3;

*--- Se investiga si el Juego tiene un saddle point en estrategias puras

parameter minrow(i) Valor Mínimo Fila
maxcol(j) Valor Máximo Fila
minr Mínimo de los Valores Fila
maxc Máximo de los Valores Columna;

minrow(i) = smin(j, a0(i,j));
maxcol(j) = smax(i, a0(i,j));
minr = smin(i, minrow(i));
maxc = smax(j, maxcol(j));

display A0, minrow, maxcol, minr, maxc;

if( abs(minr-maxc)>0,
display 'No Saddle Point Solution Exist';
else
if( minr=maxc,
display 'Existe una Solución MaxMin de estrategias puras en:', minr;
)
);

parameter
A(i,j) Matriz de Pagos Modificada;

A(i,j) = A0(i,j) + 5;

variables
p(j) Probabilidades
w Objetivos ;

equations
obj Función Objetivo
restr(i) Definición del Valor del Juego
equil Condición de Equilibrio en Probabilidades;

obj.. w =e= sum(j, p(j));

restr(i).. sum(j, a(i,j)*p(j)) =e= 1;

equil.. sum(j, p(j)) =e= 1;

model paso
/
obj
restr
* equil
/ ;

p.lo(j) = 0;
p.l(j) = 0.0001;

solve paso using lp maximizing W;

*--- Transformando el Problema para eliminar el slack

parameter report reporte de resultados;

report("Valor del Juego", "Valor") = (1/W.l) - 5;
report("Probabilidad",j) = p.l(j)/w.l;
report("Probabilidad","Valor") = sum(j,p.l(j)/w.l);

display report;


S O L V E S U M M A R Y

MODEL paso OBJECTIVE w
TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE
SOLVER CPLEX FROM LINE 70

**** SOLVER STATUS 1 Normal Completion
**** MODEL STATUS 1 Optimal
**** OBJECTIVE VALUE 0.2174

LP status(1): optimal
Cplex Time: 0.02sec (det. 0.01 ticks)

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU obj . . . 1.000

obj Función Objetivo

---- EQU restr Definición del Valor del Juego


1 1.000 1.000 1.000 0.103
2 1.000 1.000 1.000 0.060
3 1.000 1.000 1.000 0.054


---- VAR p Probabilidades


1 . 0.087 +INF .
2 . 0.022 +INF .
3 . 0.109 +INF .


---- VAR w -INF 0.217 +INF .

**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT
0 INFEASIBLE
0 UNBOUNDED

---- 80 PARAMETER report reporte de resultados

1 2 3 Valor
Valor del Juego -0.400
Probabilidad 0.400 0.100 0.500 1.000


Juegos Diagonales.—
Suponga que un juego determinado tiene una matriz de pagos

F 0 ⋯ 0
0 F ⋯ 0
V=} ~
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ F1

Donde F > 0, ∀ = 1, … , . Por el principio de indiferencia,

/ F = j ∴ / = j/F ∀
Sumando sobre
1
1 = j: 1/F
5

1 x
Es decir, el valor del juego es:

j = k: 1/F l
5

Ejemplo: Considere un juego diagonal con matriz de pagos:

1 0 0 0
0 2 0 0
V=} ~
0 0 3 0
0 0 0 4

Aquí ∑1 1/F = P_P_P_P5`•
5 P ` Q y P`

Por tanto, $ =
|

Y las estrategias óptimas son:

/=6= , , ]∎
€ h .
,
| | | |


Referencias
[1.] Bierman, H.S. and L. Fernandez (1998): Game Theory with Economic Applications.
Reading (MA): Addison-Wesley.
[2.] Ferguson, T.S. (2006): Game Theory. Lecture Notes. Department of Mathematics.
University of California.
[3.] Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): Game Theory. Cambridge: MIT press.
[4.] Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Antoni Bosch.
[5.] Hillas, J., D. Kvasov and A. Schiff (2012):Game Theory and Economic Applications.
Auckland (NZ): The University of Auckland.
[6.] Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory. N.Y.: Addison-Wesley.
[7.] López Fidalgo, J. (2008): Teoría de Juegos. Universidad de Castilla-La Mancha.
Lecture Notes
[8.] Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (1999): Competencia Imperfecta I:
Equilibrio de Nash en Juegos Estaticos. Capítulo IV En: Monsalve, S. [ed.] (1999):
Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá: Universidad Nacional de
Colombia.
[9.] Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá:
Universidad Nacional de Colombia.

[10.] Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá:
Universidad Externado de Colombia.
[11.] Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.


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