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PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIAC...
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INTRODUCCION
La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna
afirmación sobre más elementos de los ...
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OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA
La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la
recolección, organización, a...
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CAPITULO I
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en
fund...
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situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de l...
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Submúltiplo
Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo
de a, (Pineda, 2008).
COMENTAR...
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ORGANIZADOR GRAFICO:
Sistema Internacional de Medidas y Unidades
Magnitudes fundamentales
Una magnitud fundamental
es aq...
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TRABAJO # 1
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son
aquellos que se ob...
9
MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS
LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es
aquella que se define po...
10
MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes
fundamentales.
 VELOCIDAD: Es la magnitud física que expr...
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Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo A = 6 a2 V = a3
Prisma
A = (perim. base •h) + 2 •
area base
V = á...
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CONCLUSIONES
 El sistema internacional de unidades es muy importante porque se
involucra en nuestra carrera permitiend...
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BIBLIOGRAFÍA
Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.
Altamirano, E. (2007).
Anderson, D. R...
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Pineda, L. (2008). matematicas.
Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y
Valdés.
Sabadías, ...
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2.- Convertir 27,356 Metros a Millas
3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.
4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.
5.- Con...
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TRANSFORMACIONES
En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes
que vienen expresadas en unidade...
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V= 100000
𝒎 𝒎
𝒉
𝒙
𝟒 𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 ,𝒎
𝒙
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
= 𝟎. 𝟎𝟐𝟖
𝒎
𝒔
Q= 7200000
𝑃𝑈𝐿𝐺𝐴𝐷𝐴
ℎ8 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑠2
𝑸 = 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎...
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TRANSFORMACIÓN
72000𝑐𝑚3
𝑥
1 𝑚3
1000000𝑐𝑚3
= 0.0072 𝑚3
X=
1 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑥 54000 𝑚3
0.072 𝑚3 = 75000 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠
Un tanquero tiene una...
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SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
LONGITUD
1 Km 1000 m
1 m 100 cm
1 cm 10 mm
1 milla 1609 m
1 m 1000 mm
MASA
1qq 100 lb...
21
COMENTARIO EN GRUPO:
Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos
servirá en la carrera del come...
22
LONGITUD
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los
múltiplos, en la parte superior, cada u...
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- 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones exactas, y que se
guarda en la Oficina Internacional de Pesos y M...
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TRABAJO # 2
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CONCLUSIÓN:
La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada
en una cierta unidad de medida, e...
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
MES DE MARZO-ABRIL
ACTIVIDADES M J V S D L M
Investigar sobre el Sistema Internacional de Un...
35
http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Siste
ma_Internacional_de_Unidades_.28SI.29
http://es....
36
Desarrollo:
𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎
𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 14.30𝑚 ∗ 2.6𝑚 ∗ 2.45𝑚
𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3
𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎
...
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𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 534.38𝑐𝑚3
∗
(1𝑚)3
(100𝑐𝑚)3
= 5.3 ∗ 108
𝑚3
a. 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3
𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 9.11 ∗ 10−0...
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1 qq de papa-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
𝑥 =
1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎 ∗ 9.11 ∗ 10−05
𝑚3
0.05𝑚3
𝑥 = 1.82 ∗ 10−03
𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎...
39
𝑥 =
1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 ∗ 29.77𝑚3
9.11 ∗ 10−05 𝑚3
𝑥 = 326783.75𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜.
f. 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 29.77𝑚3
𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 ...
40
𝑥 = 1.82 ∗ 10−03
𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧
i. 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 123.55𝑚3
𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 9.11 ∗ 10−05
𝑚3
1 caja de plátano--...
41
𝑥 =
1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎 ∗ 123.55𝑚3
0.05𝑚3
𝑥 = 2471𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎.
l. 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 29.77𝑚3
1𝑞𝑞 𝑝𝑎𝑝𝑎 = 0.05𝑚3
1 qq de arroz...
42
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO:
Tiempo
Actividades
MARZO ABRIL MAYO
SEMANAS SEMANAS SEMANAS
1 2 3 4 1 2 ...
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CAPITULO II
MARCO TEORICO:
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación estadística determina la relaci...
46
Características principales
A continuación se comentan una serie de características que ayudan a
comprender la naturale...
47
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de
Pearson como un índice que puede utilizarse pa...
48
dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula
cuando el valor sea aproximadamente igual...
49
COMENTARIO:
 Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y
representadas los valores que mejor s...
50
entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos
dará una idea de que tan relacionadas linealme...
51
en un estudio de mercado por ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior
está muy relacionada con ese ámbito.
L...
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TRABAJO #3
CORRELACION
Y REGRESION
LINEAL
ayuda a la toma de
decisiones segun lo
resultante en la
aplicacion de estos
g...
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
Actividad
Días
Responsable
Mar, 08 Mié, 09 Jue, 10 Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16...
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ANEXOS:
Ejemplo 1:
La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e
Y.
X: 6 3 7 5 4 2 1...
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b)
c)
Ejemplo 2:
Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se
muestran en la tabla:
X:...
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a) Completamos la siguiente tabla:
X Y XY X2 Y2
1 1 1 1 1
3 4 12 9 16
5 6 30 25 36
7 6 42 49 36
9 7 63 81 49
11 8 88 12...
87
c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable
X es con el que cometemos menos error...
88
Ejemplo 4:
Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus
puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25, 2...
89
para una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de
0,888 en Y. También se sabe que la des...
90
a. La varianza de los errores del pronóstico.
Ejemplo 5:
De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben...
91
b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.
EJEMPLO 6:
Se de...
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𝒓 =
𝒏(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚)
√[ 𝒏(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝒏(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚)
𝟐
]
𝒓 =
5(528.100) − (6.250)(398)
√[5(8.462.500)− (39.0...
93
Empresas
Valor de los
transformadores
x
Unidades posibles
a vender
y
X2
Y2
XY
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
8...
94
EJEMPLO 8:
La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad
las mercancías peligrosas y frági...
95
𝒓 =
𝟏𝟏𝟖𝟎
√[ 𝟐𝟏𝟕𝟑𝟒][ 𝟖𝟒𝟏𝟎]
𝒓 =
𝟏𝟏𝟖𝟎
√ 𝟏𝟖𝟐𝟕𝟖𝟐𝟗𝟒𝟎
𝒓 =
𝟏𝟏𝟖𝟎
𝟏𝟑𝟓𝟏𝟗. 𝟕𝟐
𝒓 =
𝟏𝟏𝟖𝟎
𝟏𝟑𝟓𝟏𝟗. 𝟕𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟖
96
La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a
positiva como lo demuestra el resultado ...
97
𝒓 =
𝑵(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚)
√[ 𝑵(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝑵(∑ 𝒚 𝟐) − (∑ 𝒚)
𝟐
]
𝒓 =
𝟔( 𝟕𝟑𝟏𝟐)− (𝟐𝟗𝟔)(𝟏𝟐𝟗)
√[ 𝟔( 𝟏𝟕𝟐𝟏𝟔)− (𝟐𝟗𝟔) 𝟐][𝟔(...
98
EMPRESAS DE
TRANSPORTE
CALIDAD DE
SERVICIO (X)
RENDIMIENTO
(Y)
𝐗 𝟐
𝐘 𝟐 XY
TRANSCOMERINTER
TRANSURGIN
TRANSBOLIVARIANA
S...
99
EJEMPLO 11:
Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar
si existe relación entre los...
100
𝒓 =
𝒏(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚)
√⌊(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐⌋⌊(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚) 𝟐⌋
𝒓 =
𝟖(∑ 𝟐𝟓𝟒)− (∑ 𝟔𝟏)(𝟑𝟎)
√⌊(∑(𝟖)(𝟕𝟗𝟓)(𝟔𝟏) 𝟐 − (⌋⌊ 𝟖( 𝟏...
101
0.0625 0.09
0.5625 0.5929
r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247
EJEMPLO 12:
Un analista de operaciones de comercio ext...
102
𝑟 =
𝑁 ∑ 𝑋𝑌 − (∑ 𝑋) (∑ 𝑌)
√[𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2
][𝑛∑ 𝑌2 − (∑ 𝑦)2
]
r = 1´329,380 - 1´287,489 =
[709030 - 603729][2771190 - ...
103
𝑠𝑦𝑥 = √
∑ 𝑦2 − 𝑎(∑ 𝑦) − 𝑏(∑ 𝑥𝑦)
𝑛 − 2
Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)
10 - 2
Syx = 10.53
MARCO TE...
104
Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($)
1 0 500
2 1000 900
3 2000 1300
4 3000 1700
5 4000 2100
...
105
con alguna algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de
cálculo que utilice datos en bruto:
Ecuación...
106
r=
(∑XY)−(
(∑x)(∑Y)
N
)
√[∑X2−((∑X)2/(N))][∑X2−((∑X)2/(N))]
r=
(106)−(
(21)(22)
5
)
√[111−((21)2/(5))][112−((22)2/(5))...
107
r=
(∑𝐗𝐘)−(
(∑𝐱)(∑𝐘)
𝐍
)
√[∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))][∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))]
r=
( 𝟑𝟒𝟖𝟖.𝟕)−(
( 𝟏𝟓𝟎𝟑)( 𝟐𝟕.𝟑)
𝟏𝟐
)
√[𝟏𝟖𝟗.𝟏𝟖𝟕−((𝟏𝟓𝟎𝟑)𝟐/(𝟏𝟐)...
108
dentro de sus propias distribuciones, los productos ZxZy tienen el mismo signo, la
cual produce una mayor magnitud de ...
109
Despedido del trabajo 47 40
Jubilación 45 30
Embarazo 40 28
Dificultades sexuales 39 42
Reajustes económicos 39 36
Pro...
110
8 18 1 1
9 35 9 6
10 15 2 2
11 42 6 10
12 22 5 3
un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la d...
111
la muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando
durante los últimos seis meses.
Desempe...
112
Tabla Nº 4.1.1
Estudiantes X
Prueba de habilidad
mental
Y
Examen de Admisión
María 18 82
Olga 15 68
Susana 12 60
Aldo ...
113
podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de pares valores X
y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) ...
114
puntajes altos del examen de admisión, entonces en este caso, decimos que no
existe una relación lineal entre las vari...
115
sola línea decimos que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos
se encuentran en una sola línea deci...
116
Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar
empleada hasta ahora podemos construir e...
117
GRÁFICO Nº 4.1.4.
Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta
4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA D...
118
cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores negativos
mayores que -1 indican una correlación...
119
cuadrado los valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada
pareja de valores X y Y. Aplicando lo...
120
puntuación de aptitud y el aprovechamiento académico es 0,50 puesto que ambos
se miden en una población cuyo aprovecha...
121
𝒓 =
(5)(2382) − (57)(260)
√[5(783)− (57)2][5(16 296) − (260)2]
𝒓 =
11 910 − 14 820
√(3 915− 3249)(81 480− 67 600)
𝒓 =
...
122
𝒓 =
210
3 040,4
; 𝑟 = 0,07 La correlación es muy débil y positiva.
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS ...
123
Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran
las frecuencias de celda que corres...
124
5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la
columna encabezada. Para obtener los valore...
125
Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha
hasta llegar a la columna de las desviaci...
126
Sumando 0 + 0 + 10 = 10
Ahora con la tercera fila:
(2)(-2)(+1)= -4
(6)(-1)(+1)= -6
(16)(0)(+1)= 0
(0)(+1)(+1)= 3
Suman...
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(1)(-2)(-3)= 6
(1)(0)(-3)= 0
(2)(1)(-3)= -6
Sumando: 6 + 0 – 6 = 0
Sumando los valores de la columna quinta.
Reuniendo...
128
Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre
Conjuntos de Datos Agrupados
Calcular el coefic...
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PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA
SUMA DE LOS NÚMEROS
ENCERRADOS EN SEMICÍRCULOS EN
CADA FILA
45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U...
130
En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para
dos conjuntos de datos constituidos p...
131
de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se
ha remplazado por su marca de clase 45...
132
Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de
izquierda a derecha de igual forma las desviacio...
133
Ux por sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)=
108.
9) Interesa ahora obtener los númer...
134
fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1
fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos
procede...
135
Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos
Conjuntos Agrupados de Datos.
Supongamos...
136
0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 TOTAL
15 18 1 1
12 15 2 3 4 9
9 12 7 3 2 12
6 9 6 9 4 19
3 6 5 2 7
1 3 2 2
TOTAL 2 11 18 12 7 50
...
137
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Progresiones lineales simples
4.2.1. Regresión lineal simple
Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirma...
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CESAR 35 45
OLGA 40 50
Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos
correlación, en este grafic...
140
𝑿̅ = media de la variable X en la muestra.
X = un valor de la variable X
r = coeficiente de Pearson, de la correlación...
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  1. 1. 1 PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONAL Tulcán – Ecuador DOCENTE: MSC. JORGE POZO INTEGRANTES: SEXTO COMERCIO “B” MARZO 2012- AGOSTO 2012
  2. 2. 2 INTRODUCCION La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna afirmación sobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística inferencial hace que ese salto de la parte al todo se haga de una manera “controlada”. Aunque nunca nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá una respuesta probabilística. Esto es importante: la estadística no decide; sólo ofrece elementos para que el investigador o el lector decidan. En muchos casos, distintas personas perciben diferentes conclusiones de los mismos datos. El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de modelos que están a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de formular, en primer lugar, una pregunta en términos estadísticos. Luego hemos de comprobar que nuestra situación se ajusta a algún modelo (si no se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero si se ajusta, el modelo nos ofrecerá una respuesta estadística a nuestra pregunta estadística. Es tarea nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola de contenido psicológico. La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad describir. Así, si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un grupo de personas, la estadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero será tomar medidas, en todos los miembros del grupo, de esos aspectos o variables para, posteriormente, indagar en lo que nos interese. Sólo con esos indicadores ya podemos hacernos una idea, podemos describir a ese conjunto de personas.
  3. 3. 3 OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las observaciones. La estadística sirve en administración y economía para tomar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y administrativos. JUSTIFICACIÓN El presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado en clases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos permitirá analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse el estudiante y así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el análisis de cada uno de los capítulos ya que la estadística inferencial es amplia y abarca problemas que estas relacionados con el entorno para poder sacar nuestras propias decisiones ya que la estadística inferencial nos ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo como lo es comercio exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el razonamiento y sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presente en el entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así poderlos emplear a futuro .
  4. 4. 4 CAPITULO I EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en fundamentales y derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden reducir. Se citan las unidades fundamentales de interés en la asignatura de ciencias e ingenierías de os materiales. Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades fundamentales utilizando signos matemáticos de multiplicación y de división. Por ejemplo las unidades de densidad del sí son el kilogramo por metro cubico algunas unidades derivadas tienen nombres y símbolos especiales. Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo (Diaz, 2008) Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles HIPERFINOS del estado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008) Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y
  5. 5. 5 situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. (Diaz, 2008) Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. (Diaz, 2008) Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008) Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008) Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial. (Diaz, 2008) Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008) Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008) Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza. (Diaz, 2008) Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la gravedad de la tierra (Diaz, 2008) MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS Múltiplo Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero de veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido por n, da por resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)
  6. 6. 6 Submúltiplo Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo de a, (Pineda, 2008). COMENTARIO: El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el establecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y como estudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el podemos obtener los resultados al almacenar una mercancía en el contenedor sin perder el tiempo que es valioso en la carrera, y también si perder el espacio dentro de dicho contenedor. El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales y a su vez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la carrera Para una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial que cada unidad fundamental de magnitudes de un sistema, sea especificada y reproducible con la mayor precisión posible.
  7. 7. 7 ORGANIZADOR GRAFICO: Sistema Internacional de Medidas y Unidades Magnitudes fundamentales Una magnitud fundamental es aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo, longitud, etc.). Magnitudes derivadas Para resolver el problema que suponga la utilizaciónde unidadesdiferentes endistintos lugares del mundo, en la XI Conferencia General de Pesos yMedidas(París, 1960) se establecióel Sistema Internacional de Unidades (SI). En el cuadro siguiente puedesver las magnitudes fundamentales del SI, la unidadde cada una de ellas yla abreviatura que se emplea para representarla: Son la que dependen de las magnitudes fundamentales. Múltiplos Submúltiplos Un número es un submúltiplosi otro lo contiene varias veces exactamente. Ej.:2 es un submúltiplode 14, ya que 14 lo contiene 7 veces.= 14 = 2 • 7 Un múltiplo de n es un número tal que, divididopor n, da por resultadoun número entero
  8. 8. 8 TRABAJO # 1 MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son aquellos que se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al multiplicarlo por cualquier número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005, pág. 94). Ejemplo: Múltiplos de 5: 5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000 SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005). Por ejemplo : Submúltiplos de 30: 6, 10, 5, 2, 3, etc.
  9. 9. 9 MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo, longitud, etc.).  LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre dos puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos, su extensión lineal medida de principio a fin, (Serway & Faughn, 2006).  MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo, (Serway & Faughn, 2006).  TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, (Serway & Faughn, 2006).  INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo, (Serway & Faughn, 2006).  TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura mayor, (Serway & Faughn, 2006).  INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se define como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una dirección dada, que emerge, atraviesa o incide sobre una superficie por unidad de ángulo solido, (Enríquez, 2002).  CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la necesidad de contar partículas o entidades elementales microscópicas indirectamente a partir de medidas macroscópicas (como la masa o el volumen). Se utiliza para contar partículas, (Enríquez, 2002).
  10. 10. 10 MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes fundamentales.  VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo, (Enríquez, 2002).  AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales, (Enríquez, 2002).  VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo, (Enríquez, 2002).  FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles, (Enríquez, 2002).  TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002).  La unidad del trabajo es el JOULE.  ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado dinámico de un sistema y que permanece invariable con el tiempo en los sistemas aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez, 2002).
  11. 11. 11 Figura Esquema Área Volumen Cilindro Esfera Cono Cubo A = 6 a2 V = a3 Prisma A = (perim. base •h) + 2 • area base V = área base • h Pirámid e Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
  12. 12. 12 CONCLUSIONES  El sistema internacional de unidades es muy importante porque se involucra en nuestra carrera permitiendo la relación económica con otros países mediante comercio internacional y su negociación entre ellos. como también la práctica de problemas del sistema internacional de unidades nos ayudan a ver la realidad de nuestro entorno de cómo podemos solucionar problemas al momento de exportar una mercancía, que cantidad de materia prima, electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran cantidad, puede alcanzar dentro de un contenedor.  El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través de este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de trasporte el cual se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas por ejemplo podemos enviar al exterior este sistema es muy fundamental en la carrera de comercio exterior. Recomendaciones  Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de las figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda ser exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos permitirá realizar una buena negociación conociendo la cantidad de mercancía que puede introducirse en el transporte.  Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de comercio exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas que se encuentran presentes en el Sistema internacional para una correcta aplicación en los ejercicios propuestos. La utilización de las medidas del Sistema Internacional se presenta a nivel internacional y por ende son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional ya que permite una mejor movimiento e intercambio.
  13. 13. 13
  14. 14. 14 BIBLIOGRAFÍA Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A. Altamirano, E. (2007). Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning. Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales . Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A. Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A. García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N. J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
  15. 15. 15 Pineda, L. (2008). matematicas. Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y Valdés. Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia: COMPOBELL. Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general. New York: THOMSON. Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México: Learning Inc. Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning. LINKOGRAFIA http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm file:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htm file:///K:/books.htm file:///K:/volumenes/areas_f.html file:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htm ANEXOS: 1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.
  16. 16. 16 2.- Convertir 27,356 Metros a Millas 3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras. 4.- Convertir 2,352 Segundos a Año. 5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.
  17. 17. 17 TRANSFORMACIONES En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos, 2002). Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la velocidad viene expresada en kilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo sea acertado, (Ledanois & Ramos, 2002). Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois & Ramos, 2002). EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASE Volumen 300𝒎 𝟑 transformar en pulgadas 3 𝒗 = 𝟑𝟎𝟎𝒎 𝟑 𝑿 (𝟏𝟎𝟎) 𝟑 (𝒄𝒎) 𝟑 ( 𝟏𝒎 𝟑) = (𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝒂𝒅𝒂) 𝟑 𝟐. 𝟓𝟒 𝒄𝒎 𝟑 = 𝟏𝟖𝟑𝟎𝟕. 𝟕𝟎 𝒑𝒖𝒍𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔 𝟑 V= 100000 𝒎 𝒎 𝒉 𝒎 𝒔
  18. 18. 18 V= 100000 𝒎 𝒎 𝒉 𝒙 𝟒 𝒎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 ,𝒎 𝒙 𝟏 𝒉 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟖 𝒎 𝒔 Q= 7200000 𝑃𝑈𝐿𝐺𝐴𝐷𝐴 ℎ8 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑠2 𝑸 = 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎3 ℎ8 𝑿 (𝟐. 𝟓𝟒) 𝟑 (𝒄𝒎) 𝟑 ( 𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝒂𝒅𝒂 𝟑) = 𝟏 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑 𝒙 𝟏 𝒉 𝟐 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟏𝟒𝟔 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑠2 Vol. Paralelepípedo L x a x h Vol. Cubo 𝑎3 Vol. Esfera 4 3 𝐼𝐼̿ 𝑅3 Vol. Cilindro 𝐼𝐼̿ 𝑅2 ℎ Vol. Pirámide 𝐴 𝑋 𝐵 3 Área cuadrada 𝑙2 Área de un rectángulo B x h Área de un circulo 𝐼𝐼̿ 𝑅2 Área de un triangulo 𝑏 𝑋 ℎ 2 En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de manzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y 30 de ancho y 40 de altura. Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400 𝑚3 Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000 𝑐𝑚3
  19. 19. 19 TRANSFORMACIÓN 72000𝑐𝑚3 𝑥 1 𝑚3 1000000𝑐𝑚3 = 0.0072 𝑚3 X= 1 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑥 54000 𝑚3 0.072 𝑚3 = 75000 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m. ¿Cuántos litros se puede almacenar en dicho tanque?. RESOLUCION VOL. CILINDRO = 𝐼𝐼̿ 𝑅2 ℎ VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50)2 X (17)= 0 120.17 𝑚3 TRANSFORMACIÓN 120.17 𝒎 𝟑 𝒙 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑 𝟏 𝒎 𝟑 𝒙 𝟏 𝒍 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑 = 𝟏𝟐𝟎𝟏𝟔𝟓. 𝟐𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔
  20. 20. 20 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES LONGITUD 1 Km 1000 m 1 m 100 cm 1 cm 10 mm 1 milla 1609 m 1 m 1000 mm MASA 1qq 100 lbs. 1 Kg 2.2 lbs. 1 qq 45.45 Kg 1 qq 1 arroba 1 arroba 25 lbs. 1 lb 454 g 1 lb 16 onzas 1 utm 14.8 Kg 1 stug 9.61 Kg 1 m 10 Kg 1 tonelada 907 Kg ÁREA 𝒎 𝟐 100 𝑐𝑚2 1 𝒎 𝟐 10000 𝑐𝑚2 1 hectárea 10000 𝑚2 1 acre 4050 𝑚2 1 pie (30.48 cm)2 1 pie 900.29 𝑐𝑚2 1 𝒎 𝟐 10.76 𝑝𝑖𝑒𝑠2
  21. 21. 21 COMENTARIO EN GRUPO: Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos servirá en la carrera del comercio exterior y además poder resolver problemas que se presenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y tanque etc., y otras formas geométricas nos servirá para determinar cuántas cajas o bultos, etc. que pueden alcanzar en una almacenera o en cada uno de los contenedores esto nos servirá al realizar prácticas o al momento de emprender nuestro conocimientos a futuro. ORGANIZADOR GRAFICO:
  22. 22. 22 LONGITUD Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior, (Riley & Sturges, 2004). LONGITUD 1 KM 100 M 1 M 100M, 1000MM 1 MILLA 1609M 1 PIE 30,48CM, 0,3048M 1 PULGADA 2,54CM 1 AÑO LUZ 9,46X1015 M TIEMPO. El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, esto es, el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido frecuentemente concebido como un flujo sucesivo de situaciones atomizadas, (López, March, García, & Álvarez, 2004). MEDIDAS DEL TIEMPO 1 AÑO 365 DIAS 1 MES 30 DIAS 1SEMANA 7 DIAS 1 DIA 24 HR 1 HORA 60 MIN,3600SEG 1 MINUTO 60 SEG. MASA Y PESO. La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en Sevres, hay copias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para ser regladas y ver si han perdido masa con respecto a la original. El kilogramo (unidad de masa) tiene su patrón en: la masa de un cilindro fabricado en 1880, compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % platino
  23. 23. 23 - 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones exactas, y que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres, cerca de París, (Hewitt, 2004). PESO De nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada cuerpo es atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de atracción hace que el cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con una unidad diferente: el Newton (N), (Torre, 2007). SISTEMA DE CONVERSION DE MASA 1 TONELADA 1000 KG 1 QQ 4 ARROBAS, 100 L 1 ARROBA 25 L 1 KG 2,2 L 1 SLUG 14,58 KG 1 UTM 9,8 KG 1 KG 1000 GR 1 L 454 GR, 16 ONZAS
  24. 24. 24 TRABAJO # 2
  25. 25. 25
  26. 26. 26
  27. 27. 27
  28. 28. 28
  29. 29. 29
  30. 30. 30
  31. 31. 31
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  33. 33. 33 CONCLUSIÓN: La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada en una cierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de conversión del Sistema Internacional de Unidades. Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos. Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la necesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro, por lo cual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de los diferentes sistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una unidad a otra, tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los diferentes lugares. RECOMENDACIÓN: En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir "algo"; ya sea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen, ángulos, potencia, etc. Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad con qué medirlo, ya que las personas necesitan saber qué tan lejos, qué tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa, en términos que se entiendan, que sean reconocibles, y que se esté de acuerdo con ellos; debido a esto es necesario tener conocimientos claros sobre el Sistema De Conversión De Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema o patrón de referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades de medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de nuestro contexto.
  34. 34. 34 CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: MES DE MARZO-ABRIL ACTIVIDADES M J V S D L M Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas X X Ejecución del Formato del Trabajo X Resumen de los textos investigados X X Finalización del Proyecto X Presentación del Proyecto X BIBLIOGRAFIA Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A. Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A. García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N. Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A. J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias . Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y Conversiones de Unidades. Caracas: EQUINOCCIO. López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de Ingeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A. Pineda, L. (2008). matematicas. Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ. LINKOGRAFIA:
  35. 35. 35 http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Siste ma_Internacional_de_Unidades_.28SI.29 http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29 http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm ANEXOS: 1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo, además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y arroz. Con esa información calcular el número de cajas y quintales que alcanzan en cada uno de los vehículos. TRAILER MULA CAMION SENCILLO Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40m Medidas de las cajas: Medidas de las cajas de plátano LARGO ANCHO ALTO 20cm 51cm 34cm Medidas de las cajas de manzana 7.5cm 9.5cm 7.5cm
  36. 36. 36 Desarrollo: 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 14.30𝑚 ∗ 2.6𝑚 ∗ 2.45𝑚 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 8.27𝑚 ∗ 1.44𝑚 ∗ 2.50𝑚 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 29.77𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 10.8𝑚 ∗ 4.40𝑚 ∗ 2.60𝑚 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 123.55𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 14.30𝑐𝑚 ∗ 2.6𝑐𝑚 ∗ 2.45𝑐𝑚 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 91.09𝑐𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 91.09𝑐𝑚3 ∗ (1𝑚)3 (100𝑐𝑚)3 = 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 𝑙 ∗ ℎ ∗ 𝑎 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 7.5𝑐𝑚 ∗ 9.5𝑐𝑚 ∗ 7.5𝑐𝑚 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 534.38𝑐𝑚3
  37. 37. 37 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 534.38𝑐𝑚3 ∗ (1𝑚)3 (100𝑐𝑚)3 = 5.3 ∗ 108 𝑚3 a. 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 91.09m3 𝑥 = 1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 ∗ 91.09𝑚3 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 𝑥 = 999820.23𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜. b. 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 5.3 ∗ 108 𝑚3 1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 9.11*10-05m3 𝑥 = 1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 ∗∗ 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 5.3 ∗ 108 𝑚3 𝑥 = 1.7 ∗ 10−13 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎. c. 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3 1𝑞𝑞𝑝𝑎𝑝𝑎 ∗ ( 100𝑙𝑏 1𝑞𝑞 )( 1𝑘𝑔 2.2𝑙𝑏 ) ( 1000𝑐𝑚3 1𝑘𝑔 )( 1𝑚3 1𝑘𝑔 ) = ( 100000𝑚3 2200000 ) = 0.05𝑚3
  38. 38. 38 1 qq de papa-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 𝑥 = 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎 ∗ 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 0.05𝑚3 𝑥 = 1.82 ∗ 10−03 𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎 d. 𝑣𝑜𝑙. 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙𝑒𝑟 = 91.09𝑚3 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧∗ ( 100𝑙𝑏 1𝑞𝑞 )( 1𝑘𝑔 2.2𝑙𝑏 )( 1000𝑐𝑚3 1𝑘𝑔 ) ( 1𝑚3 1𝑘𝑔 ) = ( 100000𝑚3 2200000 ) = 0.05𝑚3 1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 𝑥 = 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧∗ 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 0.05𝑚3 𝑥 = 1.82 ∗ 10−03 𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧 e. 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 29.77𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 29.77m3
  39. 39. 39 𝑥 = 1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 ∗ 29.77𝑚3 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 𝑥 = 326783.75𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜. f. 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 29.77𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 5.3 ∗ 108 𝑚3 1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 29.77m3 𝑥 = 1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 ∗ 29.77𝑚3 5.3 ∗ 108 𝑚3 𝑥 = 5.62 ∗ 108 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎. g. 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 29.77𝑚3 1𝑞𝑞 𝑝𝑎𝑝𝑎 = 0.05𝑚3 1 qq de papa-----------------0.05m3 X 29.77m3 𝑥 = 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎 ∗ 29.77𝑚3 0.05𝑚3 𝑥 = 595.4𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎. h. 𝑣𝑜𝑙. 𝑚𝑢𝑙𝑎 = 29.77𝑚3 1𝑞𝑞 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧 = 0.05𝑚3 1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 𝑥 = 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧∗ 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 0.05𝑚3
  40. 40. 40 𝑥 = 1.82 ∗ 10−03 𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧 i. 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 123.55𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 = 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 123.55m3 𝑥 = 1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜 ∗ 123.55𝑚3 9.11 ∗ 10−05 𝑚3 𝑥 = 1.36 ∗ 106 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜. j. 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 29.77𝑚3 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 5.3 ∗ 108 𝑚3 1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 123.55m3 𝑥 = 1𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 ∗ 123.55𝑚3 5.3 ∗ 108 𝑚3 𝑥 = 2.33 ∗ 10−07 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎. k. 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 29.77𝑚3 1𝑞𝑞 𝑝𝑎𝑝𝑎 = 0.05𝑚3 1 qq de papa-----------------0.05m3 X 123.55m3
  41. 41. 41 𝑥 = 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎 ∗ 123.55𝑚3 0.05𝑚3 𝑥 = 2471𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎. l. 𝑣𝑜𝑙. 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑜 = 29.77𝑚3 1𝑞𝑞 𝑝𝑎𝑝𝑎 = 0.05𝑚3 1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 123.55m3 𝑥 = 1𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧∗ 123.55𝑚3 0.05𝑚3 𝑥 = 2471𝑞𝑞 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧.
  42. 42. 42 CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO: Tiempo Actividades MARZO ABRIL MAYO SEMANAS SEMANAS SEMANAS 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 PRIMERA CLASE Competencia especifica (27-Marzo-2012) X Introducción de la Materia (27-Marzo-2012) x SEGUNDA CLASE Sistema Internacional de Unidades (03-Abril-2012) X Tarea Sistema Internacional de Unidades. Entregar el 10 de abril del 2012 X TERCERA CLASE Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012) X Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones (24 de abril del 2012) X CUARTA CLASE Evaluación primer capitulo (03 de Mayo del 2012) x
  43. 43. 43
  44. 44. 44
  45. 45. 45 CAPITULO II MARCO TEORICO: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.  Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de relación lineal entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación debe situarse en la banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se calcula dividiendo la covarianza de las dos variables aleatorias por el producto de las desviaciones típicas individuales de las dos variables aleatorias. Las correlaciones desempeñan un papel vital en la creación de carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006). Comentario:  A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas estadísticas empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos variables, en donde se deben identificar la variable dependiente y la independiente. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Representación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.
  46. 46. 46 Características principales A continuación se comentan una serie de características que ayudan a comprender la naturaleza de la herramienta. Impacto visual Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación entre dos variables de un vistazo. Comunicación Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas. Guía en la investigación El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que el simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y alternativas de estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en su utilización, (García, 2000). Comentario:  El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y útil cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos variables, en donde aparece representado como un punto en el plano cartesiano. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.
  47. 47. 47 De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.  El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos variables y se simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de + 1 a - 1, pasando por el cero, el cual corresponde a ausencia de correlación. Los primeros dan a entender que existe una correlación directamente proporcional e inversamente proporcional, respectivamente, (Willliams, 2008). Comentario:  El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan relacionadas están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el coeficiente es > 0.9, entonces es una buena correlación y cuando un coeficiente es < 0.3 indica que las variables no están correlacionadas entre ellas y por lo que el 1 representa una correlación perfecta. INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN El coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1 encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre las dos variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica necesariamente que no exista correlación ya que las variables pueden presentar una relación no lineal como puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de gestación. En este caso el r infraestima la asociación al medirse linealmente. Los métodos no paramétrico estarían mejor utilizados en este caso para mostrar si las variables tienden a elevarse conjuntamente o a moverse en direcciones diferentes.  Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se
  48. 48. 48 dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula cuando el valor sea aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005). Comentario:  El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones entre dos variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente calcular el coeficiente de correlación para un mejor entendimiento. FORMULA 𝑹 = 𝒏 ( ∑ 𝑿𝒀 ) − (∑ 𝑿 ) (∑ 𝒀 ) √ 𝒏 (∑ 𝑿 𝟐)− (∑ 𝒙) 𝟐 [𝒏 (∑ 𝒀 𝟐) − (∑ 𝒀) 𝟐 ] REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Elegida una de las variables independientes y representadas los valores de la variable bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. Si hemos elegido el carácter X como variable independiente, tendremos a la recta de regresión de Y sobre X. Si elegimos Y como variable independiente, se obtendrá la recta de regresión de X sobre Y. Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta cuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la relación entre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y dado X=x para ver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)
  49. 49. 49 COMENTARIO:  Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás el hecho de entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar relacionando dos variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya que nos permitirá aplicar lo aprendido en problemas reales que se nos presenten en nuestra vida profesional como por ejemplo el saber que tan buena resulta una relación entre exportaciones e importaciones que el Ecuador ha realizado y así con esto poder tomar decisiones. CORRELACIÓN POR RANGOS Cuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables para un mismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están relacionadas o no y de estarlo, el grado de asociación entre ellas. Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en investigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas cuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde se pueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus resultados son bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006) COMENTARIO:  Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas para un solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas. Esto es muy interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos vamos a desarrollar que es un ambiente de negocios, ya que podemos aplicar esta técnica estadística aprendida, y así poder solucionar problemas que se nos presenten comúnmente y saber que tan buena es la relación
  50. 50. 50 entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos dará una idea de que tan relacionadas linealmente están dos variables y si su relación es positiva o negativa. RANGO La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y el mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar también todos los valores de resultado de una función. Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su situación profesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el rango del superior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su rango o será sancionado. (MORER, 2004) COMENTARIO:  Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango puede significar también todos los valores de resultado de una función, y se puede así relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados que nos ayudan a la toma de decisiones. A demás un rango es importante ya que nos permite la obtención de datos más exactos y pues con esto nuestro trabajo se entonara de forma más real y sobre todo de forma más precisa, y por ende tomaremos decisiones más acertadas. COMENTARIO GENERAL: La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las cuales nos ayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber qué es y cómo se relacionan entre sí dos o más variables en una población que deseemos estudiar para así poder determinar posibles resultados que nos darán
  51. 51. 51 en un estudio de mercado por ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior está muy relacionada con ese ámbito. La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar determinando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o investigado. La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de una variable con base en los valores conocidos de la otra. Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un estudio ya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos variables a estudiar, y facilitara la recolección de información. ORGANIZADOR GRAFICO:
  52. 52. 52 TRABAJO #3 CORRELACION Y REGRESION LINEAL ayuda a la toma de decisiones segun lo resultante en la aplicacion de estos grupodetécnicas estadísticasusad asparamedirlafu erzadelaasociaci ónentredosvaria bles se ocupa de establecer si existe una relaciónasí como de determinar su magnitud ydirección mientrasque la regresiónse encarga principalmente de utilizar a la relación para efectuar una predicción.determinar posibles resultados como por ejemplo del exito en un estudi de mercado permite evaluar decisiones que se tomen en una poblacion herramienta basica para estudios y analisis que pueden determinar el exito o fracaso entre dos opciones
  53. 53. 53
  54. 54. 54
  55. 55. 55
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  79. 79. 79
  80. 80. 80
  81. 81. 81
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  83. 83. 83 CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: Actividad Días Responsable Mar, 08 Mié, 09 Jue, 10 Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17 Copias Tamara Apraez, Diana Coral, Diana García, Tania Herrera., Janeth Reina Iniciar con los ejercicios Tamara Apraez, Diana Coral, Diana Garcia, Tania Herrera., Janeth Reina Terminar los ejercicios Tamara Aprez, Diana Coral, Diana García, Tania Herrera., Janeth Reina Prueba Tamara Aprez, Diana Coral, Diana Garcia, Tania Herrera., Janeth Reina
  84. 84. 84 ANEXOS: Ejemplo 1: La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e Y. X: 6 3 7 5 4 2 1 Y: 7 6 2 6 5 7 2 Calcule: a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( ) y la varianza error ( a) X Y XY X2 Y2 6 3 7 5 4 2 1 7 6 2 6 5 7 2 42 18 14 30 20 14 2 36 9 49 25 16 4 1 49 36 4 36 25 49 4 28 35 140 140 203
  85. 85. 85 b) c) Ejemplo 2: Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se muestran en la tabla: X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13 Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10 a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?. b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos un valor de 10? c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X, ¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).
  86. 86. 86 a) Completamos la siguiente tabla: X Y XY X2 Y2 1 1 1 1 1 3 4 12 9 16 5 6 30 25 36 7 6 42 49 36 9 7 63 81 49 11 8 88 121 64 13 10 130 169 100 49 42 366 455 302 El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se interpreta como proporción de varianza de la variable Y que se explica por las variaciones de la variable X. Por tanto: es la proporción de varianza no explicada. Esta proporción multiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje. b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la pendiente y ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis.
  87. 87. 87 c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable X es con el que cometemos menos error de pronóstico. Ejemplo 3: Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las edades en días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces aplicamos esta prueba. Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de niños de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses. Hipótesis. Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación significativa. Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe correlación significativa.
  88. 88. 88 Ejemplo 4: Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos que reconocieran un conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de calcular la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X, se sabe que
  89. 89. 89 para una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de 0,888 en Y. También se sabe que la desviación típica de las puntuaciones pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular: a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y Sujeto Xi 1 13 169 2 9 81 3 17 289 4 25 625 5 21 441 6 33 1089 7 29 841 Sumatorio 147 3535 a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y a partir de X
  90. 90. 90 a. La varianza de los errores del pronóstico. Ejemplo 5: De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes datos que se muestran en la tabla: Calcular: a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.
  91. 91. 91 b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas. EJEMPLO 6: Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación. Empresas Valor de los transformadores x Unidades posibles a vender y X2 Y2 XY 1 2 3 4 5 1800 1500 1200 900 850 100 98 80 62 58 3.240.000 2.250.000 1.440.000 810.000 722.500 10.000 9.604 6.400 3.844 3.364 180.000 147.000 96.000 55.800 49.300 ∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2 =8.462.500 ∑y2 =33.212 ∑xy= 528.100 Fórmula:
  92. 92. 92 𝒓 = 𝒏(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚) √[ 𝒏(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝒏(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚) 𝟐 ] 𝒓 = 5(528.100) − (6.250)(398) √[5(8.462.500)− (39.062.500)2][5(33.212)− (398)2] 𝒓 = 2.640.500 − 2.487.500 √[42.312.500 − 39.062.500][166.060− 158.404] 𝒓 = 153 .000 √[3.250.000][7.656] 𝒓 = 153.000 157.740,29 𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟔𝟗𝟗𝟒𝟖𝟕𝟔𝟖 = 𝟎, 𝟗𝟕 Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa importadora. EJEMPLO 7: Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación.
  93. 93. 93 Empresas Valor de los transformadores x Unidades posibles a vender y X2 Y2 XY 1 2 3 4 5 1800 1500 1200 900 850 100 98 80 62 58 3.240.000 2.250.000 1.440.000 810.000 722.500 10.000 9.604 6.400 3.844 3.364 180.000 147.000 96.000 55.800 49.300 ∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2 =8.462.500 ∑y2 =33.212 ∑xy= 528.100 Fórmula: 𝒓 = 𝒏(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚) √[ 𝒏(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝒏(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚) 𝟐 ] 𝒓 = 5(528.100) − (6.250)(398) √[5(8.462.500)− (39.062.500)2][5(33.212)− (398)2] 𝒓 = 2.640.500 − 2.487.500 √[42.312.500 − 39.062.500][166.060− 158.404] 𝒓 = 153 .000 √[3.250.000][7.656] 𝒓 = 153.000 157.740,29 𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟔𝟗𝟗𝟒𝟖𝟕𝟔𝟖 = 𝟎, 𝟗𝟕 Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa importadora.
  94. 94. 94 EJEMPLO 8: La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad las mercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos mensuales sobre las toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo: MESES Mercancías Peligrosas Mercancías Frágiles x y x^2 y^2 xy Enero 189 85 35721 7225 16065,00 Febrero 105 96 11025 9216 10080,00 Marzo 125 78 15625 6084 9750,00 Abril 116 48 13456 2304 5568,00 Mayo 124 98 15376 9604 12152,00 659 405 91203 34433 53615 𝒓 = 𝒏(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚) √[ 𝒏(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝒏(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚) 𝟐 ] 𝒓 = 𝟓( 𝟓𝟑𝟔𝟏𝟓)− (𝟔𝟓𝟗)(𝟒𝟎𝟓) √[ 𝟓( 𝟗𝟏𝟐𝟎𝟑)− (𝟔𝟓𝟗) 𝟐][ 𝟓( 𝟑𝟒𝟒𝟑𝟑) − (𝟒𝟎𝟓) 𝟐] 𝒓 = 𝟐𝟔𝟖𝟎𝟕𝟓 − 𝟐𝟔𝟔𝟖𝟗𝟓 √[ 𝟒𝟓𝟔𝟎𝟏𝟓 − 𝟒𝟑𝟒, 𝟐𝟖𝟏][ 𝟏𝟕𝟐𝟏𝟔𝟓 − 𝟏𝟔𝟒𝟎𝟐𝟓]
  95. 95. 95 𝒓 = 𝟏𝟏𝟖𝟎 √[ 𝟐𝟏𝟕𝟑𝟒][ 𝟖𝟒𝟏𝟎] 𝒓 = 𝟏𝟏𝟖𝟎 √ 𝟏𝟖𝟐𝟕𝟖𝟐𝟗𝟒𝟎 𝒓 = 𝟏𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟑𝟓𝟏𝟗. 𝟕𝟐 𝒓 = 𝟏𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟑𝟓𝟏𝟗. 𝟕𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟖
  96. 96. 96 La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a positiva como lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica respecto al eje x y eje y. EJEMPLO 9: 3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los siguientes datos, referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al gasto en publicidad ( en miles de dólares) de los últimos 6 años: a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad?
  97. 97. 97 𝒓 = 𝑵(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚) √[ 𝑵(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝑵(∑ 𝒚 𝟐) − (∑ 𝒚) 𝟐 ] 𝒓 = 𝟔( 𝟕𝟑𝟏𝟐)− (𝟐𝟗𝟔)(𝟏𝟐𝟗) √[ 𝟔( 𝟏𝟕𝟐𝟏𝟔)− (𝟐𝟗𝟔) 𝟐][𝟔(∑ 𝟑𝟏𝟑𝟑)− (∑ 𝟏𝟐𝟗) 𝟐 ] 𝒓 = 𝟓𝟔𝟖𝟖 √ 𝟑𝟒𝟖𝟎𝟑. 𝟏𝟗𝟓 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟒 ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y es imperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas. EJEMPLO 10: La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no está seguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a esto esta empresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas empresas en el transporte por lo cual ha hecho una investigación de mercado y a obtenido los siguientes resultados.
  98. 98. 98 EMPRESAS DE TRANSPORTE CALIDAD DE SERVICIO (X) RENDIMIENTO (Y) 𝐗 𝟐 𝐘 𝟐 XY TRANSCOMERINTER TRANSURGIN TRANSBOLIVARIANA SERVICARGAS 19 17 16 14 46 44 40 30 361 289 256 196 2116 1936 1600 900 874 748 640 420 66 160 1102 6552 2682 r= (∑𝐗𝐘)−( (∑𝐱)(∑𝐘) 𝐍 ) √[∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))][∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))] r= 𝟒( 𝟐𝟔𝟖𝟐)−(( 𝟔𝟔) 𝟏𝟔𝟎) √( 𝟒( 𝟏𝟏𝟎𝟐)−( 𝟔𝟔 𝟐))( 𝟒( 𝟔𝟓𝟓𝟐)−( 𝟏𝟔𝟎 𝟐)) r= 0,038 Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender de las dos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro.
  99. 99. 99 EJEMPLO 11: Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar si existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El objetivo de estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años de servicio. Los resultados de la muestra son: 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 20 25 Empleados Años de Servicio “X” Puntuación de eficiencia “Y” XY X2 Y2 Y` A 1 6 6 1 36 3.23 B 20 5 100 400 25 4.64 C 6 3 18 36 9 3.61 D 8 5 40 64 25 3.77 E 2 2 4 4 4 3.31 F 1 2 2 1 4 3.23 G 15 4 60 225 16 4.30 H 8 3 24 64 9 3.77 61 30 254 795 128
  100. 100. 100 𝒓 = 𝒏(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚) √⌊(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐⌋⌊(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚) 𝟐⌋ 𝒓 = 𝟖(∑ 𝟐𝟓𝟒)− (∑ 𝟔𝟏)(𝟑𝟎) √⌊(∑(𝟖)(𝟕𝟗𝟓)(𝟔𝟏) 𝟐 − (⌋⌊ 𝟖( 𝟏𝟐𝟖) − (𝟑𝟎) 𝟐⌋ r = .3531 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 𝒔𝒚𝒙 = √ ∑(𝒚 − 𝒚´) 𝟐 𝒏 − 𝟏 𝒔𝒚𝒙 = √ ∑ 𝒚 𝟐 − 𝒂(∑ 𝒚) − 𝒃(∑ 𝒙𝒚) 𝒏 − 𝟐 b = 202 = .0765 2639 a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16 ( y - y )2 ( y - y´ )2 5.0625 7.6729 1.5625 0.0961 0.5625 0.3721 1.5625 1.5129 3.0625 1.7161 3.0625 1.5129
  101. 101. 101 0.0625 0.09 0.5625 0.5929 r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247 EJEMPLO 12: Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se toma una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los siguientes datos: EMPRESA MILES DE UNIDADES x MILES DE $ y XY X2 Y2 A 40 150 6000 1600 22500 B 42 140 5880 1764 19600 C 48 160 7680 2304 25600 D 55 170 9350 3025 28900 E 65 150 9750 4225 22500 F 79 162 12798 6241 26244 G 88 185 16280 7744 34225 H 100 165 16500 10000 27225 I 120 190 22800 14400 36100 J 140 185 25900 19600 34225 Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy 2 277119
  102. 102. 102 𝑟 = 𝑁 ∑ 𝑋𝑌 − (∑ 𝑋) (∑ 𝑌) √[𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2 ][𝑛∑ 𝑌2 − (∑ 𝑦)2 ] r = 1´329,380 - 1´287,489 = [709030 - 603729][2771190 - 2745949] r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078 (105301) (25541) 51860.32 DESVIACION ESTANDAR 𝑠𝑦𝑥 = √ ∑(𝑦 − 𝑦´)2 𝑛 − 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160
  103. 103. 103 𝑠𝑦𝑥 = √ ∑ 𝑦2 − 𝑎(∑ 𝑦) − 𝑏(∑ 𝑥𝑦) 𝑛 − 2 Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938) 10 - 2 Syx = 10.53 MARCO TEORICO: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL La correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la relación entre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De establecer si existe una relación, así como de determinar su magnitud y dirección, mientras que la regresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En este capítulo analizaremos la correlación y más adelante la regresión lineal Relaciones; La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones. Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las que comprenderemos mejor este tema. Relaciones lineales: Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el salario mensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de las mercancías vendidas por cada uno de ellos en ese mes.
  104. 104. 104 Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($) 1 0 500 2 1000 900 3 2000 1300 4 3000 1700 5 4000 2100 Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica trazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha grafica. Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama. La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el cuadro. Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con la mejor exactitud mediante una línea recta. Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos anteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su valor Z transformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en la escala Z. Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación, consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su barrio está vendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene marcado el precio total. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las naranjas de cada bolsa y su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar seis bolsas y la pesa, de hecho están relacionadas estas variables. Existe una correlación positiva perfecta entre el costo y el peso de las naranjas. Asi el coeficiente de correlación debe ser igual a + 1. Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su valor transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo
  105. 105. 105 con alguna algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de cálculo que utilice datos en bruto: Ecuación para el cálculo de la r de pearson r= (∑𝐗𝐘)−( (∑𝐱)(∑𝐘) 𝐍 ) √[∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))][∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))] Donde ∑𝐗𝐘 es la suma de los productos de cada pareja XyY ∑XY también se llama la suma de los productos cruzados. Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos: SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY A 1 2 1 4 2 B 3 5 9 25 15 C 4 3 16 9 12 D 6 7 36 49 42 E 7 5 49 25 35 TOTAL 21 22 111 112 106
  106. 106. 106 r= (∑XY)−( (∑x)(∑Y) N ) √[∑X2−((∑X)2/(N))][∑X2−((∑X)2/(N))] r= (106)−( (21)(22) 5 ) √[111−((21)2/(5))][112−((22)2/(5))] 13.6 18.616 = 0.731 = 0.73 PROBLEMA DE PRÁCTICA: Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la magnitud y dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r Pearson. # de estudiantes IQ (promedio de calificaciones) Promedio de datos Y X2 Y2 XY 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL 110 112 118 119 122 125 127 130 132 134 136 138 1503 1.0 1.6 1.2 2.1 2.6 1.8 2.6 2.0 3.2 2.6 3.0 3.6 27.3 12.100 12.544 13.924 14.161 14.884 15.625 16.129 16.900 17.424 17.956 18.496 19.044 189.187 1.00 2.56 1.44 4.41 6.76 3.24 6.76 4.00 10.24 6.76 9.00 12.96 69.13 110.0 179.2 141.6 249.9 317.2 225.0 330.2 260.0 422.4 384.4 408.0 496.8 3488.0
  107. 107. 107 r= (∑𝐗𝐘)−( (∑𝐱)(∑𝐘) 𝐍 ) √[∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))][∑𝐗𝟐−((∑𝐗)𝟐/(𝐍))] r= ( 𝟑𝟒𝟖𝟖.𝟕)−( ( 𝟏𝟓𝟎𝟑)( 𝟐𝟕.𝟑) 𝟏𝟐 ) √[𝟏𝟖𝟗.𝟏𝟖𝟕−((𝟏𝟓𝟎𝟑)𝟐/(𝟏𝟐))][𝟔𝟗.𝟏𝟑−((𝟐𝟕.𝟑)𝟐/(𝟏𝟐))] 𝑥 = 69.375 81.088 = 0.856 = 0.86 Una segunda interpretación de la r de pearson es que también se puede interpretar en términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este punto de vista produce más información importante acerca de r y la relación entre X y Y en este ejemplo la variable X representa una competencia de ortografía y la variable Y la habilidad de la escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga que queremos que queremos predecir la calificación de la escritura de Esteban, el estudiante cuya calificación en ortografía es de 88. Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B, donde la correlación es menor, a algunos de los valores r= ∑ ZxZy/(N − 1) = ZxZy Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo cual hace que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C todos los productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones
  108. 108. 108 dentro de sus propias distribuciones, los productos ZxZy tienen el mismo signo, la cual produce una mayor magnitud de r Calculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto ¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z? Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la ecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor? Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos. Sería justo decir que este es un examen confiable Un grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en quince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre dos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con el ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir más de 50 puntos. el número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes requeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la siguiente tabla. EVENTOS ESTADOUNIDENSES ITALIANOS Muerte de la esposa 100 80 Divorcio 73 95 Separación de la pareja 65 85 Temporada en prisión 63 52 Lesiones personales 53 72 Matrimonio 50 50
  109. 109. 109 Despedido del trabajo 47 40 Jubilación 45 30 Embarazo 40 28 Dificultades sexuales 39 42 Reajustes económicos 39 36 Problemas con la familia política 29 41 Problemas con el jefe 23 35 Vacaciones 13 16 Navidad 12 10 a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre los datos de ambas culturas INDIVIDUO EXAMEN CON LÁPIZ Y PAPEL PSIQUIATRA A PSIQUIATRA B 1 48 12 9 2 37 11 12 3 30 4 5 4 45 7 8 5 31 10 11 6 24 8 7 7 28 3 4
  110. 110. 110 8 18 1 1 9 35 9 6 10 15 2 2 11 42 6 10 12 22 5 3 un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para comparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con perturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son calificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado de depresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Los datos aparecen a continuación. Los datos mayores corresponden a una mayor depresión. a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras? b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de cada psiquiatra? Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de recursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de hablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección de manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de la institución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabrica el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir a estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos de desempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como dispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de la manufactura, garantizando que una amplio rango de desempeño quede representado en
  111. 111. 111 la muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando durante los últimos seis meses. Desempeño en el trabajo Examen 1 Examen 2 1 50 10 25 2 74 19 35 3 62 20 40 4 90 20 49 5 98 21 50 6 52 14 29 7 68 10 32 8 80 24 44 9 88 16 46 10 76 14 35 CORRELACIÓN 4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓN En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola variable. A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente de una. Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables están relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación lineal. 4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de habilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos cinco estudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en estas dos pruebas.
  112. 112. 112 Tabla Nº 4.1.1 Estudiantes X Prueba de habilidad mental Y Examen de Admisión María 18 82 Olga 15 68 Susana 12 60 Aldo 9 32 Juan 3 18 La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con puntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en el examen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de habilidad mental. Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En circunstancia como la presente (cuando los puntajes altos de una variable están relacionados con los puntajes altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos que hay una relación lineal positiva entre las variables, entonces podemos definir una relación lineal positiva entre ese conjunto de pares valores X y Y, tal la muestra la tabla N º 4.1.1 Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos obtenido los puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar que en esta situación los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse para pronosticar los puntajes del examen de admisión? También, aunque en este caso mostramos una relación contraria a la que ocurre en la realidad ya que los sujetos con puntajes altos en el test de habilidad mental aparecen con puntajes bajos en el examen de admisión y los sujetos con puntajes bajos en el test de habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen de admisión, entonces
  113. 113. 113 podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de pares valores X y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están apareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con los puntajes de Y. Tabla Nº 4.1.2 Estudiantes X Prueba de habilidad mental Y Examen de Admisión María 18 18 Olga 15 32 Susana 12 60 Aldo 9 68 Juan 3 82 Tabla Nº 4.1.3 Estudiantes X Prueba de habilidad mental Y Examen de Admisión María 18 18 Olga 15 82 Susana 12 68 Aldo 9 60 Juan 3 32 Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los puntajes de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del examen de admisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están apareados con otros
  114. 114. 114 puntajes altos del examen de admisión, entonces en este caso, decimos que no existe una relación lineal entre las variables X y Y. 4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco parejas de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma alternativa de ver si existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una grafica de los valores X y Y en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo de gráfica es conocido con el nombre de diagrama de dispersión, gráfico de dispersión o nube de puntos. Dibujemos el diagrama que corresponde a la Tabla N º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder a cada valor de la variable independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir, para la alumna Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad mental (12) con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del examen de admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2 Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el diagrama de dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la sensación de ascender en línea recta de izquierda a derecha. Esto es característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque estos cinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta. Se puede trazar una línea recta que describa que estos puntos en forma bastante aproximada conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que la relación es lineal. Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una sola línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado en que se separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una
  115. 115. 115 sola línea decimos que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos variables es menos fuerte y cuando más puntos queden incluidos en una línea recta afirmamos que la relación lineal es más fuerte. GRÁFICO Nª 4.1.1.
  116. 116. 116 Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar empleada hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión, tal como se muestra en el gráfico Nº 4.1.3. Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. que la nube de puntos de la gráfica pueden delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación lineal entre las dos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que decimos que la relación lineal entre las dos variables es negativa. Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se muestra en la gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil cualquier línea recta que trate describir adecuadamente este diagrama de dispersión. Diagrama de Dispersión Y 80 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
  117. 117. 117 GRÁFICO Nº 4.1.4. Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta 4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSON Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o diagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es positiva o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos cuantificar la fuerza de la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del coeficiente r de Pearson. El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y + pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta). El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta. (los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene 80 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
  118. 118. 118 cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores negativos mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores positivos menores que 1 indican una correlación positiva. Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo, cuando el valor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la correlación, es así que -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos valores débiles) los valores -0.93 y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos son dos valores fuertes). Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora cuando los datos no son muy numerosos. Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos calcular el coeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la siguiente fórmula. 𝒓 = 𝑵(∑ 𝒙𝒚) − (∑ 𝒙)(∑ 𝒚) √[ 𝑵(∑ 𝒙 𝟐) − (∑ 𝒙) 𝟐][𝑵(∑ 𝒚 𝟐)− (∑ 𝒚) 𝟐 ] Tabla Auxiliar 4.1.4. (1) x (2) Y (3) X^2 (4) Y^2 (5) XY 18 82 324 6724 1476 15 68 225 4624 1020 12 60 144 3600 720 9 32 81 1024 288 3 18 9 324 54 ∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =3558 En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se han elevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al
  119. 119. 119 cuadrado los valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada pareja de valores X y Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene: 𝒓 = (5)(3558) − (57)(260) √[5(783)− (57)2][5(16 296) − (260)2] 𝒓 = 17 790 − 14 820 √(3 915− 3249)(81 480− 67 600) 𝒓 = 2 970 √(666)(13 880) ; 𝒓 = 2 970 √9244080 𝒓 = 2 970 3 040,4 ; 𝑟 = 0,98 INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de correlación que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables. Pero es necesario examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir que un r de 0,50 indique una relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de 0, 25. Ni se puede decir tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r = 0,60 equivalga a un aumento de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una correlación de 0,60 indica una relación tan estrecha como una correlación de + 0,60. La relación difiere solamente en la dirección. Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar únicamente que la situación medida está contaminada por algún factor o factores no controlados. Es fácil concebir una situación experimental en la cual, si se han mantenido constantes todos los factores que o sean pertinentes, el r podría haber sido 1 en lugar de 0,20. Por ejemplos: generalmente la correlación entre la
  120. 120. 120 puntuación de aptitud y el aprovechamiento académico es 0,50 puesto que ambos se miden en una población cuyo aprovechamiento académico también es influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de calificación de los profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las notas, el r seria 1 en vez de 0,50. Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a la situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún hecho natural absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto. Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación como de medida del grado de relación lineal entre dos variables es una interpretación matemática pura y está completamente desprovista de implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos variables tiendan a aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que obligadamente una tenga algún efecto directo o indirecto sobre la otra. A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de PEARSON de la relación presentada en la tabla. Cuadro Auxiliar 4.1.5. (1) x (2) Y (3) X^2 (4) Y^2 (5) XY 18 18 324 324 324 15 32 225 1024 480 12 60 144 3600 720 9 68 81 4624 612 3 82 9 6724 246 ∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =2382
  121. 121. 121 𝒓 = (5)(2382) − (57)(260) √[5(783)− (57)2][5(16 296) − (260)2] 𝒓 = 11 910 − 14 820 √(3 915− 3249)(81 480− 67 600) 𝒓 = −2 910 √(666)(13 880) ; 𝒓 = −2 910 √9244080 𝒓 = −2 910 3 040,4 ; 𝑟 = −0,96 Vemos que la correlación es fuerte y negativa. Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de Correlación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3. Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6 (1) x (2) Y (3) X^2 (4) Y^2 (5) XY 18 18 324 324 324 15 82 225 6724 1230 12 68 144 4624 816 9 60 81 3600 540 3 32 9 1024 96 ∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006 𝒓 = (5)(3006) − (57)(260) √[5(783)− (57)2][5(16 296) − (260)2] 𝒓 = 15 030 − 14 820 √(3 915− 3249)(81 480− 67 600) 𝒓 = 210 √(666)(13 880) ; 𝒓 = 210 √9244080
  122. 122. 122 𝒓 = 210 3 040,4 ; 𝑟 = 0,07 La correlación es muy débil y positiva. CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN CLASES El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos conjuntos. Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en inventario de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen matemático, aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la localidad. ^-^X Hábitos de Y ^esiudio Matemáticas^ 20 - 30 30 - 40 40 -50 50 - 60 Total f y 70 -*80 3 2 2 7 60 -> 70 1 0 4 5 10 50 ~» 60 2 6 16 3 27 40 50 4 14 19 10 47 30 >-'■» 40 7 15 6 0 28 20 M 30 8 2 0 1 t 1 10 20 1 1 2 4 Total f . 23 40 48 23 134 Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado, que ahora los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7. Este): cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de clase 0» la variable Y, los que cubren todos los posibles datos acerca de las puntuaciones! alcanzadas por los estudiantes en la prueba de Matemática. Nótese que los i ntervalos los crecen de abajo hacia arriba. En la fila superior se presentan les intervalos <%
  123. 123. 123 Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran las frecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un intervalo de la variable Y como un intervalo de la variable X. La fórmula que utilizaremos es la siguiente Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el cuadro auxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de esa formula Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por sus respectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7 cinco columnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la primera. 1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la columna f sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la marca de clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe en el primer casillero o celda de la columna f. en la fila de la marca de clase 65 sumamos 1+4+5=10 numero que se escribe debajo del 7. 2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en la columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente las frecuencias 1+2+4+7+8+1=23 3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo significa desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas. Recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas : -1-2 y -3 corresponden a los intervalos menores. 4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la fila superior del cuadro , por esa razón , escribimos cero debajo de la frecuencia marginal 48.
  124. 124. 124 5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto: (3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (- 3)(-12)=36 La suma 63+40+27+28+44+36=238 Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por su correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la segunda fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila. (23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23 Sumando horizontalmente: (-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63 Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila por su correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la cuarta fila así: (-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23 Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores el 1 es la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el segundo factor es la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación unitaria, por lo tanto el procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3 que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los intervalos que tienen la marcha de la clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente.
  125. 125. 125 Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el numero +3 formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9 encerrado de un semicírculo lo escribimos en la celda elegida En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+) Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6 X hábitos estudio Y matemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y suma de los # en semicírculos 75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3 65 1 0 4 5 10 2 20 40 6 55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7 45 4 14 19 10 47 0 0 0 0 35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29 25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34 15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0 ∑FxUx = 6 ∑FxUx^2= 238 ∑FxyUxUy= 59 Fx 23 40 48 23 134 Ux -2 -1 0 1 FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63 FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155 La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de esa primera fila elegida así: -9+0+6. Este número se escribe en la quita columna. Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo. (0)(-1)(+2)= 0 (4)(0)(+2)= 0 (5)(+1)(+2)= 10
  126. 126. 126 Sumando 0 + 0 + 10 = 10 Ahora con la tercera fila: (2)(-2)(+1)= -4 (6)(-1)(+1)= -6 (16)(0)(+1)= 0 (0)(+1)(+1)= 3 Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7 Cuarta fila (-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0 Quinta fila (7)(-2)(-1)= 14 (15)(-1)(-1)= 15 (6)(0)(-1)= 0 (0)(+1)(-1)= 0 La suma es: 14+15= 29 (8)(-2)(-2)= 32 (2)(-1)(-2)= 4 (0)(0)(-2)= 0 (1)(+1)(-2)= -2 La suma es: 32 + 4 -2 = 34 Séptima fila:
  127. 127. 127 (1)(-2)(-3)= 6 (1)(0)(-3)= 0 (2)(1)(-3)= -6 Sumando: 6 + 0 – 6 = 0 Sumando los valores de la columna quinta. Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula n= 134 ∑𝑓𝑥𝑦 𝑈𝑥 𝑈 𝑦= 59 ∑𝑓𝑥 𝑈𝑥 = -63 ∑𝑓𝑦 𝑈 𝑦= 6 ∑𝑓𝑥 𝑈𝑥 2 = 155 ∑𝑓𝑦 𝑈 𝑦 2 = 238 r= (134)(59)−(−63)(6) √{(134)(155)−(−63)2}{(134)(238)−(62 ) r= 7906 +378 √(20770 −3969)(39892−36) r= 0,358
  128. 128. 128 Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre Conjuntos de Datos Agrupados Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y físicas de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL 90 - 100 0 0 0 2 5 5 12 80 - 90 0 0 1 3 6 5 15 70 - 80 0 1 2 11 9 2 25 60 - 70 2 3 10 3 1 0 19 50 - 60 4 7 6 1 0 0 18 40 - 50 4 4 4 0 0 0 11 TOTAL 10 15 22 20 21 12 100
  129. 129. 129 PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA SUMA DE LOS NÚMEROS ENCERRADOS EN SEMICÍRCULOS EN CADA FILA 45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y PUNTUACIONENFISISCAY 95 2 5 5 12 2 24 48 54 85 1 3 6 5 15 1 15 15 30 75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0 65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2 55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28 45 4 4 3 11 -3 -33 99 36 fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150 Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2y Σ fxy Ux Uy FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux Fx U2x 40 15 0 20 84 10 8 267 Σfx U2x
  130. 130. 130 En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para dos conjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100, en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de cierta universidad Los datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea horizontal superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de matemáticas desde 40 hasta 100. Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos para física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Notese que en la columna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia arriba y para la fila horizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas crecen izquierda a derecha. A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos datos aplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior. 1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro N° 4.1.10. podemos observar que se han agregado cinco columnas por el lado derecho y cuatro filas por la parte interior Observemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en matemáticas y para la puntación en física se han remplazado por las marcas de clase correspondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el primer intervalo 40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60 por su marca de clase 55 y de esta manera se han remplazado los demás intervalos por sus marcas de clases en el cuadro N° 4.1.10. De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos se han remplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en física el primer intervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de clase 95, el segundo intervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca
  131. 131. 131 de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se ha remplazado por su marca de clase 45. Ahora vamos a realizar los pasos siguientes 1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5= 12 Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85 obtenemos: 1+3+6+5= 15 que escribimos en el segundo casillero de fy. 2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales fx. el primer resultado de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe en el primer casillero de fx para el segundo casillero tenemos el número 15 que se obtiene verticalmente de las frecuencias fxy de la columna que tiene de marca de clase 55. Continuando con las sumas de las f de las demás columnas llenamos las frecuencias marginales fx. 3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo y le asignamos el numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero contando de arriba hacia abajo. Observamos ahora la primera columna de la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física. Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy crecerán de abajo hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son números negativos que van decreciendo hacia abajo. Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes. De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por los siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia abajo decrece: -1,-2,-3. 4) Veamos la fila Ux
  132. 132. 132 Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de izquierda a derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de izquierda a derecha. Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno del casillero Ux el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos:-1y-2. 5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el numero 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su correspondiente desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el segundo casillero multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta terminar con 11*(-3)= -33. 6) Observemos la columna Fy U2y. L primera celda de esta columna tiene el número 48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda columna por su correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es decir, 2*24= 48. Para el segundo casillero de la columna fy U2y , tenemos 15 que es igual a 1 por 15. De esta forma continuamos llenando los demás valores de la columna Fy U2y. 7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente desviación unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20. Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así sucesivamente 12*3= 36. 8) Veamos Fx U2x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de multiplicar -2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su correspondiente primer casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para el segundo casillero de fx U2x multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux por -15 de su correspondiente segundo casillero de FX UX, luego obtenemos (-1) *(-15)=15 .Así continuamos multiplicando los valores de los casilleros
  133. 133. 133 Ux por sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)= 108. 9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo ahora, el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en física. 10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia la derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2. Del numero 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila Ux y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado en semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy = (2) (1) (2) = 4. Podemos anunciar la siguiente regla: Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del cuadro N°4..1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el cual estamos haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y Ux , obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también hacia abajo hasta legar a la fila Ux. Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos factores son: Uy =1 y Ux = 1. Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo. Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de clase 45 en física, tenemos:
  134. 134. 134 fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1 fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos proceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos. Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100. Sumando los valores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los valores de la cuarta columna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de la quinta columna: ∑fxy Ux Uy = 150 Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los valores de la fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100. Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63 Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267 Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula. 𝒓 = (100)(150)− (63)(−49) √[100(267)− (63)2][100(253)− (−49)2] 𝒓 = 15 000− 3 087 √(26 700− 3969)(25 300− 2401) 𝒓 = 18087 √(22731)(22899) ; 𝒓 = 18087 22 815 𝒓 = 0,79 Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.
  135. 135. 135 Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos Conjuntos Agrupados de Datos. Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable y). Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos: Resultado: 𝒓 = (30)(70) − (35)(26) √[30(93)− (35)2][30(78)− (26)2] 𝒓 = 2100 − 910 √(2790 − 1225)(2340− 676) 𝒓 = 1190 √(1565)(1664) ; 𝒓 = 1190 1613,7 𝒓 = 0,74 Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos conjunto de datos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta compañía. Estos vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como lo muestra el cuadro N°4.1.13, el que también muestra el número de años de experiencia que tiene como vendedores. Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.
  136. 136. 136 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 TOTAL 15 18 1 1 12 15 2 3 4 9 9 12 7 3 2 12 6 9 6 9 4 19 3 6 5 2 7 1 3 2 2 TOTAL 2 11 18 12 7 50 Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la formula N° 4.1.12, se tiene. 𝑟 = 50(46) − (11)(22) √[50(59)− (11)2][50(72)− (22)2] 𝑟 = 2300 − 242 √(2950− 121)(3600− 484) = 2058 √(2829)(3116) 𝑟 = 2058 2969 = 0.6 Años de experienc ia X Monto de ventas Y
  137. 137. 137
  138. 138. 138 Progresiones lineales simples 4.2.1. Regresión lineal simple Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que estudiaríamos dos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a una de las variables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora, estudiaremos la forma de predecir v valores de Y conociendo primero los valores de X. Es así que viendo la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos cuando estudiamos correlación, conociendo el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable X) para un alumno determinado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión (variable Y) del mismo alumno. Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si dibujamos esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar todos los puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe el nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos predecir cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25, según la recta, correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc. En este caso se trata de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1. Prueba de habilidad mental X Examen de Admisión Y SUSANA 5 15 IVAN 10 20 LOURDES 15 25 ALDO 20 30 JUAN 25 35 MARIA 30 40
  139. 139. 139 CESAR 35 45 OLGA 40 50 Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos correlación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado por una línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama de dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos del diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos debajo, se llama línea de regresión. ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEA La ecuación que describe la línea de regresión es: 𝑌 𝑅=𝑌̅+𝑟 ( 𝑆 𝑦 𝑆 𝑥 )𝑥−𝑟( 𝑆 𝑦 𝑆 𝑥 )𝑥̅ 𝑌̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑌 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎. GRÁFICO Serie 1 f(x)=1*x+10; R²=1 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 x y r = 1,00
  140. 140. 140 𝑿̅ = media de la variable X en la muestra. X = un valor de la variable X r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y. SY = desviación estándar de Y en la muestra. SX = desviación estándar de X en la muestra. Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula. Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X. como el gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su coeficiente de correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes resultados: X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46 Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro. Apliquemos estos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión: 𝑌𝑅=32,5+(1)( 11,46 11,46 ) 𝑋−(1)( 11,46 11,46 )22,5 ( 𝑎) Simplificando términos obtenemos: 𝑌𝑅=32,5+𝑋−22,5 ( 𝑏) 𝑌𝑅=10+𝑋 Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando este valor en (b). 𝑌𝑅=10+30=40 ( 𝑐) Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es decir podemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los valores de X.

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