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Esquema inicial

1. Proceso de Bernoulli

2. Distribución Binomial

3. Distribución Geométrica

4. Distribución Binomial Negativa

5. Distribución de Poisson




                                       Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa                                                (1/4)



GÉNESIS


• Proceso   generador (experimento aleatorio)
 Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A



• Variable   aleatoria

 X ≡ “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A”       RgX = {0, 1, 2,….}.

 X’ ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A”            Rg X’ = {n, n+1, n+2,…}




                                                                   Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa                                                                    (2/4)



GÉNESIS


• Espacio   probabilístico asociado

                                                                                      
P [ X = x ] = P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ax ∩ Ax +1 ∩ Ax + 2 ∩ .. ∩ Ax + n ) ∪ .............  = PRnx+nx−11 p n q x =
                                                                          
                                                                           
                                                                                               ,
                                                                                                  −
                                                                       reordenaciones 

 n + x − 1 n x  n + x − 1 n x
          p q =             p q
     x               n −1 

                                                                                           
P [ X ' = x ] = P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ∩ An ∩ An +1 ∩ .. ∩ Ax −1 ∩ Ax ) ∪ .............  = PRxx−1n ,n −1 p n q x − n =
                                                                               
                                                                                
                                                                                                    −

                                                                            reordenaciones 

 x − 1 n x − n
      p q
 n − 1



                                                                                      Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa                                                      (3/4)



FICHA TÉCNICA                      X  β N (n, p )

                                            n + x − 1 n x
                                                        p q x = 0,1, 2,
a) Función de probabilidad        p ( x) =  x 
                                                      
                                           0
                                                            en el resto



                                           0                     x<0
b) Función de distribución                 
                                  F ( x) =  k  n + i − 1 n i
                                           ∑  i  p q           k ≤ x < k + 1 (k =0,1,...)
                                            i =0        



                             nq                                                    nq
c) Esperanza      E[X ] =                       d) Varianza          Var [ X ] =
                              p                                                    p2

                                                                      Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa                                                  (4/4)



EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el
número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada
20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan
25 llamadas de forma independiente.

d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa?
e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios?




                                                                   Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Proceso de Bernoulli

2. Distribución Binomial

3. Distribución Geométrica

4. Distribución Binomial Negativa

5. Distribución de Poisson




                                       Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson                                       (1/5)



GÉNESIS

• Proceso   generador (experimento aleatorio)

 Comportamiento asintótico de una Binomial: n→∞, p→0




• Variable   aleatoria

 X ≡ “nº de veces que aparece A en la unidad u”   RgX = {0, 1, 2,….}.




                                                        Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson                                                    (2/5)



     GÉNESIS


• Espacio   probabilístico asociado

                                                                                                        λ
                                                                                                               n

                                                                                                         1−
                                                                               n(n − 1)....(n − x + 1)  n 
                                                              n− x
               n                         λ        λ            λ
                                                 x                      x
P [ X ==   p x q n − x =
      x ] lim
                                    n!                                                                      =
                         lim                
                         n →∞ x !( n − x )! n
                                                     1 −           = lim
                                                    n                                               λ
                                                                                           x                  x
                
          n →∞ x                                                      x ! n→∞            n
                                                                                                       1 − 
          p →0           p →0                                             p →0

                                                                                                        n
λx        λ       λ
                n        x
               e− λ
    lim 1 −  =
x ! n→∞  n 
    p →0
                    x!




                                                                             Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson                                            (3/5)



FICHA TÉCNICA                       X  P (λ )


                                       −λ λ x
                                      e            x = 0,1, 2,
a) Función de probabilidad    p( x) =     x!
                                      0
                                                   en el resto


                                      0                 x<0
                                      
                             F ( x) =  k − λ λ i
                                      ∑ e i !
b) Función de distribución
                                                         k ≤ x < k + 1 (k =0,1,...)
                                       i =0



c) Esperanza        E[X ] = λ            d) Varianza     Var [ X ] = λ

                                                             Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson                       (4/5)



TABLA




                               Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson                       (5/5)



EJEMPLO




                                 Probabilidades y Estadística I

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  • 1. Esquema inicial 1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa 5. Distribución de Poisson Probabilidades y Estadística I
  • 2. 4. Distribución Binomial Negativa (1/4) GÉNESIS • Proceso generador (experimento aleatorio) Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A • Variable aleatoria X ≡ “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A” RgX = {0, 1, 2,….}. X’ ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A” Rg X’ = {n, n+1, n+2,…} Probabilidades y Estadística I
  • 3. 4. Distribución Binomial Negativa (2/4) GÉNESIS • Espacio probabilístico asociado   P [ X = x ] = P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ax ∩ Ax +1 ∩ Ax + 2 ∩ .. ∩ Ax + n ) ∪ .............  = PRnx+nx−11 p n q x =     , −  reordenaciones   n + x − 1 n x  n + x − 1 n x  p q = p q  x   n −1    P [ X ' = x ] = P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ∩ An ∩ An +1 ∩ .. ∩ Ax −1 ∩ Ax ) ∪ .............  = PRxx−1n ,n −1 p n q x − n =     −  reordenaciones   x − 1 n x − n  p q  n − 1 Probabilidades y Estadística I
  • 4. 4. Distribución Binomial Negativa (3/4) FICHA TÉCNICA X  β N (n, p )  n + x − 1 n x  p q x = 0,1, 2, a) Función de probabilidad p ( x) =  x    0  en el resto 0 x<0 b) Función de distribución  F ( x) =  k  n + i − 1 n i ∑  i  p q k ≤ x < k + 1 (k =0,1,...)  i =0   nq nq c) Esperanza E[X ] = d) Varianza Var [ X ] = p p2 Probabilidades y Estadística I
  • 5. 4. Distribución Binomial Negativa (4/4) EJEMPLO Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa? e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios? Probabilidades y Estadística I
  • 6. Esquema inicial 1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa 5. Distribución de Poisson Probabilidades y Estadística I
  • 7. 5. Distribución de Poisson (1/5) GÉNESIS • Proceso generador (experimento aleatorio) Comportamiento asintótico de una Binomial: n→∞, p→0 • Variable aleatoria X ≡ “nº de veces que aparece A en la unidad u” RgX = {0, 1, 2,….}. Probabilidades y Estadística I
  • 8. 5. Distribución de Poisson (2/5) GÉNESIS • Espacio probabilístico asociado  λ n 1− n(n − 1)....(n − x + 1)  n  n− x n λ  λ λ x x P [ X ==   p x q n − x = x ] lim n!   = lim   n →∞ x !( n − x )! n 1 −  = lim    n  λ x x   n →∞ x x ! n→∞ n 1 −  p →0 p →0 p →0  n λx  λ λ n x e− λ lim 1 −  = x ! n→∞  n  p →0 x! Probabilidades y Estadística I
  • 9. 5. Distribución de Poisson (3/5) FICHA TÉCNICA X  P (λ )  −λ λ x e x = 0,1, 2, a) Función de probabilidad p( x) =  x! 0  en el resto 0 x<0  F ( x) =  k − λ λ i ∑ e i ! b) Función de distribución k ≤ x < k + 1 (k =0,1,...)  i =0 c) Esperanza E[X ] = λ d) Varianza Var [ X ] = λ Probabilidades y Estadística I
  • 10. 5. Distribución de Poisson (4/5) TABLA Probabilidades y Estadística I
  • 11. 5. Distribución de Poisson (5/5) EJEMPLO Probabilidades y Estadística I