Este documento trata sobre productos notables en álgebra. Explica diferentes tipos de productos notables como binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, binomio de Newton y binomios desarrollados mediante el triángulo de Pascal. También cubre temas como factorización de polinomios, operaciones con fracciones algebraicas y más.

1. MATEMATICAS

2. Algebra y aritmética.

3. Números reales

5. Binomios al cuadrado.

6. Binomios al cubo.

7. Binomio de newton

9. Binomios al cuadrado Es igual a un trinomio cuadrado perfecto formado por el cuadrado del primer termino, mas el doble del producto del primer termino por el segundo, mas el cuadrado del segundo termino. Simple inspeccion multiplicacion (2x-3y)2 2x-3y 2x-3y 4x2-6xy -6xy+9y2 4x2-12xy+9y2 = (2x)2 = 4x2 Cuadro del primer termino. El doble del producto del primer y segundo termino. Cuadrado del segundo termino (2)(2x)(-3y)= -12xy (-3y)2 =9y2 4x2 – 12xy+9y2

11. Triple producto de 1er termino al cuadrado y 2º .

12. Triple producto del 1er por el 2º termino al cuadrado.

13. Cubo del segundo termino.(3)(X2)2 (-2y) = -6x4y (3)(X2) (2y) 2 = 12x2y2 (-2y)3 = -8y3 X6-6x4y+12x2y2-8y3

14. Binomios de Newton Es la elevación de un binomio a cualquier exponente natural. Newton descubrió la siguiente formula que nos permite obtener el producto de cualquier binomio elevado a cualquier exponente sea entero positivo. FORMULA GENERAL (x+y)n = xn+nxn-1y+ n1)(n-1)2) + xn-2y2 + n(n-1)(1)(2)(3)(n-2)xn-3y3+…+yn

15. Triangulo de Pascal. Existe una herramienta que determina los coeficientes de los términos en el desarrollo de cualquier binomio a cualquier potencia natural; esta herramienta es el triangulo de pascal y se construye de así: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Ejemplo: 1 4 6 4 1 (3x2+4y5)5= 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 =(3x2)5 +5(3x2)4(4y5)+ 10(3x2)3(4y5)2+ 10(3x2)2(4y5)3+ 5(3x2)(4y5)4+ (4y5)5 1 7 21 35 35 21 7 1 …………. 243x10+ 1620x8y5+ 4320x6y10+ 5760x4y15+ 3480x2y20+ 1024y25

17. Factorización de un polinomio con un termino común Si el polinomio Ax+bx en el cual el factor común de sus términos es x. al dividir el polinomio entre el factor común, se obtiene: Ax+bx = a+b x por tanto, ax+ bx = x(a+b) Ejemplo: 4a 3 +6a 2b Factor común = 2a 2 4a 3 +6a 2b = 2a + 3b 2a 2 4a 3 +6a 2b = 2a 2 (2a + 3b) 5a 2bx 4 – 15ab 2x 3 +20ab3x4= = 5abx3 (ax -3b+4b2x) ya que 5a 2bx 4 – 15ab 2x 3 +20ab3x4 = ax -3b+4b2x 5abx3 Factor común se obtiene con el MCD de los exponentes y letras que se repiten de menor exponente

18. Factorización por agrupación Sea el polinomio ax+bx+ay+by Se observa que los dos primeros términos tienen como factor común a x y los dos últimos a y. Y agrupamos los dos términos en paréntesis. La agrupación puede hacerse generalmente de mas de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común. Ax+bx+ay+by X(a+b) y (a+b) (x+y)(a+b) Factor comun de (ax+bx) = x(a+b) Factor comun de (ay+by) = y(a+b) Termino comun (a+b) Como (a+b) se repite dos veces solo se repite una vez. Ejemplo: 3m2 – 6mn +4m -8n 3m (m-2n) 4(m-2n) =(3m+4)(m-2n)

20. El tercer termino 4y2 es el cuadrado de 2y

21. El doble producto de 2(3m)(-2y)= -12my9x2 -30xy +25y2 = √9x2 -30xy +√25y2 = (3x-25)2

23. 100m2n4 – 169y6 = (10mn2 – 13y3) (10mn2 + 13y3)

25. Ejemplo: X2 +6x – 216 Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuando se multiplique de 216. Este número no se ve fácilmente, para hallarlo, descomponemos en sus factores primos el tercer término, 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 Ahora, formamos con estos factores primos dos productos, por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos dos números que estamos buscando. 2x2x2 = 8 3x3x3 = 27 27 – 8 = 19 no sirve 2x2x2x3= 24 3x3 = 9 24 – 9 = 15 no sirve 2x2x3 = 12 2x3x3 = 18 18 -12 = 6 sirve X2 +6x – 216 X +18 X -12 (x + 8)(x - 12)

26. = Trinomio de la forma ax2 +bx +c En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así: : Ejemplo: Factorar: 6x2 – 7x – 3 Regla: se multiplica el trinomio por el coeficiente de x2 que en este caso es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene: 6(6x2) – (6)(7x) –(6)(- 3) 36x2 – (6)(7x) – 18 6x -9 6x +2 Descomponiedo el trinomio queda 6x Dos números que multiplicados nos den -18 Restados o sumados nos den -7 Como la multiplicación por 6 para no alterar lo dividimos entre 6 (6x – 9) (6x + 2) = pero como ninguno de los binomios es divisible entre 6 descomponemos 6 entre 2x3 y dividiendo (6x - 9)entre 3 y (6x + 2)entre 2 = = (2x – 3) (2x +1) Luego: 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (2x +1)

28. resta.

29. Multiplicación.

30. División.Son fracciones algebraicas:

31. Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, , Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común así Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. Ejemplo: Ejemplo

32. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes. Ejemplo: aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma. Ejemplo: aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia. Ejemplo:

33. Suma y resta de fracciones algebraicasPara sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador. Simplificamos antes de efectuar el producto: El m.c.m. de los denominadores es Ejemplo: Producto de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Multiplicamos numeradores y denominadores, pero lo dejamos indicado: Ejemplo: Simplificamos antes de efectuar el producto: Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso

34. Cociente de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Ejemplo: Hacemos el producto cruzado, dejándolo indicado: Simplificamos: Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso: