0
COEFICIENTES INDETERMINADOS -MÉTODO SUPERPOSICIÓN-<br />Por:<br /><ul><li> Xavier Jaramillo
 Pablo Torres
 Jorge Luis Veintimilla</li></li></ul><li>INTRODUCCIÓN<br />Para resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coefi...
 	Método del Anulador.</li></ul>El Método de Superposición nos permite determinar una función complementaria para así hall...
MÉTODO SUPERPOSICIÓN<br />Este método nos permite encontrar una solución particular Yp(x) para las ecuaciones diferenciale...
El método es aplicable también cuando la función:<br />Consiste de una suma y productos finitos de funciones polinomiales,...
2.<br />Al derivar una función exponencial, la función "casi no cambia". Si g(x) = eaxentonces<br />g'(x) —...
Casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g(x).<br />CASO 1.                      ...
O equivalentemente :<br />y comparando coeficientes obtenemos elsistema de ecuaciones :<br />Si c ≠ O de la primera ecuaci...
CASO 2.             g(x) = eaxPn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n.<br />Tenemos ahora la euación:<br />Son posib...
CASO 3.      g(x) = P(x)eaxCosβx + Q(x)eaxsenβ x, donde P(x) y Q(x) son polinomios.<br />Podemos examinar este caso en for...
Se concluye que las formas propuestas:<br />para la solución particular, también son válidas cuando P(x) = 0 o Q(x) = 0 y ...
EJEMPLO<br />Resolver<br />La solución general tiene la forma y = yc + yP, donde yc es la solución general de la ecuación ...
Próxima SlideShare
Cargando en...5
×

Coeficientes Indeterminados

9,561

Published on

Coeficientes Indeterminados - Método Superposición

Published in: Educación
0 comentarios
1 Me gusta
Estadísticas
Notas
  • Sea el primero en comentar

Sin descargas
reproducciones
reproducciones totales
9,561
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
0
Acciones
Compartido
0
Descargas
97
Comentarios
0
Me gusta
1
Insertados 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Coeficientes Indeterminados"

  1. 1. COEFICIENTES INDETERMINADOS -MÉTODO SUPERPOSICIÓN-<br />Por:<br /><ul><li> Xavier Jaramillo
  2. 2. Pablo Torres
  3. 3. Jorge Luis Veintimilla</li></li></ul><li>INTRODUCCIÓN<br />Para resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coeficientes indeterminados existen dos métodos de resolución:<br /><ul><li> Método de Superposición
  4. 4. Método del Anulador.</li></ul>El Método de Superposición nos permite determinar una función complementaria para así hallar la solución particular de una ecuación dada.<br />
  5. 5. MÉTODO SUPERPOSICIÓN<br />Este método nos permite encontrar una solución particular Yp(x) para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma:<br />donde a, b, c son constantes y<br />
  6. 6. El método es aplicable también cuando la función:<br />Consiste de una suma y productos finitos de funciones polinomiales, exponenciales, trigonométricas. Así mismo, pueden considerarse ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes de orden superior.<br />El enfoque del método de coeficientes indeterminados se basa en tres principios de derivación de funciones :<br />1.<br />Cuando derivamos un polinomio, el grado de éste disminuye en uno.<br />Si g(x) = bkxk+bk-1xk-1 +…..+b1X+bQ entonces g‘(x) = kbkxk-1 + (k-1)bk-1xk-2 +…… + b1. <br />Evidentemente si derivamos dos veces p, su grado disminuye en dos.<br />
  7. 7. 2.<br />Al derivar una función exponencial, la función &quot;casi no cambia&quot;. Si g(x) = eaxentonces<br />g&apos;(x) — aeax — ag(x). <br />La derivada es casi la función g (salvo por la constante multiplicativa a). <br />3.<br />Si derivamos g{x) = senmx pasamos al coseno: g&apos;{x) = m cosmx.<br />Si derivamos g{x) = cosmx pasamos al seno: g&apos;{x) = —m senmx.<br />Si derivamos dos veces g{x) = senmx regresamos casi a g(x), g&quot;(x) =-m2 senmx.<br />Si derivamos dos veces g(x) = cosmx regresamos casi a g(x), g&quot;{x) = -m2cosmx.<br />Una solución particular tendrá la misma forma que g(x), excepto cuando g es una solución de la ecuación homogénea.<br />En esencia, el método consiste en proponer una solución particular que contenga uno o más coeficientes desconocidos. Entonces sustituimos esta solución propuesta en la ecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la función efectivamente satisfaga la ecuación.<br />
  8. 8. Casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g(x).<br />CASO 1. g(x) = Pn(x) = anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0. <br />En este caso la ecuación diferencial toma la forma:<br />Proponemos una solución particular de la forma:<br />Sustituyendo yp, y&apos;p y y´´p en<br />Resulta:<br />
  9. 9. O equivalentemente :<br />y comparando coeficientes obtenemos elsistema de ecuaciones :<br />Si c ≠ O de la primera ecuación determinamos An y de las restantes los demás coeficientes.<br />Si c =0 pero b≠0, el polinomio en el miembro izquierdo es de grado n — 1 y dicha ecuación no puede satisfacerse. Así que si c = 0 proponemos:<br />y procedemos como antes para determinar An, An-1 , . . . , A0. Nótese además que si c = 0<br />una constante es solución de la ecuación diferencial homogénea.Si tanto b = 0 como c = 0 (1 y x son soluciones de la homogénea), se propone: <br />aunque ahora la ecuación diferencial puede integrarse directamente.<br />
  10. 10. CASO 2. g(x) = eaxPn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n.<br />Tenemos ahora la euación:<br />Son posibles los siguientes subcasos.<br />a) a no es una raíz de la ecuación auxiliar<br />En este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma:<br />En efecto, introduciendo yp, y&apos;v y y^ en:<br />y dividiendo por eax se sigue que:<br />Ya que grado (Qn(x)) = n, grado(Qn´(x)) = n - l y grado(Qn´´(x)) = n - 2, los polinomios en ambos miembros son de grado n. Igualando los coeficientes de las mismas potencias de x se obtiene un sistema de n+1 ecuaciones que determina los valores de: <br />An, A n-1, . . . , A0.<br />
  11. 11. CASO 3. g(x) = P(x)eaxCosβx + Q(x)eaxsenβ x, donde P(x) y Q(x) son polinomios.<br />Podemos examinar este caso en forma análoga al caso II, usando que:<br />por lo cual :<br />Y considerando de manera independiente las partes real e imaginaria, podemos hallar soluciones que no contengan números complejos de la siguiente forma:<br />a) Si α + i β no es raíz de la ecuación auxiliar, buscamos una solución particular de la forma:<br />donde u(x) y v{x) son polinomios cuyo grado es igual al mayor de los grados de P(x) y Q(x).<br />b) Si α + i β es raíz de la ecuación auxiliar, hacemos:<br />
  12. 12. Se concluye que las formas propuestas:<br />para la solución particular, también son válidas cuando P(x) = 0 o Q(x) = 0 y en el caso particularcuando a = 0 o b = 0.<br />
  13. 13. EJEMPLO<br />Resolver<br />La solución general tiene la forma y = yc + yP, donde yc es la solución general de la ecuación homogénea.<br />y yp es una solución particular de<br />La ecuación auxiliar es:<br /> m2 + 3m + 2 = 0, cuyas raíces son m = -1 y m 2 = - 2<br />Por otra parte, proponemos una solución particular de la forma:<br />
  14. 14. Ya que el lado derecho es un polinomio de grado 2 y 0 no es raíz característica. Tenemos que y&apos;p= B + 2Ax, y&apos;‘p = 2Ay. Sustituyendo, resulta:<br />Comparando coeficientes en la última igualdad obtenemos el sistema de ecuaciones lineales:<br />Así que:<br />Y la solución general es:<br />
  15. 15. BIBLIOGRAFÍA<br /><ul><li>SIMMONS, George, KRANTZ, Steven, “Ecuaciones Diferenciales”, McGrawHill, 2007
  16. 16. EDWARDS, Jr, PENNEY, David, “Ecuaciones Diferenciales Elementales con Aplicaciones”, PRENTICE – HALL, Mexico.
  17. 17. TRENCH, William, “Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera”, THOMSON, México, 2002</li></ul>ENLACES WEB<br /><ul><li> http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliacion/ficheros/edo_3.pdf
  18. 18. http://www.buenastareas.com/ensayos/Coeficientes-Indeterminados/22690.html</li>
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×