Esfuerzo y Deformación
Mex Meneses Jorge Elohin
Mérida, Yucatán a 25 de agosto de 2014
Mecánica de Materiales II
Grupo “B”...
1.1-INTRODUCCIÓN
En todas las áreas de la ingeniería siempre es necesario el diseño de elementos
estructurales que sean ca...
1.5- ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO
Tomando un elemento infinitesimal (con dimensiones 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 ) de un cuerpo que ...
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Esfuerzos y deformaciones

  1. 1. Esfuerzo y Deformación Mex Meneses Jorge Elohin Mérida, Yucatán a 25 de agosto de 2014 Mecánica de Materiales II Grupo “B” Ing. Eric Raygoza Luna Facultad de Ingeniería
  2. 2. 1.1-INTRODUCCIÓN En todas las áreas de la ingeniería siempre es necesario el diseño de elementos estructurales que sean capaces de operar bajo la acción de ciertas cargas o fuerzas ya sean reales o probables, en el caso de la ingeniería civil podemos citar algunos ejemplos como: paredes, pisos, trabes, etcétera. La labor del ingeniero es cumplir con el requisito de estos diseños pero tomando en cuenta factores como: tiempo, costos, disponibilidad de recursos y factibilidad. Para la tarea anterior se auxilia de un área muy importante llamada mecánica de materiales, la cual también posee otros nombres como son: “mecánica de sólidos” y “resistencia de materiales”. En pocas palabras el ingeniero mediante procedimientos analíticos determinará la resistencia y rigidez de una material para lograr que la estructura sea segura y funcional. Es importante mencionar que el comportamiento de una estructura no sólo dependerá de los métodos analíticos que se apliquen, si no también es necesario tomar en cuenta las características mecánicas de los materiales que ya están estandarizados debido a la realización de diversos ensayos en laboratorio. 1.2- MÉTODO DE LAS SECCIONES Este método tiene como objetivo calcular las fuerzas internas dentro de un cuerpo que sirven para equilibrar el efecto de las cargas externas. Primeramente se sitúan en un diagrama todas las fuerzas (incluso las reacciones) a esto se le llama diagrama de cuerpo libre. Seguidamente establecemos que si tomáramos el sólido y lo dividiéramos en muchas secciones, éstas deberían estar en equilibrio estático o dinámico, de hecho se realiza un diagrama que contenga las fuerzas necesarias para que se cumpla lo anteriormente planteado. 1.3-DEFINICIÓN DE ESFUERZO Es importante para el ingeniero, calcular la relación que existe entre las fuerzas internas que se ejercen sobre una determinada porción de una sección, ya que repercuten en la resistencia a la deformación. El concepto de esfuerzo es simplemente la fuerza interna que se aplica por unidad de área. Podemos distinguir dos tipos de esfuerzos, éstos son: *Esfuerzo normal: se produce cuando las fuerzas que se aplican son normales o perpendiculares al área de la sección transversal, pudiendo ser esfuerzos de compresión o esfuerzos de tensión. *Esfuerzo cortante: se produce cuando las fuerzas actúan paralelamente al plano del área de la sección transversal. De acuerdo a su definición podemos decir que las unidades en la que se mide el esfuerzo son: En el sistema ingles se mide en Psi que equivale a una 𝑙𝑏/𝑓𝑡^2 y en el SI la unidad es el Pascal que equivale a 𝑁/𝑚^2 .
  3. 3. 1.5- ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO Tomando un elemento infinitesimal (con dimensiones 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 ) de un cuerpo que debe estar en equilibrio, y está sometido a esfuerzos en dos direcciones (𝑥 e 𝑦) se puede establecer mediante consideraciones, una ecuación diferencial de equilibrio para cada dirección: 𝜕𝜎 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏 𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝑋 = 0 𝜕𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎 𝑦 𝜕𝑦 + 𝑌 = 0 Como vemos se nos presenta en las ecuaciones tres incógnitas: 𝜎 𝑦 , 𝜎 𝑥 y 𝜏 𝑦𝑥. No es posible resolver el sistema ya que se solo tenemos dos ecuaciones, así que los problemas de análisis de esfuerzos siempre estarán indeterminados estáticamente de forma interna, por lo que será conveniente establecer ciertas hipótesis y así evitar este problema. 1.6- ESFUERZO NORMAL MÁXIMO EN BARRAS CARGADAS AXIALMENTE Cuando tenemos una barra cargada axialmente y consideramos una sección transversal, lograremos un esfuerzo máximo al tener una fuerza muy grande aplicada sobre un área muy pequeña. Al aplicar una fuerza y si analizáramos la sección transversal podemos observar pequeños esfuerzos que tratan de generar un equilibrio por lo que bastaría sumar éstos y seguidamente multiplicarlos por el área, lo que nos generaría la fuerza total. Expresión matemática de esfuerzo es: 𝜎 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑃 𝐴 [ 𝑁 𝑚2 ] [ 𝑙𝑏 𝑖𝑛2 ] Algo importante de mencionar es que esa expresión es únicamente válida para secciones de área transversal constante y para miembros que estén cargados axialmente bajo compresión ( es decir , bloques cortos). Un bloque corto es cuya menor dimensión sea aproximadamente un décimo de su longitud. Existe otro tipo de esfuerzo cuando un cuerpo esta soportado por otro, llamado esfuerzo por aplastamiento que se da cuando la resultante de las fuerzas aplicadas coincide con el centroide del área entre los dos cuerpos en contacto. Las ecuaciones utilizadas suponen un material inicialmente libre de esfuerzos, sin embargo, al ser fabricados los materiales suelen ser alisados, soldados, doblados, etcétera. Estos procesos podrían causar una serie de esfuerzos residuales. 1.7- ESFUERZOS SOBRE SECCIONES INCLINADAS También es posible determinar los esfuerzos internos sobre una sección inclinada en barras cargadas axialmente. Primero que nada debemos calcular la fuerza reactiva que equilibra a la fuerza aplicada para después aplicar el método de las secciones. La fuerza reactiva se tiene que dividir en sus dos componentes, una es normal a la sección y la otra
  4. 4. está en plano de ésta. Ya que se tiene un pequeño ángulo de inclinación llamado 𝜃, las ecuaciones para los esfuerzos serían: 𝜎 𝜃 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 á𝑟𝑒𝑎 = 𝑃 ∗ cos 𝜃 𝐴/𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑃 𝐴 𝐶𝑜𝑠2 𝜃 𝜏 𝜃 = − 𝑃 ∗ sen 𝜃 𝐴/𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑃 𝐴 sen 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 Las ecuaciones anteriores demuestran que el esfuerzo normal máximo ocurre cuando 𝜃 = 0, es decir no hay inclinación, el esfuerzo cortante es igual a cero y el esfuerzo normal es simplemente fuerza entre el área. 1.8-ESFUERZOS CORTANTES Algunos materiales son menos resistentes en cortante que en tensión, por ello es importante saber cómo se originan los cortantes máximos, los cuales se dan cuando el plano tiene una inclinación de 45° con el eje de la barra, se calcula como 𝜏 = 𝑃/2𝐴. Determinar con exactitud el valor del cortante puede ser complicado por lo que suponemos que el esfuerzo se distribuye uniformemente, usando este enfoque es posible calcular un promedio de esfuerzo cortante, mediante la fórmula: 𝜏 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑉 𝐴 [ 𝑁 𝑚2 ] [ 𝑙𝑏 𝑖𝑛2 ] La ecuación para calcular el cortante es de mucha aplicación en uniones de dos elementos como lo pueden ser dos bloques unidos por algún material cementante. Se separa el bloque superior del inferior por una sección imaginaria y se podemos construir el diagrama de equilibrio. Un análisis parecido se aplica a superficies que están totalmente pegadas para transmitir cargas, algunos ejemplos son conexiones soldadas, atornilladas y remaches. En un problema de mecánica de solidos lo más importante es calcular las magnitudes máximas de los esfuerzos normal y cortante ya que determinan la demanda de resistencia. Estos valores máximos ocurren en una sección transversal mínima llamadas secciones críticas, el determinar la fuerza P o V que actúa es más complicado por lo que se necesita aplicar las ecuaciones de equilibrio estático en las distintas direcciones, recordando que consisten en que la suma de momentos y fuerzas deben ser igual a cero. Esas ecuaciones son aplicables a solidos deformables, pero estas deformaciones son despreciables ya que son muy pequeñas comparadas con la longitud de los elementos estructurales. Si con las ecuaciones de equilibrio podemos encontrar todas las fuerzas reactivas y los esfuerzos de la estructura estamos hablando de que es estáticamente determinada, de lo contrario estaría estáticamente indeterminada, en ese caso se tendría que utilizar otros métodos que se analizarán más adelante.

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