Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

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Muy bsico, pero claro, sistemas de ecuaciones

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Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

  1. 1. Sistemas de ecuacioneslineales y matrices1.1 INTRODUCCIÓN Éste es un libro sobre álgebra lineal. Si se busca la palabra “lineal” en un diccionario, se encontrará algo parecido a lo siguiente: LINEAL. (Del lat. linealis.) adj. Perteneciente a la línea. En matemáticas, la palabra “lineal” tiene un significado mucho más amplio. De cualquier manera, una gran parte de la teoría de álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de la línea recta. A manera de repaso, se darán algunos hechos fundamentales sobre las líneas rectas: i. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos está dada por ii. Si , entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida. iii. Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir escribiendo su ecuación en la forma pendiente-ordenada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de y en el punto en el que la recta cruza el eje y). iv. Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. v. Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = c (b 0), entonces, como se puede calcular fácilmente, m = -a/b. vi. Si es la pendiente de la recta m 2 es la pendiente de la recta L 2 , 0y y L2 son perpendiculares, entonces m 2 = -1/ . vii. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente de cero. viii. Las rectas paralelas al eje de las y tienen una pendiente indefinida. En la siguiente sección se ilustrará la relación entre resolver sistemas de ecuaciones y encontrar los puntos de intersección entre pares de rectas.
  2. 2. Capitulo1TSistemasdeecuadoreslineales y matrices1.2 DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y: (1) Donde , a12, a 2l , a 22 , b y b 2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta. Una solución al sistema (1) es un par de números, denotados por (.x, y), que satisface (1). Las preguntas que surgen en forma natural son: ¿tiene (1) algunas soluciones, y, si así es, cuántas? Se responderá a estas preguntas después de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos se usarán dos hechos importantes del álgebra elemental: Hecho A Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. Hecho B Si a = b y c es cualquier número real, entonces ca = cb. El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones, se obtiene una tercera ecuación correcta. El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante, se obtiene una segunda ecuación válida. Se debe suponer que c * 0 ya que aunque la ecuación 0 = 0 es correcta, no es muy útil. EJEMPLO 1 Un sistema con una solución única Considere el sistema x-y = 1 (2) x +y = 5 Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuación: 2x = 12 (o x = 6). Entonces, de la segunda ecuación, y = 5- x = 5- 6 = -l. Así, el par (6, -1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontró la solución muestra que es el único par de números que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una solución única. ♦ EJEVIPLO 2 Un sistema con un número infinito de soluciones Considere el sistema x- y = 7 2x- 2y= 14 (3)
  3. 3. 1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 3 Es claro que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos números, x y y, que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda, y viceversa. Para ver esto se multiplica la primera ecuación por 2. Esto está permitido por el hecho B. Entonces x-y = loy = x- l. Así, el par (x, x - 7) es una solución al sistema (3) para cualquier número real x. Es decir, el sistema (3) tiene un número infinito de soluciones. Para este ejemplo, los siguientes pares son soluciones: (7,0), (0, -7), (8,1), (1,-6), (3,-4) y (-2,-9). 4 EJEMPLO 3 Un sistema sin solución Considere el siguiente sistema (4) Al multiplicar la primera ecuación por 2 (que de nuevo está permitido por el hecho B) se obtiene 2x -2y= 14. Esto contradice la segunda ecuación. Entonces, el sistema (4) no tiene solución. ♦ Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente. Es sencillo explicar, geométricamente, lo que pasa en los ejemplos anteriores. Primero, se repite que las ecuaciones del sistema (1) son ambas ecuaciones de lineas rectas. Una solución a (1) es un punto (x, y) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, entonces se intersectan en un solo punto. Si son paralelas, entonces nunca se intersectan (no tienen puntos en común) o son la misma recta (un número infinito de puntos en común). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientes de 1 y -1, respectivamente, por lo que no son paralelas, y tienen un solo punto en común, (6, -1). En el ejemplo 2, las rectas son paralelas (pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 3 las rectas son paralelas y distintas. Estas relaciones se ilustran en la figura 1.1. Solución única a) Rectas no paralelas; b) Rectas paralelas; sin c) Rectas que coinciden; número infinito un punto de intersección puntos de intersección de puntos de intersecciónFigura 1.1 Dos rectas se intersectan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un número infinito de puntos

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