Geometria temas selectos

Grupo Académico Matemático

“ ELICA”
GEOMETRIA / SELECCIÓN DE TEMAS
DOCENTE: ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO GONZALES

Temas: Así sucesivamente hallar la suma
límite de sus longitudes.
 Segmentos, Ángulos y Paralelas.
a) 7 b) 5 c) 3 d) 4 e) 6
 Polígonos
 Triángulos
9) Sobre una línea recta se consideran los puntos
 Líneas notables
consecutivos P0;P1;P2;P3;P4;P5;…… y así
 Puntos Notables
indefinidamente. Si : P0P1=1; P1P2= ; P2P3= ;
1) Se tienen los puntos colineales P,M,Q,N,R y S de P3P4= ; … y así sucesivamente. Hallar el límite de
modo que M y N son puntos medios de PR y QS. la suma de las longitudes de todos los segmentos
Hallar MN si PQ = m y RS = n así formados
(CPU FAC/2012 -II)
a) b) c) 1 d) e) 5
a) b) c) d) e)

10) Sobre una línea recta se ubican los puntos
2) En una línea recta se consideran los puntos consecutivos E;V;G talque : EV=x; VG=2011y;
consecutivos A,B,C y D. De tal manera que P y Q +
EG= ; Si x;y R , Indicar el máximo valor que
son puntos medios de AB y CD respectivamente;
puede alcanzar “x.y”
además AD= 60cm y
a) 2 b) c) 3 d) e) 1
BC = 10cm determine PQ. (CPU FAC/2012 -I)
a) 35cm b) 20cm c) 25cm d) 30cm
e) 40cm 11) Sobre una línea recta se toman los puntos
consecutivos C,L,E, calcular el mínimo valor de Ɵsi:
3) Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos:
A,B y C de tal manera que: AC +AB = 12. Si “M” es a) 8 b) 10 c) 3 d) 4 e) 6
punto medio de BC. Calcular AM (CPU-FAC/2011-
III) 12) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 U,P,R,G.
X
Si UP.RG=(6x - 1)PR.UG y
4) A,B y C son puntos colineales y consecutivos M y N -1
- . Hallar : R=x + 1
bisecan a AB y BC respectivamente. Hallar AC, si
3MN = 2MC y AB – BN = 2 (CPU-FAC/2011-II) a) 8 b) 10 c) 3 d) 4 e) 6
a) 10 b) 16 c) 6 d) 8 e) 12
5) Sobre una línea se consideran los puntos 13) En el gráfico el valor del ángulo “X” es:
consecutivos A,B,C y D talque AB.CD = BC.AD (CPU FAC/2012 -III)
Hallar AD si BC = 8 y 2AB = 3CD (CPU-FAC/2011-II) 70
a) 3 b) 24 c) 6 d) 48 e) 12 a) 100º
b) 108º
6) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, c) 120º X

C y D tales que: AB=2CD y 3AC – BC = 20. d) 112º
Calcular AD (CPU-FAC/2010-III) e) 105º α Ω
140
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 16 α Ω

7) Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos 14) Del grafico se tiene que: α – β = 12º ¿Cuál es el
valor del ángulo 2ɵ? (CPU FAC/2012 -I)
A, B, C, y D de tal manera que ; hallar BC
si: BD - 4AB = 20 (CPU-FAC/2010-II)
a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 8 2ɵ β
ɵα
8) Sobre una línea recta se determinan segmentos
consecutivos cuyas longitudes son: a) 20º b) -24º c) 24º d) 12º e) -12º

Mariscal Nieto 225 B Ciclo 2012 / Escolares

Grupo Académico de Matemática Repaso de Geometría
Élica ElisbanJeffersson Vivanco Gonzales
15) En la figura se tiene: 20) En la gráfica se tiene que L1 // L2 (Exonerados
DE es bisectriz del ángulo exterior B y CE es UNPRG/2012-I)
bisectriz del ángulo C. ¿Cuál es el valor del ángulo
Ω? (CPU FAC/2012 -I) L1

2α
C

54
3α + 40° L2
D
β

72
A
B Luego el valor del ángulo β es :
a) 90° b) 45° c) 60° d) 80° e) 92°
Ω
21) Dado el siguiente gráfico. Halle el valor de “b”
E
cuando a toma su mínimo valor entero. (Quinto-
a) 35º b) 14º c) 17º d) 27º e) 36º
UNPRG /2011)

16) Cuanto mide el ángulo formado por las bisectrices
de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo? a+b
2a - b b-a
(CPU FAC/2012 -I)
a) 45º b) 135º c) 120º d) 90º e) 22º30 a) 78° b) 98° c) 88° d) 68° e) 58°

17) Cuantos ángulos agudos hay en la siguiente figura 22) En la figura L1 // L2 Hallar el valor de “y” (CPU-
(CPU-FAC/2012-I) FAC/2011-III)
n
n-1

y
n-2
2x

2
3x - 40

1

a) 72° b) 73° c) 80° d) 85° e) 92°
a) b) c)
d) e) 23) La diferencia de dos ángulos es 38° y el
suplemento del mayor es igual al doble del
complemento del menor. Hallar la suma de las
18) ¿Cuánto mide el ángulo formado por las
medidas de dichos ángulos. (CPU-FAC/2011-III)
bisectrices de dos ángulos de un triángulo
a) 118° b) 122° c) 114° d) 128° e) 112°
equilátero? (CPU-FAC/2012-I)
a) 90° b) 100° c) 110° d) 135° e) 120°
24) Si en el semiplano se consideran tres ángulos
adyacentes tal que el segundo mide 20°. Calcular
19) Si L1 // L2 hallar el valor del ángulo Φ (CPU-
la medida del ángulo que forman las bisectrices del
FAC/2012-I)
primero y del tercer ángulo (CPU-FAC/2010-III)
L3
a) 100° b) 140° c) 60° d) 80° e) 120°
L1
α
α
25) Hallar “X”, si L//L2 (CPU-FAC/2009-III)
Φ
β
β 2b
3b

20°
L2
x

100°
L4 a
a
a) 160° b) 110° c) 100° d) 80° e) 60°
a) 85° b) 84° c) 83° d) 82° e) 81°

Mariscal Nieto 225/B “Una pasión los números, Un objetivo tu ingreso”
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Elica3415@hotmail.com

26) La suma de las medidas de 2 ángulos es 80°y el a) Dodecágono b) decágono c) pentágono d)
complemento de la medida del primero es el doble Icoságono e) hexágono
de la medida del segundo. Hallar el valor de la
razón aritmética de la medida de dichos ángulos. 35) La suma de los ángulos internos de un polígono es
(CPU-FAC/2011-III) 1080°, dicho polígono es un:
a) 10 b) 70 c) 60 d) 30 e) 50 a) Hexágono b) Heptágono
c) Octógono d) Nonágono e) Pentágono
27) Calcular el valor de la razón aritmética entre el 36) El ángulo central de un polígono convexo mide
cuádruplo del complemento de la cuarta parte de 60°, dicho polígono es un:
un ángulo y la cuarta parte del suplemento del a) Octógono b) Nonágono
cuádruplo de dicho ángulo. c) Icoságono d) Hexágono e) Pentágono
a) 360° b) 364° c) 315° d) 316° e) 960°

28) La suma de las medidas de dos ángulos es 80º y el 37) Calcular el ángulo central de un polígono regular
complemento de la medida del primero es le doble de 36 lados.
de la medida del segundo. Hallar el valor de la a) 20° b) 15° c) 30° d) 60° e) 10°
razón aritmética de la medida de dichos ángulos.
a) 60° b) 64° c) 32° d) 16° e) 96° 38) Si el número de diagonales medias de un polígono
convexo es 15°, dicho polígono es:
29) Si la razón geométrica del complemento de un a) Hexágono b) Icoságono
ángulo “α” entre el suplemento del ángulo “θ” es c) Decágono d) Pentágono e) Nonágono
igual a la razón geométrica del suplemento de “α”
entre el complemento de “θ”. Calcular la suma de
39) Hallar el número de diagonales medias de un
las medidas de ambos ángulos.
polígono convexo de 20 lados:
a) 360° b) 370° c) 45° d) 16° e) 60°
a) 180 b) 190 c) 200 d) 210 e) 220

30) Calcular “α” en : 2CCC…CCα = SSS….S2α
40) Un polígono convexo de 73 lados calcular el
“n” veces “n+1”veces
número total de diagonales trazadas desde dos
vértices consecutivos.
a) 60° b) 70° c) 45° d) 16° e) Depende de “n”
a) 140 b) 142 c) 138 d) 144 e) 141

31) Si C complemento 41) Un polígono convexo cuyo número de diagonales
S suplemento se multiplica por 7 al duplicar el número de lados.
Reducir: R=SCSCSCSCSC…SCX ¿Cómo se llama el polígono?
“n” veces a) Eneágono b) Pentágono
a) 90° b) 90°n c) 45°n+x d) 90n°+x e) 90n – x c) Hexágono d) Decágono e) Heptágono

42) Hallar el número de lados de un polígono regular
32) Dos números consecutivos representan los
en el que si se aumentará 12° a un ángulo interno,
números de vértices de dos polígonos convexos. Si
resultaría de un polígono de un lado más.
la diferencia entre sus números de diagonales
a) 10 b) 18 c) 4 d) 5 e) 6
totales es 8 ¿Cómo se llama el polígono mayor?
(CPU FAC/2012 -III)
43) En un polígono de “n” lados la suma del número
a) Nonágono b) dodecágono c) Icoságono
de diagonales medias y el triple del número de
d) pentágono e) decágono lados es 1650. Calcular la diferencia entre el
número de diagonales trazadas desde 5 vértices
33) Indicar cuál de los siguientes polígonos consecutivos y de un vértice.
corresponde a la definición de uno regular (CPU a) 198 b) 200 c) 205 d) 203 e) 202
FAC/2012 -II)
a) Rombo b) rectángulo c) triángulo 44) Calcular el número de diagonales medias que se
d) cuadrado e) trapecio pueden trazar desde un vértice en un polígono en
el cuál la diferencia entre la adición de medidas
34) Determina el polígono en el cual se cumple que su de ángulos internos y7 la adición de medidas de
número de diagonales es el doble del número de ángulos externos es 360°
diagonales de otro polígono que tiene tres lados a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
menos (CPU FAC/2012 -I)

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45) Calcular la diferencia entre el número de 54) En un nonágono ABCDEFGHI, regular se traza la
diagonales medias y el número de diagonales de bisectriz interior BJ (J en FG) de ella se toma el
u n polígono en el cual el números de diagonales punto Q. Hallar m<QFG, si: QF = AB.
es igual al número de lados a) 30° b) 45° c) 37° d) 60° e) 53°
a) 1 b) 5 c) 13 d) 7 e) 12
55) A las orillas opuestas de un rio crecen dos
46) Las medidas de los ángulos interiores de dos palmeras, una al frente de la otra. La altura de una
polígonos regulares difieren en 10° y uno de ellos es 30 m y la de la otra es 20 m. la distancia entre
tiene 6 lados menos que el otro. Hallar el mayor sus troncos es 50 m. En la copa de cada palmera
número de lados hay un pájaro. Repentinamente los dos pájaros
a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 18 descubren un pez que aparece en la superficie del
agua, justamente sobre la línea imaginaria que une
47) Calcular la suma de las medidas de los ángulos las bases de los troncos de las palmeras. Los
internos de un polígono en el cual la sustracción pájaros se lanzan a la vez y llegan al pez al mismo
entre el número de diagonales medias y el tiempo. Considerando que los pájaros volaron en
número de ángulos llanos a que equivale la suma línea recta y a la misma velocidad constante. ¿A
de las medidas de sus ángulos internos es igual a 4 que distancia de la base del tronco de la palmera
a) 310° b)350° c) 720° d) 360° e) 180° mayor apareció el pez?
A) 10 m B) 20 m C) 25 m D) 30 E) 40 m
48) En un nonágono ABCDEFGHI regular,
AB +BD = 18. Calcular BG. 56) En un triángulo ABC, AB = 14, BC = 12 y AC=10, la
a) 13 b) 15 c) 18 d) 36 e) 24 circunferencia inscrita es tangente a Ab en el
punto E y a BC en el punto F hallar EB +FC. (CPU
49) Un hexágono convexo ABCDEF es equiángulo, si AB FAC/2012 -III)
= CD = EF y BC = DE = AF. Calcular: m< BDF. B

a) 30° b)50° c) 72° d) 60° e) 80° A) 13
B) 11
50) Si el octógono mostrado es regular. Calcular “x” C) 10
E F
a) 30° D) 12
b) 150° E) 14
c) 75° F) A C
xº
30º
d) 67,5° 57) En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles
e) 60° PQR. (PQ=QR) en el que se inscribe el triángulo
equilátero DEF. la relación correcta entre α,β y ϒ
(CPU FAC/2012 -III)
51) Hallar el número de diagonales en un polígono A) Q
regular AMORES…. de “n” lados, si AE y MS
B)
forman un ángulo de 160°.
C) E
a) No se puede determinar b) 135 c) 220 β
d) faltan datos e) infinitas diagonales D) D ɵ

E)
52) Sobre el lado AB de un hexágono regular ABCDEF
P α R
se construye el cuadrado ABHI. Calcular m< FME. F
58) Dado un triángulo ABC cuyo m<A > 90º. Hallar
Si M es punto medio del EI. m<A, si
a) 30° b) 45° c) 37° d) 60° e) 53° (UNPRG /2012 -II)
a) 135º b) 145º c) 150º d) 120º e) 160º
53) En un octógono equiángulo ABCDEFGH. Calcular
m< BDA. Si : 4AB = 2CD = BC 59) Dado el triangulo de vértices A(2,-1), B(2,8); C(4;2).
a) 37° b) 10,5° c) 26,5° d) 60° e) 53° Hallar la longitud de la mediana trazada desde el
vértice A. (CPU FAC/2012 -II)
a) b) c) d) e)

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60) En un triángulo isósceles, la suma de dos ángulos 66) Dos lados de un triángulo miden 6 y 2. ¿Cuántos
distintos es igual a 110º. Luego la suma de los valores enteros puede tomar la medida del tercer
ángulos de la base es: lado del triángulo?
(CPU FAC/2012 -II) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
a) 136 b) 140 c) 146 d) 150 e) 160
67) Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcular el
61) En un triángulo ABC, a la medida del ángulo perímetro del tirángulo si el tercer lado mide el
exterior correspondiente a B es el triple de la doble de lo que mide uno de los otros dos.
medida del ángulo C. la mediatriz de BC corta a AC A) 16 B) 21 C) 30 D) 34 E) 30 ó 34
en el punto F. Si FC =12. Calcular AB
(CPU FAC/2012 -II) 68) ¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”?
B A) 4
10
6
B) 5 x
C) 6 7
D) 7 4
E) 8
69) En la figura, calcular “X”
A F C
2X
a) 13 b) 15 c) 9 d) 10 e) 12 X
62) En el triángulo ABC, A= 48º y B=88º, si AE es la
bisectriz del ángulo A y CE es la bisectriz del ángulo
externo correspondiente al ángulo C, determine el
valor del ángulo “X” a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° e) 40°
(CPU FAC/2012 -II)
E 70) En la figura, calcular “X”
x a) 15° 42°
B b) 22°
c) 28°
d) 30°
e) 36° x°
A C 18° 30°
a) 44 b) 46 c) 48 d) 52 e) 51
71) En la figura, calcular “ ”
63) En un triángulo ABC se cumple que: a) 37°
<C = <A + 42º y BE es bisectriz exterior determina b) 60°
la medida del <CEB. c) 30° θ

(CPU FAC/2012 -II) d) 53°
a) 42º b) 18º c) 21º d) 24º e) 62º e) 45°
64) Calcular “x” a) 127°
x x

a) 37° b) 60°
b) 60° c) 90°
θ
c) 30° θ α
2α d) 120°
x

d) 53° e) 30°
e) 45°
65) En la figura mostrada calcular “x”. 73) En la figura, calcular “ ”
4θ
a) 10°
A) 40 x° b) 20°
B) 50 60° c) 30°
C) 70 40° d) 15° 3θ
D) 80 e) 25°
θ

E) 100

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74) En la figura, calcular “X” 81) En la figura, hallar “X”
a) 15° a) 30°
b) 60° θ X
b) 60° 2α

c) 90° c) 90° 2α

d) 10° d) 45°
90°+2θ
e) 30° e) 37°
α X+α

75) En la figura, calcular “X” 82) En la figura, calcular “X”
a) 12° a) 27°
3θ
b) 16° 4θ b) 60°
x
c) 50° c) 90°
4x
d) 10° d) 20°
e) 30° 12θ x
e) 30°

76) En la figura, calcular “X” 83) En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la
a) 27° mediatriz de la bisectriz interior AE intersecta a la
b) 60° prolongación de CB en “D”. Calcular m< ACB, si DE
36°
c) 45° β x = AC
d) 54° β a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
e) 30° θ
θ
2θ 84) En un triángulo la medida de un ángulo interior es
77) En la figura, calcular “X”. la suma de los otros dos. Calcular la medida del
Si “α + β + θ + Φ = 232°” menor ángulo, si uno de ellos es la tercera parte
a) 117° α
de uno de los restantes
Φ
b) 116° a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
x
c) 119°
d) 118° β θ 85) En un triángulo ABC, sobre el lado AC se ubican los
e) 150° puntos E y F tal que AE = EF = FC, además: m<EAB
= m< FBC y m<ABE = BCF. Calcular m<EBF
78) En la figura, calcular “X” a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
a) 70°
b) 60° β
β
86) En un triángulo acutángulo ABC se trazan las
c) 90° α α alturas BH y CM. En las prolongaciones de HB y MC
d) 80° x 100º 20° se ubican los puntos P y R; respectivamente
Φ Φ
e) 50° cumpliéndose que AB = CR y AC = BP. Calcular
θ
θ m<APR.
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
87) En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza
la mediana BM, luego en BM y MC se ubican los
a) 27°
puntos N y P respectivamente de tal manera que
b) 60°
MP = PC. Calcular m<MNP en función de siendo
c) 90°
además :
d) 20°
m<NCB = m<BAC =
e) 30°
2x 4x
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 2
4x

88) En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza
80) Calcular “X”, si: a + b + c + d =242° la altura BH, en el triángulo BHC se traza la ceviana
a) 72° b c
interior HM de tal manera que MC = AB. Hallar
b) 60° m<MHC. Si se cumple que:
c) 59° HC = BH + 2AH
d) 62° a d
a) 22,5° b) 30,5° c) 26,5° d) 60° e) 52°
e) 53°
x

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89) En la figura, calcular “X” 96) Si: E Excentro del DRO. Hallar “X”
R
a) 27° x θ θ 40º
b) 60° a) 60º
E
c) 90° β
b) 100º
β X
d) 20° 2x c) 50º
e) 30° d) 70º
ΦΦ α α
60º
e) 80º
90) Del grafico mostrado m< DOR=2m<RON, calcular D O

“X” 97) Del gráfico, hallar “X”
R
a) 72° X a) 90º 80º
A 50º

b) 36° X θ
N
b) 95º
θ
c) 30° c) 85º
d) 45° d) 100º
e) 60° e) 90º X
β
β
D O
55º
91) Del gráfico, calcular “X” si: DM = MO = 5, DN=1 y 70º
O
NR = 7
98) Del gráfico, calcular “X”
a) 45°
52º
b) 60° M
A) 10º
c) 90°
B) 20º
d) 53° 40º 24º
e) 30°
C) 30º
x D) 40º
D N R
92) En la figura, calcular “ ” E) 50º X 80º
a) 27°
b) 60° 99) Hallar “X” siendo “I” incentro del CVR
R
c) 90°
d) 20° a) 42º
e) 30°
θ b) 44º 72º
E
c) 37º
I
93) Del gráfico, calcular “CM” d) 53º
a) 8 e) 30º
84º X
b) 16 C V

c) 24 4 100) Del grafico hallar “X”.
d) 32 Si: O Circuncentro del PAN
A
e) 60 A) 10º
B) 20º
C M
C) 30º 54º
94) Del gráfico, calcular “ ”
a) 8° 30° D) 40º O
b) 6° E) 50º
c) 4° P X N
66º
d) 3°
e) 5° 3θ
4θ 7θ 101) Del gráfico , hallar “X”
a) 20º
95) Si : O Circuncentro del PAN. Hallar “X”
50

28º
º

b) 24
-β

A

c) 28º
a) 72º 22º 33º
d) 32º
b) 75º
e) 30º
c) 79º Β + 12º

O 50º - β X
d) 81º
e) 57º
f) P
X N

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103) Del grafico calcular “X”
102) Del grafico calcular “X”
A) 30º
a) 37º B) 37º
b) 53º C) 53º
c) 60º D) 60º
d) 75º 2α
E) 45
e) 84º α
3X 2X
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