..

1. MATRICE ZADACI  I DEO 
 2 3 1 1 0 -3
1. Date su matrice A    i B  . Izračunati:
 2 16 0   2 6 -8 
a) A B  ?
b) A B  ?
v) 2 A  3B  ?
g) AT  BT  ?
Rešenje:
a)
 2 3 1  1 0 -3  2  1 3+0 1  (3)   3 3 -2 
A B      
 2 16 0   2 6 -8   2  2 16+6 0+(  8)   0 22 -8 
b)
 2 3 1  1 0 -3  2  1 3-0 1  (3)   1 3 4 
A B      
 2 16 0   2 6 -8   2  2 16-6 0  (  8)   -4 10 8
v)
 2 3 1  1 0 -3  4 6 2   3 0 -9 
2 A  3B  2    3   
 2 16 0   2 6 -8   -4 32 0   6 18 -24 
 4-3 6-0 2-(-9)   1 6 11 
 
 -4-6 32-18 0-(-24)   -10 14 24 

g)
 2 -2  1 2  2  1 -2+2   3 0 
3 16   0 6    3+0
A B 
T T
16+6    3 22 
      
1 0  -3 -8  1+(-3)
     0+(-8)  -2 -8 
  
1 0  3 2 1 0
2. Date su matrice A -2 -4 1 i B  -3 4 1 . Izračunati:
  
3
 2 5 0
 0 3

a) 2A  B  ?
b) ( AT  B)T  ?
www.matematiranje.com
1

2. Rešenje:
a)
1 0  3  2 1 0  2 0 6   2 1 0   0 -1 -6 
2 A  B  2  -2
 -4 1    -3
  4 1  -4
  -8 2   -3
  4    -1 -12 1 
1  
3
 2 5  0
  0 3  6
  4 10   0
  0 3  6
  4 7
b)
 1 -2 3
AT   0 -4 2

-3 1
 5

 1 -2 3  2 1 0  3 -1 3
AT  B   0 -4
 2   -3
  4 1  -3
  0 3

 -3 1
 5  0
  0 3  -3
  1 8

 3 -3 -3
( AT  B)T  -1
 0 1

3
 3 8

3 0 2 1
3. Ako su nam date matrice A   i B , izračunati:
 -1 2
 8 0

a) A  B  ?
b) B  A  ?
Rešenje:
3 0  2 1   3  2+0  8 3 1+0  0   6 3
A B     
-1 2  8
 0   -1 2  2  8
  -11  2  0   14
  -1

2 1  3 0   2  3+1 (1) 2  0+1 2   5 2
B A     
8 0   -1
  2   8  3  0  (1)
  8  0  0  2   10
  0

I na ovom primeru uočavamo jednu bitnu činjenicu koju smo napomenuli u teoretskom delu MATRICE:
a to je da komutativni zakon za množenje matrica NE VAŽI.
www.matematiranje.com
2

3. 1 2 2 4 1 1
4. Ako su date matrice A 2
 1 2
 i B  -4
 2 0  , izračunati:

1
 2 3
 1
 2 1
a) A  B  ?
b) B  A  ?
Rešenje:
a)
1 2 2  4 1 1  1  4  2  (4)  2 1 1 1  2  2  2  2 1 1  2  0  2 1
A B   2
 1 2   -4
  2 0 

 2  4  1  (4)  2 1 2 1  1  2  2  2
 2 1  1  0  2 1  

1
 2 3  1
  2 1
  1  4  2  (4)  3 1 1 1  2  2  3  2
 1 1  2  0  3 1 

 4-8+2 1+4+4 1+0+2   -2 9 3
 8-4+2
 2+2+4 6
2+0+2   8 4

 4-8+3
 1+4+6 1+0+3   -1 11
  4

b)
4 1 1  1 2 2  4 1  1  2  1 1 4  2  1 1  1  2 4  2  1 2  1 3 
B  A    -4
 2 0   2
  1 2 

 4 1  2  2  0 1
 -4  2  2 1  0  2 -4  2  2  2  0  3 =

1
 2 1  1
  2 3
  1 1  2  2  1 1
 1  2  2 1  1  2 1 2  2  2  1 3 
 4+2+1 8+1+2 8+2+3   7 11 13
 -4+4+0 -8+2+0
 -8+4+0    0 -6
  -4 

 1+4+1 2+2+2
 2+4+3   6 6
  9
Još jednom vidimo da je A  B  B  A
2 1
2 1 11 1 1 
5. Ako su date matrice A    , B  1  , C  5 1 izračunati:

2 3 0  1
6 1
 
a) A  C  B  ?
b) B  C T  ?
Rešenje:
www.matematiranje.com
3

4. a)
2 1
2 1 11  1 1
AC  B    5 1  
2 3 0 
 6
 1 1
 1 


 2  2  1  5  11  6 2 1+1 1  11 1 1 1
 
 2  2  35  0  6 2 1  3 1  0 1 1
  1

 4  5  66 2+1  11 1 1
 
 4  15  0 2  3  0  1 1
  
75 14  1 1 76 15 
  
19 5  1
  1  20
  6
b)
2 5 6
CT  
1 1 1

1 1  2 5 6  1 2+1 1 1  5+11 1 6+11 
B  CT     
1 1 1 1 1  1 2  11 1 5  11 1 6  11
 2+1 5+1 6+1 3 6 7 
  
 2+1 5+1 6+1 3 6 7 
3 0 2
6. Za dati polinom P ( x)  x  2 i matricu A   2
2
 1 4  izračunati P  A  .

1
 -1 0
Rešenje:
Kako je P( A)  A2  2 , nadjimo najpre matricu A2 :
3 0 2  3 0 2   3  3  0  2  2 1 3  0 +0 1  2  (1) 3  2+0  4  2  0
A2  A  A   2
 1 4  2
  1 4    2  3  1  2  4 1
  2  0  1 1  4  (1) 2  2  1 4  4  0 

1
 -1 0  1
  -1 0  1  3  (1)  2  0 1 1  0  (1) 1  0  (1) 1  2  (1)  4  0  0 
  
9+0+2 0+0-2 6+0+0  11 -2 6 
 6+2+4
 0+1-4 4+4+0  12
  -3 8 
3-2+0
 0-1+0 2-4+0   1
  -1 -2 

www.matematiranje.com
4

5. Sad ovo menjamo u P( A)  A2  2 , ali pazimo da uz 2 obavezno dodamo jediničnu matricu I, naravno trećeg reda.
Dakle P ( A)  A2  2  I
11 -2 6  1 0 0  11 -2 6  2 0 0  13 -2 6
P ( A)  A  2  I  12
2
 -3 8   2  0
 1 0   12
  -3 8   0
  2 0   12
  -1 8

 1
 -1 -2 
 0
 0 1  1
  -1 -2  0
  0 2  1
  -1 0

2 1 1
7. Za dati polinom P ( x)  x  5 x  3 i matricu A  3
2
 1 2  odredi P  A  .

0
 0 2
Rešenje:
P ( A)  A2  5 A  3  I
Naći ćemo na stranu svaki od sabiraka pa to ubaciti u P ( A)  A2  5 A  3  I . Možemo i direktno sve da radimo ali se
ukomplikuje …
2 1 1  2 1 1  2  2  1 3  1 0 2 1 +1 1  1  0 2 1+1  2  1 2 
A  A  A  3
2
 1 2   3
  1 2  
  3  2  1 3  2  0 3 1  1 1  2  0 3 1  1  2  2  2 

0
 0 2  0
  0 2 
  0 2  03  20 0 1  0 1  2  0 
0 1  0  2  2  2 
7 3 6
A  9
2
 4 9

0
 0 4

2 1 1 10 5 5
5  A  5  3
 1 2   15
  5 10 

0
 0 2  0
  0 10 

1 0 0  3 0 0
3  I  3  0
 1 0   0
  3 0

0
 0 1  0
  0 3

7 3 6  10 5 5  3 0 0 0 -2 1
P ( A)  9
 4 9   15
  5 10   0
  3   P ( A)  -6
0  2 -1

0
 0 4  0
  0 10  0
  0 3
 0
 0 -3

www.matematiranje.com
5

6. Dalje ćemo pokušati da vam objasnimo kako se traži matrica An ako je data matrica A.
Ovakav tip zadatka možemo rešavati na više načina:
i Tražimo matrice A2 , A3 , A4 i ako treba još par njih dok ne zaključimo po kojoj se zakonitosti pojavljuju elementi
matrice… Zatim zapišemo kako bi trebalo da izgleda An i izvršimo dokaz matematičkom indukcijom.
n n n n
ii Drugi način je da koristimo binomnu formulu (a  b) n    a nb 0    a n 1b1    a n  2b 2  .......    a 0b n .
0 1  2 n
Datu matricu napišemo kao zbir dve matrice,od kojih je jedna jedinična matrica a druga kada se traži njen stepen,
postaje nula matrica već kod trećeg ili četvrtog stepena.
iii Treći način je da upotrebljavamo sopstvene vrednosti i vektore a to je objašnjeno u fajlu matrice zadaci 2. deo.
1 1 1
8. Ako je data matrica A  0 1 1 , nadji An .
 
0 0 1
 
Rešenje:
I način
1 1 1 1 1 1 1 2 3  1 2 1  2 
A  A  A   0 1 1  0 1 1   0 1 2   0 1
2
       2 

 0 0 1 0 0 1  0 0 1  0 0
       1 

1 2 3  1 1 1 1 3 6  1 3 1  2  3
A  A  A  0 1 2   0 1 1  0 1 3  0 1
3 2
       3  
0 0 1  0 0 1 0 0 1  0 0
       1  
1 3 6  1 1 1 1 4 10  1 4 1  2  3  4 
A  A  A  0 1 3   0 1 1  0 1 4    0 1
4 3
       4 

0 0 1  0 0 1 0 0 1  0 0
       1 

1 n 1  2  ...  n 
Na osnovu ovoga možemo predpostaviti da je An  0 1 n  , odnosno, pošto je 1  2  3  ...  n  n(n  1)
  2
0 0
 1 

www.matematiranje.com
6

7.  n(n  1) 
1 n 1  2  ...  n  1 n 2 
to je onda An  0 1   An   0 1 
 n   n 
0 0 1  0 0 1 
   
 
Sada ovo moramo dokazati primenom matematičke indukcije . Da bi se podsetili kako ide indukcija, pogledajte
istoimeni fajl iz treće godine.
1 1 1
za n=1 je A1  0 1 1 tačno.
 
0 0 1
 
 23
1 2 2  1 2 3 
   
za n=2 je A2   0 1 2   0 1 2  takodje tačno
0 0 1  0 0 1 
   
 
postavljamo indukcijsku hipotezu, da je formula tačna za n  k
 k (k  1) 
1 k 2 
 
za n=k je Ak  0 1 k 
0 0 1 
 
 
da dokažemo da je formula tačna za n  k  1
 k (k  1)   k (k  1) 
1 k
2  1 k 2  1 1 1
   
Ak   0 1 k   Ak  A  0 1 k   0 1 1
 
0 0 1  0 0 1  0 0 1
     
   
 (k  1)(k  2) 
1 k 1 
2
 
Ak 1   0 1 k 1 
0 0 1 
 
 
Dakle, naša formula je dobra.
www.matematiranje.com
7

8. II način
Datu matricu rastavimo na jediničnu i još jednu matricu:
1 1 1 1 0 0  0 1 1  0 1 1 
0 1 1  0 1 0   0 0 1   I  0 0 1 
A       
0 0 1 0 0 0  0 0 0 
      0 0 0 
 
0 1 1 
Obeležimo matricu 0 0 1 sa slovom M.
 
0 0 0 
 
Tada je A  I  M
An  ( I  M ) n
n n n n
Koristimo (a  b) n    a nb 0    a n 1b1    a n  2b 2  .......    a 0b n , ali najpre da vidimo kako se ponašaju stepeni
0 1  2 n
matrice M.
0 1 1 
M  0 0 1 
 
0 0 0 
 
0 1 1  0 1 1  0 0 1
M  M  M  0 0 1   0
2
   0 1   0
  0 0

0 0 0  0
   0 0  0
  0 0

0 0 1  0 1 1  0 0 0
M  M  M  0 0 0   0
3 2
   0 1   0
  0 0  odavde zaključujemo da je:

0 0 0  0
   0 0 0
  0 0
M 4  M 5  ...  M n  0
Sad koristimo binomnu formulu:
n n n
( I  M ) n    I n M 0    I n 1M 1    I n  2 M 2 , svi ostali članovi su jednaki nuli.
0 1  2
www.matematiranje.com
8

9. n(n  1)
( I  M ) n  1  I 1  n  I  M  I M 2
2
n(n  1) 2
( I  M )n  I  n  M  M
2
1 0 0  0 1 1  0 0 1 
(I  M )  
n 0 1 0   n  0 0 1   n(n  1)  0 0 0 
   2  
0 0 1 
  0 0 0 
  0 0 0 
 
 n(n  1) 
0 0
 1 0 0  0 n n   2 
0 1 0   0 0 n   0 0
( I  M )n   0 

   
0 0 1  0 0 0  0 0
     0 

 
 n(n  1)   2n  n(n  1)   2n  n 2  n 
1 n n  2  1 n 2  1 n 2

     
( I  M ) n  0 1 n   0 1 n   0 1 n 
0 0 1  0 0 1  0 0 1 
     
      

 n2  n   n(n  1) 
1 n  1 n
 2  2 
 
 0 1 n   ( I  M ) n  0 1 n 
0 0 1  0 0 1 
   

 
  
 1 1 
9. Ako je data matrica A    , nadji A .
n
 1 1 
Rešenje:
 1 1   1 1  11  (1)  (1) 1  (1)  (1) 1  2 2 
A2  A  A      
 1 1   1 1   1 1  1  (1) (1)  (1)  1 1  2 2 
 2 2   1 1   4 4   22 22 
A3  A2  A      2 
 2 2   1 1   4 4   2 22 
 4 4   1 1   8 8  23 2 3 
A4  A3  A      3 
 4 4   1 1   8 8   2 23 
 8 8  1 1   16 16   24 24 
A5  A4  A      4 
 8 8   1 1   16 16   2 24 
Na osnovu ovoga možemo predpostaviti da je :
 2n 1 2n 1 
A   n 1
n

 2 2n 1 
www.matematiranje.com
9

10. Moramo ovo dokazati matematičkom indukcijom:
 211 211   20 20   1 1 
za n = 1 je A   11 1
  A
 2 211   20 2 0   1 1 
 2k 1 2k 1 
Pretpostavimo da je formula tačna za n=k A   k 1
k

 2 2k 1 
Da dokažemo da formula važi i za n  k  1
 2k 1 2k 1   1 1   2k 1 1  (2k 1 )( 1) 2k 1  ( 1)  ( 2k 1 ) 1 
Ak 1  Ak  A   k 1   
 2 2k 1   1 1    2k 1 1  2k 1  (1)  2k 1  (1)  2k 1 1 
 2k 1  2k 1 2k 1  2k 1   2  2k 1 2  2k 1   2k 2k 
 k 1 k 1   
 2  2 2k 1 + 2k 1   2  2k 1 2  2k 1   2k 2k 
U sledećim primerima ćemo pokušati da vam “približimo” rešavanje matričnih jednačina. Takav zadatak se najčešće
sastoji iz dva dela. U prvom delu trebate rešiti matričnu jednačinu, odnosno da izrazite X, a u drugom delu se koriste
operacije sa matricama...
10. Rešiti sledeće matrične jednačine:
1) AX  B
2) XA  B
3) AX  I  X  B
4) (3 X ) 1  B 1  ( AX ) 1
5) ( AX  A) 1  BA
6) ( AX 1  B ) 1  XB
 ( AX )  X T B  A  B
1
7) T
Rešenja:
Bilo bi dobro da se podsetite pravila koja važe za matrice a koja su date u prethodnom fajlu.
1)
AX  B sa leve strane množimo celu jednačinu sa A1
A1 AX  A1 B
A1 A X  A1 B
I  X  A1 B
X  A1 B
10

11. 2)
XA  B sa desne strane množimo celu jednačinu sa A1
XAA1  BA1
X  I  BA1
X  BA1
3)
AX  I  X  B nepoznate na levu a poznate na desnu stranu...
AX  X  B  I izvlačimo X kao zajednički ispred zagrade , ali sa desne strane!
(A  I)X  B  I celu jednačinu množimo sa ( A  I ) 1 , ali sa leve strane!
( A  I ) 1 ( A  I ) X  ( A  I ) 1 ( B  I )
I  X  ( A  I ) 1 ( B  I )
X  ( A  I ) 1 ( B  I )
4)
(3 X ) 1  B 1  ( AX ) 1
X 1  31  B 1  X 1 A1 Nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu...
1 1 1 1 1
B  X A  X 3 Izvlačimo X 1 kao zajednički ispred zagrade ali sa leve strane...
1
Pazi , moramo dodati I kod 31 
3
1
B 1  X 1  ( A1  I ) Celu jednačinu množimo sa X sa leve strane
3
1
X  B 1  X  X 1  ( A1  I )
3
1
X  B 1  I  ( A1  I )
3
1
X  B 1  ( A1  I ) Celu jednačinu množimo sa B sa desne strane
3
1
X  B 1 B  ( A1  I ) B
3
1
X  I  ( A1  I ) B
3
1
X  ( A1  I )  B
3
www.matematiranje.com
11

12. 5)
( AX  A) 1  BA unutar zagrade izvučemo A sa leve strane
[ A( X  I )]1  BA celu jednačinu stepenujemo na () 1
[ A( X  I )1 ]1  ( BA) 1
A( X  I )  A1 B 1 množimo celu jednačinu sa A1 sa leve strane
A1 A( X  I )  A1 A1 B 1
I  ( X  I )  A2 B 1
X  I  A2 B 1
X  A2 B 1  I
6)
( AX 1  B) 1  XB celu jednačinu stepenujemo na () 1
(( AX 1  B) 1 ) 1  ( XB) 1
AX 1  B  B 1  X 1 sad nepoznate na levu a poznate na desnu stranu...
1 1 1
AX B X B
1 1
(A  B )X B pomnožimo celu jednačinu sa X ali sa desne strane...
1 1
( A  B ) X X  BX
( A  B 1 ) I  BX
A  B 1  BX pomnožimo celu jednačinu sa B 1 ali sa leve strane...
B 1 ( A  B 1 )  B 1 BX
B 1 ( A  B 1 )  I  X
B 1 ( A  B 1 )  X
X  B 1 ( A  B 1 )
7)
 ( AX )  X B   A  B
T T 1
 X A  X B  A  B
1
T T T
unutar zagrade izvučemo X T ...
 X ( A  B)   A  B
1
T T
celu jednačinu na -1...
X T ( AT  B )  ( A  B ) 1 sa desne strane množimo sa ( AT  B )1
X T ( AT  B)( AT  B) 1  ( A  B ) 1  ( AT  B) 1
X T  ( A  B) 1  ( AT  B ) 1 spakujemo malo desnu stranu
X T  [( AT  B )( A  B)]1 celu jednačinu transponujemo...
( X T )T  [( AT  B )( A  B)]1 
T
X  [( AT  B)( A  B)]1 
T
www.matematiranje.com
12

13. 2 1 0
11. Rešiti matričnu jednačinu AX  X  A ako je data matrica A   0 2 1 
 
1 1 2 
 
Rešenje:
Najpre rešavamo zadatu matričnu jednačinu:
AX  X  A
AX  X  A
(A  I)X  A
( A  I ) 1 ( A  I ) X  ( A  I ) 1 A
I  X  ( A  I ) 1 A
X  ( A  I ) 1  A
Dalje tražimo matricu A  I , pa njenu inverznu. Ako vaš profesor dozvoljava , radi lakšeg rada, matricu A  I možemo
obeležiti nekim slovom, recimo sa M. Ako se profesor ljuti, vi nastavite da radite sa A  I .
 2 1 0  1 0 0  1 1 0 
A  I   0 2 1   0 1 0   0 1 1   M
     
1 1 2  0 0 1  1 1 1 
     
sada je X  M 1  A
1
tražimo M 1  adjM
det M
1 1 0 1 1 0 1 1
det M  0 1 1  0 1 1 0 1  1  1  0  0  1  0  1  det M  1 , matrica je regularna…
1 1 1 1 1 1 1 1
Ako vam se u radu dogodi da je det M  0 , onda takva matrica nema inverznu matricu i tu prekidate sa radom.
Tražimo kofaktore i adjungovanu matricu:
www.matematiranje.com
13

14. 1 1 0 1 1 0 1 1 0
  1 1   1 0   1 0
M 0 1 1   M 11   0 M 0 1 1   M 21    1 M 0 1 1   M 31   1
  1 1   1 1   1 1
1
 1 1 1
 1 1 1
 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
  0 1   1 0   1 0
M  0 1 1   M 12   1 M 0 1 1   M 22   1 M  0 1 1   M 32    1
  1 1   1 1   0 1
1
 1 1 1
 1 1 1
 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
  0 1   1 1   1 1
M  0 1 1   M 13    1 M 0 1 1   M 23   0 M  0 1 1   M 33   1
  1 1   1 1   0 1
1
 1 1 1
 1 1 1
 1 1
 0 1 1 
adjM   1 1 1 , odavde smo dobili da je inverzna matrica:
 
 1 0 1 
 
 0 1 1   0 1 1 
1 1    M 1   1 1 1
M    1 1 1  
1
 1 0 1 
   1 0 1 
 
Sad možemo da se vratimo u rešenje i da zamenimo:
X  M 1  A
 0 1 1   2 1 0
X   1 1 1   0
   2 1 
 1 0 1  1
   1 2 
 0  2  (1)  0  1 1 0 1  (1)  2  1 1 0  0  ( 1) 1  1  2 
X  1  2  1  0  (1) 1
 1 1  1  2  (1) 1 1  0  11  (1)  2  
 (1)  2  0  0  1 1
 (1) 1  0  2  1 1 (1)  0  0 1  1  2 
 1 1 1 
X   1 2 1
 
 1 0 2 
 
12. Rešiti matričnu jednačinu AX  B  BX  I ako su date matrice:
1 2 1  1 2 2 
A  0 1 1 
  i B  1 1 2  .
 
0 2 2 
  2 1 1
 
Rešenje:
www.matematiranje.com
14

15. AX  B  BX  I
AX  BX  B  I
 A  B X  B  I
 A  B  A  B X   A  B  B  I 
1 1
X   A  B B  I 
1
Izrazili smo X, sada tražimo inverznu matricu …
1 2 1  1 2 2   0 0 1
A  B  0 1 1   1 1 2    1 0 1
     
0 2 2   2 1 1   2 1 3
     
Kao i malopre, radi lakšeg rada, ovu matricu ćemo obeležiti sa M.
 0 0 1
1
M   1 0 1 , onda je M 1 


adjM
det M
 2 1 3
 
0 0 1 0 0
det M  1 0 1 1 0  0  0  1  0  0  0  1
2 1 3 2 1
 0 0 1   0 0 1   0 0 1 
  0 1   0 1   0 1
M   1 0 1   M 11   1 M   1 0 1   M 21    1 M   1 0 1   M 31   0
  1 3   1 3   0 1
 2
 1 3 
  2
 1 3 
  2
 1 3 

0 0 1   0 0 1   0 0 1 
  1 1   0 1   0 1
M   1 0 1   M 12    1 M   1 0 1   M 22    2 M   1 0 1   M 32   1
  2 3   2 3   1 1
 2
 1 3 
  2
 1 3 
  2
 1 3 

0 0 1   0 0 1   0 0 1 
  1 0   0 0   0 0
M   1 0 1   M 13    1 M   1 0 1   M 23   0 M   1 0 1   M 33   0
  2 1   2 1   1 0
 2
 1 3 
  2
 1 3 
  2
 1 3 

 1 1 0   1 1 0   1 1 0 
 1 2 1   M 1  1  1 2 1   M 1   1 2 1 
adjM    1   
 1 0 0 
   1 0 0 
   1 0 0 
 
 1 2 2  1 0 0   2 2 2 
B  I  1 1 2   0 1 0   1 2 2 
     
 2 1 1  0 0 1   2 1 2 
     
www.matematiranje.com
15

16. I konačno je :
 1 1 0   2 2 2 
X   A  B   B  I    1 2 1   1 2 2  
1
   
 1 0 0   2 1 2 
   
 1 2   1 1  0  2 1 2   1  2  0 1 1 2   1  2  0  2 
 
  1  2   2  1  1  2  1  2   2   2  1 1  1  2   2   2  1  2 
  1  2  0 1  0  2
  1  2  0  2  0 1  1  2  0  2  0  2  
1 0 0
X   2 5 4 
 
 2 2 2 
 
www.matematiranje.com
16