ELE2611 Classe 2 - Compléments sur les circuits dynamiques linéaires

Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 2 - Compl´ements sur les circuits dynamiques lin´eaires
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/35

Introduction
Plan pour ce cours
Représentations des quadripôles
Analyse de circuits linéaires et stationnaires contenants des A.O. idéaux
Compléments sur le régime permanent sinuso¨ıdal
Systèmes linéaires en régime permanent sinusoidal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, impédances complexes
Retour sur la réponse fréquentielle

Introduction
Plan pour ce cours

Introduction
Représentations d’un dipôle
I Pour un dipôle linéaire et stationnaire, on a 2 représentations (Notation :
Z(s) : impédance (opérationnelle), Y (s) : admittance (opérationnelle))
V (s) = Z(s)I(s) + Vco(s) (Théorème de Thévenin)
ou I(s) = Y (s)V (s) + Icc (s) (Théorème de Norton)
avec Z(s) =
1
Y (s)
✓
N.B. : Z(s) fn rationnelle réelle. Z(s) =
Vco(s)
Icc (s)
◆
=
+
Z(s)
reste du
circuitVco(s)
I(s)
+
-
V(s)
reste du
circuit
I(s)
+
-
V(s)
Y(s)
Icc(s)
Equivalent Thévenin
(I variable indépendante)
Equivalent Norton
(V variable indépendante)
Dipôle linéaire
et stationnaire
Dipôle linéaire
et stationnaire
I En particulier, si le dipôle ne contient pas de source indépendante, on a les
deux représentations suivante, selon que l’on choisi la variable i our v
comme indépendante (i.e., “excitatrice”, à droite de l’équation)
V (s) = Z(s)I(s) ou I(s) = Y (s)V (s)

Introduction
Représentations d’un quadripôle
i1
i1
i2
i2
+ +
- -
v1 v2
Port
1
Port
2
i1
i1
i2
i2
+ +
- -
v1 v2
Ex: transistor bipolaireun quadripôle
I Pour un quadripôle, on a 4 variables V1, I1, V2, I2. Deux peuvent être
choisies comme indépendantes, deux dépendantes, ce qui donne 4
2
= 6
représentations possibles
I Bien que l’on puisse écrire un équivalent des théorèmes de Thévenin ou
Norton, on rencontrera seulement des quadripôles ne contenant pas de
source indépendante : filtres, convertisseurs d’impédance, inductances
mutuelles, transistors, . . . Les quadripôles actifs peuvent toutefois avoir des
sources dépendantes (dues aux AO, transistors, . . . )
I N.B. : En fait, on ne perd pas en généralité car on peut toujours “sortir”
les sources indépendantes du quadripôle
I N.B. : Il y a des quadripôles pour lesquels certains choix de variables
indépendantes ne sont pas admissibles

Introduction
Représentations d’un dipôle (suite)
I Les 6 représentations des quadripôles sans source dépendante sont
V(s) = Z(s)I(s) (I1, I2 var. ind., )

V1
V2
=

z11 z12
z21 z22

I1
I2
Z(s) : matrice d’impédance

V1
I2
=

h11 h12
h21 h22

I1
V2
H(s) : paramètres hybrides

V1
I1
=

A B
C D

V2
I2
T(s) : Paramètres ABCD,
de ligne, ou de transfert
I(s) = Y (s)V(s) (V1, V2 var. ind., )

I1
I2
=

y11 y12
y21 y22

V1
V2
Y (s) : matrice d’admittance

I1
V2
=

g11 g12
g21 g22

V1
I2
G(s) : paramètres hybrides 2

V2
I2
=

E F
G H

V1
I1
T’(s) : matrice de transfert
I Le choix d’une représentation se fait en fonction du problème à résoudre
I N.B. : Représentation la plus générale : MV + NI = 0
I En micro-ondes, on utilise plutôt les paramètres de dispersion (scattering)

Introduction
Circuits équivalents des quadripôles
I Les paramètres précédents correspondent directement à di↵érents circuits
équivalents représentant un quadripôle
I Exemples :
z22
z21 I1=
+
+
-
V1
I1
z11
=
+
z12 I2
+
-
V2
I2
Paramètres z (impédances de circuit ouvert)
+
-
V1
I1
y11
y12 V2
y21 V1
y22
I2
+
-
V2
Paramètres y (admittances de court-circuit)
+
-
V1
I1
h11
=
+
h12 V2
h21 I1
h22
I2
+
-
V2
Paramètres h
+
-
V1
I1
g11
g12 I2
g22
g21 V1=
+
+
-
V2
I2
Paramètres g
I Ex : lien modèle amplificateur de tension (cours 1) et paramètres z ?

Introduction
Calcul des paramètres
I Calcul des paramètres en activant une variable indépendante à la fois

V1
I1
=

A B
C D

V2
I2
) V1 = AV2 BI2
)A =
V1
V2
|I2=0 (circuit ouvert),
B =
V1
I2
|V2=0 (court circuit),
C =
I1
V2
|I2=0, D =
I1
I2
|V2=0
) A =
ZL + ZC
ZC
= 1 + LCs2
, B = Ls,
C = Cs, D = 1.
Exemple
L
C
I1 I2
V1 V2
+
-
+
-
I Une fois les paramètres d’une représentation obtenus, il existe des formules
permettant de passer d’une représentation à l’autre

Introduction
Conversion entre les param`etres
[Svoboda et Dorf, chapitre 17]

Introduction
Application : paramètres hybrides d’un transistor bipolaire
+
-
V1
I1
hie
=
+
hre V2
hfe I1
hoe
I2
+
-
V2
I1 I2
+
-
V2
+
-
V1
h11 = hie =
V1
I1
|V2=0 : impédance d’entrée (de court-circuit)
h12 = hre =
V1
V2
|I2=0 : rapport inverse de tension
h21 = hfe =
I2
I1
|V2=0 : gain de courant
h22 = hoe =
I2
V2
|I1=0 : admittance de sortie (de circuit ouvert)

Introduction
Réciprocité
quadripôle
réciproque
=
+
+
-
Ve
quadripôle
réciproque
=
+
+
-
Is Is
Ve
I Un quadripôle est réciproque si le courant de court-circuit au port 2
résultant de la présence d’une source de tension idéale au port 1 est le
même que le courant présent au port 1 si la source est placée au port 2
I Echanger sources de tensions par sources de courant et ampèremètre par
voltmètre (circuit ouvert) donne une définite équivalente
I Théorème de réciprocité : un quadripôle ne contenant que des résistances,
condensateurs, bobines, bobines couplées, et transformateurs idéaux (les
deux derniers types d’éléments seront introduits dans ELE2611) est
réciproque
I N.B. : ce n’est valable que pour la réponse avec conditions initialles nulles,
ou bien la réponse en régime permanent sinuso¨ıdal

Introduction
Paramètres d’un quadripôle réciproque
I Reformulation équivalente de la réciprocité
y21 = y12
✓
car y21 =
I2
V1
|V2=0, y12 =
I1
V2
|V1=0
◆
I Propriétés équivalentes pour les autres représentations (ex : utiliser la table
du transparent 9, ou par calcul direct)
z21 = z12,
h12 = h21, g12 = g21,
det(T) = det(T0
) = 1
I Ainsi, par le théorème de réciprocité, ces contraintes sont donc vérifiées
par exemple par les paramètres d’un filtre passif R, L, C

Introduction
Expression de l’impédance d’entrée
ZL
+
-
IE
VE
+
-
V2
I2
I A partir de certains paramètres, on peut exprimer facilement l’impédance
d’entrée

VE
V2
=

z11 z12
z21 z22

IE
I2
, et V2 = ZLI2 ) ZE =
VE
IE
= z11
z12z21
z22 + ZL
ou encore

VE
IE
=

A B
C D

V2
I2
, et V2 = ZLI2 ) ZE =
VE
IE
=
AZL + B
CZL + D

Introduction
Expression de l’impédance de sortie
ZG
+
-
VS
IS
+
-
V1
I1
I A partir de certains paramètres, on peut exprimer facilement l’impédance
de sortie

V1
VS
=

z11 z12
z21 z22

I1
IS
, et V1 = ZG I1 ) ZS =
VS
IS
= z22
z12z21
z11 + ZG
ou encore

V1
I1
=

A B
C D

VS
IS
, et V1 = ZG I1 ) ZS =
VS
IS
=
DZG + B
CZG + A

Introduction
Matrices de transfert et quadripôles en cascade
T'1 T'2
+
-
V1
I1
I2
+
-
V2
+
-
V3
I3
+
-
V4
I4

V2
I2
= T0
1

V1
I1
,

V4
I4
= T0
2

V3
I3
= T0
2

V2
I2
= T0
2T0
1

V1
I1
I Les matrices de transfert T0
permettent de calculer rapidement le dipôle
équivalent à plusieurs dipôles mis en cascade, par produit de matrices
I Lors d’une mise en cascade du quadripôle T0
1 puis T0
2, le quadripôle
résultant a pour matrice de transfert T0
= T0
2T0
1
I Attention à l’ordre de la multiplication : on applique T0
1 d’abord, comme
pour la composition de fonctions
I N.B. : cette propriété justifie l’utilisation de I comme variable
indépendante dans la représentation par matrice de transfert
I En conclusion, di↵érents types de paramètres ont donc di↵érentes utilités

Introduction
Plan pour ce cours

Introduction
Principe de l’analyse
I Le modèle idéal de l’A.O. suppose une bande passante infinie, i.e., le
modèle statique du cours 1 est valide quelle que soit la fréquence (en
réalité, le gain en boucle ouverte des A.O. commence rapidement à
décroitre avec la fréquence, voir cours 6)
I Ainsi, la technique d’analyse basée sur le court-circuit virtuel vue au cours
1 est inchangée pour les circuits dynamiques linéaires et stationnaires, en
rempla¸cant la notion de résistance par celle d’impédance (opérationnelle)
I Exemple : par la même analyse que pour l’amplificateur inverseur, on
obtient la fonction de transfert du circuit suivant
-
+
=
+ Vo(s)
Z2(s)
Z1(s)
Vi(s)
LKC :
Vi
Z1
=
Vo
Z2
)
Vo(s)
Vi (s)
=
Z2(s)
Z1(s)

Introduction
Exemple : Intégrateur et Dérivateur
I Une application immédiate du montage précédent donne deux circuits de
base (donc à savoir reconnaitre immédiatement)
I En changeant la résistance de rétroaction de l’amplificateur inverseur par
un condensateur, on obtient un intégrateur (inverseur)
-
+
=
+vi
vo
C
R
Vo(s)
Vi (s)
=
1
RCs
! intégrateur
I En rempla¸cant à la place la résistance d’entrée, on obtient un dérivateur
(inverseur)
-
+
=
+vi
vo
C
R
Vo(s)
Vi (s)
= RCs ! dérivateur

Introduction
Réalisations de systèmes du premier ordre
=
+
C
R
vE -
+
=
+Vi Vo
R1
R2
C
I Circuit RC :
⌧ = RC,
VR
VE
=
s⌧
1 + s⌧
,
VC
VE
=
1
1 + s⌧
I Rappel : condensateur 1
jC!
! ouvert à DC (! = 0), court-circuit pour
! ! 1 ) anticiper la nature passe-bas ou passe-haut
I Passe-bas actif (inverseur, avec gain) :
Vo
Vi
=
R2 k 1
Cs
R1
=
R2
R1
1
1 + R2Cs

Introduction
Exemple : Gyrateur et simulation de bobine
G
+
-
v2
+
-
v1
i1 i2 I Un gyrateur est un quadripôle dont la
matrice d’admittance est la suivante

i1
i2
=

0 G
G 0

v1
v2
I Un gyrateur agit comme un inverseur d’impédance. En branchant une
impédance Z2 au port 2, l’impédance vue depuis le port 1 est
Z1 =
V1
I1
=
i2/G
GV2
=
1
G2
I2
V2
=
1
G2Z2
.
I Application : les bobines posent problèmes en fabrication de circuits
électroniques (taille, facteur de qualité) ! si possible on les simule (au
moins à fréquences pas trop élevées). Un gyrateur de conductance de
gyration G = 1/R et un condensateur Cs branché au port 2 donnent une
bobine Ls = R2
Cs vue par le port 1
I Possilité de réaliser des inductances L = R2C élevées
I Une classe de filtres actifs consiste à simuler les bobines des filtres passifs

Introduction
Réalisation d’un gyrateur
I Exercice : montrer que le circuit suivant implémente un gyrateur (les AO
sont supposés idéaux)
+
-
-
+
R RR1 R1
R1
R1
R
+
-
v1
+
-
v2
I N.B. : cette réalisation a deux terminaux mis à la terre ! ne permet de
simuler que des inductances avec une borne mise à la terre, pas flottante.

Introduction
Limites de cette analyse
I La méthode d’analyse présentée dans les diapositives précédentes suppose
donc le même modèle d’amplificateur opérationnel dont le gain est infini à
toutes les fréquences
I Comme on l’a déjà évoqué au cours 1, un amplificateur opérationnel agit
en réalité comme un passe-bas, avec un gain
A(s) =
!f
s + !0
.
I Il faudra tenir compte de cette fonction de transfert pour des analyses de
circuits impliquants des signaux de fréquences même modérées.
I Ex : pour le montage dérivateur précédent, utiliser ce modèle dynamique de
l’AO permet de voir que le gain de la fonction de transfert ne croˆıt pas
indéfiniment avec la fréquence
I En d’autres termes, les analyses précédentes ne sont valides qu’à
su samment basse fréquence (plage de fréquence variant selon les
caractéristiques de l’AO utilisé)

Introduction
Plan pour ce cours

Introduction
Rappels sur les nombres complexes
I Forme cart´esienne : z = x + jy (j2
= 1)
I Module : |z| =
p
x2 + y2 =
p
zz⇤
I Argument : z = Arg(z) = atan2(y, x)
I Forme polaire : |z|e jz
I Conjugu´e ou adjoint : z⇤
= x jy = |z|e jz
I Addition/soustraction :
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + j(y1 ± y2)
I Multiplication : z1z2 = |z1||z2|ez1+z2
I Division : z1
z2
= |z1|
|z2|
ez1 z2
(z2 6= 0)
I Relation d’Euler :
cos ✓ =
ej✓
+ e j✓
2
, sin ✓ =
ej✓
e j✓
2j
Re[z]
Im[z]
|z|
⦣z
z
x
y

Introduction
Réponse d’un système linéaire à une entrée sinuso¨ıdale
G(s)
xe(t) = ej t
xs(t) = G(j )ej t
+ xtrans(t)
réponse restante en
régime permanent
excitation sinusoïdale
réponse transitoire
oscillations à la même
fréquence que l'entrée
système
linéaire
stable
0
I G(s) fonction de transfert stable (pôles strictement à gauche du plan s).
I Réponse à une entrée sinuso¨ıdale (complexe) :
entrée : xe (t) = ej!t
$ Xe (s) =
1
s j!
Xs (s) =
G(s)
s j!
=
A
s j!
+ . . .
! A = G(j!) (par développement en fractions partielles)
sortie : xs (t) = G(j!)ej!t
+ . . .
I Les termes omis sont des transitoires associés aux pôles stables de G )
disparaissent en régime permanent (quand t ! 1), plus ou moins vite
suivant la position des pôles de G

Introduction
Régime permanent sinuso¨ıdal
G(s)
xe(t) = ej t
xs(t) = G(j )ej t
+ xtrans(t)
réponse restante en
régime permanent
excitation sinusoïdale
réponse transitoire
oscillations à la même
fréquence que l'entrée
système
linéaire
stable
0
G(j!) = |G(j!)|ejG(j!)
, M(!) := |G(j!)|, (!) = G(j!)
I En prenant la partie réelle
Réponse en régime permanent sinuso¨ıdal (R.P.S.)
La réponse en régime permanent du système linéaire G(s) à xe (t) = X0 cos(!t)
est xs (t) = X0M(!) cos(!t + (!))
I La réponse en R.P. est aussi sinusoidale et de même fréquence
I L’amplitude est multipliée par le gain M(!) = |G(j!)|
I La phase de la sortie est celle de l’entrée plus (!) = Arg G(j!) = G(j!)
(généralement (!)  0)

Introduction
Phaseurs
I En R.P.S., fixons la phase d’un signal comme référence (phase 0). Par
exemple prenons une source u(t) = U0 cos(!t) (ou u(t) = U0 sin(!t)). Il
est plus simple d’utiliser la notation complexe u(t) = U0ej!t
, puis de
prendre la partie réelle (ou imaginaire). En R.P.S., tous les signaux dans le
circuit oscillent à la même fréquence !, et sont de la forme
y(t) = |G(j!)|U0ej(!t+G(j!))
, où G est la fonction de transfert u ! y.
I Il est inutile de garder le terme ej!t
qui apparaˆıt dans tous les signaux en
R.P.S. Pour un signal s(t) = Aej(!t+ )
(vecteur tournant à la fréquence !
dans le plan complexe), on défini son phaseur, le nombre complexe
S = Aej
(autre notation : S = A ),
qui résume son amplitude A = |S|, et sa phase (relative à la référence)
= S.
I Ex : si le phaseur d’un signal u(t) est U, alors le phaseur du signal
Y (s) = G(s)U(s) est simplement Y = G(j!)U = |U||G(j!)|ej(U+G(j!))
.
I Les phaseurs dépendent généralement de la fréquence !, on écrira donc
souvent S(j!) ou S(!) pour A(!)ej (!)
.

Introduction
Utilisation des phaseurs pour les calculs en R.P. sinuso¨ıdal
I Récapitulatif : pour un circuit linéaire stable excité par une entrée u(t)
sinuso¨ıdale, la réponse y(t) est de la forme
y(t) = ytransitoire (t) + yr.p.(t),
avec yr.p.(t) oscillant à la même fréquence que u. Si on ne s’intéresse qu’au
régime permanent (système su samment stable ! termes transitoires
disparaissent rapidement), il su t de connaˆıtre le phaseur Y de yr.p.(t).
I Pour le calcul des phaseurs de R.P.S., comme pour l’analyse par la
fonction de transfert avec C.I. nulles, on définit des impédances complexes
Z(j!) = V/I pour chaque composant (remplacer juste s par j!)
Z(j ) = 1/jCZ(j ) = R Z(j ) = jL
I Ces impédances complexes permettent de calculer les phaseurs (ainsi que
la réponse en fréquence G(j!)) comme s’il s’agissait d’un circuit résistif
Y (s) = G(s)U(s) )
Y (j!)
U(j!)
= G(j!) =
Y(j!)ej!t
U(j!)ej!t
) Y(j!) = G(j!)U(j!)

Introduction
Terminologie pour les impédances complexes et opérationnelles
I Impédance Z = Re(Z)
| {z }
résistance
+j Im(Z)
| {z }
réactance
= R + jX.
I Admittance Y = Z 1
= Re(Y )
| {z }
conductance
+j Im(Y )
| {z }
susceptance
= G + jB.
I Relations :
Y =
1
Z
=
Z⇤
|Z|2
) G =
R
R2 + X2
, B =
X
R2 + X2
Z =
1
Y
=
Y ⇤
|Y |2
) R =
G
G2 + B2
, X =
B
G2 + B2
.
I La terminologie et les notions et théorèmes introduits pour les circuits
résistifs (résistance d’entrée, de sortie, théorème de Thévenin, Norton,
etc.) se généralisent aux impédances opérationnelles et complexes. Par
exemple : notions d’impédances d’entrée et de sortie (qui varie avec la
fréquence)
I Les impédances complexes capturent le changement de comportement
d’un circuit dynamique en fonction de la fréquence d’excitation

Introduction
Exemple : Circuit RLC
R
jLω
1/jCω
Vin
Vout
+
-
+
-
10 Ω
j 10 Ω
- j 20 Ω
+
-
+
-
Vout?
20
Vin(t) = 2 cos (1000 t)
ω = 1000 rad/s
R = 10 Ω
L=10 mH
C=50 μF
I Calcul du phaseur Vout (à ! = 1000 rad/s)
Diviseur de tension : Vout = 2
j20
10 + 10j 20j
=
4j
1 j
= 2
p
2 45
I N.B. : réponse en fréquence
Vout (!)
Vin(!)
=
1/jC!
1/jC! + jL! + R
=
1
LC!2 + jRC! + 1
=
!2
0
!2 + j2⇣!0! + !2
0
, !0 = , 2⇣ =
1
Q
= .

Introduction
Exemple : Circuit RLC
R
jLω
1/jCω
Vin
Vout
+
-
+
-
10 Ω
j 10 Ω
- j 20 Ω
+
-
+
-
Vout?
20
Vin(t) = 2 cos (1000 t)
ω = 1000 rad/s
R = 10 Ω
L=10 mH
C=50 μF
I Calcul du phaseur Vout (à ! = 1000 rad/s)
Diviseur de tension : Vout = 2
j20
10 + 10j 20j
=
4j
1 j
= 2
p
2 45
I N.B. : réponse en fréquence
Vout (!)
Vin(!)
=
1/jC!
1/jC! + jL! + R
=
1
LC!2 + jRC! + 1
=
!2
0
!2 + j2⇣!0! + !2
0
, !0 =
1
p
LC
, 2⇣ =
1
Q
= R
r
C
L
.

Introduction
Circuit en RPS avec AO idéal
I La présence d’un AO idéal ne change pas la méthode d’analyse par LKC +
court-circuit virtuel
I On peut utiliser directement les impédances complexes pour calculer les
phaseurs
I Exercice :
I calculer le rapport Vo/Vi pour le circuit suivant, d’abord en fonction des
paramètres et de !, puis avec R1 = 1 K⌦, R2 = 10 K⌦, C1 = C2 = 0.1 µF
et ! = 1000 rad/s
I Quelle est l’impédance d’entrée de ce circuit à 1000 rad/s pour les valeurs
de composants ci-dessus ?
=
+
-
+R1
C1
R2
C2
vo
vi

Introduction
Plan pour ce cours

Introduction
Réponse en fréquence (rappels de ELE1600A)
I Soit G un système linéaire et stationnaire stable
I {G(j!)}! 0 s’appelle la réponse fréquentielle du système. C’est G(s) pour
s = j! sur l’axe imaginaire (axe des fréquences).
I Une entrée quelconque xe (t) peut être décomposée en somme de
sinuso¨ıdes par l’analyse de Fourier
xe (t) =
1X
k= 1
ck e j 2⇡
T
kt
(série de Fourier, si xe T-périodique)
xe (t) =
Z 1
1
Xe (j!)e j!t
dt (transformée de Fourier, xe quelconque)
I En régime permanent, le système linéaire multiplie chaque composante
sinuso¨ıdale par un terme G(j!), dépendant de la fréquence.
I C’est ce qui permet le filtrage. Par exemple, on prend G(j!0) = 0 pour
supprimer la composante de fréquence !0 du signal d’entrée xe (t).

Introduction
Vision fréquentielle des systèmes
[S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd édition, p. 108]

Introduction
Diagrammes de Bode et spécification d’une fonction de transfert
I Un diagramme de Bode représente la réponse fréquentielle sur 2 graphes
I un pour |G(j!)| en décibels (|G(j!)|dB := 20 log10 |G(j!)|)
I un pour G(j!), typiquement en degrés
I Les graphes sont normalement l’un sous l’autre, les axes des abscisses sont
à l’échelle logarithmique
I Au terme de ELE1600A, vous devez maˆıtriser le tracé des diagrammes de
Bode de fonctions de transfert rationnelles quelconques
I En synthèse de circuit (ex : filtres), on part souvent d’un gabarit
fréquentiel, i.e, une spécification d’un diagramme de Bode désiré (ex :
pour atténuer certaines fréquences), et on doit construire un circuit dont
la fonction de transfert satisfait ce gabarit
I Comme introduction, nous ferons en classe des exercices où l’on cherche
une fonction de transfert en partant des données des asymptotes d’un
diagramme de Bode (quelques exercices de ce type ont déjà été fait dans
ELE1600A)

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