1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tablas de Integrales TABLAS DE INTEGRALES 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.- 17.- 18.- 19.- 20.- 21.- 22.- 23.- 24.- 25.- 26.- 27.- 28.- 29.- 30.- 31.- INTEGRACIÓN POR PARTES: Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de la diferencial de un producto de funciones, tendremos: d(u·v) = u·dv + v·du u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en ambos miembros: u·dv = d(u·v) - v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por partes: . Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las reglas siguientes: INTEGRALES RACIONALES Son de la forma siendo polinomios de coeficientes reales y exponentes naturales. Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente: A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces: Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente: B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces: Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices. Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes: RAICES REALES SIMPLES ( RRS ). RAICES REALES MÚLTIPLES ( RRM ). RAICES IMAGINARIAS SIMPLES ( RIS ). RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES ( RIM ). Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar. RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0: x=-b±b2-4ac2a Para calcular los coeficientes A, B, C, ... se siguen los siguientes pasos: Descomposición de en suma de fracciones simples Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x). Se multiplican ambos miembros por Q(x). RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0: x=-b±b2-4ac2a Finalmente, quedará: RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 : x+an=k=0nnkxkan-k Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente: (x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 . Con lo cual, la 4, nos queda así: 32222222122222222I.......................................baxdxNdxbaxNIdxbaxa22MIdxbaxa2x22MdxbaxxMdxbaxMxbaxdxNMxx+an=k=0nnkxkan-k RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE: La descomposición de según HERMITE, es tal como sigue: Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz. 2) Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad). 3) Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto anteriormente. 4) Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir cómo hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su grado de multiplicidad). 5) El último término característico de esta descomposición de HERMITE es: La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno. A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador. Método de HERMITE 2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x. 3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x). 4) Se multiplican ambos miembros por Q(x), 5) Se calculan los coeficientes indeterminados. 6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial. INTEGRALES IRRACIONALES: 1. Si se efectua el cambio: . 2. Si x+an=k=0nnkxkan-k Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del número 14. INTEGRALES BINOMIAS: Son de la forma donde m, n, p Q. Pueden ocurrir los casos siguientes: 1. Si p Z De este modo se reduce el problema a una integral racional. 2. Si 3. Si INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS: Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes: 1. La función R(senx, cosx) es IMPAR en senx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir (senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente: La función R(senx, cosx) es IMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente: La función R(senx, cosx) es PAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera al sustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente: 4. La función R(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces, podemos realizar el cambio siguiente: PARA RECORDAR INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES: Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes: 1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio: Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio: Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace : Cuando (m+n) 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces: Reduciendo el exponente del seno: Reduciendo el exponente del coseno: Integración por partes Fracciones parciales Integración de funciones racionales Integración por sustitución Integración numérica