Fundamentos de-calculo

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Fundamentos de-calculo

  1. 1. Fundamentos del C´lculo a Rub´n Flores Espinoza e Marco Antonio Valencia Arvizu Guillermo D´vila Rasc´n a o Mart´ Gildardo Garc´ Alvarado ın ıa Proyecto FOMIX CONACYT, Gobierno del Estado Clave: SON-2004-C02-008 Publicado por Editorial GARABATOS Febrero, 2008 ISBN: 970-9920-18-5 Tiraje: 1000 ejemplares
  2. 2. 2
  3. 3. ContenidoPresentaci´n o 71 Una historia breve del c´lculo a 13 1.1 El siglo XVII: Newton y Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Los n´ meros reales u 21 2.1 Expansiones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 El Sistema de los N´meros Reales . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Operaciones con los n´meros reales u . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 El orden de los n´meros reales . . u . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Valor absoluto de un n´mero real . u . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Completez de los n´meros reales . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 La Recta Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Variables y funciones 41 3.1 El concepto de variable y el de funci´n . . . . o . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 Gr´fica de una funci´n . . . . . . . . . a o . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Funciones racionales y trigonom´tricas . . . . e . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.1 Medici´n de ´ngulos: radianes . . . . o a . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2 Las funciones trigonom´tricas . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.3 Las funciones trigonom´tricas inversas e . . . . . . . . . . . . . 56 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Fundamentos del C´lculo a 61 4.1 Sucesiones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.1 Propiedades de las sucesiones convergentes . . . . . . . . . . 66 3
  4. 4. 4 Contenido 4.3 Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Criterio de convergencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 L´ımite de una funci´n en un punto . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5 Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.6 Continuidad en intervalos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o 89 5.1 Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 89 5.1.1 Interpretaci´n geom´trica de la derivada . . . . . . o e . . . . . . 93 5.1.2 Derivada de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . 94 5.1.3 Reglas b´sicas de la derivaci´n de funciones . . . a o . . . . . . 97 5.1.4 Derivadas de funciones racionales, trigonom´tricas e y trigonom´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 103 5.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 Diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 106 5.4 C´lculo de razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 107 Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 113 6.1 Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.3.1 Significado del signo de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3.2 La funci´n segunda derivada . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 119 6.3.3 Curvatura de curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.4 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4.1 Puntos regulares, cr´ıticos y de inflexi´n o . . . . . . . . . . . . 128 6.4.2 Reglas de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o 145 7.1 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.2 La funci´n logaritmo natural . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3 Funciones de tipo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.4 Aplicaciones de la funci´n exponencial . . o . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568 La integral indefinida 159
  5. 5. Contenido 5 8.1 Antiderivadas e integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 M´todos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . 162 8.2.1 Integraci´n por partes . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 163 8.2.2 Integraci´n por sustituci´n . . . . . . . . o o . . . . . . . . . . . 165 8.2.3 Integraci´n por sustituci´n trigonom´trica o o e . . . . . . . . . . . 168 8.2.4 Integraci´n de funciones racionales . . . . o . . . . . . . . . . . 172 Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759 La integral definida 179 9.1 La definici´n de integral definida . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 179 9.1.1 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.2 El teorema fundamental del c´lculo . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 189 9.3 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 9.4 Integraci´n de funciones continuas por secciones . o . . . . . . . . . . . 195 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710 Aplicaciones de la integral definida 201 10.1 C´lculo de ´reas, vol´menes y longitudes . . . . . . . . . a a u . . . . . . . 201 ´ 10.1.1 Areas de regiones delimitadas por curvas suaves . . . . . . . . 201 10.1.2 Vol´menes de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . u o o . . . . . . . 203 10.1.3 Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ´ 10.2 Area de superficies de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 208 10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 210 10.3.1 Centroides de varillas y regiones planas . . . . . . . . . . . . 210 10.3.2 Presi´n de l´ o ıquidos sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . 214 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21711 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones 219 11.1 El concepto de ecuaci´n diferencial . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 219 11.2 La ecuaci´n y o ′ (x) + a(x)y(x) = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.3 La ecuaci´n y ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) . . . . . o . . . . . . . . . 222 11.3.1 La ecuaci´n y ′′ (x) − cy(x) = 0 . . . . . . . . o . . . . . . . . . 222 11.3.2 M´todo de variaci´n de constantes . . . . . . e o . . . . . . . . . 227 11.4 Leyes de movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23712 Series 239 12.1 Definici´n de serie y su suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 o 12.2 Propiedades de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
  6. 6. 6 Contenido 12.3 Series positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.4 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 12.5 Los criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 12.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Bibliograf´ ıa 261´Indice 262
  7. 7. Presentaci´n oLa invenci´n del C´lculo en el ultimo cuarto del siglo XVII representa un hito o a ´en la historia de las matem´ticas; puede decirse con toda certeza que ah´ inician a ılas matem´ticas modernas, pues este acontecimiento dio origen al desarrollo de am´ltiples ramas de las matem´ticas, mantuvo pr´cticamente la exclusividad del u a atrabajo de los matem´ticos durante un siglo, y a´n los ocupa en sus m´ltiples ra- a u umificaciones y aplicaciones. Antes del C´lculo, las matem´ticas s´lo serv´ para a a o ıandescribir lo fijo y est´tico, con ´l se pudo describir el movimiento y lo din´mico; a e aestableciendo una comparaci´n, podr´ decirse que antes del C´lculo las matem´ticas o ıa a as´lo proporcionaban fotograf´ de la realidad, y despu´s de ´l, pel´ o ıas e e ıculas. Adem´s ade describir el movimiento, el C´lculo lleg´ para resolver y unificar los problemas de a oc´lculo de ´reas y vol´menes, el trazo de tangentes a curvas y la obtenci´n de valo- a a u ores m´ximos y m´ a ınimos, proporcionando una metodolog´ general para la soluci´n ıa ode todos estos problemas; tambi´n permiti´ definir el concepto de continuidad y e omanejar procesos infinitos. El resultado fue que el C´lculo y sus derivaciones pronto aencontraron m´ltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los ua´mbitos cient´ ıficos, empezando por la f´ ısica y las ciencias naturales, hasta llegar alas ciencias sociales. Por todas estas razones, el conocimiento y manejo del C´lculo amarca una diferencia cualitativa muy importante en la formaci´n de una persona y en osu capacidad para utilizar las matem´ticas en otras ciencias y la ingenier´ Podemos a ıa.afirmar, sin lugar a dudas, que un buen curso de C´lculo cambia la percepci´n del a oestudiante universitario. A escala mundial, la ense˜anza y el aprendizaje del C´lculo Diferencial e Inte- n agral presenta una severa problem´tica debido a los altos ´ a ındices de reprobaci´n y odeserci´n de estudiantes en los cursos b´sicos de esa materia a nivel de licenciatura. o aEn t´rminos generales, tanto en los pa´ e ıses industrializados como en los pa´ ıses endesarrollo se reportan ´ ındices de reprobaci´n y deserci´n superiores al 50%, lo que o orepresenta un costo muy elevado en recursos y en oportunidades desaprovechadas. Siendo el C´lculo una disciplina fundamental en la formaci´n de ingenieros, a ot´cnicos y cient´ e ıficos, el problema educativo que presenta nos impulsa a la b´squeda ude estrategias y metodolog´ tanto disciplinarias como de car´cter pedag´gico, que ıas, a opermitan asegurar est´ndares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes. a Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempe˜o escolar nen los cursos de C´lculo se pueden considerar como producto de las dificultades y acaracter´ ısticas de los conceptos y m´todos propios de esta rama de las matem´ticas e ay de la insuficiencia de profesores y recursos pedag´gicos de apoyo a su ense˜anza o ny aprendizaje. Al masificarse la educaci´n universitaria, la homogenizaci´n de los o o
  8. 8. 8 Presentaci´n oniveles de formaci´n en C´lculo Diferencial e Integral a nivel universitario se presenta o acomo uno de los grandes retos nacionales ante el imperativo de estandarizar lacalidad del sistema educativo y facilitar la integraci´n exitosa de los egresados a los omercados de profesionistas que soportan el desarrollo econ´mico y social. o Ante esta situaci´n, un grupo de profesores del Departamento de Matem´ticas o ade la Universidad de Sonora, encabezados por el Doctor Rub´n Flores Espinoza, ehemos propuesto un conjunto de estrategias para la homogenizaci´n y certificaci´n o ode los cursos de matem´ticas a nivel estatal, en el marco de un proyecto apoyado apor el Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. Como primera estrategia para la homogenizaci´n de los programas de C´lculo en o alas instituciones de educaci´n superior en Sonora, se aborda el problema del uso del olibro obligatorio en los cursos de esta materia. Este problema constituye, en gene-ral, una de las m´s notables deficiencias en la organizaci´n y atenci´n de los cursos a o ob´sicos en el sistema universitario en M´xico. Al no establecerse textos b´sicos obli- a e agatorios que incluyan y desarrollen los contenidos completos de los programas, sedeja al estudiante sin una gu´ para su trabajo personal, a la vez que se propicia la ıadiscrecionalidad en el cumplimiento de los programas, se dificulta el establecimientoy evaluaci´n de los est´ndares de calidad y se vuelve al estudiante m´s dependiente o a adel profesor. Para contribuir a resolver la problem´tica anterior, el texto que aqu´ a ıse presenta desarrolla en forma completa los distintos conceptos, m´todos y aplica- eciones del C´lculo que son necesarios y suficientes para una formaci´n de calidad en a ociencias e ingenier´ Este texto permitir´ a todos los estudiantes y profesores de la ıa. amateria, contar con un referente completo sobre los contenidos y t´picos del c´lculo, o aas´ como con un amplio conjunto de ejemplos, ejercicios y problemas para el estudio ıy entrenamiento personal, los cuales se ampliar´n en un problemario aparte. a El segundo elemento estrat´gico para la homogenizaci´n de los cursos de C´lculo e o aa nivel superior contemplado en el proyecto antes citado, consiste en la constituci´n ode un Sistema de Entrenamiento y Evaluaci´n en L´ o ınea que tiene por prop´sito oel poner a disposici´n de estudiantes y profesores un sistema electr´nico basado o oen el software MAPLE TA 30 de apoyo a la elaboraci´n, aplicaci´n y evaluaci´n o o oautom´tica de ex´menes y pruebas, dise˜ados de un amplio banco de reactivos a a ny problemas sobre los distintos t´picos de la materia. Este sistema permite la oaplicaci´n de ex´menes simult´neos a grandes conjuntos de estudiantes de distintas o a ainstituciones, lo cual permitir´ establecer y conocer los niveles de calidad de la aformaci´n en esta materia. o En este texto, intitulado Fundamentos del C´lculo, se incluyen todos los t´picos a ode un programa b´sico en C´lculo Diferencial e Integral de funciones reales de una a avariable real. El texto presenta una estructura acorde al desarrollo hist´rico del oC´lculo y orienta sus aplicaciones a la descripci´n y estudio de las leyes din´micas a o aque constituyen su verdadero poder y que lo han significado como la invenci´n omatem´tica de mayor impacto en el desarrollo de la ciencia y la tecnolog´ en toda a ıala historia. Varias particularidades importantes distinguen este libro de la gran cantidad de
  9. 9. 9textos sobre esta materia. En primer lugar, ha sido escrito en un lenguaje llanoy familiar, con un buen n´mero de observaciones y notas que buscan motivar y uexplicar el sentido de los conceptos y resultados y llamar la atenci´n sobre puntos oy detalles importantes. Tambi´n se ha procurado mostrar las caracter´ e ısticas delrazonamiento y el discurso matem´tico presentando los conceptos con todo rigor apero sin caer en sofisticaciones formales que a veces dificultan el aprendizaje, eincluyendo demostraciones completas de todos los resultados. En este sentido, sepuede considerar el texto como una iniciaci´n al an´lisis matem´tico. o a a Por otro lado, el texto incluye un buen n´mero de las aplicaciones del C´lculo, u aprincipalmente las orientadas a la descripci´n y estudio de los fen´menos gobernados o opor leyes din´micas o de movimiento. Con ese prop´sito se incluye el estudio de a oproblemas cuyo planteamiento remite a ecuaciones dadas en t´rminos de los concep- etos y operaciones del C´lculo y cuya soluci´n requiere el uso y manejo de las reglas a ode derivaci´n y el conocimiento de los distintos tipos de funciones. En particular, ose incluye el tratamiento completo de las ecuaciones diferenciales de segundo ordencon coeficientes constantes, por ser ´stas las de mayor aplicabilidad en problemas eb´sicos de mec´nica y otras disciplinas. a a Por la precisi´n con que se presentan los conceptos, el cuidado puesto en las odemostraciones y el ´nfasis que se hace en los fundamentos del C´lculo, este texto e acumple con todo lo necesario para la formaci´n de los estudiantes en el ´rea de o aciencias. Al mismo tiempo, por los temas abordados, las t´cnicas desarrolladas y las eaplicaciones presentadas, resulta id´neo para las carreras de ingenier´ pues no so- o ıa,lamente incluye las t´cnicas para la localizaci´n de m´ximos y m´ e o a ınimos, el c´lculo de alongitudes, ´reas y vol´menes, la determinaci´n de presiones y la ubicaci´n de cen- a u o otros de gravedad, sino que tambi´n proporciona elementos para comprender mejor elas relaciones est´ticas y din´micas entre variables y construir modelos matem´ticos a a aque describan cuantitativa y cualitativamente los patrones de comportamiento surgi-dos de la observaci´n. o El cap´ ıtulo primero incluye una historia breve del C´lculo a partir de su invenci´n a oen el siglo XVII y se describen las etapas sucesivas de su desarrollo, hasta llegar ala ´poca actual. Este referente hist´rico del texto se complementa mediante notas e ode pie de p´gina con datos alusivos a personajes cuyas aportaciones aparecen en los adem´s cap´ a ıtulos. El cap´ ıtulo segundo est´ dedicado a una presentaci´n del sistema de los n´meros a o ureales y sus propiedades a partir de su representaci´n como expansiones decimales. oEste enfoque permite, desde un principio, poner al estudiante en contacto con nuevosentes matem´ticos expresados como conjuntos infinitos de s´ a ımbolos sobre los cualesse opera y argumenta en preparaci´n a la posterior formalizaci´n de los conceptos o ofundamentales de l´ ımite y convergencia de sucesiones. En este cap´ ıtulo se presentala propiedad de completez o continuidad, que hace de los n´meros reales el sistema ualgebraico adecuado para la descripci´n de las magnitudes que toman valores con- otinuos. Aunque esta presentaci´n es en parte intuitiva, la formalizaci´n del uso de o oesas representaciones que involucran un n´mero infinito de d´ u ıgitos puede lograrse
  10. 10. 10 Presentaci´n ocon los resultados del ultimo cap´ ´ ıtulo, referente a series. El cap´ ıtulo tercero est´ dedicado al concepto de funci´n, el cual se introduce a ocomo una relaci´n entre variables o atributos, para despu´s abstraer su esencia o ecomo regla de correspondencia entre conjuntos de n´meros reales. Este enfoque ufacilita el descubrimiento y construcci´n de funciones en contextos tanto de la vida oreal como de origen matem´tico, en campos como la geometr´ o el ´lgebra. a ıa a En el cap´ ıtulo cuarto se introducen los Fundamentos del C´lculo a partir de los aconceptos de sucesi´n y convergencia; se incluyen demostraciones completas de los oprincipales resultados b´sicos del an´lisis matem´tico, procurando evitar compli- a a acaciones o sofisticaciones formales en la medida de lo posible. El cap´ ıtulo incluyevarios comentarios sobre aspectos finos en la definici´n y sentido del concepto de ocontinuidad de funciones y su relaci´n con las propiedades de los n´meros. o u El cap´ ıtulo quinto aborda el concepto de derivada de una funci´n en un punto ocomo la raz´n de cambio puntual o instant´nea; se comenta el significado geom´trico o a ey din´mico de la derivada y se presentan las reglas de derivaci´n para las diferentes a ooperaciones entre funciones, as´ como su generalizaci´n a derivadas de orden supe- ı orior. El cap´ ıtulo sexto muestra, a trav´s del teorema del valor medio y sus consecuen- ecias, el poder de la derivada en la descripci´n cualitativa del comportamiento de las ofunciones, y concluye con la aproximaci´n polinomial que proporciona el teorema ode Taylor. En el cap´ ıtulo s´ptimo se caracteriza la funci´n exponencial a partir de las e opropiedades de su funci´n derivada. Este enfoque muestra c´mo aparecen nuevas o ofamilias de funciones a partir del estudio de leyes din´micas y facilita la introducci´n a ode la familia de funciones de tipo exponencial y logar´ ıtmico, a la vez que nos preparapara el cap´ ıtulo octavo, donde se aborda el problema del c´lculo de antiderivadas o aintegrales indefinidas. Por otra parte, en el cap´ ıtulo noveno se estudia el concepto de integral de Rie-mann y sus propiedades cuando se aplica a funciones continuas, concepto surgido alaplicar el m´todo exhaustivo o de agotamiento al c´lculo del ´rea bajo la gr´fica de e a a auna funci´n. Tambi´n se muestra, con el teorema fundamental del C´lculo, c´mo el o e a oproceso de integraci´n permite “integrar o sumar” las variaciones infinitesimales de ouna funci´n a lo largo de un intervalo para obtener la variaci´n neta de la funci´n o o oen ese intervalo. En el caso particular del movimiento de una part´ ıcula, hace posiblecalcular el desplazamiento total de la part´ ıcula en un intervalo de tiempo, a partirde las velocidades instant´neas mostradas durante ese intervalo. a En el cap´ ıtulo d´cimo se incluyen algunas de las aplicaciones m´s comunes de e ala integral al c´lculo de ´reas y vol´menes, lo mismo que al c´lculo de presiones de a a u afluidos sobre superficies. El und´cimo cap´ e ıtulo constituye a la vez una introducci´n a las ecuaciones dife- orenciales y un ejemplo m´s elaborado de la aplicaci´n del C´lculo; en ´l abordamos a o a ela soluci´n de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, o
  11. 11. 11cuyas aplicaciones en las ciencias naturales son de primera importancia. En el duod´cimo y ultimo cap´ e ´ ıtulo, se presentan el concepto de serie y los criteriosm´s relevantes para decidir sobre su convergencia, para concluir con la presentaci´n a ode la familia de las funciones anal´ıticas, o sea las funciones expresables como seriesde potencias, y la demostraci´n de que constituyen una familia cerrada bajo la ooperaci´n de derivaci´n, lo que resulta de gran trascendencia en varias ´reas de las o o amatem´ticas y sus aplicaciones. a Como se se˜al´ antes, este texto se elabor´ en el marco del proyecto Homo- n o ogenizaci´n y certificaci´n de los programas de matem´ticas de las instituciones de o o aeducaci´n superior en Sonora, con registro SON-2004-C02-008, apoyado con los re- ocursos del Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. Los autoresexpresan aqu´ su agradecimiento al CESUES y a la Universidad de la Sierra por su ıapoyo institucional a la realizaci´n del proyecto, as´ como a distintas personas que o ıcontribuyeron de maneras diversas a la realizaci´n de este trabajo, especialmente oal Delegado de CONACYT en Sonora, Ing. Francisco Javier Ceballos y a su co-laboradora, Lic. Laura Petra Reyes Medina. Agradecemos tambi´n a los CC.PP. eRicardo Efr´n Espinoza, Ang´lica Pereida Hoyos y Blanca Irene L´pez Fimbres, por e e osu apoyo en la gesti´n administrativa al interior de la Universidad de Sonora du- orante el desarrollo de este proyecto. A Eduardo Tellechea Armenta, Jacobo N´nez u˜Ur´ Jos´ Luis D´ G´mez y Jos´ Ram´n Jim´nez Rodr´ ıas, e ıaz o e o e ıguez, profesores del De-partamento de Matem´ticas de la Universidad de Sonora, nuestro reconocimiento apor sus comentarios y observaciones, y a Manuel Francisco Ocejo Monta˜o, por su nparticipaci´n en la captura del texto. o Los autores Hermosillo, Sonora, M´xico e Diciembre del 2007
  12. 12. 12 Presentaci´n o
  13. 13. Cap´ ıtulo 1 Una historia breve del c´lculo a1.1 El siglo XVII: Newton y LeibnizEl C´lculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento m´s efectivo a apara la investigaci´n cient´ o ıfica que jam´s hayan producido las matem´ticas. Conce- a abido para el estudio del cambio, el movimiento y la medici´n de ´reas y vol´menes, o a uel c´lculo es la invenci´n que caracteriza la revoluci´n cient´ a o o ıfica del siglo XVII.Su creaci´n se debe al trabajo independiente de dos matem´ticos, el ingl´s Isaac o a eNewton (1642-1727) y el alem´n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes apublicaron sus investigaciones entre los a˜os de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la nrevista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia MathematicaPhilosophiae Naturalis. Sir Isaac Newton Gotfried Whilhelm Leibniz (1642–1727) (1646–1716) El c´lculo se desarroll´ a partir de las t´cnicas infinitesimales utilizadas para a o eresolver dos tipos de problemas: el c´lculo de ´reas y vol´menes y el c´lculo de a a u atangentes a curvas. Arqu´ ımedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos an-tiguos, hab´ realizado los avances m´s significativos sobre esos problemas, aplicando ıa ael m´todo exhaustivo o de agotamiento para la determinaci´n de ´reas y vol´menes e o a u
  14. 14. 14 Una historia breve del c´lculo ay obteniendo importantes resultados sobre el c´lculo de tangentes para ciertas cur- avas particulares. En la primera mitad del siglo XVII, se renov´ el inter´s por esos o eproblemas cl´sicos y varios matem´ticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a aJohn Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602-1675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino parala obra de Leibniz y Newton. A partir de la utilizaci´n del m´todo cartesiano1 para sintetizar los resultados y o et´cnicas desarrollados previamente para el c´lculo de ´reas y tangentes de curvas, e a aNewton y Leibniz inventaron los m´todos y algoritmos que hacen del c´lculo una e aherramienta aplicable a clases generales de problemas. Sus contribuciones en lacreaci´n del c´lculo difieren en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas o aseparadamente. Newton, hijo de granjeros, naci´ en Lincolnshire, Inglaterra, en el d´ de Navidad o ıade 1642 y lleg´ en 1669 a ocupar, en la Universidad de Cambridge, la C´tedra o aLucasiana como profesor de matem´ticas. En sus primeras investigaciones introdujo alas series infinitas de potencias en una variable x para reformular resultados previosde John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utiliz´ infinitesimales opara mostrar la relaci´n inversa entre el c´lculo de ´reas y el c´lculo de tangentes. o a a aLas operaciones de derivaci´n e integraci´n de funciones y su relaci´n rec´ o o o ıproca,emergen como un proceso anal´ ıtico que puede ser aplicado al estudio general de lascurvas. En la presentaci´n de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el omovimiento y la din´mica de los cuerpos. As´ las variables son vistas como algo a ı,que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o raz´n de cambio con orespecto al tiempo la llama su fluxi´n. El problema b´sico del c´lculo es, para o a aNewton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newtonconcluye su tratado sobre el m´todo de fluxiones que no es publicado sino hasta e1736, casi diez a˜os despu´s de su muerte, ocurrida en 1727. n e En su libro Principios Matem´ticos de la Filosof´ Natural, escrito en 1687, New- a ıaton estudia la din´mica de las part´ a ıculas y establece las bases matem´ticas para el ac´lculo de razones de cambio mediante una teor´ geom´trica de los l´ a ıa e ımites. Uti-lizando estos conceptos, desarrolla su teor´ de gravitaci´n y reformula las leyes de ıa oKepler para el movimiento de los cuerpos celestes. En su libro, Newton expresa mag-nitudes y razones de cambio en t´rminos de cantidades geom´tricas, tanto de tipo e efinito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguajealgebraico. Esta reticencia de Newton a usar los m´todos algebraicos, limit´ su e oinfluencia en el campo de las matem´ticas e hizo necesario reformular sus contribu- aciones en t´rminos del c´lculo de Leibniz. e a G. W. Leibniz fue el hijo de un profesor de filosof´ y naci´ en la ciudad de ıa oLeipzig, Alemania, en 1646. Ingres´ a la universidad a la edad de quince a˜os y o n 1 Por Ren´ Descartes (1596-1650), quien invent´ la geometr´ anal´ e o ıa ıtica, independientemente dePierre de Fermat, y la di´ a conocer en 1637 en su obra La G´om´trie. o e e
  15. 15. 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange 15obtuvo el doctorado en filosof´ a la edad de 21 a˜os. El inter´s de Leibniz por las ıa n ematem´ticas naci´ en 1672 durante una visita a Par´ donde el matem´tico holand´s a o ıs, a eChristiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teor´ de curvas. Des- ıapu´s de varios a˜os de estudio bajo la direcci´n de Huygens, Leibniz investig´ las e n o orelaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de n´meros y dedujo uvarias f´rmulas famosas. o Leibniz se interes´ en las cuestiones de l´gica y de notaci´n para la investigaci´n o o o oformal, y su c´lculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las amatem´ticas, de un sistema de notaci´n y terminolog´ perfectamente adaptado a a o ıasu objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formaliz´, con su notaci´n, o olas propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivaci´n e integraci´n, o ohaciendo de su aplicaci´n a los m´s variados problemas, un ejercicio de rutina que un o aestudiante puede aprender desde sus primeros a˜os. Su primera publicaci´n sobre el n oc´lculo diferencial apareci´ en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´ a o ıtulo Un nuevom´todo para m´ximos y m´ e a ınimos as´ como para el c´lculo de tangentes que incluyen ı acantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´lculo para atodo esto. En este art´ ıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b´sicas adel c´lculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos a˜os despu´s, a n epublica su segundo art´ ıculo Sobre una geometr´ oculta, donde introduce y explica ıael significado del s´ ımbolo de integraci´n y aplica el poder del c´lculo para estudiar o acurvas trascendentes y deriva una f´rmula anal´ o ıtica para la cicloide. El vigoroso empuje de Leibniz al estudio y desarrollo del nuevo c´lculo, el esp´ a ıritudid´ctico de sus escritos y su habilidad para relacionarse con otros investigadores acontribuyeron a fortalecer su gran influencia en las matem´ticas. Mantuvo una es- atrecha colaboraci´n con otros estudiosos de su ´poca, incluyendo los hermanos Juan o e(1667-1748) y Jacobo Bernoulli (1654-1705), quienes se convirtieron en los prin-cipales usuarios, investigadores y promotores del nuevo m´todo, Pierre Varignon ey Guillaume Fran¸ois Antoine de L’Hospital (1661-1704), este ultimo, autor del c ´primer libro de texto de c´lculo diferencial publicado, en 1696. En 1700, Leibniz aconvence a Federico I de Prusia para crear la Academia de Ciencias de Branden-burgo (despu´s Real Academia de Berl´ de la cual ser´ su presidente vitalicio. En e ın) acontraste, el aislamiento y la lentitud mostrada por Newton para difundir sus ideasy descubrimientos redujo su presencia en las matem´ticas europeas de ese tiempo y aaunque un buen n´mero de matem´ticos ingleses continu´ desarrollando el c´lculo, u a o asu programa result´ inferior al desarrollado por Leibniz. o1.2 El siglo XVIII: Euler y LagrangeEl siglo XVIII es denominado “El siglo del An´lisis Matem´tico”. De 1700 a 1800 se a adi´ la consolidaci´n del c´lculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particu- o o alarmente a la Mec´nica. Con ese desarrollo, vino la especializaci´n y el nacimiento a ode nuevas ramas de las matem´ticas, tales como: la Teor´ de Ecuaciones Dife- a ıa
  16. 16. 16 Una historia breve del c´lculo arenciales, ordinarias y parciales, el C´lculo de Variaciones, la Teor´ de Series y a ıala Geometr´ Diferencial. Las aplicaciones del an´lisis incluyen ahora la Teor´ de ıa a ıaVibraciones, la Din´mica de Part´ a ıculas, la Teor´ de Cuerpos R´ ıa ıgidos, la Mec´nica ade Cuerpos El´sticos y Deformables y la Mec´nica de Fluidos. A partir de entonces, a ase distinguen las matem´ticas puras de las matem´ticas aplicadas. a a El desarrollo del an´lisis matem´tico en el siglo XVIII est´ documentado en los a a atrabajos presentados en las Academias de Par´ Berl´ San Petersburgo y otras, as´ ıs, ın, ıcomo en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figurasdominantes de este periodo son el matem´tico suizo Leonhard Euler (1707-1783) y ael matem´tico italo-franc´s Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). a e Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange (1707–1783) (1736-1813) Euler naci´ en Basilea, Suiza, y complet´ se educaci´n universitaria a la edad o o ode quince a˜os. Es considerado el matem´tico m´s prol´ n a a ıfico de todos los tiempos,sus obras abarcan casi setenta y cinco vol´menes y contienen contribuciones funda- umentales a casi todas las ramas de las matem´ticas y sus aplicaciones. La carrera aprofesional de Euler se desarroll´ en la Real Academia de San Petersburgo, Rusia o(1727-1741 y 1766-1783) y en la Academia de Berl´ (1741-1766). ın La obra de Euler en dos vol´menes intitulada Introducci´n al an´lisis infinitesi- u o amal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado An´lisis Matem´tico a a a ´como rama de esta disciplina, an´loga al Algebra y la Geometr´ ıa. El An´lisis aMatem´tico es construido a partir del concepto fundamental de funci´n y de los a oprocesos infinitos desarrollados para la representaci´n y estudio de las funciones. oEn esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistem´tico de las fun- aciones exponenciales y de las funciones trigonom´tricas como funciones num´ricas, e eas´ como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desa- ırrollos en series infinitas. A esa primera obra de Euler, siguieron dos obras m´s, en a1755 y 1768, sobre el c´lculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen ala fuente original de los actuales libros y textos sobre el c´lculo y las ecuaciones adiferenciales. El enfoque anal´ ıtico de Euler recibi´ un gran impulso de la otra gran figura del osiglo XVIII, el matem´tico Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en a
  17. 17. 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 171783, lo reemplaz´ como el matem´tico l´ o a ıder de Europa. Aplicando m´todos pura- emente anal´ ıticos, Lagrange extendi´ y perfeccion´ el C´lculo de Variaciones y a par- o o atir de sus aplicaciones a la mec´nica, sent´ los fundamentos de la llamada Mec´nica a o aAnal´ ıtica. En 1788 se public´ su famoso tratado Mec´nica Anal´ o a ıtica en donde, apli-cando las ideas del c´lculo de variaciones, presenta los fundamentos anal´ a ıticos de lamec´nica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´n s´lo a o orecurre a argumentos anal´ ıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mec´nicos. Es adecir, Lagrange hace de la mec´nica una rama del an´lisis matem´tico. a a a Para fines del siglo XVIII hab´ preocupaci´n en Europa por los fundamentos ıa odel c´lculo y del an´lisis. Los argumentos basados en la teor´ de fluxiones de a a ıaNewton y en la idea de infinitamente peque˜o mostraban serias inconsistencias que nfueron puntualmente se˜aladas por el obispo anglicano irland´s George Berkeley n e(1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´n anterior, Lagrange public´ en 1797 o osu obra Teor´ de funciones anal´ ıa ıticas en la cual pretende presentar un desarrollocompleto del c´lculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´ a ımite o de cantidadinfinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones sonrepresentables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas delos distintos ´rdenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproxi- omaci´n de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo ode Lagrange.1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y WeierstrassAl finalizar el siglo XVIII, los matem´ticos hab´ ya detectado distintas limitacio- a ıannes e incongruencias en las bases sobre las que se hab´ desarrollado hasta entonces el ıac´lculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la acuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teor´ Anal´ ıa ıtica del Calor,de 1807, remit´ a la necesidad de considerar clases m´s amplias de funciones que ıan alas meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. Enese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y deintegrabilidad de las funciones, as´ como las condiciones de convergencia para series ıde funciones. El concepto de continuidad de una funci´n aparece expl´ o ıcitamente definido, porprimera vez, en el trabajo del matem´tico checo Bernhard Bolzano (1781-1848), pero aes el matem´tico franc´s Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su a egeneralidad la teor´ de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fun- ıadamentales del c´lculo para ese tipo de funciones en los t´rminos en que actualmente a ese presentan. En sus tres grandes obras Curso de An´lisis (1821), Resumen de Lec- aciones sobre el C´lculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el C´lculo Diferencial a a(1829), Cauchy hace una exposici´n rigurosa del c´lculo bas´ndose en el concepto o a afundamental de l´ ımite de una funci´n. En particular, define la derivada de una ofunci´n como el l´ o ımite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra
  18. 18. 18 Una historia breve del c´lculo asus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones ala aproximaci´n de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios opara la existencia de m´ximos y m´ a ınimos de funciones; define la integral definidade una funci´n continua en un intervalo mediante el l´ o ımite de sumas asociadas aparticiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema funda-mental del c´lculo, estableciendo la relaci´n inversa que existe entre los procesos de a oderivaci´n e integraci´n de funciones. o o El siguiente avance en la evoluci´n hist´rica del c´lculo, se debe a Bernhard F. o o aRiemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en eldesarrollo del c´lculo, extendiendo el proceso de integraci´n a este tipo de funciones, a ocon importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´rea y vol- aumen de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al an´lisis matem´tico a a Augustin Louis Cauchy Bernhard Riemann Karl Weierstrass (1789–1857) (1826–1866) (1815-1897)de bases s´lidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de olos n´meros reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las fun- uciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada encasi todos los puntos para toda funci´n continua, son se˜aladas cr´ o n ıticamente y des-mentidas por contundentes contraejemplos dados por matem´ticos como el mismo aBolzano y el alem´n Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran ex- ahibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno. Ese tipo desituaciones, obliga a los matem´ticos al estudio y construcci´n del sistema de los a on´meros reales a partir del sistema de los n´meros naturales. El a˜o de 1872 registra u u nla publicaci´n, casi simult´nea, de construcciones de los n´meros reales debidas a o a uGeorg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821-1881), basadas en los conceptos de l´ ımite y sucesiones, previamente desarrollados. La construcci´n de los n´meros reales es el paso decisivo hacia la aritmetizaci´n o u odel an´lisis matem´tico, que permite al mismo Karl Weierstrass dar la definici´n de a a ol´ ımite en t´rminos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los n´meros e ureales, y con ello los conceptos y procesos propios del c´lculo quedan debidamente ajustificados y adquieren la presentaci´n definitiva con que hoy son expuestos en los o
  19. 19. 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson 19libros de texto y dem´s trabajos matem´ticos. a a1.4 El siglo XX: Lebesgue y RobinsonFinalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en eldesarrollo del an´lisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´s Henri Lebesgue a e(1875-1941), y el An´lisis no-Est´ndar, debido b´sicamente a Abraham Robinson a a a(1918-1974). El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,pero aunque ´ste fue generalizado despu´s, por Riemann, a funciones con cierto tipo e ede discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo losprocesos de convergencia y de l´ ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe suaplicablidad a otras ramas de la matem´tica.a Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´s Camille eJordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´ dar, en 1920, una definici´n de conjunto o omedible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y delongitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos,Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, paralas cuales adquiere sentido una nueva definici´n de integral, definida como el l´ o ımitede integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. Eneste sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´n de la integral de Riemann, oque se obtiene como el l´ ımite de integrales de funciones que toman valores constantessobre intervalos. Henri Lebesgue Abraham Robinson (1875–1941) (1918–1974) La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propieda-des inmejorables para los prop´sitos del an´lisis matem´tico en tanto que l´ o a a ımitesde sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser tambi´n efunciones integrables. La nueva teor´ de la medida e integraci´n sienta las bases ıa o
  20. 20. 20 Una historia breve del c´lculo apara el desarrollo de la Teor´ Matem´tica de la Probabilidad y la Estad´ ıa a ıstica, quetanta importancia tienen en la ciencia actual. El otro desarrollo importante del an´lisis del siglo XX fu´ presentado en 1960 por a eAbraham Robinson, seguido de su libro An´lisis no Est´ndar, en el que se retoma a ael problema de la aritmetizaci´n del an´lisis a partir del concepto de n´mero y de o a umagnitud infinitamente peque˜a. A partir de construcciones basadas en la teor´ n ıade conjuntos, Robinson introdujo el concepto de n´mero hiperreal con lo que logra udar un significado preciso a los “infinitamente peque˜os” que Euler usaba en sus nargumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de l´ ımite y de convergencia delan´lisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en ala clase de los n´meros hiperreales. u Aunque la nueva formulaci´n de Robinson da lugar a un c´lculo m´s simple, la o a aconstrucci´n de los n´meros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se o uexpone el c´lculo no est´ndar no han logrado tener ´xito en los niveles matem´ticos a a e amedio y b´sico. a
  21. 21. Cap´ ıtulo 2 Los n´meros reales u El sistema de los n´meros reales es la estructura algebraica adecuada al prop´sito u odel c´lculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones aexpresables en t´rminos de este tipo de n´meros, los objetos de estudio de esa rama e ude las matem´ticas. Las propiedades especiales del sistema de los n´meros reales a upermiten definir los conceptos fundamentales para la descripci´n y estudio del cambio oy el movimiento. La presentaci´n que aqu´ se hace del sistema de los n´meros reales, se basa en el o ı uconcepto de expansi´n decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar ocon n´meros y magnitudes. As´ cada n´mero real se identifica con una sucesi´n u ı, u oinfinita de d´ ıgitos separados por un punto decimal y el conjunto de tales objetosresulta ser una extensi´n del conjunto de los n´meros racionales, los cuales quedan o uidentificados con las llamadas expansiones peri´dicas. Las operaciones de suma y omultiplicaci´n, y la relaci´n de orden entre los n´meros racionales se extienden de o o umanera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto delos n´meros reales. u La propiedad que distingue al sistema de los n´meros reales del sistema de los un´meros racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, ude car´cter geom´trico o topol´gico, es la que permite dar un sentido preciso a los a e oconceptos fundamentales de l´ ımite y continuidad, sobre los cuales se desarrolla elc´lculo diferencial e integral. a2.1 Expansiones decimalesDesde la escuela primaria, hemos aprendido a representar y a manejar las medidasy las cantidades mediante n´meros expresados en el sistema decimal, es decir, me- udiante la utilizaci´n de sucesiones de los d´ o ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que forman loque llamamos la expansi´n decimal del n´mero de que se trate. o u Las expansiones decimales a cuyo uso nos acostumbramos en los primeros nivelesde educaci´n, s´lo constan de un n´mero finito de d´ o o u ıgitos separados por un punto
  22. 22. 22 Los n´meros reales udecimal. Por ejemplo, la expansi´n o A = 123.7584representa al n´mero u A = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 7 · 10−1 + 5 · 10−2 + 8 · 10−3 + 4 · 10−4 .Para ese tipo de expansiones, se desarrollan algoritmos para realizar las opera-ciones b´sicas de la aritm´tica y posteriormente, ya en la escuela secundaria, se a eincluyen expansiones negativas, sobre las cuales se extienden las operaciones arit-m´ticas vali´ndose de la regla de los signos e e (−A) · (−B) = +(A · B) (−A) · (+B) = −(A · B),para cada par de expansiones decimales A, B. Otro tipo de expansiones que tambi´n nos son familiares, son las que aparecen eal construir la representaci´n decimal de los n´meros racionales m/n, donde m y n o uson enteros, con n = 0, y que resultan ser expansiones infinitas y peri´dicas, pues otienen la propiedad de presentar un bloque de d´ ıgitos que se repite indefinidamentea la derecha a partir de un cierto lugar de la expansi´n. Por ejemplo, o 1 = 0.3333 · · · 33 · · · 3o 29 = 4.142857142857 · · · 142857 · · · 7Ejemplo 2.1 Para ilustrar c´mo se genera la expansi´n decimal peri´dica de un o o on´mero racional, construyamos paso a paso, como ejemplo, la expansi´n decimal del u on´mero racional u 4 D= 7aplicando el algoritmo de la divisi´n que aprendimos en la escuela primaria. Al orealizar esa operaci´n, vamos obteniendo en cada etapa un d´ o ıgito del cociente y unresiduo r mayor o igual a cero y menor que el divisor 7, de tal manera que al efectuara lo m´s 7 veces el procedimiento de divisi´n, forzosamente tendr´ que repetirse, a o apor primera vez, alguno de los residuos obtenidos en las etapas anteriores, con laconsiguiente repetici´n de los d´ o ıgitos correspondientes en la expansi´n decimal del ocociente que se est´ construyendo. As´ en el caso de 4/7, al aplicar el algoritmo a ı,de la divisi´n, tal como se muestra en la figura, se obtienen, en el primer paso, 0 ounidades en el cociente y residuo 4; en el segundo paso se obtienen 5 d´cimos en eel cociente y residuo 5; en el tercer paso se obtienen 7 cent´simos en el cociente y eresiduo 1, y as´ sucesivamente, hasta llegar al s´ptimo paso, en el que se obtienen ı, e8 millon´simos en el cociente y residuo 4, tal como lo tuvimos en el primer paso. e
  23. 23. 2.1 Expansiones decimales 23Luego, a partir del octavo paso, se repite la sucesi´n de residuos, dando lugar a una orepetici´n del bloque de d´ o ıgitos 571428, obteni´ndose as´ la expansi´n decimal que e ı orepresenta al n´mero 4/7: u 4 = 0.571428571428 · · · 571428 · · · 7 Bloque que se repite 0.571428571428 · · · 7 4 Primer residuo 40 50 10 30 20 60 Se repite 40 .. . ⊳En este punto, lo notable no s´lo es que la expansi´n decimal de todo n´mero racional o o usea una expansi´n peri´dica, sino que m´s a´n, cada expansi´n decimal peri´dica es o o a u o ola expansi´n decimal de alg´n n´mero racional, estableci´ndose as´ una equivalencia o u u e ıentre ambos conjuntos de objetos. Enseguida mostramos, con un ejemplo, c´mo seoencuentra el n´mero racional que corresponde a una expansi´n peri´dica dada. u o oEjemplo 2.2 Si queremos encontrar el n´mero racional que corresponde a la ex- upansi´n decimal peri´dica o o D = −2.83434 · · · 3434 · · · ,procedemos a multiplicarla por 10 y luego por 1000 y obtenemos las siguientesexpresiones, que tienen los mismos d´ ıgitos a la derecha del punto decimal 10 · D = −28.3434 · · · 34 · · · 1000 · D = −2834.3434 · · · 34 · · ·Al restar la primera expansi´n de la segunda, obtenemos o 990 · D = −2806,por lo que 2806 ⊳ D=− . 990Notaci´n. Escribiremos las expansiones decimales peri´dicas en forma simplificada o oomitiendo los d´ ıgitos despu´s de la primera aparici´n del bloque de d´ e o ıgitos que serepite y marcando con una l´ınea superior dicho bloque. Por ejemplo, la expresi´n o 3.2345
  24. 24. 24 Los n´meros reales urepresenta la expansi´n decimal peri´dica o o 3.234545 · · · 45 · · · ⊳ A los n´meros que no se pueden expresar como un cociente de n´meros enteros u use les llama n´meros irracionales y por lo que mostramos anteriormente, sus expan- usiones decimales no pueden ser peri´dicas. El conjunto de los n´meros irracionales o use denota por I. Un ejemplo de n´mero irracional es la ra´ cuadrada de 2. Esta u ızafirmaci´n se justifica en el ejemplo siguiente. o √Ejemplo 2.3 Para probar que 2 no puede expresarse como cociente de dos n´- umeros naturales, argumentaremos por contradicci´n, es decir, supondremos que es ocierto lo contrario, que existen n´meros primos relativos a, b (es decir, sin divisores ucomunes) tales que √ a 2= . bElevando al cuadrado, tenemos que a2 2= , b2o, equivalentemente, 2b2 = a2 . (2.1)Pero (2.1) implica que el n´mero a2 es un n´mero par, por lo que a debe ser un u un´mero par (ya que el cuadrado de un n´mero par es un n´mero par y el cuadrado u u ude un n´mero impar es impar). Por lo tanto, a se puede escribir en la forma u a = 2c, (2.2)para alg´n n´mero entero c. Sustituyendo ahora (2.2) en (2.1), tenemos u u 2b2 = 4c2 ,y, consecuentemente, b2 = 2c2 ,es decir, b2 es un n´mero par y por lo tanto b tiene que ser a su vez un n´mero par y, u upor consiguiente, tanto a como b son n´meros pares, lo cual es falso pues supusimos udesde el principio que a y b no ten´ divisores en com´n. Luego, la suposici´n es √ ıan u ofalsa y por lo tanto 2 no es un n´mero racional. u ⊳Es relativamente sencillo generar n´meros irracionales, como se muestra en el ejem- uplo siguiente.
  25. 25. 2.2 El Sistema de los N´meros Reales u 25Ejemplo 2.4 La expansiones decimales i−veces (i+1)−veces A = 23.010010001 · · · 1 00 · · · 0 1 00 · · · 0 1 · · · i−veces (i+1)−veces B = −2.454554555 · · · 4 55 · · · 5 4 55 · · · 5 4 · · ·corresponden a n´meros irracionales. u ⊳ Tomando en cuenta la discusi´n anterior, tenemos la definici´n siguiente. o o Definici´n 2.1 Una expansi´n decimal A, es una expresi´n de la forma o o o A = ±ak ak−1 · · · a1 a0 .b1 b2 · · · br−1 br · · · donde ak , ak−1 , . . . , a0 y b1 , b2 , . . . , br−1 , br , · · · son algunos de los d´ ıgitos {0, 1, 2, . . . , 8, 9}. Al punto despu´s del d´ e ıgito a0 se le llama punto decimal de la expansi´n. Si la expansi´n decimal va precedida del signo + se dice que la ex- o o pansi´n decimal es positiva y si va precedida del signo - se le llama expansi´n o o decimal negativa.Nota Importante:Cada expansi´n decimal se extiende a la derecha del punto decimal, mientras que a ola izquierda del punto decimal s´lo consta de un n´mero finito de d´ o u ıgitos.2.2 El Sistema de los N´ meros Reales uSe define el conjunto R de los n´meros reales como el conjunto de las expansiones udecimales, sobre el cual se establece el siguiente criterio de igualdad: Dos expansionesdecimales A y B son iguales (representan el mismo n´mero real) si se presenta alguna ude las dos situaciones siguientes: 1. A y B constan de los mismos d´ ıgitos y estos ocupan el mismo orden, o 2. A y B constan de los mismos d´ ıgitos hasta un cierto lugar r y enseguida la expansi´n de uno de ellos contin´a en la forma o u ±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br br+1 9 con br+1 = 9, mientras que la expansi´n del otro es de la forma o ±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br (br+1 + 1)0
  26. 26. 26 Los n´meros reales uEjemplo 2.5 Las expansiones 1.349 y 1.350 son, por definici´n, iguales y represen- otan el mismo n´mero real. u ⊳Nota Importante:En general, en la definici´n de las operaciones y propiedades de los n´meros reales o usiempre evitaremos escribir expansiones decimales con bloques repetidos de nueves.2.2.1 Operaciones con los n´ meros reales uLas operaciones con los n´meros reales, son las usuales de suma y multiplicaci´n que u oempezamos a manejar desde la escuela primaria. De hecho, en la escuela secundariaaprendemos los m´todos o algoritmos para sumar y multiplicar expansiones deci- emales finitas tanto positivas como negativas y sabemos c´mo construir la expansi´n o odecimal correspondiente a la suma o al producto, a partir de la suma y productode los d´ ıgitos y la posici´n que ´stos ocupan en las expansiones decimales que se o epretende operar. Antes de introducir las operaciones entre expansiones decimales infinitas, paracada expansi´n A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · definimos su expansi´n truncada o ode orden r, con r 0, como la expansi´n decimal peri´dica o o Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0que consta de los mismos d´ ıgitos que la expansi´n de A hasta el lugar r despu´s del o epunto decimal, y todos los d´ıgitos siguientes a la derecha son cero. La expansi´n otruncada de orden r se puede escribir tambi´n en t´rminos de sumas de potencias e edel n´mero 10 en la forma usual u Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0 b1 b2 br = ± ak 10k + ak−1 10k−1 + · · · + a1 10 + a0 + + 2 + ··· + r . 10 10 10Nota Importante:Un n´mero real est´ totalmente determinado si se conocen sus expansiones truncadas u ade cualquier orden y viceversa. Observe que la expansi´n decimal truncada de orden ocero es el n´mero entero a la izquierda del punto decimal de la expansi´n decimal u oinicial. Para sumar dos expansiones decimales A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · yB = ±cj cj−1 · · · c0 .d1 · · · dr dr+1 · · · y formar la expansi´n decimal correspondiente a ola suma A + B, se procede como sigue: Para cada orden r = 0, 1, 2, · · · la expansi´n otruncada de orden r de la suma A + B se define como la expansi´n truncada de oorden r de la suma de las expansiones truncadas de orden r + 1 de A y B. Por ejemplo, si queremos sumar las expansiones decimales A = 2.95 y B =1.2020020002 · · · 200 · · · 02 · · · , la expansi´n suma A + B es aqu´lla que tiene por o e
  27. 27. 2.2 El Sistema de los N´meros Reales u 27expansiones decimales truncadas de los distintos ´rdenes, las siguientes: o (A + B)0 = 4.0 (A + B)1 = 4.10 (A + B)2 = 4.160 (A + B)3 = 4.1650 (A + B)4 = 4.16590 . . .que se forman sumando, de acuerdo a la definici´n, las expansiones truncadas corres- opondientes de los n´meros iniciales. u An´logamente, para multiplicar las dos expansiones decimales A y B y formar ala expansi´n decimal correspondiente al producto A · B, se procede como sigue: o 1. Se determina cu´ntos d´ a ıgitos a la izquierda del punto decimal tiene cada uno de los factores. Digamos que A tiene m d´ ıgitos y B tiene n d´ ıgitos a la izquierda del punto decimal. 2. Se multiplica la expansi´n truncada de orden n + 1 de A con la expansi´n o o truncada de orden m + 1 de B y la expansi´n truncada de orden cero del o producto de estas ser´ la expansi´n truncada de orden cero de la expansi´n a o o decimal de A · B, 3. Para determinar la expansi´n truncada de orden r > 0 de A · B, se multiplica o las expansi´n truncada de orden n + r + 1 de A por la expansi´n truncada de o o orden m + r + 1 de B y la expansi´n truncada de orden r de ese producto o de expansiones truncadas se toma como la expansi´n truncada de orden r del o producto A · B.Ejemplo 2.6 Para multiplicar las expansiones decimales A = 12.34, B = −253.2020020002 · · · ,las expansiones truncadas de A · B se determinan de acuerdo a la definici´n anterior, oen la forma siguiente: (A · B)0 = −3125.0, (A · B)1 = −3125.30, (A · B)2 = −3125.380, . . .etc´tera. e ⊳

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