Estatística Descritiva - parte 1 (ISMT)

Ano Lectivo 2009/2010

CET – Curso de Especialização Tecnológica

Métodos Computacionais e Estatísticos

Professor: João Leal

1. Estatística Descritiva

www.joaoleal.net Professor: João José Leal 2

Estatística: É um ramo da Matemática que nos

ajuda a recolher, a organizar e a interpretar dados

que através da utilização de métodos e técnicas

permitem-nos classificar os dados recolhidos e

reunir informações de modo a destacar o que é mais

importante.


A Estatística, enquanto conjunto de métodos e técnicas
próprios para recolher, classificar (tratar), apresentar e interpretar
os dados, organiza-se em dois sub-conjuntos: a Estatística
Descritiva e a Estatística Analítica.

A Estatística Descritiva é o sub-conjunto da estatística que
se ocupa indistintamente de um universo ou de uma amostra, com
o intuito de os descrever, ou seja, dedica-se apenas à classificação
(tratamento), representação e redução de dados, podendo
compreender a análise dos mesmos, sempre que as conclusões não
respeitem a um conjunto maior do que o observado.


Portanto, quando se torna necessário manusear e organizar

dados para os transformar em informação, é na Estatística

Descritiva que buscamos os métodos e as técnicas para realizar

essas actividades.


Rotina de Abordagem da Fase Descritiva

1. Determinar a natureza da informação desejada para os fins que
se têm em vista;

2. Indagar se os dados já publicados - pelos serviços oficiais de
estatística ou outras entidades – contêm elementos de interesse:
Conhecer as principais fontes de dados estatísticos;

3. Citar as fontes a que se recorreu. Procurar as fontes originais,
tentando saber como foram apurados os dados e que fim
presidiu à sua recolha;


4. Se os dados pretendidos não estiverem disponíveis, há que
proceder à sua recolha, que terá um objectivo e um âmbito. Há
ainda a considerar a definição do:
– PLANO DE RECOLHA DOS DADOS: dados necessários e
suficientes e meios para os obter
– PROCESSO DE RECOLHA DOS DADOS
• Inquéritos exaustivos ou censos
• Inquéritos ou indagações parciais
• Sondagens ou inquéritos por amostragem
– MODO DE RECOLHA DOS DADOS
• Contínuo
• Periódico
• Ocasional

5. Obtidas as respostas, há que fazer a análise crítica dos dados,
verificando a verosimilhança das respostas e as suas falhas
(censura das respostas), eliminando as contraditórias ou
inexactas

6. Finalmente, há que tratar os dados (classificação) com vista à
sua representação: Quadros, Gráficos, Redução de Dados


População/ Universo: Conjunto de todos os elementos
que vão ser objecto de estudo ou análise, que têm pelo
menos uma característica em comum.

Exemplo: Os alunos da Escola X.


Amostra: É um subconjunto finito da população que se
supõe representativo desta. Ou seja, na impossibilidade
de se estudar todos os elementos da população efectua-
se um subconjunto finito da população.

Exemplo: Os alunos de uma determinada turma da
Escola X.

Unidade Estatística: É cada elemento da população ou
da amostra.


Exercícios:

1. Para estimar a audiência de cada um dos quatro canais de
televisão, realizou-se um estudo a partir de 1000 famílias
portuguesas. Relativamente ao estudo indique:

a) a população;

b) a amostra;

c) a unidade estatística.


2. De entre os 3000 alunos de uma escola seleccionaram-se 60 e
inquiriram-se sobre o programa de televisão preferido.
Os resultados obtidos de dados, indique:

a) a população;

b) a amostra;

c) a unidade estatística.


Censos ou Recenseamento: Num censo ou recenseamento são
observados todos os indivíduos da população relativamente aos
diferentes atributos que estão a ser objecto do estudo estatístico.

Sondagens: Numa sondagem, o estudo estatístico baseia-se numa
parte da população, isto é, numa amostra que deve ser representativa
dessa população.

Caracter (ou atributos ou variável): É um modo pelo qual eu vou
estudar a minha população, isto é, segundo uma determinada
característica.

Exemplo: Relativamente aos elementos de uma família, podemos observar: a altura; a
cor dos olhos; o sexo; a idade (em anos); etc.

Atributos ou características de uma população

É o que se pretende conhecer quando se estuda uma
população.
população. Podem ser:
ser:
•Qualitativos:
Qualitativos: São aquelas que estão relacionadas com uma qualidade e se
apresentam com várias modalidades. Ou seja, não é possível a sua mensuração,
não é possível traduzi-los em números. Exemplo: O sexo (masculino, feminino); Cor
dos olhos (castanhos, verdes, azuis).

•Quantitativos:
Quantitativos: São aquelas a que é possível atribuir uma medida e
apresentam-se com diferentes intensidades ou valores. Isto é, são mensuráveis e
podem ser traduzidos por números. Exemplo: A altura; a idade (em anos).


Dados
Os dados quantitativos de um atributo ou característica
podem ser discretos ou contínuos.

• Discretos se tomam um número finito ou infinito
numerável de valores.

• Contínuos se tomam um número infinito não-
não-
numerável de valores.


Variável

É um símbolo que representa determinado atributo ou
característica de uma população.
Pode ser:
- discreta
- contínua


Proporção

Permite avaliar o peso relativo de uma parte em relação a
um todo, e obtém-se através do quociente da parte pelo
todo.

Ex:
Relação entre desempregados e população activa; proporção de
activa;
observações com um determinado valor da característica
analisada e o total de observações realizadas.
realizadas


Percentagem

Proporção, multiplicada por 100.

Ex:
A percentagem de desempregados é de 6,4%, ou seja, em 100
pessoas activas há 6,4 no desemprego.


Taxa
Percentagem

Ex:
Ex:
Taxa de desemprego é de 6,4%. Traduz o peso da população
desempregada sobre o total da população activa; taxa de
activa;
abstenção foi de 21,3 %.
21,

Taxa de variação
Compara dois valores da mesma variável. Traduz o acréscimo
variável.
ou o decréscimo verificado relativamente a uma variável.
variável.

Ex:
A Taxa de variação mensal compara o nível de variação da variável
entre dois meses consecutivos.

Em resultado da observação (em sentido amplo,
seja por visualização, medição, inquirição, etc.) das
etc.
unidades estatísticas que constituem os conjuntos alvos
da nossa atenção/interesse, os correspondentes dados
que se obtêm vêm “a granel”: rol de dados.
” dados.


Exemplo 1: Relativamente a 50 motoristas que trabalham numa
empresa de transportes, observou-se a quantidade de acidentes
sofridos em serviço, donde se obtiveram os seguintes dados:

Estes dados apenas foram inscritos e listados pela ordem em
que foram sendo recolhidos, não tendo havido ainda qualquer
preocupação de representação, visando a facilitação da apreensão
das características do conjunto a que os dados se referem.


Todavia, se tomarmos os dados anteriores e os tratarmos, poderemos
apresentá-los de uma forma muito mais “apelativa” e susceptível de permitir
a quem os aprecie uma percepção mais fácil das características do conjunto
a que respeitam
Atributo alvo
da observação
realizada sobre
o conjunto dos
motoristas
Frequências
Relativas
Acumuladas
Modalidades numéricas
(valores) assumidas pelo
atributo Qtd. de repetições Proporção de
Variável DISCRETA de cada repetições de cada
modalidade do Frequências
modalidade do Absolutas
atributo: atributo:
atributo: frequências
frequências Acumuladas
relativas simples
absolutas simples


A um conjunto de elementos como os que se identificaram no quadro
anterior, chama-se Distribuição de Frequências.
chama- Frequências.

Ou seja, uma Distribuição de Frequências é uma associação de 1
atributo (ou mais), e o respectivo campo de variação, com as suas
frequências e os respectivos campos de frequências.

Se estamos a trabalhar apenas com 1 atributo, a distribuição diz-se
unidimensional. Se forem 2 atributos, será bidimensional; se forem
N, será N-dimensional.


Distribuição de Frequências de acidentes sofridos por 50 motoristas

Neste caso estamos a trabalhar apenas com 1 atributo, a
distribuição diz-se unidimensional.


O quadro estatístico é uma forma possível de representação
da distribuição de frequências, mas não é a única!

Freq. 20 Freq.
Absoluta Absoluta 50

15 46

11 35

4 20

0 1 2 3 Quant. Acid. 0 1 2 3 Quant. Acid.
Sofridos Sofridos

Temos assim os gráficos de frequências absolutas simples e
absolutas acumuladas.


As frequências relativas são representadas com os
mesmos tipos de gráficos mas utilizando uma escala de
valores relativos no eixo das ordenadas

Na representação de dados que acabámos de
apreciar, o quadro e os gráficos estatísticos são típicos do
tratamento de uma variável discreta.


Exemplo 2: Uma fábrica de parafusos pretende analisar a qualidade
da produção de uma determinada máquina e seleccionou uma
amostra de 100 parafusos produzidos por essa máquina, tendo
procedido à medição dos respectivos comprimentos, em milímetros,
donde obteve o seguinte rol de dados:


Atributo Analisado:

Comprimento (em mm)

Tipo de Variável:

Variável Contínua

Modo de Representação:

Em Classes de Valores


Distribuição de Frequências dos comprimentos (em mm)
de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina

Frequências Absolutas Simples Frequências Relativas Acumuladas

120 1,20
Freq. / Ampl.Classe

100 1,00

0,80

Frequências
0,60
50 0,40

0,20

8 7 9 9 19 23 9 8 4 4 0,00
0

00

00
20

40
60

80
Comprimentos

0

0

0
0

0
0

0

0
0
,0

,0

,2
,4

,6
,8

,0

,2

,4
0,

9,
9,

9,

9,
9,
10

10
10

10

10
11

11
11
-1
10,00
10,20
10,40
10,60
10,80
11,00

(em mm)
09,00
09,20
09,40
09,60
09,80

Comprimentos (em mm)


As medidas de estatística descritiva permitem:

 representar um conjunto de dados de forma
resumida (Redução de Dados);

 a comparação de diferentes distribuições.

As medidas descritivas designam-se por:

 parâmetros (população)

 estatísticas (amostra)


As medidas descritivas dividem-se em:

 Medidas de localização

 Medidas de dispersão

 Medidas de assimetria

 Medidas de achatamento

 Medidas de concentração


Medidas de tendência central
Médias:aritmética
geométrica
harmónica
Mediana
Moda

Medidas de tendência não central
Quantis:Quartis
Quintis
…
Decis
…
Centis
…
Milis

A média aritmética ( x ) é a soma de todos os valores observados, dividida
pela quantidade de observações.

Sendo, xk : Dados observados (k = 1, 2, 3, …, N)
N : Quantidade de observações
m : Quantidade de diferentes valores observados
ni : Frequência absoluta de cada valor observado xi
fi : Frequência relativa de cada valor observado xi
N
Fórmulas de cálculo:
x + x + ... + x x k
Dados Não Classificados : x = 1 2 N = k =1
N N m

n 1 x1 + n 2 x2 + … + n m xm nx i i

Dados Classificados : x = = i =1 =
N N
m
= fx
i =1
i i


Exemplo 3: Relativamente a 50 motoristas que trabalham numa empresa de
transportes, observou-se a quantidade de acidentes sofridos em serviço…


O valor da média aritmética não tem,
necessariamente, que ser algum dos valores
observados, mas tem de estar compreendido no
intervalo dos valores observados!

A média aritmética, corresponde ao valor que,
para o mesmo total do valor de todas as observações,
cada uma teria, se todas tivessem igual valor.


Exemplo 4: Uma fábrica de parafusos seleccionou uma amostra de 100 parafusos
produzidos por uma máquina, tendo procedido à medição dos respectivos
comprimentos, em milímetros …


Se já não tivermos acesso ao rol de dados, e estes estiverem
agrupados em classes, não podemos saber com rigor quais os
valores observados em cada classe. Nestas circunstâncias, a média
aritmética calcula-se por aproximação, estabelecendo a hipótese de
o valor de cada observação dentro da mesma classe ter valor igual
ao ponto central dessa classe (hipótese de tabulagem). À diferença
entre o verdadeiro valor da média aritmética (apurado a partir dos
dados das observações) e o valor da média aritmética que é apurado
desta forma, chama-se erro de tabulagem.


A média geométrica (Mg) de N números positivos é a raiz de índice N do
produto desses números.


Fórmulas de cálculo
N
Dados Não Classificados : Mg = N x1 . x2 … xN = N
x k

k=1

m nk
Dados Classificados : Mg = N x1 n1 2 …2 xmnm
.x n = N
 xk
k=1


Exemplo 5: Num determinado momento um indivíduo investiu
10.000 € numa aplicação financeira e manteve esse investimento
durante 3 anos, ao longo dos quais obteve diferentes taxas de
rentabilidade anuais, conforme exposto no quadro seguinte:


Pretende calcular-se qual foi a taxa média anual de rentabilidade
que o indivíduo obteve, durante os 3 anos, com este investimento.


A média harmónica ( Mh ) é o inverso da média aritmética dos
inversos dos valores observados.

Fórmulas de cálculo
1
Dados Não Classificados : Mh =
1 N 1
N  xk
.
k=1

1 1
Dados Classificados : Mh = 1 m
= m
ni
. 
fi
N xi xi
i =1 i =1

Exemplo 6: Em cada um de 3 anos, um indivíduo gastou 1000 € na
compra de um certo produto, nas condições descritas no quadro
seguinte:

Pretende calcular-se as médias por ano de cada uma das grandezas
envolvidas nesta questão: Gasto, Quantidade comprada e Preço.


A mediana (Me) é o valor da variável que ocupa a posição central
na sucessão de observações ou na distribuição de frequências
depois de se colocar os dados por ordem.

Para observações de variável discreta, temos de verificar
previamente se a quantidade de observações é par ou ímpar:

* Se N for ímpar, então: Me será o elemento central de ordem [(N+1) / 2]

* Se N for par, então: Me será a média aritmética entre os elementos
centrais (de ordem N/2 e de [(N+2)/2] )


Porém, dado que já aprendemos a representar distribuições
de frequências de variável discreta, também podemos apurar o valor
da mediana com recurso às respectivas funções cumulativas de
frequências acumuladas.

No caso de variável discreta, o valor da mediana será o valor
da variável que satisfaça simultaneamente as seguintes
desigualdades:
F(Me – ε ) ≤ 0,5 F(Me) ≥ 0,5


Exemplo 7: Cálculo da Mediana (variável discreta)
Freq. Relativa
Distribuição de Frequências de acidentes Acum.
sofridos por 50 motoristas 1

0,92

0,70

0,40

0 1 2 3 Quant. Acid.
Sofridos
Temos uma quantidade par de observações: 50
Para x = 1, vem:
Ordenando as 50 observações, verifica-se
que a 25ª. e a 26ª. observações têm o F(1 – ε ) = 0,4 e F(1) = 0,7
valor 1, pelo que Me = 1
Pelo que Me = 1


Para valores de variável contínua, agrupados em classes, o
cálculo da mediana faz-se do seguinte modo:

1.º - Calcula-se a ordem N/2.

2.º- Pelas frequências acumuladas identifica-se a classe que
contém a mediana e que será a classe mediana.

3.º - Calcula-se o valor exacto através de uma das seguintes
fórmulas:


Frequências absolutas

Frequências relativas

Com


Porém, dado que já aprendemos a representar distribuições
de frequências de variável contínua, também podemos apurar o
valor da mediana com recurso às respectivas funções cumulativas
de frequências acumuladas.

No caso de variável contínua, o valor da mediana será o valor
da variável que satisfaça a seguinte igualdade da função cumulativa
de frequências relativas:
F(Me) = 0,5


Exemplo 8:

Distribuição de Frequências dos comprimentos (em mm)
de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina Frequências Relativas Acumuladas

1,20

1,00

0,80

Frequências
0,60
C
0,40 B D
A E
0,20

0,00

00

00
20

40
60

80

0

0
0

0
0

0

0
0
0

,0

,2
,4

,6
,8

,0

,2

,4
,0
0,

9,
9,

9,

9,
9,
10

10
10

10

10
11

11
11
-1
Comprimentos (em mm)


Exemplo 9: Cálculo da Mediana (variável contínua)

C
0,50
B D
A E

1.º N/2 = 25
2.º A classe mediana é a de [55 – 65[

3.º Fórmula 1:

Fórmula 2:


A moda (Mo) é a modalidade ou o valor do atributo mais frequente
na distribuição, isto é, o que mais observações apresenta.

Para distribuições de frequências de atributo qualitativo, ou
de atributo quantitativo de variável discreta, a moda encontra-se
por observação directa !

Para variáveis contínuas, é necessário identificar a classe
modal e depois aplicar alguma fórmula, como por exemplo, a
fórmula de King:


Frequências absolutas

Frequências relativas

Com


Outra fórmula empírica de localizar a moda (Mo) a partir da
identificação da classe modal, baseia-se na relação de
proporcionalidade de dois triângulos, conforme exemplificado na
imagem seguinte: nMo D F AB DE
=
BC FG
A B C

nMo-1 E com
AB = Mo - liMo

nMo+1 G BC = LiMo - Mo

DE = nMo – nMo-1
FG = nMo – nMo+1
Mo
liMo LiMo

Classe
Modal


O apuramento do valor da moda pela fórmula de
King ou pela proporcionalidade dos triângulos
desenhados no interior da classe modal não tem que
dar exactamente o mesmo resultado, mas dá resultados
aproximados!


Exemplo 10: Classes ni Ni fi Fi

35 - 45 5 5 0,10 0,10
45 - 55 10 15 0,20 0,30
55 - 65 16 31 0,32 0,62
65 - 75 12 43 0,24 0,86
75 - 85 4 47 0,08 0,94
85 - 95 3 50 0,06 1,00

Cálculo da Moda 50 1

Fórmula de King: Proporcionalidade dos triângulos:

0,6 Mo - 55
1.º Classe modal é a de [55 – 65[ =
0,4 65 - Mo
2.ºFórmula 1:

Fórmula 2: Mo = 61


Estatística Descritiva - parte 1 (ISMT)

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