An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
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Propiedad distributiva:
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10°ejercicios sumatorios

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10°ejercicios sumatorios

  1. 1. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS. El sumatorio (o sumatoria) es un operador matem´atico, representado por la letra griega sigma may´uscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un n´umero indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos. Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .) cuyos valores dependen de un ´ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ´ındice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. As´ı por ejemplo, 3 i=1 xi = x1 + x2 + x3 representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general, n i=1 xi = x1 + x2 + . . . + xn−1 + xn representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresi´on anterior se lee: “sumatorio de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”. El ´ındice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de n´umeros enteros, es decir, no tiene por- qu´e empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuaci´on casi siempre sea as´ı para simplificar la notaci´on). La ´unica condici´on que se tiene que cumplir es que el primer valor del ´ındice, el que aparece abajo, sea menor o igual que el ´ultimo valor del ´ındice, el que aparece arriba. Es decir, en la suma n i=k xi k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estar´ıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a 3, es decir, no estar´ıamos sumando nada, y la suma ser´ıa igual a cero. Si queremos sumar los valores de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer 5 i=3 xi. 1.1. Propiedades. El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple todas las propiedades de ´esta: Propiedad conmutativa: n i=1 (xi + yi) = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn = y1 + x1 + y2 + x2 + . . . + yn + xn = n i=1 (yi + xi) Propiedad asociativa: n i=1 (xi + yi) + n i=1 zi = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn + z1 + z2 + . . . + zn = x1 + x2 + . . . + xn + y1 + z1 + y2 + z2 + . . . + yn + zn = n i=1 xi + n i=1 (yi + zi) = n i=1 (xi + yi + zi) 1
  2. 2. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 Propiedad distributiva: a · n i=1 xi = a · (x1 + x2 + . . . + xn) = ax1 + ax2 + . . . + axn = n i=1 (axi), a ∈ R Otras propiedades: 1. El sumatorio de una constante (no depende de ning´un ´ındice) es igual a la constante mul- tiplicada por el n´umero de sumandos: n i=1 b = n veces b + b + . . . + b= nb, b ∈ R 2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1): n i=1 (axi + b) = n i=1 axi + n i=1 b = a n i=1 xi + nb, a, b ∈ R Nota: ¡¡¡a · n i=1 xi + nb = a · n i=1(xi + nb)!!! En un sumatorio, los sumandos vienen indicados por el primer s´ımbolo despu´es de Σ. Si cada sumando involucra m´as de un t´ermino, tendremos que escribir la expresi´on del sumando entre par´entesis. Por ejemplo: 3 i=1 i2 + 5 = 12 + 22 + 32 + 5 = 1 + 4 + 9 + 5 = 19, mientras que 3 i=1 (i2 + 5) = 12 + 5 + 22 + 5 + 32 + 5 = 1 + 5 + 4 + 5 + 9 + 5 = 29. 3. Los valores recorridos por el ´ındice se pueden separar en varios sumatorios: n i=1 xi = n0 i=1 xi + n i=n0+1 xi, n0 ≤ n En efecto: x1 + x2 + ... + xn = (x1 + x2 + ... + xn0 ) + (xn0+1 + . . . xn) Por ejemplo: 4 i=1 log(i) = log(1) + log(2) + log(3) + log(4) = (log(1) + log(2)) + (log(3) + log(4)) = 2 i=1 log(i) + 4 i=3 log(i) (aqu´ı n = 4 y n0 = 2). Nota: Todas las propiedades descritas son v´alidas independientemente del conjunto de valores que tome el ´ındice del sumatorio. Es decir, sin en vez de n i=1 tenemos n i=k, para cualquier valor de k ≤ n, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual. 2
  3. 3. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 1.1.1. Igualdades que NO cumplen los sumatorios. A continuaci´on se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios (y que constituyen errores muy habituales): 1. n i=1 xiyi = n i=1 xi n i=1 yi ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores de x multiplicados por su correspondiente valor de y: x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn, y en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos los valores de y: (x1+x2+. . .+xn)·(y1+y2+. . .+yn) = x1y1+x1y2+. . .+x1yn+x2y1+x2y2+. . .+x2yn+xny1+xny2+. . .+xnyn. 2. n i=1 x2 i = n i=1 xi 2 ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores de x elevados al cuadrado: x2 1 + x2 2 + . . . + x2 n, mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y luego estamos elevando toda la suma al cuadrado: (x1+x2+. . .+xn)2 = x2 1+x2 2+. . .+x2 n+2x1x2+2x1x3+. . .+2x1xn+2x2x3+. . .+2x2xn+. . .+2xn−1xn. 3. En general, si f : R −→ R es una funci´on no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones distintas de la suma y el producto por escalares), entonces n i=1 f(xi) = f n i=1 xi . Por ejemplo: 5 i=1 i3 = 5 i=1 i 3 10 n=1 ln(n) = ln 10 n=1 n 7 k=1 √ zk = 7 k=1 zk. 1.2. Sumatorios dobles (o triples, cu´adruples, etc.). Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos (o tres, cuatro, etc.) ´ındices utilizaremos un sumatorio doble (o triple, cu´adruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n × n A = (aij)i,j=1,...,n =            a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1n a21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2n a31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n ... ... ... ... ... ... ... a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n a(n−1),1 a(n−1),2 a(n−1),3 . . . a(n−1),(n−2) a(n−1),(n−1) a(n−1),n an1 an2 an,3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann            3
  4. 4. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 los elementos de A dependen de dos ´ındices: el ´ındice i que denota las filas y el ´ındice j que representa las columnas. As´ı, si queremos sumar todos los elementos de A, tendremos que sumar primero los elementos de cada fila, y luego sumar los n valores resultantes. Es decir, la suma de todos los elementos se puede escribir como: n i=1 n j=1 aij. En efecto, si desarrollamos primero el sumatorio en j y luego el sumatorio en i se obtiene lo siguiente: n i=1 n j=1 aij = n i=1 (ai1 + ai2 + . . . ain) = (a11 + ai2 + . . . a1n) + (a21 + a22 + . . . a2n) + . . . + (an1 + an2 + . . . ann). Nota: los ´ındices de los dos (o m´as) sumatorios no tienen porqu´e tomar los mismos valores. Por ejemplo, si s´olo quiero sumar los elementos de la matriz A que est´an por encima de la diagonal (en negrita) A = (aij)i,j=1,...,n =            a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1n a21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2n a31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n ... ... ... ... ... ... a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n a(n−1),1 a(n−1),2 a(n−1),3 . . . a(n−1),(n−2) a(n−1),(n−1) a(n−1),n an1 an2 an3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann            , en cada fila i tengo que considerar s´olo los elementos aij con j > i (´o j ≥ i + 1). Por lo tanto escribir´e: n i=1 n j=i+1 aij = n i=1 (ai,i+1 + ai,i+2 + . . . ain) = (a12 + ai3 + . . . a1n) + (a23 + a24 + . . . a2n) + . . . + +(a(n−2),(n−1) + a(n−2),n) + a(n−1),n. OJO: Cuando i es igual a n, la suma n j=i+1 aij no contiene ning´un sumando puesto que el ´ındice j tendr´ıa que ir desde n + 1 hasta n, lo cual no es posible. Esto s´olo quiere decir, que en la ´ultima fila, i = n, no tenemos ning´un elemento por encima de la diagonal. An´alogamente, la suma de los elementos por debajo de la diagonal se escribe: n i=1 i−1 j=1 aij. En este caso, para i = 1 la suma i−1 j=1 aij no contiene ning´un sumando puesto que el ´ındice j tendr´ıa que ir desde 1 hasta 0, lo cual no tiene sentido. Es decir, en la primera fila, i = 1, no hay elementos por debajo de la diagonal. La traza de A, o lo que es lo mismo, la suma de los elementos de la diagonal de A, se podr´ıa escribir como: n i=1 j=i aij, es decir, sumamos aquellos elementos para los cuales el n´umero de su fila y su columna coinciden. En este sumatorio doble, para cada valor de i el segundo ´ındice, j, toma un ´unico valor: j = i. En este caso, podemos prescindir de j y escribir la suma con un sumatorio simple de la siguiente manera: n i=1 aii. Nota: Si los ´ındices de los dos sumatorios i y j toman los mismos valores, se escribir los dos ´ındices en un ´unico s´ımbolo de sumatorio de la siguiente forma, n i,j=1, indicando que tanto i como j van desde 1 hasta n. As´ı, podemos escribir el doble sumatorio en forma compacta: n i=1 n j=1 aij = n i,j=1 aij. 4
  5. 5. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 1.2.1. Propiedades de los sumatorios dobles Propiedad conmutativa: n i=1 n j=1 (xij + yij) = n i=1 n j=1 (yij + xij) = n j=1 n i=1 (yij + xij) = n j=1 n i=1 (xij + yij) Propiedad asociativa: n i=1   n j=1 xij + n j=1 yij   = n i=1 n j=1 (xij + yij) Propiedad distributiva: a · n i=1 n j=1 xij = a · n i=1 (xi1 + xi2 + . . . + xin) = a · [(x11 + x12 + . . . + x1n) + . . . + (xn1 + xn2 + . . . + xnn)] = (ax11 + ax12 + . . . + ax1n) + . . . + (axn1 + axn2 + . . . + axnn) = n i=1 n j=1 axij, a ∈ R Otras propiedades: 1. El sumatorio doble de una constante (no depende de ning´un ´ındice) es igual a la constante multiplicada por el n´umero de sumandos al cuadrado: n i=1 n j=1 b = n i=1 ( n veces b + b + . . . + b) = n i=1 nb = ( n veces nb + nb + . . . + nb) = n · nb = n2 b, b ∈ R 2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1): n i=1 n j=1 (axij + b) = n i=1 n j=1 axij + n i=1 n j=1 b = a n i=1 n j=1 xij + n2 b, a, b ∈ R 3. Se verifica que n i=1 n j=1 xiyj = n i=1 xi   n j=1 yj  , ya que n i=1 n j=1 xiyj = n i=1 (xiy1 + xiy2 + . . . + xiyn) 5
  6. 6. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 = (x1y1 + x1y2 + . . . + x1yn) + (x2y1 + x2y2 + . . . + x2yn) + . . . + (xny1 + xny2 + . . . + xnyn) = (x1 + x2 + . . . + xn) · (y1 + y2 + . . . + yn). OJO: Esto se cumple porque x s´olo depende de i e y s´olo depende de j. Si ambas variables dependieran de ambos ´ındices, esto no ser´ıa cierto (ver desigualdad 1 m´as abajo). Nota: Todas las propiedades descritas son v´alidas independientemente de los conjuntos de valores que tomen los dos ´ındices del sumatorio. Es decir, sin en vez de n i=1 n j=1 tenemos n i=k m j=ℓ, para cualquier valor de k ≤ n, y cualquier valor de m y ℓ ≤ m, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual. 1.2.2. Igualdades que NO cumplen los sumatorios dobles. A continuaci´on se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios dobles (y que constituyen errores muy habituales): 1. n i=1 n j=1 xijyij =   n i=1 n j=1 xij     n i=1 n j=1 yij   ya que en el lado izquierdo de la desigualdad esta- mos sumando los valores de x multiplicados por sus correspondientes valores de y: x11y11 +x12y12 +. . .+x1ny1n +x21y21 +x21y22 +. . .+x2ny2n +. . .+xn1yn1 +xn2yn2 +. . .+xnnynn, pero en el lado derecho estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos los valores de y: (x11+x12+. . .+x1n+x21+x22+. . .+x2n+. . .+xn1+xn2+. . .+xnn)·(y11+y12+. . .+y1n+y21+y22+. . .+y2n+. . .+ 2. n i=1 n j=1 x2 ij =   n i=1 n j=1 xij   2 ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores de x elevados al cuadrado: x2 11 + x2 12 + . . . + x2 1n + . . . + x2 n1 + x2 n2 + . . . + x2 nn, mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y luego estamos elevando toda la suma al cuadrado: (x11 + x12 + . . . + x1n + . . . + xn1 + xn2 + . . . + xnn)2 , que involucra todos los t´erminos de la suma anterior y muchos m´as. 3. En general, si f : R −→ R es una funci´on no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones distintas de la suma y el producto por escalares), entonces n i=1 n j=1 f(xij) = f   n i=1 n j=1 xij   . Por ejemplo: 3 i=1 6 j=2 (i + j)3 =   3 i=1 6 j=2 (i + j)   3 6
  7. 7. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 10 n=1 3 k=1 ln(nk ) = ln 10 n=1 3 k=1 nk 10 ℓ=1 ℓ h=i 1 zℓh = 1 10 ℓ=1 ℓ h=i zℓh . 2. Ejemplos. Ejemplo 2.1 La suma de todos los n´umeros pares desde 1 hasta 100 se escribe: 50 i=1 2i. Ejemplo 2.2 La suma de todos los n´umeros impares desde 1 hasta 100 se escribe: 50 i=1 (2i − 1). Ejemplo 2.3 La suma de los 1000 primeros n´umeros se escribe: 1000 n=1 n, adem´as, podemos calcular cu´anto vale esta suma: 1000 n=1 n = 1001 · 1000 2 = 500500. En general, para cualquier n´umero natural n ∈ N se cumple: n i=1 i = (n + 1) · n 2 . Por ejemplo, para n = 1, 1 i=1 i = 1 y (n+1)·n 2 = 2·1 2 = 1. Para n = 2, 2 i=1 i = 1 + 2 = 3 y (n+1)·n 2 = 3·2 2 = 3. Comprueba la f´ormula para el resto de n´umeros naturales menores o iguales que 10. 3. Ejercicios. Ejercicio 3.1 Calcula las siguientes sumas: a) 5 i=1 i(i + 1) b) 3 n=0 2n c) 100 r=1 4r 7
  8. 8. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 d) 10 h=−3 (6h − 1) e) 4 z=2 log(z4 ) Ejercicio 3.2 Expresa con una frase el significado de las siguientes sumas: Ejemplo: 5 p=1 3p es la suma de todos los m´ultiplos de 3 desde el 3 hasta el 15. a) 10 s=1 s2 b) n q=1 xq n c) 49 ˜n=0 (2˜n + 1) Ejercicio 3.3 Expresa con un sumatorio las siguientes frases: a) La suma de los 10 primeros n´umeros pares. b) La suma de todos los m´ultiplos de 4 desde 36 hasta 80. c) La suma de la ra´ız cuadrada de los 20 primeros n´umeros impares. d) La suma de los cuadrados de todos los n´umeros naturales del 1 al 30. e) El producto escalar de los vectores (t1, t2, . . . , tm) y (w1, w2, . . . , wm). Ejercicio 3.4 La siguiente tabla recoge los valores de una variable f, indexada por dos ´ındices e y d: e d 1 2 3 1 -4 4 -8 2 1 9 12 3 6 -3 5 4 0 6 2 5 -2 7 0 Calcula: a) 5 e=1 3 d=1 fed b) 5 e=1 d<e fed c) 5 e=1 3 d=e fed 8
  9. 9. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013 d) 5 e=1 3 d=1 f2 ed e) 3 e=1 3 d=1 (3f2 ed − 28) f) 3 e=1 3 d=1 (2fed − 1)2 Ejercicio 3.5 La siguiente tabla recoge los valores de dos variables u y v medidas sobre 6 individuos: Individuo u v 1 -4 2 2 -1 6 3 5 3 4 0 1 5 -2 -4 6 1 1 Calcula: a) 6 a=1 6 b=1 uavb b) 6 a=1 3 b=1 (ua + vb) c) 3 a=1 6 b=a (ua + vb) d) 6 a=1 6 b=1 uava e) 6 a=1 6 b=1 (2u2 a + vb) f) 6 a=1 a b=1 (ua − vb) 9

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