Este documento explica cómo calcular las razones trigonométricas (sen, cos, tan, etc.) para ángulos notables de 30°, 60° y 45° utilizando triángulos equiláteros e isósceles. También cubre las razones trigonométricas para ángulos de 0° y 90° así como la reducción de cualquier ángulo al primer cuadrante.

1. FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
(Parte 2)
José David Ojeda Marín

2. Razones trigonométricas
para ángulos notables

3. Razones trigonométricas de
ángulos notables
ANGULOS DE 30° Y 60°
Para determinar las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y
60°, se utiliza una construcción auxiliar
de un triangulo equilátero.

4. Razones trigonométricas de
ángulos notables
60°
30°
l
l /2
h
A
C
B

5. Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Como el ABC es equilátero, se observa que
A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre
AB, mediatriz de AB y bisectriz de C.
• Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y
DB = además:l
2
1

6. Razones trigonométricas de
ángulos notables
2
2
2
2
h
l
l +





= Por Pitágoras
l
ll
lh
2
3
4
3
4
22
2
==−=
Despejando h y simplificando

7. Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Ahora podemos calcular las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
del triangulo.
230csc
3
3
3
1
30tan
3
32
3
2
30sec
2
3
30cos
3
1
3
30cot
2
1
30
=°==°
==°=°
==°=°sen

8. Razones trigonométricas de
ángulos notables
3 1 3
60 cot60
2 33
1
cos60 sec 60 2
2
3 2 2 3
tan60 3 csc 60
1 33
sen ° = ° = =
° = ° =
° = = ° = =

9. Razones trigonométricas de
ángulos notables
ANGULOS DE 45°
Para determinar las razones
trigonométricas del ángulo de 45°, se
utiliza un triangulo rectángulo isósceles.

10. Razones trigonométricas de
ángulos notables
45°
45°
l
l
A B
C

11. Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Como el ABC es rectángulo se
verifican , entre otras, las siguientes
propiedades:
B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l
Además:
= + =
=
2 2 2 2
2
2
h l l l
h l
Por Pitágoras

12. Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Ahora podemos calcular las razones
trigonométricas del ángulo de 45°.
° = = ° = ° =
° = = ° = ° =
1 2
45 tan45 1 sec45 2
22
1 2
cos45 cot45 1 csc45 2
22
sen

13. Razones trigonométricas de
ángulos notables
ÁNGULOS de 0° y 90°
Recordemos que según los visto en el tema
de funciones trigonométricas de ángulos
cuadrantales:
° = ° = ° =
° = ° = ° =
° = ° = ° =
° = ° = ° =
0 0 tan0 0 sec0 1
cos0 1 cot0 csc0
90 1 tan90 sec90
cos90 0 cot90 0 csc90 1
sen
Ind Ind
sen Ind Ind

14. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Nota: Recordar siempre las siguiente
equivalencias: θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=
=
tan
cos
cos
cot
1
sec
cos
1
csc
sen
sen
sen

15. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejemplo: Determinar el valor de la
siguiente expresión:
Solución: como y
entonces.
° + °) 30 60a sen sen
° =
1
30
2
sen ° =
3
60
2
sen
+
° + ° = + =
1 3 1 3
30 60
2 2 2
sen sen

16. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejemplo 2: Determinar el valor de la
siguiente expresión:
Solución: Sabemos por conversión de
ángulos del sistema cíclico a sexagesimal
que:
π π
−) tan sec
3 6
b
π
π
= °
= °
60
3
30
6
rad
rad

17. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Entonces:
entonces
π π
− = ° − °
= − = −
tan sec tan30 sec30
3 6
0 3 3
π π
− = −tan sec 3
3 6

18. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejercicios: Hallar el valor de las siguientes
expresiones
π π
° + + °
+
) 45 60° ) sen 90° tan45
2 45°
c) tan sec d)
4 3 30°
a sen sen b
sen
sen

19. Ángulos
complementarios

20. Funciones trigonométricas
Dos ángulos y son complementarios
si y solo si . Se dice entonces
que es complemento de y viceversa.
En el siguiente triangulo se puede ver que
, es decir que y son
complementarios.
α β
90α β+ = °
α β
90α β+ = ° α β
α
β
A
B C
c
b
a

21. Funciones trigonométricas
• Se puede también observar que:
• La relación que se presenta entre estos
pares de funciones se denomina con
funcionalidad
y
y
cos
tan c
y
ot
sec csc
b b
c c
b b
a a
sen
b b
a a
α β
α β
α β
= =
= =
= =

22. Funciones trigonométricas
• Confuncionalidad: El valor de una función
trigonométrica de un ángulo es igual al
valor de la cofunción correspondiente de
su ángulo complementario.
• Recordar que:
( )
( )
( )
90
90
cos
tan cot
sec csc90
sen θ
θθ
θ θ
θ° − =
° − =
° − =

23. Funciones trigonométricas
• Ejemplo: En el siguiente grafico, si
hallar2
5
sen α = secβ
β
α

24. Funciones trigonométricas
• Puesto que los ángulos y son
complementarios:
• Por tanto:
• Como:
entonces
α β
cossen α β=
2
cos
5
β =
1
sec
cos
β
β
= 5
sec
3
β =

25. Funciones trigonométricas
• Ejemplo: A partir de la siguiente
gráfica, determinar:
cos secsen α δ β
β
α
δ
γ
C B
A
D
5 cm
3 cm

26. Funciones trigonométricas
En el triangulo CAB se tiene que
Como y son complementarios, entonces:
Como y son complementarios, entonces
Por tanto:
3
5
sen α =
α δ
os
3
5
c sen αδ = =
α β
os
3
5
c sen αβ = =
1 5
cos
sec
4
β
β
= =

27. Reducción de ángulos al
primer cuadrante

28. Reducción de ángulos al primer cuadrante
• Es posible expresar las funciones
trigonométricas de cualquier angulo θ en
términos de la funciones
trigonométricas de un ángulo cuya
medida es mayor o igual que cero y
menor o igual que 90° ( ).0 90θ° ≤ ≤ °

29. Reducción de ángulos al primer cuadrante
Ángulos de referencia: Si es un ángulo
no cuadrantal, se llama ángulo de
referencia al ángulo agudo que forman
el lado final del ángulo con uno de los
semiejes de x.
θr
θ
θ

30. Reducción de ángulos al primer cuadrante
θ θ
θ
r
θ
r
θ
r
θ

31. Reducción de ángulos al primer cuadrante
TodosSentimos
Tantas Cosas
II
III IV
I
…y eso es positivo

32. Reducción de ángulos al primer cuadrante
• Ejemplo: Determinar las razones
trigonométricas del ángulo de 150°
Solución: El ángulo
de referencia para
un ángulo de 150°,
es un ángulo de 30°
en el segundo
cuadrante.
150°
30°

33. Reducción de ángulos al primer cuadrante
• Como se trata de un ángulo en el
segundo cuadrante, sabemos que las
funciones seno y cosecante son
positivas, las demás son negativas.
1
150 30
2
3
cos150 cos30
2
150 30° 3
tan150
cos150 cos30 3
sen sen
sen sen
° = ° =
° = − ° = −
°
° = = = −
° − °

34. Reducción de ángulos al primer cuadrante
cos30 cos30
cot150 3
30 30°
1 1 2 3
sec150
cos150 cos30 3
1 1
csc150 2
150 30
sen sen
sen sen
° − °
° = = = −
°
° = = = −
° °
° = = =
° °

35. Reducción de ángulos al primer cuadrante
Funciones trigonométricas de ángulos
coterminales
Todo ángulo β cuya medida es mayor que
360° o negativa, es coterminal con un
ángulo cuya medida se encentra entre
0° y 360° y se tiene que.
α
tan tan sec sec
cos cos cot cot csc csc
sen senβ α β α β α
β α β α β α
= = =
= = =

36. Reducción de ángulos al primer cuadrante
• Ejemplo: Determinar el valor de
y de .
Solución: El ángulo de -210° es coterminal
con el angulo de 150° y este ángulo a su
vez tiene como ángulo de referencia a
30°. Por lo anterior.
y
( )210sen − °
( )cos 210− °
( ) 150210 3 =
1
°
2
0sen n sense °− ° = =
( ) cos 150
3
2
cos 210 cos 30°=− ° = = − −°

37. Reducción de ángulos al primer cuadrante
-250°
150°
30°

38. Reducción de ángulos al primer cuadrante
• Determinar los valores de sen, cos y tan
de un ángulo de 780°.
• Solución: Cada ángulo de una vuelta
mide 360°.
Puesto que , el ángulo
de 780° es coterminal con el ángulo de
60°. Entonces
( )780 2 360 60° = × ° + °

39. Reducción de ángulos al primer cuadrante
780 =
cos7
60°
cos60
3
3
2
tan60
1
80
tan780
2
s sen en° =
° = =
° = ° =
°

40. Circunferencia Unitaria

41. Circunferencia Unitaria
• Circunferencia Unitaria: Es aquella
circunferencia que tiene como centro el
origen del plano cartesiano y de radio la
unidad (radio 1)

42. Circunferencia Unitaria
r = 1
1-1
1
-1
0
P(x, y)

43. Circunferencia Unitaria
• En la grafica anterior se muestra la
circunferencia unitaria que contiene el
punto P(x, y). Al aplicar el teorema de
Pitágoras se obtiene que para todo
punto P(x, y) se cumple que:
2 2
1x y+ =

44. Circunferencia Unitaria
• Si θ es un ángulo en posición normal cuya
medida es t radianes, la medida del arco
s comprendido por dicho ángulo en la
circunferencia unitaria se calcula asi:
, pero como
Por tanto:
s rθ= 1 tts = × =

45. Circunferencia Unitaria
• En la circunferencia unitaria, un
ángulo de t radianes comprende un
arco de t unidades.

46. Funciones trigonométricas
definidas en la
circunferencia unitaria

47. Funciones trigonométricas definidas
en la circunferencia unitaria
• Si se tiene un arco descrito en la
circunferencia unitaria con extremos en
los puntos (1, 0) y P(x, y), se tiene que
con y 0
1
con x
cot
cos sec
ta
0
1
con n x 0
1
1
con y 0sc c
t
t t
t t
y y
r
x
se
x
y
y
r
x
x
x
x
y r
x
r
y y
n t = = = ≠
= = = = ≠
= ≠ =
=
=
= ≠

48. Funciones trigonométricas definidas
en la circunferencia unitaria
• Si la medida de un ángulo en posición
normal es t radianes y el lado final del
ángulo contiene al punto P(x, y) que
pertenece a la circunferencia untaría,
entonces
cossey x tn t= =

49. Funciones trigonométricas definidas
en la circunferencia unitaria
• A partir de las expresiones anteriores y
para t que pertenece a los reales:
cos 0
cos
cos
tan
cot
se
0
1
cos 0
cos
1
0
c
csc
y sen t
con t
x t
x t
con sen t
y sen t
r
con t
x t
r
con sen t
y sen t
t
t
t
t
= = ≠
= = ≠
= = ≠
= = ≠

50. Líneas Trigonométricas

51. Líneas trigonométricas
• Son los segmentos definidos para un
ángulo θ en posición normal, cuyas
medidas coinciden con cada una de las
funciones trigonométricas del ángulo.
• En la siguiente gráfica se muestra la
circunferencia unitaria y un ángulo θ en
posición normal, cuyo lado final se
encuentra en el primer cuadrante.

52. Líneas trigonométricas
P
Q
R
S
T
U
θ
1
-1
-1 1O

53. Líneas trigonométricas
• El es congruente con el ángulo θ
y , y , son
rectángulos con sus ángulos
correspondientes congruentes; por lo
anterior son congruentes y en
consecuencia sus lados correspondientes
son congruentes. Entonces…
UTOS
OQP∆ ORS∆ TUO∆

54. Líneas trigonométricas
PQ SR OU
OP OS TO
OQ OR TU
OP OS TO
PQ SR OU
OQ OR TU
= =
= =
= =

55. Líneas trigonométricas
P
Q
θ
1
-1
-1 1O
1
PQ PQ
sen PQ
OP
θ = = =

56. Líneas trigonométricas
P
Q
θ
1
-1
-1 1O
cos
1
OQ OQ
OQ
OP
θ = = =

57. Líneas trigonométricas
P
Q
R
S
θ
1
-1
-1 1O
tan
1
PQ SR SR
SR
OQ OR
θ = = = =

58. Líneas trigonométricas
P
Q
T
U
θ
1
-1
-1 1O
cot
1
OQ TU TU
TU
PQ OU
θ = = = =

59. Líneas trigonométricas
P
Q
R
S
θ
1
-1
-1 1O
sec
1
OP OS OS
OS
OQ OR
θ = = = =

60. Líneas trigonométricas
P
Q
T
U
θ
1
-1
-1 1O
csc
1
OP OT OT
OT
PQ OU
θ = = =

61. GRAFICA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS

62. Gráfica de funciones trigonométricas
GRAFICA DE LA FUNCION SENO
π
6
π
3
π
2
π2
3
π5
6
π
0
0 π
6
π
3
π
2
π2
3
π5
6
π
π7
6
π4
3
π3
2
1
-1

63. Gráfica de funciones trigonométricas