Métodos NuméricosMétodos Numéricos
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UN MODELO ES UNA ABSTRACCION DE LA REALIDAD QUE UTILIZA
MECANISMOS PARA EXPRESAR TODA REALIDAD.
MODELO MENTAL: Es el primer juego de ideas que se generan a escala
mental sobre el problema en cuestión.
MODELO VERBAL: Es...
MODELO MATEMATICO: Es aquel donde la relación entre las
diferentes variables en un sistema se formaliza a través de
relaci...
Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos
científicos, que emplea algún tipo de formulismo
matemático para expre...
Ejemplo: modelo matemático
Modelo cuantitativo: es aquel cuyos principales símbolos representan
números.
Modelo cualitativo: aquel modelo cuyos símbo...
COMPONENTES DE UN MODELO MATEMÁTICO
1.Variables dependientes
2. Variables independientes
3. Parámetros
4. Funciones de fue...
ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
GRADIENTE:
Sea f(x,y,z) una función en dos variables, el gradiente de f(x,y,z)
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Divergencia:
Sea f(x,y,z)= f(x,y,z)i + f(x,y,z)j + f(x,y,z)k la divergencia de f, denotada
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ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Rotacional:
Operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a
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ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Laplaciano:
Si Ø,A , son un campo escalar y un campo vectorial
respectivamente, ...
ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Segunda ley de newton:Segunda ley de newton: la fuerza neta aplicada sobrela fue...
ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Ley de calor de Fourier:Ley de calor de Fourier: La conducción de calor es unLa ...
ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Ley de difusión de Fick:Ley de difusión de Fick: es una ley cuantitativa enes un...
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO
Factor geométricoFactor geométrico
porosidadporosidad
Velocidad de flujoVelocidad de flujo
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ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO
La ecuación fundamental de flujo depende de:La ecuación fundamental de flujo depende de:
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ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Ley de Darcy: Describe:Ley de Darcy: Describe: Expresa el flujo de fluidosExpres...
VELOCIDAD REAL Y VELOCIDAD DE DARCY
Caudal = sección * velocidadCaudal = sección * velocidad
L3/T=L2*L/TL3/T=L2*L/T
La vel...
La tortuosidad: es una característica que representaLa tortuosidad: es una característica que representa
lo tortuoso de un...
ECUACIÓN DE ESTADO
En unEn un fluido incompresiblefluido incompresible la densidad (la densidad (ρρ) es) es
constante.cons...
APROXIMACIONES
Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático esSon técnicas mediante las cuales un modelo matemático es
resuelto ...
Aproximación numérica
Cifras significativas
Numero de dijitos en la mantisa
exactitud
precisión
Convergencia
Estabilidad
S...
Las cifras significativas son los dígitos de un número que
consideramos no nulos, número de dígitos t, que senúmero de díg...
EXACTITUD Y PRECISIÓN
La precisión:La precisión: se refiere al número de cifras significativas quese refiere al número de ...
CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD
CONVERGENCIA:CONVERGENCIA: Se entiende por convergencia de un métodoSe entiende por convergenci...
SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS
El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues seEl uso de los métodos numéri...
APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS
FINITAS
Diferencias finitas
APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS
FINITAS
Se consideran normalmente tres formas de diferencias finitas :
1. Una diferencia prog...
ERRORES DE APROXIMACION
En el análisis numérico, al error que existe entre el valor real y el
obtenido, se le llama error ...
Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un
número infinito de términos.
En este caso, el error a...
1. es.wikipedia.org/wiki1. es.wikipedia.org/wiki
2. www.material_simulacion.ucv.cl/2. www.material_simulacion.ucv.cl/
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  1. 1. Métodos NuméricosMétodos Numéricos 20102010
  2. 2. UN MODELO ES UNA ABSTRACCION DE LA REALIDAD QUE UTILIZA MECANISMOS PARA EXPRESAR TODA REALIDAD.
  3. 3. MODELO MENTAL: Es el primer juego de ideas que se generan a escala mental sobre el problema en cuestión. MODELO VERBAL: Es cualitativo por naturaleza, las palabras se usan para describir las reacciones del sistema frente a un estímulo. MODELO GRAFICO: Es el conjunto de imágenes y gráficos de sirven de apoyo y permiten ubicar las relaciones funcionales que priman en el sistema que se desea estudiar. MODELO FISICO: Son modelos a pequeña escala de barco, que se desarrollan para investigar el comportamiento del sistema real.
  4. 4. MODELO MATEMATICO: Es aquel donde la relación entre las diferentes variables en un sistema se formaliza a través de relaciones matemáticas (normalmente ecuaciones). MODELO ANALITICO: Se llevan a cabo cuando el modelo diferencial tiene solución. MODELO NUMERICO: Es una representación teórica de un modelo, típicamente expresado en forma matemática, que permite una mejor comprensión y estudio de su comportamiento. MODELO COMPUTACIONAL: Se refiere a un programa de computadora que permite que los modelos analíticos o numéricos se puedan solucionar más rápidamente.
  5. 5. Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos, que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.
  6. 6. Ejemplo: modelo matemático
  7. 7. Modelo cuantitativo: es aquel cuyos principales símbolos representan números. Modelo cualitativo: aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Modelo Probabilístico: aquellos basados en la estadística y probabilidades. Modelo Determinístico: corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas. Modelo Descriptivo: cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos. Modelo Optimizador: corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.
  8. 8. COMPONENTES DE UN MODELO MATEMÁTICO 1.Variables dependientes 2. Variables independientes 3. Parámetros 4. Funciones de fuerza 5.Operadores
  9. 9. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO GRADIENTE: Sea f(x,y,z) una función en dos variables, el gradiente de f(x,y,z) se denota como y esta definido como:
  10. 10. Divergencia: Sea f(x,y,z)= f(x,y,z)i + f(x,y,z)j + f(x,y,z)k la divergencia de f, denotada por div f y esta definida como: ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO
  11. 11. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Rotacional: Operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Expresión en coordenadas cartesianas:
  12. 12. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Laplaciano: Si Ø,A , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como: El Laplaciano de una función f es: Campo escalar Campo vectorial
  13. 13. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Segunda ley de newton:Segunda ley de newton: la fuerza neta aplicada sobrela fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración queun cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante deadquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo.proporcionalidad es la masa del cuerpo. dv Fdv F dt mdt m
  14. 14. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Ley de calor de Fourier:Ley de calor de Fourier: La conducción de calor es unLa conducción de calor es un mecanismo de trasferencia de energía térmica entremecanismo de trasferencia de energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directo de susdos sistemas basado en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de materia y que tiende apartículas sin flujo neto de materia y que tiende a igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entreigualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas.diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas. q=-k dt dx ( expresión matemática)
  15. 15. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Ley de difusión de Fick:Ley de difusión de Fick: es una ley cuantitativa enes una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversosforma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un mediocasos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico oen el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick.térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick. J=-D dc dx ( expresión matemática)
  16. 16. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO Factor geométricoFactor geométrico porosidadporosidad Velocidad de flujoVelocidad de flujo fuentesfuentes
  17. 17. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO La ecuación fundamental de flujo depende de:La ecuación fundamental de flujo depende de: • Balance de masa • Conservación del momentum ( ley de Darcy) • Ecuación de estado
  18. 18. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Ley de Darcy: Describe:Ley de Darcy: Describe: Expresa el flujo de fluidosExpresa el flujo de fluidos en términos de presión y gravedad:en términos de presión y gravedad: Limitaciones de la ley de Darcy:Limitaciones de la ley de Darcy: La constante de proporcionalidad K no es propia ni característica del medio poroso. En algunas circunstancias la relación entre el Q y el gradiente hidráulico no es lineal. CONSERVACIÓN DEL MOMENTUMCONSERVACIÓN DEL MOMENTUM
  19. 19. VELOCIDAD REAL Y VELOCIDAD DE DARCY Caudal = sección * velocidadCaudal = sección * velocidad L3/T=L2*L/TL3/T=L2*L/T La velocidad de Darcy es falsa puesto que el fluido no se mueve en suLa velocidad de Darcy es falsa puesto que el fluido no se mueve en su totalidad por la sección transversal.totalidad por la sección transversal. La parte de la sección por la cual puede circular el fluido es la porosidad eficaz. velocidad lineal media= VDarcy/ Vefectiva no sirve para calcular la distancia entre dos puntos. velocidad real= velocidad lineal media* coeficiente El coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso.
  20. 20. La tortuosidad: es una característica que representaLa tortuosidad: es una característica que representa lo tortuoso de una curva, es decir, el grado delo tortuoso de una curva, es decir, el grado de vueltas o rodeos que tiene.vueltas o rodeos que tiene. Existen varios intentos de medir este índice,Existen varios intentos de medir este índice, aplicables a distintos escenarios.aplicables a distintos escenarios.
  21. 21. ECUACIÓN DE ESTADO En unEn un fluido incompresiblefluido incompresible la densidad (la densidad (ρρ) es) es constante.constante. En unEn un fluido lentamente compresiblefluido lentamente compresible tenemos que:tenemos que: ρρ==ρρ (1+cp).(1+cp). Ecuación de estado de losEcuación de estado de los fluidos compresiblesfluidos compresibles ρρ= pM/zRT ó pM== pM/zRT ó pM= ρρzzRTRT
  22. 22. APROXIMACIONES
  23. 23. Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático esSon técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediososresuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediosos cálculos aritméticos”).cálculos aritméticos”). APROXIMACION NUMERICA:APROXIMACION NUMERICA: Se entiende por aproximación numérica a una cifra queSe entiende por aproximación numérica a una cifra que representa un número cuyo valor exacto es x. En la medida enrepresenta un número cuyo valor exacto es x. En la medida en que la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejorque la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejor aproximación de ese número.aproximación de ese número. APROXIMACIONES
  24. 24. Aproximación numérica Cifras significativas Numero de dijitos en la mantisa exactitud precisión Convergencia Estabilidad Selección de alternativas APROXIMACIONES
  25. 25. Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no nulos, número de dígitos t, que senúmero de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable.pueden usar, con confianza, al medir una variable. El manejo de cifras significativas permite desarrollarEl manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultadoscriterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos.obtenidos. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
  26. 26. EXACTITUD Y PRECISIÓN La precisión:La precisión: se refiere al número de cifras significativas quese refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad.representa una cantidad. La exactitud:La exactitud: se refiere a la aproximación de un número o dese refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor numérico que se supone representa.una medida al valor numérico que se supone representa.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Exactitud bajaExactitud baja Precisión altaPrecisión alta Exactitud altaExactitud alta Precisión bajaPrecisión baja Exactitud altaExactitud alta Precisión altaPrecisión alta
  27. 27. CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD CONVERGENCIA:CONVERGENCIA: Se entiende por convergencia de un métodoSe entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” denumérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cadaiteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.vez más al verdadero valor buscado. ESTABILIDAD:ESTABILIDAD: Se entiende por estabilidad de un método numérico elSe entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodosnivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es,numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseadose alejan cada vez más del resultado deseado
  28. 28. SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues seEl uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se requiere elegir entre:requiere elegir entre: 1. Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema1. Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema 2. Varias herramientas tecnológicas2. Varias herramientas tecnológicas Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona yExisten diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y otra, que depende de:otra, que depende de: 1. El nivel de participación en el modelado matemático del problema1. El nivel de participación en el modelado matemático del problema Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverloIngenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo 2. La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia2. La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia
  29. 29. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS Diferencias finitas
  30. 30. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS Se consideran normalmente tres formas de diferencias finitas : 1. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. 2. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior 3. Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por
  31. 31. ERRORES DE APROXIMACION En el análisis numérico, al error que existe entre el valor real y el obtenido, se le llama error de aproximación. TIPOS DE ERROR Existen varios tipos de error, pero los más comunes son: a) Error por truncamiento. b) Error por redondeo.
  32. 32. Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos. En este caso, el error aparece al operar con representaciones numéricas finitas. Se puede solucionar utilizando más decimales, pero esto conlleva utilizar más memoria (recursos). ERROR POR TUNCAMIENTO ERROR POR REDONDEO
  33. 33. 1. es.wikipedia.org/wiki1. es.wikipedia.org/wiki 2. www.material_simulacion.ucv.cl/2. www.material_simulacion.ucv.cl/ 3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script...3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script... 4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para-4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para- extraccion-de-petroleoextraccion-de-petroleo 5.5. SANTAFE, Elkin R. “Elementos básicos de modelamiento matemático”. Clases-Universidad Industrial de Santander Año-2009.
  34. 34. F i nF i n

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