C´lculo para la ingenier´ a                      ıa       Salvador Vera     9 de enero de 2005
ii     Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
´Indice general1. Conceptos b´sicos                  a                                                                    ...
iv                                                               ´                                                        ...
´INDICE GENERAL                                                                                    v          3.2.7. Deriv...
vi                                                                ´                                                       ...
´INDICE GENERAL                                                                        vii6. Aplicaciones de la integral. ...
Cap´   ıtulo 1Conceptos b´sicos           a1.1.     La recta realSuponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su repre...
2                                      CAP´                   ´                                          ITULO 1. CONCEPTO...
1.1. LA RECTA REAL                                                                    3Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tan...
4                                            CAP´                   ´                                                ITULO...
1.1. LA RECTA REAL                                                         5Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racional...
6                                   CAP´                   ´                                       ITULO 1. CONCEPTOS BASI...
1.1. LA RECTA REAL                                                                     7Multiplicando los signos en cada i...
8                                      CAP´                   ´                                          ITULO 1. CONCEPTO...
1.1. LA RECTA REAL                                                                      9    Esta definici´n significa lo si...
10                                        CAP´                   ´                                             ITULO 1. CO...
1.1. LA RECTA REAL                                                          11a) x2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ...
12                                  CAP´                   ´                                       ITULO 1. CONCEPTOS BASI...
1.1. LA RECTA REAL                                                                       13Nota: Para hallar el punto medi...
14                                            CAP´                   ´                                                 ITU...
1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO                                                151.2.      El plano y el espacio car...
16                                      CAP´                   ´                                           ITULO 1. CONCEP...
1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO                                           17de donde, tomando la ra´ cuadrada positi...
18                                               CAP´                   ´                                                 ...
1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO                                                 19de donde,                         ...
20                                   CAP´                   ´                                        ITULO 1. CONCEPTOS BA...
1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO                                                21Nota: La ecuaci´n general Ax2 + Ay ...
22                                         CAP´                   ´                                              ITULO 1. ...
1.3. FUNCIONES                                                                         23     De las causas de estas relac...
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
11507213 calculo-para-la-ingenieria
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

11507213 calculo-para-la-ingenieria

533 visualizaciones

Publicado el

Matemáticas para ingenieria

Publicado en: Tecnología
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
533
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
31
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

11507213 calculo-para-la-ingenieria

  1. 1. C´lculo para la ingenier´ a ıa Salvador Vera 9 de enero de 2005
  2. 2. ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
  3. 3. ´Indice general1. Conceptos b´sicos a 1 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . . . . . 15 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. El c´ ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Representaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 26 1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funci´n . . . . . . . . . . . . o . . . . 30 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . 32 1.3.5. Composici´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 32 1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto . . . . . . . a . . . . 43 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.10. La funci´n valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 45 1.4. L´ ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.1. C´lculo de l´ a ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.2. Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 54 1.5. L´ ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.1. Definici´n de l´ o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.5.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto . . . . . . . . o . . . . 66 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 68 1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´ e a ımites . . . . . . . . 78 1.5.9. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . 82 1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . e a . . . . 83 1.6. Funciones hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 85 1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 85 1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica o ıa o . . . . 86 1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. . . . . . . . . . e o . . . . 86 iii
  4. 4. iv ´ INDICE GENERAL 1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 87 1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . 87 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas a o . . . . . . . . . . . . . . 88 1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . . o . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.10. F´rmula logar´ o ıtmica de las funciones hiperb´licas o inversas . . 90 1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912. Funciones de varias variables: L´ ımites 93 2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables . . . . . . . . o . . 97 2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 102 2.1.4. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . 104 2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables . . . . . . . . . . a o . . 110 2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables . . 118 2.2. L´ ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . 119 2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . . . 121 2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definici´n . . . . . . . o . . 126 2.2.6. C´lculo de l´ a ımites mediante operaciones algebraicas . . . . . 130 2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n . . . . . . . . . . . . o . . 132 2.2.8. Infinit´simos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 133 2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.2.10. L´ ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.3. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463. Derivada de Funciones de una variable 149 3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.1.4. Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 152 3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . . a . 156 3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . o . 156 3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . o . 158 3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical . 158 3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 159 3.2.1. Funci´n derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 159 3.2.2. Reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 160 3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . . 162 3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 164 3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´ o ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.2.6. Derivaci´n logar´ o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
  5. 5. ´INDICE GENERAL v 3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial . . . . . . . . . . . o o 170 3.3. L´ ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.3.1. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 172 3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . . e a 172 3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. . . . . . . . . . o 173 3.4. L´ ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 183 3.5.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 183 3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 184 3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica . . . . . . o o 187 3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 189 3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproximados . o a 193 3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de l´ o a ımites . . 195 3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 196 3.6.1. M´ximos y m´ a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.6.2. M´ximos y m´ a ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 200 3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´ o ıticos . . 203 3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´ o a ınimos . . . . . . . . 204 3.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084. Derivaci´n de funciones multivariables o 211 4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 211 4.1.2. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 212 4.1.3. La funci´n derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 214 4.1.4. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . . a . . . . . 216 4.1.5. Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 218 4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales o e . . . . . 219 4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . . o . . . . . 222 4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . 231 4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.4.1. Generalizaci´n del concepto de diferenciabilidad . . o . . . . . 233 4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 237 4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . . . . . . 243 4.4.6. Condici´n suficiente para la diferenciabilidad . . . . o . . . . . 244 4.4.7. Caracterizaci´n de las funciones diferenciables . . . . o . . . . . 246 4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . 248 4.4.9. La derivada seg´n una direcci´n curva . . . . . . . . u o . . . . . 249 4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 249 4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 251 4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
  6. 6. vi ´ INDICE GENERAL 4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . 261 4.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento . . . . . . o . 263 4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 268 4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . 268 4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 269 4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 271 4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . 276 4.8.2. Composici´n de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . o . 277 4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . . o . 280 4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales . . . . . a . 282 4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . 290 4.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . 305 4.10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 305 4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . 307 4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . 315 4.10.5. M´ximos y m´ a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 4.11. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3265. Integral definida. C´lculo de primitivas a 329 5.1. La estimaci´n de un area. Sumas de Riemann. . . . . . . . . o ´ . . . . 329 5.1.1. Significado geom´trico de la integral . . . . . . . . . . e . . . . 329 5.1.2. C´lculo de l´ a ımites utilizando el concepto de integral . . . . . 334 5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.2. El teorema fundamental del C´lculo . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 343 5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . . 347 5.3. Integraci´n inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 350 5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 350 5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 5.4. Integraci´n mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . . o . . . . 352 5.5. Integraci´n por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 356 5.6. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 359 5.6.1. Integraci´n de fracciones elementales . . . . . . . . . . o . . . . 359 5.6.2. Integraci´n mediante desarrollo en fracciones simples . o . . . . 360 5.7. Integraci´n de expresiones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . o e . . . . 367 5.7.1. Integraci´n de potencias de funciones trigonom´tricas o e . . . . 367 5.7.2. Integraci´n de funciones racionales del sen y del cos . o . . . . 369 5.8. Integraci´n de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 371 5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 5.8.2. La sustituci´n trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . 372 5.9. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
  7. 7. ´INDICE GENERAL vii6. Aplicaciones de la integral. 377 6.1. C´lculo del area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ . 377 6.2. C´lculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 380 6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´todo de secciones . . e . 380 6.2.2. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de discos . . . o o e . 381 6.2.3. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de los cilindros o o e . 381 6.3. L´ ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.4. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 389Bibliograf´ ıa 393´Indice alfab´tico e 394 Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
  8. 8. Cap´ ıtulo 1Conceptos b´sicos a1.1. La recta realSuponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su representaci´n en la u ı orecta real. Los n´meros reales se pueden representar mediante expresiones deci- umales finitas o infinitas. Si la expresi´n decimal es finita o peri´dica infinita, o oentonces el n´mero real se puede expresar como el cociente de dos n´ meros u uenteros y se dice que el n´mero real es racional. Rec´ u ıprocamente cualquiern´mero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una uexpresi´n decimal finita o infinita peri´dica. Cuando la expresi´n decimal o o otiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´dica se dice que el on´mero real es irracional. u Los n´meros reales admiten una representaci´n geom´trica en una recta. u o eEn dicha representaci´n cada n´mero real se representa por un solo punto o ude la recta y cada punto de la recta representa un solo n´mero real. En con- usecuencia, hablaremos indistintamente de n´mero o de punto. Por convenio, ulos n´meros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a ula izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representadolos n´meros reales. u −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 √ π 2 2 Figura 1.1: La recta real1.1.1. Orden, desigualdades e intervalosDefinici´n 1.1 (N´ meros positivos y n´ meros negativos). o u u1) Para cada n´mero real, a, est´ definida una y s´lo una de las siguientes u a orelaciones: 1
  9. 9. 2 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0; b) a es igual a cero, a = 0; c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.2) Si a y b son n´meros positivos, entonces: u a) Su suma es positiva, a + b > 0. b) Su producto es tambi´n positivo, ab > 0. eDefinici´n 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´meros reales a y o ub. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo. a<b ⇔ b−a>0Si a es menor que b, tambi´n se dice que b es mayor que a y se escribe b > a e ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b. El s´ Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.Proposici´n 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d oson n´meros reales, se tiene: u 1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d a+c<b+c 3. Si a < b, entonces, para cualquier n´mero real c u a−c<b−c 4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp 5. Si a < b y n < 0, entonces an > bnNota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar lasmismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambosmiembros, por un n´ mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´ u ı, −2x < 6 ↔ x > −3Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´n se llama inecuaci´n. e oDefinici´n 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´meros reales tales que o ua ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntoscomprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos (a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com-prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos [a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}
  10. 10. 1.1. LA RECTA REAL 3Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como epara indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo. a e Tambi´n se definen los siguientes tipos de intervalos: eIntervalos semiabiertos [a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}Intervalos infinitos (−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b} (−∞, b) = {x ∈ R/ x < b} (a, +∞) = {x ∈ R/ a < x} [a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x} (−∞, +∞) = REjemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´n de las osiguientes desigualdades a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2x < 5Soluci´n. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´n, resulta: o o 8 2x − 3 < 5 ⇔ 2x < 5 + 3 ⇔ x<⇔ x<2 2Por tanto, el conjunto soluci´n es el intervalo (−∞, 2). ob) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-timos el sentido de la desigualdad. As´ı, 2 3 − 2x < 5 ⇔ −2x < 5 − 3 ⇔ x> ⇔ x > −1 −2Luego el conjunto soluci´n es el intervalo (−1, +∞). oEjemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjuntosoluci´n del siguiente sistema de desigualdades o 2x + 1 ≥ −1 3x − 7 ≤ 2Soluci´n. Se trata de hallar la intersecci´n de los conjuntos soluci´n de o o ocada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuacionespor separado y luego hallamos la intersecci´n o 2x + 1 ≥ −1 2x ≥ −1 − 1 2x ≥ −2 x ≥ −1 3x − 7 ≤ 2 3x ≤ 2 + 7 3x ≤ 9 x≤3Luego el intervalo soluci´n es [−1, 3] o
  11. 11. 4 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´n odel siguiente sistema de desigualdades 2 − 3x ≥ −1 2 − 3x ≤ 11Soluci´n. Podemos resolver cada inecuaci´n por separado, o bien, utilizar el o ohecho de que la expresi´n 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar oconjuntamente. As´ı, 2 − 3x ≥ −1 − 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11 2 − 3x ≤ 11restando 2 en los tres miembros, resulta −3 ≤ −3x ≤ 9y dividiendo por -3 1 ≥ x ≥ −3Luego el conjunto soluci´n es el intervalo [−3, 1]. oEjemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´ticas). Hallar el conjunto asoluci´n de la inecuaci´n x o o 2 < 6x − 8Soluci´n. El camino m´s f´cil para resolver estas inecuaciones es dejar sola- o a amente cero en el segundo miembro. As´ ı, x2 − 6x + 8 < 0 ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8,hallamos las ra´ √ 6 ± 36 − 32 6±2 4 x − 6x + 8 = 0 ⇔ x = 2 = = 2 2 2Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´lo en sus ceros1 , opodemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cadauno de los intervalos x < 2, 2 < x < 4, x>4que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalosy viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervaloel polinomio conserva el signo). As´ı,p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0, p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0Como la desigualdad se cumple s´lo en el intervalo central, se concluye que oel conjunto soluci´n es o 2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4) 1 ver Corolario 1.3 en la p´gina 69 a
  12. 12. 1.1. LA RECTA REAL 5Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu-ci´n de la desigualdad o x−2 <2 x−4Soluci´n. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos o x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x <2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 ⇔ <0 x−4 x−4 x−4 x−4Consideramos la funci´n racional o 6−x r(x) = x−4Y teniendo en cuenta que una funci´n racional puede cambiar de signo tanto oen los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que lafunci´n puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos oresolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´n racional en cada ouno de los intervalos x < 4, 4 < x < 6, x>6que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalosy viendo el valor de la funci´n en ese punto. As´ o ı, 6 1 −1 r(0) = < 0, r(5) = > 0, r(7) = <0 −4 1 3Como la desigualdad se cumple s´lo en los dos intervalos de los extremos, ose concluye que el conjunto soluci´n es o x < 4 ´ x > 6, es decir, la uni´n de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞) o oEjemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraci´n osucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluci´n de la desigualdad o 2x − 3 1 < (x = −3) x+3 2Soluci´n. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo, ono podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, yaque no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha decambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes: a) x + 3 > 0 b) x + 3 < 0
  13. 13. 6 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSa) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicarambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de lamisma. Co lo que resulta, x+3>0 x > −3 2x − 3 1 −3<x<3 < 4x − 6 < x + 3 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3 x+3 2b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicarambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentidode la misma. Co lo que resulta, x+3<0 x < −3 2x − 3 1 < 4x − 6 > x + 3 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 x+3 2que no tiene soluci´n, puesto que ning´n n´mero x es, a la vez, x < −3 y o u ux > 3. En consecuencia se concluye que el conjunto soluci´n es: o −3 < x < 3, es decir, el intervalo (−3, 3).Resoluci´n de desigualdades por factorizaci´n o oLas desigualdades polin´micas y las racionales tambi´n pueden resolverse o epor factorizaci´n, como se describe en los siguientes ejemplos. oEjemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizaci´n). Resolver o (x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0Soluci´n. Hallamos los ceros de cada uno de los factores: o x = −2, x = 1, x=3y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros, (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)Como el producto (x + 2)(x − 1)(x − 3) conserva el signo dentro de cadaintervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sinembargo, en vez de elegir un n´mero en cada intervalo y ver el signo del uproducto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derechaa izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar porsu ra´ correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relaci´n de ız osignos, − − − − − + − + + + + + −2 1 3
  14. 14. 1.1. LA RECTA REAL 7Multiplicando los signos en cada intervalo, resulta que el producto es positivopara los intervalos (−2, 1) y (3, +∞), luego el conjunto soluci´n es o (−2, 1) ∪ (3, +∞). Las desigualdades racionales se resuelven igual que las polin´micas. En oefecto, teniendo en cuenta que el signo del cociente de dos n´meros es el mis- umo que el signo de su producto, resulta que el conjunto soluci´n del cociente oP (x)/Q(x) > 0 es el mismo que el del producto P (x) · Q(x) > 0. En conse-cuencia, consideramos los ceros, tanto del numerador como del denominador,y repetimos el proceso del ejemplo anterior.1.1.2. Valor absoluto y distanciaEl valor absoluto de un n´mero real x se designa por |x| y se define del modo usiguiente: |x| = x si x > 0, |x| = −x si x < 0, |0| = 0.Ahora bien, teniendo en cuenta que para x = 0 es v´lida la igualdad |x| = x, apodemos escribir m´s brevemente a x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0En consecuencia, podemos dar la siguienteDefinici´n 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´mero o u ımbolo |x|, a dicho n´mero si es positivo o cero,real x, y se denota por el s´ uy a su opuesto si es negativo. x si x ≥ 0 | x |= −x si x < 0 Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.Nota: El valor absoluto de un n´ mero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea upositivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) =+3 que tambi´n es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos ese compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´ ıcitase compensa con el signo menos que x tiene impl´ıcitamente, ya que hemos supuesto, en elsegundo apartado, que x es negativo. El valor absoluto tambi´n se puede definir de la siguiente forma. e |x| = m´x{x, −x} aAl valor absoluto de un n´mero tambi´n se le llama su m´dulo. u e o
  15. 15. 8 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones: √ √ √ √ (a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10|Soluci´n. Tenemos que comprobar si la expresi´n que hay dentro del valor o oabsoluto da como resultado un n´mero positivo o negativo, si es positivo la udejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo enpositivo. En consecuencia: √ √ √ √ (a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − 3 √ √ √ √ (b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10Propiedades del valor absoluto 1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo. 2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir. 3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir. 4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo. √ 5. x2 = |x| 6. −|x| ≤ x ≤ |x| 7. |x + y| ≤ |x| + |y| 8. |xy| = |x| · |y| 9. |x| = |y| ⇔ x = ±y Si p es positivo, se tiene: |x| < p10. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p −p 0 p k  Q x≥p |x| = p E11. |x| ≥ p ⇔ o k  Q x ≤ −p  |x| p Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse de la forma: |x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p Habr´ que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado. aNota: (Aclaraciones sobre la ra´ cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de ızla ra´ cuadrada. En Matem´ticas, la ra´ cuadrada de un n´mero se define de la siguiente ız a ız uformaDefinici´n 1.5. El n´mero b se llama ra´ cuadrada del n´mero a si b2 = a. o u ız u √ b = a ⇔ b2 = a
  16. 16. 1.1. LA RECTA REAL 9 Esta definici´n significa lo siguiente: o 1. Si el n´ mero a es positivo, existen exactamente dos ra´ u ıces cuadradas de a, una positiva y la otra negativa. 2. Si a = 0, existe una sola ra´ cuadrada de a, la que es igual a cero. ız 3. Si el n´ mero a es negativo, no existe ninguna ra´ cuadrada de a. u ızEn C´lculo, esta definici´n de ra´ cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias a o ızdificultades: √ 1. La ecuaci´n y = x no representar´ una funci´n ya que, dicha relaci´n, asignar´ o ıa o o ıa dos valores a un mismo n´ mero, por ejemplo, f (4) = ±2, lo que no est´ permitido u a para las funciones como veremos en la Secci´n 1.3. √ o 2. Seg´n esta definici´n 4 no ser´ un n´mero, sino un conjunto de n´meros, ya que √ u o ıa u √ u 4 = {−2, 2}, y no tendr´ sentido hablar de la suma 3 + 4, ya que no sabr´ ıa ıamos si dicha suma es 1 o 5.Para resolver estos problemas, en C´lculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra´ a ıces,introduciendo el concepto de ra´ aritm´tica. ız eDefinici´n 1.6 (Ra´ cuadrada aritm´tica). Se llama ra´ cuadrada aritm´tica de un o ız e ız en´mero positivo, a, a la ra´ cuadrada positiva de este n´mero. u ız u √ b = a ⇔ b2 = a y b ≥ 0 En consecuencia, la afirmaci´n de que b es la ra´ cuadrada aritm´tica de a es equi- o ız evalente a un conjunto de dos afirmaciones: b2 = a y b ≥ 0; con esto se supone que a es unn´mero positivo o cero. u En C´lculo, cuando hablamos de ra´ cuadrada nos referimos, siempre, a la ra´ cuadra- a ız ızda √aritm´tica. As´ por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ cuadradas, 2 y -2, con el s´ e ı, ıces √ ımbo-lo 4 solamente nos referimos a la ra´ cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´ ız √ ızcuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2. Es de- √ ımbolo x denota exclusivamente la ra´cir, en C´lculo, para evitar la ambivalencia, el s´ a ızno-negativa de x. Tenemos que tanto x como −x son ra´ 2 2 √ ıces cuadradas de x , ya que (+x) = x y 2 2 2(−x) = x . Sin embargo, en C´lculo, x2 no es simplemente un n´ mero cualquiera que a uelevado al cuadrado da x2 , sino que es indispensablemente un n´ mero positivo o cero. En uconsecuencia, √ x2 = |x|Lo que significa que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra´ ızcuadrada, salvo que el radicando sea positivo. √ x2 = x Por otro lado, la soluci´n de la ecuaci´n x2 = p no se puede expresar simplemente o o √con x = p, ya que con este s´ ımbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dosposible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar √ x2 = p ⇒ x = ± xEjemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua-ciones: 1. |x − 5| = 4, 2. |x − 5| = −4, 3. |x − 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x − 9Soluci´n. o
  17. 17. 10 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS x−5=4 x=9 1. |x − 5| = 4 ⇒ o ´ x − 5 = −4 x=1 2. |x − 5| = −4 No tiene soluci´n. o 3. |x − 5| = 0 ⇒ x−5=0 ⇒ x=5 x+1≥0 x ≥ −1 x=5 x + 1 = 3x − 9 10 = 2x 4. |x + 1| = 3x − 9 ⇒ ´ o ⇒x=5 x+1≤0 x ≤ −1 No −x − 1 = 3x − 9 8 = 4x En general, el m´todo m´s directo de atacar un problema referente a e avalores absolutos requiere la consideraci´n por separado de distintos casos, ocon objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habr´ que aconsiderar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo.Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casu´ ıstica secomplique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades,en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de losvalores absolutos. Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros m´todos m´s sencillo e aque eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casu´ ıstica de los sig-nos. Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizandola representaci´n gr´fica. Por ejemplo, la ecuaci´n |x + 1| = 3x − 9 tambi´n o a o epuede resolverse gr´ficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ficas a ade las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordaresta ecuaci´n es resolviendo la ecuaci´n irracional: (x + 1)2 = 3x − 9 o oNota: Al resolver una ecuaci´n con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema oformado por una inecuaci´n y una ecuaci´n. Evidentemente, la inecuaci´n no es necesario o o oresolverla, ya que podemos resolver la ecuaci´n y comprobar si las soluciones de la misma ocumplen o no la inecuaci´n. Si la cumplen la aceptamos como soluci´n y si no la cumplen o ola rechazamos. Puede ocurrir que una soluci´n rechazada en un caso, aparezca como soluci´n valida o oen otro de los casos. En tal caso se acepta la soluci´n (siempre est´ la posibilidad de o acomprobar las soluciones en la ecuaci´n inicial). o Cuando se trata de resolver una inecuaci´n con valores absolutos, entonces s´ que hay o ıque resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la intersecci´n de los oconjuntos soluci´n. o Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendr´ varias inecuaciones que corre- ıar´ la misma suerte de lo dicho anteriormente. ıanEjemplo 1.10. Resolver la ecuaci´n |x2 − 2x − 8| = x + 2 oSoluci´n. Consideramos sucesivamente los dos casos: o a) x2 − 2x − 8 ≥ 0, b) x2 − 2x − 8 0.
  18. 18. 1.1. LA RECTA REAL 11a) x2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuaci´n: x2 − 2x − 8 = x + 2. oEn consecuencia tenemos que resolver el sistema x2 − 2x − 8 ≥ 0 x2 − 3x − 10 = 0Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in- oecuaci´n. As´ o ı, √ 3 ± 9 + 40 3±7 5 x − 3x − 10 = 0 → x = 2 = = 2 2 −2de donde, x = 5 ⇒ 52 − 2 · 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 0, x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.Luego las dos soluciones son v´lidas. ab) x2 − 2x − 8 0. En este caso resulta la ecuaci´n: −x2 + 2x + 8 = x + 2. oEn consecuencia tenemos que resolver el sistema x2 − 2x − 8 0 x2 − x − 6 = 0Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in- oecuaci´n. As´ o ı, √ 1 ± 1 + 24 1±5 3 x −x−6=0 → x= 2 = = 2 2 −2de donde, x = 3 ⇒ 32 − 2 · 3 − 8 = 9 − 6 − 8 = −5 0, x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.En este caso la primera soluci´n es valida y la segunda no. No obstante, ox = −2 es valida, por el caso anterior. En consecuencia las soluciones de la ecuaci´n inicial son x = −2, x = 3 oy x = 5.Ejemplo 1.11. Resolver la ecuaci´n x2 − 4|x| − 5 = 0 oSoluci´n. En este ejemplo, para liberarnos del m´dulo podemos considerar o osucesivamente los dos casos x ≥ 0 y x 0; o bien, teniendo en cuenta quex2 = |x|2 , transformar la ecuaci´n inicial en |x|2 −4|x|−5 = 0 que se resuelve ocon un cambio de variable, o bien, directamente: √ 4 ± 16 + 20 4±6 5⇒x=5 o −5 ´ |x| − 4|x| − 5 = 0 ⇒ |x| = 2 = = 2 2 −1 no es soluci´n oLuego la ecuaci´n inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = −5. o
  19. 19. 12 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientesdesigualdades: 1. |x − 1| ≤ 3, 2. |2 − 4x| ≤ 6, 3. |x| ≥ 2 4. |x − 1| ≥ 2 5. |2x − 3| ≤ −2, 6. |2x − 3| ≥ −2Soluci´n. o ä ç 1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4 2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒ ä ç ⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2 x≥2 ç ä 3. |x| ≥ 2 ⇒ ⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞ x ≤ −2 x≥3 4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ ⇒ x ≤ −1 ç ä ⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞ 5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluci´n. o 6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual-dades: |2x − 2| ≤ 4 |2x − 3| ≥ 1Soluci´n. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la ointersecci´n de los conjuntos soluci´n. o o|2x − 2| ≤ 4 −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 x≥2 ⇒|2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒ x≤1 ä ç ä ç ⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto oCualquier intervalo se puede expresar en t´rminos de valor absoluto de la esiguiente forma: ä ç a+b b−a a, b = x ∈ R/ |x − |≤ 2 2Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces: |x − m| ≤ r
  20. 20. 1.1. LA RECTA REAL 13Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´tica de esus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es a+b m= 2Ejemplo 1.14 (Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto). Expresar omediante valor absoluto los siguientes intervalos: ä ç ä ç ç ä ç ä1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ .Soluci´n. o ä ç 1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤ 2} ä ç 2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2} ç ä 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2} ç ä 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}Definici´n 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno oreducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.Ejemplo 1.15 (Expresi´n mediante valor absoluto de un entorno reducido). oExpresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.Soluci´n. o (2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 |x − 4| 2}La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 |x − 4|Distancia entre dos puntos de la recta realDefinici´n 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La odistancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por elvalor absoluto de su diferencia d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 | A la diferencia de los n´ meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida. uAs´ ı, a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y, b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 . En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha(orden creciente de los n´ meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden udecreciente de los n´meros). uEjemplo 1.16 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5
  21. 21. 14 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSSoluci´n. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por: o d = |5 − (−2)| = |7| = 7 b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7 c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7 Distancia = 7 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 1.2: Distancia en la recta realEjercicios propuestos de la secci´n 1.1. La recta real o Soluciones en la p´gina 389 a1.1.1. Resolver las inecuaciones: a) 3x − 4 ≤ −1 b) 2 − 3x ≥ 111.1.2. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones 3x − 2 ≥ 7 4x − 1 ≥ −5 3 − 2x ≥ −1 a) b) c) 5x − 7 ≤ 3 7x − 1 ≤ 13 3 − 2x ≤ 71.1.3. Resolver las desigualdades: 2x − 3 a) x2 + 5 ≤ 6x b) 1 x−51.1.4. Resolver las desigualdades: 1 a) x b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8 x1.1.5. Resolver las ecuaciones: ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ a) |x + 1| + 2 = 2 b) |x + 1| + 2 = 1 c) |x + 1| + 2 = 31.1.6. Resolver las ecuaciones: ¬x − 2¬ ¬ a) |3x − 6| = x + 2 b) ¬x − 1¬ = 3 ¬ c) |x2 − 6x + 8| = x − 2 d) x2 + |x| − 2 = 01.1.7. Resolver las desigualdades ¬x − 2¬ ¬ a) |3x − 6| x + 2 b) ¬x − 1¬ 3 ¬1.1.8. Expresar mediante valor absoluto las siguientes desigualdades: x0 − δ x x0 + δ a) b) − ε f (x) + ε x = x0
  22. 22. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 151.2. El plano y el espacio cartesiano1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianasa) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-siano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, lla-madas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicional-mente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecci´n se llama origen de ocoordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cua-drantes. Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´meros ureales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama coordenada x uo abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´mero uy se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desdeel eje x al punto. y Cuadrante II 3 Cuadrante I 2 x (x, y) y 1 y x −3 −2 −1 1 2x3 −1 −2 Origen Cuadrante III −3 Cuadrante IV Figura 1.3: El plano cartesianoNota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como epara indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo. a eb) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-siano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, lla-madas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x,el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecci´n se llama origen ode coordenadas. Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaci´n positiva ou orientaci´n negativa. Tiene orientaci´n positiva si un “tornillo” situado o oen el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcci´n opositiva del eje z; y orientaci´n negativa si avanza en direcci´n contraria. o o Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planoscoordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos
  23. 23. 16 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS z z T T y x E E x   ©   y  ©   Orientaci´n positiva o Orientaci´n negativa o Figura 1.4: Las dos orientaciones del espacio.coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primeroctante es aquel en que las tres coordenadas son positivas. Cada punto del espacio se identifica por una terna ordenada (x, y, z) den´meros reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama co- u uordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el plano yx alpunto. El n´mero y se llama coordenada y u ordenada y representa la dis- utancia dirigida desde el plano xz al punto. El n´mero z se llama coordenada uz o cota y representa la distancia dirigida desde el plano xy al punto. P (x, y, z) z y x y z x Figura 1.5: El espacio cartesiano1.2.2. Distancia entre dos puntosa) En el plano. Para hallar la distancia entre dos puntos del plano (x1 , y1 )y (x2 , y2 ). Formamos con ellos un tri´ngulo rect´ngulo, con lados paralelos a aa los ejes de coordenadas, y aplicamos el teorema de Pit´goras. a y y1 (x1 , y1 ) |y2 − y1 | d y2 (x2 , y2 ) |x2 − x1 | x1 x2 x Figura 1.6: Distancia entre dos puntosEn su virtud, resulta d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
  24. 24. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 17de donde, tomando la ra´ cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos ızpuntos es un n´mero positivo, resulta u d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2Proposici´n 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia od entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,(x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´goras dos veces y se aobtiene la siguiente f´rmula o d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio n-dimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn ) u El n´mero xi se llama coordenada i-´sima del punto x; i = 1, 2, . . . , n. u eDefinici´n 1.9 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia oentre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por laf´rmula o d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 (1.1)Ejemplo 1.17 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia: a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1). b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).Soluci´n. Aplicando, en cada caso, la f´rmula (1.1), resulta o o √ √ a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5 √ √ b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 31.2.3. El c´ ırculo y la esferaa) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferen-cia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ formada por los puntos del plano cuya adistancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resultaProposici´n 1.3 (Ecuaci´n de la circunferencia). El punto (x, y) o oest´ en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si a o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (1.2)
  25. 25. 18 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSDemostraci´n. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su dis- otancia al centro (x0 , y0 ), ser´ r, en consecuencia a (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = ry elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n ode la circunferencia (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) yradio r, su ecuaci´n ser´ o a x2 + y 2 = r2 Se llama c´ ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuenciaProposici´n 1.4 (Ecuaci´n de un c´ o o ırculo o disco). El punto (x, y) ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo siest´ en el c´ a o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 r2 (1.3)Si consideramos que el c´ ırculo incluye la circunferencia, su ecuaci´n es o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 y y (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) r r (x, y) (x, y) x x (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 Figura 1.7: Circunferencia y c´ ırculoEjemplo 1.18 (Hallando la ecuaci´n de una circunferencia). Una circunfe- orencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3) a) Halla la ecuaci´n de la circunferencia o b) Halla la ecuaci´n del c´ o ırculo delimitado por la circunferenciaSoluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En oconsecuencia, √ √ r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la circunferencia. o √ [x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2
  26. 26. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 19de donde, (x + 2)2 + (y − 1)2 = 13b) Ecuaci´n del c´ o ırculo. (x + 2)2 + (y − 1)2 13 y (1, 3) (−2, 1)r x Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13Ecuaci´n general de la circunferencia. Si en la ecuaci´n can´nica de la o o ocircunferencia (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2eliminamos los par´ntesis y simplificamos, resulta una ecuaci´n del tipo e o Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, A=0 (1.4)que es la forma general de la ecuaci´n de la circunferencia. oNota: Obs´rvese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate ede una circunferencia.Ejemplo 1.19 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de lacircunferencia cuya ecuaci´n en forma general es o 4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando o ocuadrados. Para ello; en primer lugar, dividimos por 4 para que los coefi-cientes de x2 e y 2 sean 1. 13 4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 → x2 + y 2 + x − 4y + =0 4y, en segundo lugar, agrupamos los t´rminos semejantes. e 13 (x2 + x+ ) + (y 2 − 4y+ )=− 4Completamos los cuadrados 1 13 1 x2 + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + + 4 4 4 4
  27. 27. 20 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSde donde resulta 1 2 x+ + (y − 2)2 = 1 2y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 , 2) y radio 1. 2Ejemplo 1.20 (Conjunto soluci´n con un unico punto). Discutir la gr´fica o ´ ade la ecuaci´n o 3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando o ocuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coefi-cientes de x2 e y 2 sean 1. 3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 → x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes e (x2 − 6x+ ) + (y 2 − 4y+ ) = −13completamos los cuadrados, con lo que resulta (x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4de donde (x − 3)2 + (y − 2)2 = 0y esta ecuaci´n s´lo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´fica de o o ala ecuaci´n se reduce al punto (3, 2) oEjemplo 1.21 (Ecuaci´n sin conjunto soluci´n). Discutir la gr´fica de la o o aecuaci´n o x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando o ocuadrados. Agrupamos los t´rminos semejantes, tenemos e (x2 + 2x+ ) + (y 2 − 4y+ )+9=0completando cuadrados (x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0de donde resulta (x + 1)2 + (y − 2)2 = −4que no tiene soluci´n ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un oresultado negativo.
  28. 28. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 21Nota: La ecuaci´n general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una ocircunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tienesoluci´n ob) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´rica ede centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ formada por los puntos del espacio cuya adistancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguienteProposici´n 1.5 (Ecuaci´n de la superficie esf´rica). El punto o o e(x, y, z) est´ en la superficie esf´rica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si a ey s´lo si o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5)Demostraci´n. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´rica, su o edistancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ r. En consecuencia a (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = ry elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n ode la superficie esf´rica e (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radior, la ecuaci´n de la superficie esf´rica ser´ o e a x2 + y 2 + z 2 = r2 Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´rica. En conse- ecuenciaProposici´n 1.6 (Ecuaci´n de una esfera o bola). El punto (x, y, z) o oest´ en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´lo si a o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 r2 (1.6)Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´rica, su ecuaci´n es e o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2Ejemplo 1.22 (Hallando la ecuaci´n de una esfera). Una superficie esf´rica o etiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2) a) Halla la ecuaci´n de la superficie esf´rica o e b) Halla la ecuaci´n de la esfera delimitada por la superficie esf´rica o eSoluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2). oEn consecuencia, √ √ r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14
  29. 29. 22 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSPor lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la superficie esf´rica. o e √ 2 [x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)de donde, (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14b) Ecuaci´n de la esfera. o (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14Ejercicios propuestos de la secci´n 1.2. El plano y el espacio ocartesiano Soluciones en la p´gina 389 a1.2.1. Hallar la distancia entre las siguientes parejas de punto: a) (−1, −1) y (−2, −2) b) (2, 1, 3) y (4, 2, 1)1.2.2. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5.1.2.3. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5.1.2.4. Hallar la ecuaci´n de una circunferencia: o a) Que tiene su centro en el punto (1, 1) y pasa por el origen de coordenadas. b) Que pasa por los puntos (1, 1), (3, 1) y (3, 3).1.2.5. Discutir las gr´ficas de las ecuaciones: a a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12 b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 01.2.6. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0 b) x2 +y 2 −4x−2y +1 0 c) x2 +y 2 +2x−4y +6 01.2.7. Determinar la gr´fica de la ecuaci´n: 2(x + y) − (x + y)2 = (x − y)2 a o1.2.8. Hallar la ecuaci´n de una superficie esf´rica que tiene a los puntos (3, 2, 3) y o e (−1, −2, 1) como extremos de un di´metro. a1.3. Funciones1.3.1. DefinicionesEn la vida real nos encontramos con magnitudes que est´n relacionadas entre as´ bien, porque existe una relaci´n num´rica entre ella, de manera que el ı, o evalor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distanciarecorrida por un autom´vil depende del tiempo que lleva circulando. La odemanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porqueexiste entre ellas una relaci´n no num´rica, de cualquier naturaleza. Por o eejemplo los ciudadanos y los pa´ ıses del mundo est´n relacionados por la anacionalidad.
  30. 30. 1.3. FUNCIONES 23 De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber(F´ısica, Econom´ Derecho, etc.). En C´lculo nos ocupamos del estudio de ıa, aestas relaciones vistas en s´ mismas, desposey´ndolas del significado material ı ede las magnitudes que intervienen. Adem´s, nos limitamos, en gran medida, aa un tipo particular de relaciones denominadas funciones. Una funci´n es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ricas o eo no num´ricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la corres- epondencia siempre hay que entenderla en una direcci´n determinada, por oejemplo, el espacio funci´n del tiempo (el espacio ser´ la imagen y el tiem- o ıapo el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funci´n a ocualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea fun-ci´n, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determi- o ´nada. Por ejemplo, la relaci´n entre los ciudadanos y los pa´ del mundo o ısesmediante la nacionalidad no es una funci´n, porque existen ciudadanos con odoble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funci´n, los ooriginales no pueden tener m´s de una imagen, si bien, varios originales adistintos s´ que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres- ıpondencia puede ser funci´n en un sentido y no serlo en el sentido contrario. oNota: Aunque el concepto de funci´n nace del estudio de la relaci´n existente entre o odos magnitudes que est´n vinculadas por una relaci´n de causalidad (causa-efecto), y se a oestablece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sinembargo, en Matem´ticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque ano exista ning´n tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones ude manera artificial. La idea de ((funci´n)) que se adquiere en los primeros contactos con el oC´lculo, tanto en la Ense˜anza Secundaria como en el Bachillerato, por a nlo com´n, suele identificar el concepto de funci´n con una ((f´rmula)), por u o oejemplo f (x) = x2 − 5x + 6,y se entiende que esta f´rmula asocia a cada n´mero real x otro n´mero real o u uf (x). Basta sustituir x por un n´mero concreto y hacer las operaciones indi- ucadas, para obtener su imagen. Tambi´n se comprende que ciertas f´rmulas, e otales como √ g(x) = x − 4,no est´n definidas para todos los n´meros reales, y por tanto, que haya e un´meros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ el u ıestudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso elde Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas((a trozos)), ((en partes)), o ((seg´n los casos)). Es decir, funciones en las que uno todos los n´meros tienen el mismo tratamiento, sino que seg´n sea el u un´mero se le aplica una f´rmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo u o

×