Tipos de probabilidad

1. PROBABILIDAD CONDICIONAL,
MARGINAL Y CONJUNTA.
INDEPENDENCIA DE EVENTOS.
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE
BAYES.
BERNARDO FRONTANA DE LA CRUZ
MARCO ANTONIO GÓMEZ RAMÍREZ
E N E R O D E 2 0 1 2 .

2. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Como su nombre lo indica se trata de determinar la
probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori)
dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se
representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A
dado B o probabilidad de A condicionada a B.
En la probabilidad
condicional, consideramos
que de un espacio muestral
S se conoce únicamente el
evento B, que constituye un
espacio muestral reducido.
B S
Se desea saber la posibilidad de que exista el
evento A.

3. Como únicamente
conocemos el evento B, la
probabilidad de que exista
A está dada por la posible
intersección del evento A
con el evento B.
B S
A
Por lo tanto la expresión para la probabilidad
condicional quedaría P(A|B)=n(A∩B)/n(B), donde n(A∩B)
es el número de elementos en la intersección de A con
B y n(B) es el número de elementos en el evento B.
Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s)
que es el número de elementos en el espacio muestral
y aplicamos el concepto de probabilidad, tenemos:
P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B).

4. De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la
probabilidad del evento condición o del evento que se
presenta primero .
De manera similar se puede pedir la probabilidad del
evento B dado que ya ocurrió el evento A
P(B|A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del
evento condición o del que se presenta primero .
Ejemplo: Al arrojar dos dados resultan caras iguales,
¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho?
Identificamos los eventos dentro del espacio muestral:
A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión
P(B|A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3=0.333
.

5. PROBABILIDAD CONJUNTA
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar
P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de
multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y
corresponde a la probabilidad de que se presenten
resultados comunes a los eventos A y B.
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire,
P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la
probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.
Auxiliándonos
de un
diagrama de
árbol.
⅓
A
S
A
S
A
S
A1
S1
A2
S2
A2
S2
⅓
⅓
⅔
⅔
⅔
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

6. PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este
tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135
desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos
características cuando se los piden a sus ayudantes,
su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que
embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a
la definición de eventos que sigue, la distribución es la
siguiente:
Evento A1 A2 Total
B1 40 60 100
B2 15 20 35
Total 55 80 135
Eventos Característica
A1 Largo
A2 Corto
B1 Punta plana
B2 Punta de Cruz

7. Para determinar una probabilidad conjunta, digamos
desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo
con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo
de dividir el número de desatornilladores cortos y que
tienen punta plana, en términos de conjuntos,
n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores
del taller, ns=135.
Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de
dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la
probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1,
P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa
que el subíndice correspondiente al evento B
permanece constante en la suma del numerador n11+n21.
.

8. Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier
evento Bpuede calcularse P(B)=Ʃnn/n, pero
j ji=1
ijsnnij/ns=Ʃi=1
Ʃi=1
nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1
nP(Ai∩Bj).
En otra palabras la probabilidad de un evento Bes igual
j a la suma de probabilidades conjuntas del evento By
j los eventos A, la suma se realiza sobre los eventos A.
iiTambién se puede determinar la probabilidad marginal
de cualquier evento A: P(A)=ƩnP(A∩B), en este caso
iij=1
ijla suma se realiza sobre los eventos B.
jSe puede demostrar que la suma de probabilidades
marginales de los eventos A, o de los eventos B, es
ijigual a uno, como se demuestra a continuación:
P(A)=55/135=0.4075 y
1P(A)=80/135=0.5925
2Por lo tanto Ʃ2P(A)=1
i=1
iP(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1
P(B1)=100/135=0.74 y
P(B2)=35/135=0.26
Por lo tanto Ʃi=1
2P(Ai)=1
P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

9. PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
Regresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B).
Si los eventos A y B son independientes entre sí, esto
significa que la ocurrencia de uno no depende de la
ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad
condicional sería igual a la probabilidad de ocurra
cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B).
Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta,
tenemos P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean
eventos independientes entre sí y se le denomina Ley
de multiplicación de eventos independientes.

10. Ejemplo: En una Olimpiada compiten tres arqueros para
la final, la probabilidad de que den en el blanco son 1/2,
1/3 y 1/6. Si la final se define con un solo tiro por
arquero. Calcular la probabilidad de que:
a) Sólo uno de en el blanco, b) los dos primeros den en
el blanco y el tercero no y c) Ninguno da en el blanco.
Solución: a) Si i=1, 2, 3 es el orden de los tiros al blanco,
se establecen los siguientes eventos: A={Sólo un
arquero da en el blanco}, A={El arquero Ada en el
ii blanco} y Ac={El arquero Ac no da en el blanco}.
i
i
c∩A3
P(A)=P[(A1∩A2
c)U(A1
c∩A2∩A3
c)U(A1
c∩A2
c∩A3)] =
c)P(A3
P(A1)P(A2
c)+P(A1
c)P(A2)P(A3
c)+P(A1
c)P(A2
c)P(A3)
P(A)=(1/2)(2/3)(5/6)+(1/2)(1/3)(5/6)+(1/2)(2/3)(1/6)=0.4722
b) B={el primero y el segundo arqueros dan en el blanco
y el tercero falla} P(B)=P(A∩A∩Ac)=P(A)P(A)P(Ac)
123
123
P(B)=(1/2)(1/3)(5/6)=5/36=0.1388

11. c) B={El primero, el segundo y el tercer arqueros fallan}
P(C)=P[(Ac ∩ Ac ∩Ac)=P(Ac)P(Ac)P(Ac)=(1/2)(2/3)(5/8)
1
2
3
1
2
3
P(C)=10/36=0.277
PROBABILIDAD TOTAL
Consideremos un eventos B y un conjuntos de eventos
Ai que son mutuamente excluyentes entre si, Ai∩Aj=ϕ, i≠j,
es decir, si tomamos dos eventos Ai diferentes su
intersección es el evento vacío, además los eventos Ai
son exhaustivos, Ui=1
nAi=S, la unión de todos ellos cubre
el espacio de eventos, como se muestra en la figura.
A1
A2
A3
A4 ……………………….………….
An
B
An-1