Ecuación diferEcuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIencial de b y r mat ii

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI Y RICCATI
ÁREA:
MATEMÁTICA II
ALUMNOS:
- ESPEJO RODRÍGUEZ Luis Antonio 122.0904.392
- SILVA CARRANZA Ana Virginia 122.0904.378
- CALLER DEPAZ Ruth Andrea 122.0904.359
- MEDINA MAGUIÑA Marco Antonio 122.0904.366
FACULTAD:
INGENIERÍA CIVIL
CICLO:
2013-II
PERÚ-HUARAZ
2014

2. ÍNDICE:
 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
- Definición
- Métodos de solución
- Ejercicios resueltos
 ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICCOTI
- Definición
- Integración
- Ejercicios resueltos
 BIBLIOGRAFÍA
 WEBGRAFÍA

3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal. Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli
Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal.
TEOREMA
La ecuación de Bernoulli
(1.12)
se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .
Demostración:
Al dividir la ecuación (1.12) por 푦푛, resulta
(1.13)
Usando la regla de la cadena, calculemos y’ a partir de la sustitución u= 푦1−푛
Sustituyendo en la ecuación (1.13), esta se transforma en 11−푛 푑푢 푑푥 +푃(푥)푢=푄(푥) 푑푢 푑푥 +(1−푛)푃(푥)푢=푄(푥)(1−푛)

4. La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
Luego se procede a resolver la ecuación lineal de primer orden por el método de factor integrando 휇(푥)=푒∫(1−푛)푃(푥)푑푥
Y se obtiene que 푦= 1−푛 휇(푥) ∫푄(푥)휇(푥)푑푥
Demostración:
Al reducir una ecuación de Bernoulli se obtiene una ecuación lineal de la forma 푑푦 푑푥 +(1−푛)푃(푥)푦=푄(푥)(1−푛)
Multiplicamos la ecuación por 휇(푥)=푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥 푒∫(1−푛)푃(푥)푑푥푑푦 푑푥 +푃(푥)푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푦=푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푄(푥)(1−푛) 푑[푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푦] 푑푥 =푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푄(푥)(1−푛)
Integrando la ecuación obtenemos 푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푦=(1−푛)∫푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푄(푥)푑푥
푦= 1−푛 푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥 ∫푒(1−푛)∫푃(푥)푑푥푄(푥)푑푥 푦= 1−푛 휇(푥) ∫휇(푥)푄(푥)푑푥
Ejemplo:
Resolver 2푥3푦′=푦(푦2+3푥2)
i) Llevamos la ecuación a la forma de Bernoulli
2푥3푦′=푦3+3푥2푦 2푥3푑푦 푑푥 −3푥2푦=푦3

5. Dividimos por 2푥3 푑푦 푑푥 − 3푥22푥3푦= 12푥3푦3 푑푦 푑푥 − 32푥 푦= 12푥3푦3
De donde obtenemos que 푃(푥)=− 32푥 ; 푄(푥)= 12푥3;푛=3
ii) Hacemos el cambio de variable 푢=푦1−푛=푦−2
Derivando obtenemos que 푑푢=−2푦−1푑푦 푑푢 푑푦 = 푑푢 푑푥 푑푥 푑푦 =−2푦−3 푑푢 푑푥 =−2푦−3푑푦 푑푥 푑푦 푑푥 =− 12 푦3푑푢 푑푥
Multiplicamos la ecuación por 푦−3 푦−3 푑푦 푑푥 − 32푥 푦−2 = 12푥3
Reemplazando (u) 푦−3 (− 12 푦3푑푢 푑푥 )− 32푥 푢 = 12푥3 (− 12) 푑푢 푑푥 − 32푥 푢 = 12푥3
Multiplicando por (-2) 푑푢 푑푥 +3푥−1 푢 =−푥−3 푃(푥)=3푥−1; 푄(푥)=−푥−3
iii) Al obtener una ecuación diferencial lineal la resolvemos mediante el método de factor integrante
휇(푥)=푒∫푃(푥)푑푥=푒∫3푥−1푑푥=푒3퐿푛푥=푒퐿푛푥3=푥3
Luego usando la fórmula 푢= 1 휇(푥) ∫휇(푥)푄(푥)푑푥
Obtenemos 푢= 1 푥3∫푥3(−푥−3)푑푥 푢= 1 푥3(−푥+푐)
Reemplazando 푢=푦−2 푦−2=−푥−2+푐푥−3

6. 푦 = √
1
−푥−2 + 푐푥−3
푦 = √
푥3
푐 − 푥
Ejemplo:
Resuelva la ecuación 푦3
Solución
Ésta es una ecuación de Bernoulli con 푛 = 3, P(x)=-5y .Q(x)= -
5푥
2
Para resolverla primero
dividamos por 푦3
Ahora efectuemos la transformación u=푦−2. Puesto que
푑푢
푑푥
= −2푦
푑푦
푑푥
, la ecuación se
transforma en
Simplificando obtenemos la ecuación lineal
Cuya solución es
y al sustituir u=푦−2se obtiene la solución de la ecuación original
Observación: en esta solución no está incluida la solución y=0, que se perdió durante el
proceso de dividir por 푦3. Es decir, se trata de una solución singular.

7. Ejemplo:
Resolver 8푥푦′−푦= 푦3√푥+1
En la forma de Bernoulli 푦′− 푦 8푥 = 푦38푥√푥+1 푛=3;푃(푥)=− 18푥 ;푄(푥)= 18푥√푥+1 휇=푦1−푛; 푦2= 1 휇 →2푦푦′=− 휇′ 휇2 8푥(− 휇′ 1√휇 .2.휇2)− 1√휇 = 1√휇3√푥+1 −4푥( 휇′ √휇3)− 1√휇 = 1√휇3√푥+1 −4푥휇′−휇= 1√푥+1 4푥휇′+휇=− 1√푥+1 휇′+휇( 14푥 )=− 14푥√푥+1
푦= 푒−∫푃(푥) 푑푥 √(1−푛)∫푄(푥).푒(1−푛)∫푃(푥) 푑푥푑푥+푐 푛−1 푦= 푒∫ 18푥 푑푥 √−2∫ 푒−2∫− 18푥 푑푥 8푥√푥+1 푑푥+푐 = 푥 18√− 14∫ 푥 14 푥√푥+1 푑푥+푐
푦= 2푥 18√−∫ 푑푥 푥3/4√푥+1+푐

8. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI
DEFINICIÓN
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de RiccAti. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Golbach, Juan, Nicolás y Daniel Bernolli, y posteriormente, a Eule.
Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:
METODOS DE SOLUCIÓN
PRIMERA SOLUCION:
Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación de BERNOULLI para luego resolverla. Esta transformación se consigue mediante la sustitución:
Realizando operaciones

9. Agrupando términos
La cual corresponde a una ecuación de Bernoulli.
SEGUNDA SOLUCIÓN
Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación lineal para luego resolverla. Esta transformación se consigue mediante la sustitución:
Si 푦=휑(푥)+푧−1 entonces 푑푦 푑푥 =휑´(푥)−푧−2푑푧 푑푥 , reemplazando en la ecuación de Riccati, se tiene:
Realizando las operaciones

10. Agrupando términos
Pero como 휑´(푥) es una solución particular, se tiene que
Luego la ecuación se reduce
De donde
Que es la ecuación lineal a resolver.
EJERCICIOS:
Resolver 푦′= 2푐표푠2(푥)−푠푒푛2(푥)+푦22cos (푥) 푑푦 푑푥 = 2푐표푠2푥−푠푒푛2푥+푦22푐표푠푥 푦(표)=−1
푦=푠푒푛푥+ 1 푧 푧= 1 푦−푠푒푛푥 푦′=푐표푠푥− 푧′ 푧2

11.  Al sustituir en la ecuación
푐표푠푥− 푧′ 푧2= 2푐표푠2푥−푠푒푛2푥+(푠푒푛푥+ 1 푧 )22푐표푠푥
 Resolviendo
− 푧′ 푧2= 2푠푒푛푥( 1 푧 )+ 1 푧22푐표푠푥 = 푠푒푛푥 푐표푠푥 ( 1 푧 )+ 12푐표푠푥 ( 1 푧2)
 Por lo tanto
푧′=− 푠푒푛푥 푐표푠푥 (푧)− 12푐표푠푥 휇(푥)=푒∫ 푠푒푛푥 푐표푠푥=푒−ln (푐표푠푥)= 1 푐표푠푥 =푠푒푐푥
 Entonces
푧= − 12∫푠푒푐2푥푑푥+푐 휇(푥) =푐표푠푥(− 12 푡푎푛푥+푐) 푧=− 12 푠푒푛푥+푐 푐표푠푥
 Se va a la función principal
푦=푠푒푛푥+ 1− 12 푠푒푛푥+푐 푐표푠푥
 La condición lineal 푦(표)=−1 , implica 1 푐 =−1 o c=-1
 Por lo tanto
푦=푠푒푛푥+ 1− 12 푠푒푛푥−푐표푠푥
Resolver: 푦′=푐표푠푒푐2푥+푦푐표푡푥+푦2 푦=−푐표푡푥+푧 푦′=푐표푠푒푐2푥+푧′
 Reemplazando en la ecuación
푐표푠푒푐2푥+푧′=푐표푠푒푐2푥+(−푐표푡푥+푧)푐표푡푥+(−푐표푡푥+푧)2
 Resolviendo
푧′=−푐표푡2푥+푧푐표푡푥+푐표푡2푥+푧2−2푐푡푔푥(푧)
푧′=푧2−푐푡푔푥(푧) Ecuación de Bernoulli 푧+푐푡푔푥(푧)=푧2

12. 푧= 푒−∫푐푡푔푥 푑푥 (−1∫푒−∫푐푡푔푥 푑푥푑푥+푘)′ 푧= −푒−푙푛푠푒푛푥 ∫푒−푙푛푠푒푛푥푑푥+푘 = 1 푠푒푛푥 ( 1∫ 푑푥 푠푒푛푥 +퐾 ) 푧=푐표푠푒푐푥( 1ln(푐표푠푒푐푥−푐표푡푔푥)+푘 )
 Reemplazando
푦=−푐표푡푥+ 푐표푠푒푐푥 ln(푐표푠푒푐푥−푐표푡푔푥)+푘

13. BIBLIOGRAFÍA
 EDUARDO ESPINOZA R. “Análisis matemático IV”
 B. DEIDOVICH “Análisis matemático II”
WEBGRAFÍA
 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Riccati
 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_Bernoulli
 http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/2.PrimerOrden/ImpBernoulli.pdf
 http://jacobi.fis.ucm.es/metodos/Apuntes/edi-ag.pdf