Simple class lesson about heat transfer for theoretical and experimental Thermodinamics (Universidad Nacional de Rosario, 2014). Main mechanisms and astronaut exposure, like in 2001: a space odyssey.

1. Transferencia de calor
Javier García Molleja
Física II/Física Experimental II
1. ¾Cómo se transifere el calor?
El primer principio de la termodinámica habla sobre la conservación de la energía,
que para sistemas se puede expresar como
∆U = Q − W,
o sea, la energía interna del sistema cambia dependiendo de los intercambios de calor y
trabajo con el ambiente, cuyos signos dependen del convenio que se elija.
Es el momento de hablar de la magnitud Q, que no es otra cosa que el calor. Por lo
tanto, Q habla de la energía que se transmite entre dos focos a diferente temperatura. La
manera en que se hace tal transferencia obedece al segundo principio de la termodinámica,
por lo que el calor irá del cuerpo más caliente hasta el más frío.
Por la denición de calor se entiende que es una magnitud diferente a la temperatura.
Puede haber temperatura en un cuerpo aislado, pero no calor, puesto que es indispensable
esta transferencia.
Tal transferencia puede darse mediante tres mecanismos:
Conducción: el calor se transere de un foco a otro, pero es necesario un medio para
ello. La conducción se lleva a cabo por la excitación de partículas, que vibran al estar
a una temperatura determinada. Así, las colisiones irán subiendo la temperatura
(que no es otra cosa que un promedio de velocidades) al transferirse el calor hacia
zonas más frías (a temperaturas más bajas).
En condiciones estacionarias la conducción obedece a la Ley de Fourier :
qc = −kA T,
con qc el ujo de calor que se considera como una potencia (variación de energía por
unidad de tiempo), k es la conductividad térmica (con unidades de W/m·K para
un medio isótropo) y A el área que está en contacto con el medio que transere el
calor.
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2. Convección: el calor se transere utilizando un medio y siguiendo las diferencias
de temperatura. Una condición necesaria para que se dé la convección es que el
medio sea uido. De esta manera el calor irá de una zona de mayor temperatura
a una de menor temperatura, de tal modo que las partículas que abandonaron la
zona caliente se alojen en la fría y la zona que deja libre será ocupada por partículas
frías, que en contacto con el foco aumentarán de temperatura. Es el típico ejemplo
del fuego de hornilla calentando la cazuela (donde el calentamiento del agua por la
cazuela se da por conducción).
Dicha convección puede darse de manera natural o forzada: desplazamiento de masas
del uido por diferencias de temperatura u obligando al uido a moverse de una
manera determinada. La convección obedece la Ley de enfriamiento de Newton:
qv = hA∆T,
donde qv es el ujo de calor ocasionado por la convección y h es el coeciente de
convección (con unidades de W/m2
K).
Radiación: la materia se compone de átomos con núcleo y nube de electrones. Si
estos electrones sufren transiciones entre orbitales el exceso de energía es liberado en
forma de fotones, por lo que estos cuerpos radían y transeren por tanto parte de su
temperatura en forma de calor por radiación. Ya que las ondas electromagnéticas que
se generan por las transiciones electrónicas no necesitan un medio para propagarse,
este tipo de transferencia se da bajo cualquier condición, es decir, no hace falta un
medio, ni contacto entre cuerpos ni condiciones especiales en el medio (como que
sea uido, por ejemplo).
Se conoce como cuerpo negro a una entidad que absorbe todo tipo de radiaciones,
no se transmite ni reeja nada. Para obedecer a los principios de conservación tienen
que emitir parte de esta radiación. Los cuerpos negros son ideales, por lo que un
caso más real será el cuerpo gris, donde parte de la radiación puede transmitirse o
reejarse, por tanto, la eciencia de los cuerpos grises al reemitir parte de la energía
entregada es menor que para los cuerpos negros. El ujo de calor qr transferido por
radiación sigue la Ley de Stefan-Boltzmann:
qr = Aεσ∆T4
,
con ε el factor de cuerpo gris y σ = 5,6699 · 10−8
W/m2
K4
la constante de Stefan-
Boltzmann. Aunque la temperatura T esté a la cuarta potencia la constante σ es
muy baja, por lo que en condiciones normales (o sea, cotidianas en la Tierra) no
será de mucha magnitud y los otros dos mecanismos de transferencia de calor serán
predominantes.
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3. 2. Un ejemplo en la ciencia-cción: astronautas y el frío
sideral
Tras la descripción teórica, vamos a ver un ejemplo. Recordemos un pasaje en el libro
de Arthur C. Clarke titulado 2001: una odisea espacial. En cierto momento la inteligencia
articial HAL9000 deja al astronauta David Bowman en una cápsula EVA, pero fuera de
la Discovery One. Entonces, para entrar a la nave tiene que acceder manualmente, pero
no dispone de casco, por lo que durante algunos segundos va a estar sometido a muy bajas
presiones y al frío sideral.
Muchos se preguntarán si Bowman no muere instantáneamente. A tan bajas presiones
debería descomprimirse y explotar, o que la sangre comenzaría a hervir quemándolo por
dentro. Otros quizás apuesten por que se congele de inmediato. La verdad es que no
se daría ninguna de estas y vamos a hacer un ejemplo donde se vea la relevancia de la
transferencia de calor por radiación.
Para no asustar a varios podemos decir que el sistema circulatorio posee una excelente
regulación barométrica, por lo que puede resistir, junto a la piel, fuertes cambios de presión
y quedar aislado de las condiciones externas. Así que no hay explosiones truculentas. Para
proteger algo más a nuestro hipotético astronauta, vamos a situarno no rumbo a Saturno,
sino a 100 km de altura de la supercie de la Tierra y en la cara que está oculta del Sol.
La presión en este punto es de pe = 0, 032 Pa y la temperatura Te = 93 K (o sea, −180
o
C).
A estas altitudes solo habrá hidrógeno atómico como componente mayoritario. Con-
siderando temperatura y presión previamente descritas y el diámetro del H (106 pm) el
camino libre medio (la distancia promedio entre colisión y colisión) será de 4 m. Tal valor
descarta que el medio en el que esté el astronauta sea uido, por lo que la convección
no es posible, luego qv = 0 W.
En cuanto al mecanismo de conducción, no será muy elevado en estas condiciones.
La densidad es de 2,5 · 1018
H/m3
. Parece un valor elevado, pero a nivel del mar esta
densidad es un millón de veces mayor a lo calculado. Sin embargo, y de modo ilustrativo,
vamos a hacer los cálculos para la conducción.
En primer lugar, y como buenos físicos, se supone que el astronauta sin casco puede
ser representado por una esfera perfecta de área A = 4πr2
c , con rc = 0,1 m siendo el radio
de la cabeza. La temperatura que posee el astronauta será la de la sangre, es decir Tc = 37
o
C o 310 K.
Como simplicamos al astronauta a una esfera tendremos que determinar la expresión
de qc para una conducción entre esferas. Así, el gradiente de temperaturas expresado en
coordenadas esféricas (y suponiendo que el medio es isótropo para que no haya variaciones
angulares aunque sí radiales) queda como
T =
dT
dr
r.
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4. Por consiguiente, podemos operar en la Ley de Fourier:
qc = − k4πr2 dT
dr
dr
r2
qc = − 4πkdT
q
re
rc
dr
r2
= − 4πk
Te
Tc
dT
− qcr−1 re
rc
= − 4πk T]Te
Tc
qc
1
re
−
1
rc
=4πk(Te − Tc)
qc =
4πk(Te − Tc)
1
re
− 1
rc
(1)
Como incógnita queda el valor de re, el radio del espacio. No se pierde mucha infor-
mación si suponemos que tal radio vale innito. Y es que el universo es enorme.
Bien, para conocer el valor solo hace falta conocer k. Para ello debemos recurrir a
aproximaciones microscópicas y tener en cuenta distribuciones de partículas:
k =
n v λcv
3NA
,
con n la densidad de partículas, v el promedio de velocidades de las partículas, λ el
camino libre medio, cv el calor especíco a volumen constante y NA = 6,022·1023
part/mol
el Número de Avogadro. Los valores de n y λ ya han sido calculados a la hora de descartar el
mecanismo de convección. Con los valores ya conocidos podemos suponer que el entorno
de H se comporta como un gas ideal, por lo que cv = 3
2
R, con R = 8,31 J/K·mol la
constante de los gases ideales.
De esta manera solo queda por determinar v que se puede conocer mediante la
energía cinética E = 1
2
mv2
, con m = 1,007797 u la masa del átomo de hidrógeno (hay
que multiplicar por 1,66·10−27
para saber su masa en kg). El valor E puede ser calculado
si consideramos que el entorno es un gas ideal y está en equilibrio, de tal manera que
las velocidades de las partículas obedecen a una distribución de Maxwell-Boltzmann. Con
esto, el valor medio de la energía cinética es E = 3
2
kBT, donde kB = 1,38 · 10−23
J/K es
la constante de Boltzmann. Todos los datos son conocidos, por lo que igualando estas dos
ecuaciones y despejando la velocidad se llega a que
v =
3kBT
m
= 1516 m/s.
Con toda esta vuelta podemos ir directamente a la ecuación de k y sustituir todos los
valores para determinar que bajo estas condiciones la conductividad términa alcanza un
valor de k = 0,104 W/m·K.
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5. Ya es posible acudir a la ley de Fourier para conducción entre esferas, por lo que
operando se tiene que qc = 28 W.
Ahora, tras este lío, veamos el ujo de calor que pierde la cabeza del astronauta por
radiación. Antes que nada es necesario dar una estimación al factor de cuerpo gris que
por tradición es de 0,7 cuando se habla de piel humana (nuestro astronauta parece que
es calvo o le gusta raparse al cero). Con la ley de Stefan-Boltzmann se puede calcular de
manera rápida que qr = 46 W.
Por consiguiente, nuestro astronauta de cción pierde más calor mediante efectos ra-
diativos que conductivos, al contrario que en muchos ejemplos que se dan en la Tierra.
Entonces la suposición es que el astronauta debe morir, si no se da prisa, por congela-
miento. Pero podemos hacer una aproximación somera para ver de cuánto tiempo estamos
hablando. ¾Se congela entonces de manera inmediata? Para empezar, un cuerpo humano
no es un foco innito, cuenta con una reserva limitada de energía, que la va perdiendo
poco a poco (por eso tenemos que comer cada poco). Supongamos que el astronauta es un
pequeño reservorio de energía que se encarga de mantener la temperatura constante de 37
o
C. ¾Cuánta energía posee este reservorio? Consideremos que esta energía es igual a la que
es necesaria consumir diariamente para estar saludable (según los organismos internacio-
nales de salud). De estas exigencias energéticas que dependen de la talla, el peso y la edad,
el 50 % se consume en metabolismo y, por tanto, en mantener la sangre caliente (como
dato, de lo que sobra, el 40 % se destina a producción de proteínas y el 10 % restante en
funciones musculares). Una persona adulta entonces necesita diariamente alrededor de 4
MJ para mantener el metabolismo en condiciones óptimas. Por tanto, consideremos que
el reservorio contiene esta cantidad de energía.
Mediante simples reglas de tres, al ser el ujo de calor una potencia (variación de
energía por unidad de tiempo), sabemos cuánto tiempo tarda en perder toda la energía
almacenada para entonces ir de los 310 K hasta los 93 K del entorno:
Para la conducción tomaría aproximadamente 40 horas.
Para la radiación llevaría como 24 horas.
Esto quiere decir, que si el astronauta no puede entrar en un sitio seguro en pocos
minutos, lo más probable es que muera por asxia, no por congelamiento.
Estos cálculos son magnánimos para con el astronauta, ya que los problemas se darían
cuando la temperatura de la sangre bajase de los 30 o
C, puesto que entraría en hipotermia
grave. El tiempo que tardaría en bajar estos 7 o
C nos lo da la ecuación de calor :
∂T
∂t
= α T,
con α la difusividad térmica. Esta ecuación en derivadas parciales considera el proceso
transitorio (puesto que la ley de Fourier era para procesos estacionarios), por lo que esto
considera otros puntos que no se exigen en el nivel de estas asignaturas, por lo que hay
que esperar para saber cómo resolver tal ecuación.
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