integrales racionales

1. Integrales Racionales o Fracción Simple
Caso 1:
Integrales que contienen en el denominador factores lineales que no se repiten
(es decir factores con potencia igual a uno).
El artificio consiste en anexar un valor por cada factor lineal presente. Como se muestra a continuación:
Ejemplo

2. -->
Caso 2:
Los factores del denominador son lineales y estos se repiten. Es decir hay factores con una potencia mayor que 1. (ax + b)n, con n > 1.
Para este caso se asume, al igual que en el caso anterior, un nuevo valor para cada factor lineal. Aquellos que tienen una potencia se les
anexa uno tantas veces como lo indique el exponente en orden creciente o decreciente, como se ve a continuación:

3. -->
Caso 3:
El denominador tiene factores cuadráticos y estos no se repiten.
Para este caso se asume, un nuevo valor para cada factor lineal y uno para el término independiente.
Caso 4:
-->El denominador tiene factores cuadráticos que se repiten, es decir que

4. Unos grandes almacenes
encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone
para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster.
Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se
necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50
€ y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe
suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta
máxima?
1 Elección de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
2 Función objetivo
f(x,y)= 50x + 40y
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

5. pantalones chaquetas disponible
algodón 1 1,5 750
poliéster 2 1 1000
x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,
tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

6. Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos
un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500
Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde
se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la
solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las
soluciones factibles.

7. 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos
son las soluciones a los sistemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

8. f(x, y) = 50x + 40y
f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €
f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €
f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 € Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para
obtener un beneficio de 28750 €.
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2. Para su
fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y
de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos
para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la
máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10
euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el
máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2 Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h

9. Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos
restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello
tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100
1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

10. La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la
solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las
soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos
son las soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

11. 6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para
obtener un beneficio de 3 750 € .
Ejercicio 3 resuelto
Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con
un espacio refrigerado de 20 m3
y un espacio no refrigerado de 40 m3
. Los
del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado.
La contratan para el transporte de 3 000 m3
de producto que necesita
refrigeración y 4 000 m3
de otro que no la necesita. El coste por kilóme tro de
un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada
tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
x = camiones de tipo A
y = camiones de tipo B
2 Función objetivo
f(x,y) = 30x + 40y
3 Restricciones

12. A B Total
Refrigerado 20 30 3 000
No refrigerado 40 30 4 000
20x + 30y ≥ 3 000
40x + 30y ≥ 4 000
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.

13. 6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332
f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500
Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.
f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180 Mínimo
El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.
En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición
mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En
el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una
composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una
composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10
euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada
tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
x = X
y = Y
2 Función objetivo

14. f(x,y) = 10x + 30y
3 Restricciones
X Y Mínimo
A 1 5 15
B 5 1 15
x + 5y ≥ 15
5x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.

15. 6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450
f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.
Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400
bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el
primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo,
pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete
serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de
cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
x = P1
y = P2
2 Función objetivo

16. f(x, y) = 6.5x + 7y
3 Restricciones
P1 P2 Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolígrafos 2 1 400
2x + 3y ≤ 600
x + y ≤ 500
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

17. 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €
f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste
en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B
consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No
se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.
¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lotes de A
y = nº de lotes de B
2 Función objetivo

18. f(x, y) = 30x + 50y
3 Restricciones
A B Mínimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100
x + 3y ≤ 200
x + y ≤ 100
x ≥ 20
y ≥ 10
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.

19. 6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €
f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €
f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.
Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de
transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo
dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el
de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que
utilizar para que la excursión resulte lo más económica posibl e para la
escuela.
1 Elección de las incógnitas.
x = autobuses pequeños
y = autobuses grandes
2 Función objetivo
f(x, y) = 600x + 800y
3 Restricciones
40x + 50y ≥ 400

20. x + y ≤ 9
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €
f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 €
f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 € Mínimo
El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5
pequeños .