Divisibilidad I, ejercicios y problemas

2. Prof. Jenner Huamán Callirgos

3. Pierre de Fermat y David Hilbert. Dos
momentos en la historia de las
matemáticas, evidentemente el trabajo de
los predecesores sostiene el trabajo de
quienes vienen después.
En los primeros tiempos de la aviación
invitaron al matemático alemán David
Hilbert (1862-1943) a dar una conferencia
sobre el tema que él quisiera. La
conferencia creó gran expectación ya que
el tema elegido fue: "La prueba del último
teorema de Fermat". Llegó el día y Hilbert
dio la conferencia. La exposición fue muy
brillante pero no tuvo nada que ver con el
último teorema de Fermat. Cuando le
preguntaron el por qué del título contestó:
"Oh, el título era solamente para el caso de
que el avión se estrellara".
• ¿Cuál es el último teorema de Fermat y
por qué creó tanta expectativa?

4. Observe la forma como se han dispuesto los números en el arreglo que
muestra la figura:
A B C D E F G
1 2 3 4
7
8
6 5
15
14 13
2021 19
12
9 10 11
16 17 18
. . . .
Si se continúa el proceso, ¿debajo de qué letra debe aparecer escrito
el número 2014?

5. Es una parte de la aritmética que estudia las leyes, propiedades y criterios
que nos sirven para determinar cuándo un número es divisible por otro.
DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO
Un número A es divisible por otro B, si la división de A entre B es
exacta.
36 9 36 es divisible por 9
9 es divisor de 36
9 divide a 36
4
Ejemplo
48 6 48 es divisible por 6
6 es divisor de - 48
6 divide a - 48
8

6. En general:
Dado los números:
Si:
Entonces: A es divisible por B
B es divisor de A
B divide a A
A Z
B Z (entero positivo)
K Z
+
∈
∈
∈
A B
K

7. MULTIPLICIDAD DE UN NÚMERO
Un número A es múltiplo de otro B, si el primero A contiene al
segundo B, un número exacto y entero de veces.
Ejemplo
36 = 9 x (4)
–48 =6x (–8)
0= 11x(0)
36 es múltiplo de 9
9 es factor de 36
- 48 es múltiplo de 6
6 es factor de - 48
0 es múltiplo de 11
11 es factor de 0

8. En general:
Dado los números:
Si:
entonces:
A es múltiplo de B
B es factor de A
A Z
B Z (entero positivo)
K Z
∈
+∈
∈
A B K= ×
A=B
A es múltiplo de B
A es divisible por B
B es factor de A
B es divisor de A
Se lee
Notación:

9. Indicar que un número es divisible o
múltiplo de otro lo consideramos
como equivalente.
Todo divisor de un número es un
factor de dicho número.
Ejemplo:
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 º º
20 20 51
º º
20 202 10
º º
20 20 204
= =
= =
= =
Luego:

10. El cero es múltiplo de cualquier entero positivo
Ejemplo:
( )
( )
x
x
º º
0 porque 0 07 7
º º
0 porque 0 011 11
=
=
Todo número es múltiplo de la unidad.
Ejemplo:
( )
( )
x
x
º º
15 porque 15 151 1
º º24 porque 24 241 1
=
=

11. Ejemplos Aplicativos
Calcule cuántos números positivos de tres cifras son:
I. Múltiplos de 15.
II. Múltiplos de 9 pero no de 5.
III. Múltiplos de 7.
IV. Múltiplos de 13 que terminan en cifra cero.
Resolución

12. Hasta el momento, solo hemos visto el caso cuando al realizar la
división, ésta resulta exacta. Ahora veremos el caso cuando la
división resulta inexacta.
Ejemplo:
37 no es divisible por 5, porque al dividir 37 entre 5 la
división es inexacta, efectuándola por:
Defecto Exceso
37 5
7
2
37 5
8
3
Por el algoritmo de la división:
r
defecto
37=5x(7)+2
r
exceso
37=5x(8)- 3
Números no divisibles

13. Por la notación:
2+3=5
r+ r =dd e
37=5+ 2 ó 37=5 - 3
Ejemplo:
24 = 5
0
+ 4 24=5
0
− 1
28 = 6
0
+ 4 28=6
0
− 2
Representación del
número 24 respecto al
módulo 5
Representación del
número 28 respecto al
módulo 6

14. Ejemplos Aplicativos
Calcule la suma de todos los números positivos de dos
cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtiene residuos
máximos.
Resolución
Respuesta: 605

15. Calcule cuántos números positivos de tres cifras son
múltiplos de 13, más 7 y además dichos números
terminan en cifra 2.
Resolución
Respuesta: 7

16. PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
Primer principio: De la suma o diferencia de 2 números que son múltiplos
De “n” se obtiene otro múltiplo de “n”.
+ =
↓ ↓ ↓
+ =
º º º
56 35 91
7 7 7
Ejemplos:
º º º
45 18 27
9 9 9
− =
↓ ↓ ↓
− =
º º ºn n n=+
º º ºn n n=−

17. Segundo principio: Si a un número que es múltiplo de “n”, se le multiplica
Por cualquier otro número entero, resulta otro número múltiplo de “n” .
( )
º
º
º
20 5
3 20 5
60 5
=
× =
=

Ejemplo
º
º
Si : A n
entonces :K A n
Siendo : K Z
=
× =
∈
( )
º
º
º
18 9
3 18 9
972
=
× =
=


18. Nota: Si un número es y otro es , entonces el producto
de ambos es:
𝑛𝑛
0
+ 𝑎𝑎 𝑛𝑛
0
+ 𝑏𝑏
𝑛𝑛
0
+ 𝑎𝑎.b
En general, diríamos
�𝑛𝑛
º
+ 𝑎𝑎)(𝑛𝑛
º
+ 𝑏𝑏)(𝑛𝑛
º
+ 𝑐𝑐) = 𝑛𝑛
º
+ 𝑎𝑎. 𝑏𝑏. 𝑐𝑐
Ejemplo �5
0
+ 3)(5
0
+ 2) = 5
0
+ 3.2
= 5
0
+ 6
= 5
0
+ 5
0
+ 1
= 5
0
+ 1

19. Tercer principio: Todo número entero que sea múltiplo de “n” y si es
elevado a un exponente entero positivo, se obtendrá otro múltiplo
de “n”.
Ejemplo

º
º
2
º
10 5
10 5
5100
=
=
=

º
º2
º
412
12 4
44 41
=
=
=
º
ºm
Si : A n
nA
Siendo : m Z+
=
=
∈

20. Debemos tener en cuenta que:
Si un número es múltiplo entre cierto módulo, es múltiplo con
cada divisor del módulo.
Ejemplo:
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
º
º
º
20 1
20 2
20 4
=
=
=
Entonces:
º
º
º
20 5
20 10
20 20
=
=
=

21. Ejemplos Aplicativos
Calcule cuál es el residuo al dividir entre 11 si:
Resolución
𝑁𝑁 = 14.32+𝑛𝑛 + 𝑚𝑚00𝑚𝑚 + 6.3𝑛𝑛, 𝑛𝑛 ∈ ℤ+
Respuesta: 0

22. Si un número es múltiplo de varios números, entonces es múltiplo
del MCM de dichos números.
Ejemplos:
60=4
60=10
=MCM(4,10)
=20
2x2x5=20
4 - 10 2
2 - 5 2
1 - 5 5
1
Si:
Se observa que 20 es el menor
número múltiplo de 4 y 10.
En general:
Si:
( )
º
º
º
A a
º
A b Entonces : A MCM a;b;c
A c

= 

= =

=


23. Si un número al ser dividido entre varios módulos y da el mismo
residuo, entonces, dicho número al ser dividido entre el MCM de
dichos módulos dará el mismo residuo.
( )
º
º
º
º
N 9 3
º
MCM ; ; 10N 8 3 Entonces : N 8 39
N 360 3N 10 3

= + 

=+ =+
 = += +

Si:
( )
º
º
º
N a r
ºN b r Entonces :
rMCM a,b,c
N c r

= ± 

= ±  ±
= ±

Si:

24. Principio de Arquímedes
Si el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto
módulo y uno de los números no es múltiplo del módulo, entonces el
otro número debe ser múltiplo de dicho módulo.
Ejemplo.
º
º
7b 5
b 5
• =
⇒ =
º
º
5a 16
a 16
• =
⇒ =
º
º
3x 11
1x 1
• =
⇒ =
15x=18
15x=18k
5x=6k
5x=6
x=6
9h = 13+1
9h = 13+1+13+13
9h = 13+27
9h - 27=13
9(h-3) =13
h-3 = 13
h = 13+3

25. Si un número acepta la n – ava parte entera, entonces dicho
número será siempre múltiplo de “n”.
Ejemplo:
Si: es entero, entonces
1
N
3
×
º
N 3=
Un número expresado en cierta base es múltiplo de la base más la
última cifra.
( )kabcdN =Sea:
Entonces:
º
N K d= +
º
5
º
9
ab3 5 3
xyz8 9 8
= +
= +
Ejemplo:

26. DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON
Aplicándose los criterios de divisibilidad y permite hallar el residuo
de manera inmediata.
n
n
º
BABA +=





+

=
n
º
BA 





−
+ Bn (si “n” es par)
- Bn (si “n” es impar)

A

A

27. Ejemplo
Hallar el resto de: 1512 entre 8.
Resolución
°
8
°
8
°
81512 = (16 - 1)12 = ( - 1)12 = + 112 = + 1
Por lo tanto, el resto es: 1

28. Ejemplo
Hallar el residuo de dividir 37326 por 7.
Resolución
Rpta.:4

29. APLICACIONES
1. Halle el residuo que se obtiene al dividir (58)36 entre 9.
(UNMSM-2011-II)
a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
Resolución

31. Continuará…