1. Universidad Autónoma del Caribe
Métodos Numéricos
Esp. José Ferrer V
ITERACIÓN DE PUNTO FIJO:
Como se dijo antes los métodos abiertos emplean formulas para predecir la raíz. Esta
fórmula puede desarrollarse mediante un arreglo algebraico de la ecuación
De modo que este de lado izquierdo de la ecuación. Esto es .
Esta transformación puede realizarse de manera algebraica ó solamente sumando a
cada lado de la ecuación.
Ej. Entonces de acuerdo a lo hablado esto es: .Teniendo
una igualdad de la forma:
La utilidad de la nueva función es predecir un nuevo valor x en la función del valor
anterior de x, de esta manera, dado un valor inicial para la raíz , la ecuación se
Se utiliza para obtener una nueva aproximación
ite
1 3 1,97405329 1,97405329
2 1,974053 1,97257781 1,97257781
-
0,0747995
3 1,972578 1,9724042 1,9724042
-
0,0088019
4 1,972404 1,97238373 1,97238373
-
0,0010377
5 1,972384 1,97238132 1,97238132
-
0,0001224
6 1,972381 1,97238104 1,97238104
-1,443E-
05
7 1,972381 1,972381 1,972381
-1,702E-
06
8 1,972381 1,972381 1,972381
-2,007E-
07
9 1,972381 1,972381 1,972381
-2,366E-
08
10 1,972381 1,972381 1,972381
-2,791E-
09
CONVERGENCIA:
Se cabe anotar que la iteración del punto fijo converge si, la relación de interés
, otras palabras la relación convergencia ocurre si la magnitud de la
pendiente de es menor que la pendiente de . Esto es.
Suponga la solución verdadera es:

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Restando estas dos ecuaciones tenemos:
Del teorema del valor medio tenemos que:
Del lado derecha es la pendiente de la recta que une , asi el teorema establece
que existe al menos un punto entre que tiene una pendiente denotada por , que
es paralela a la línea que une a .
Ahora si remplazamos . Tenemos:
Donde se encuentra entre , este resultado se remplaza en la ecuación (1)
Y teniendo en cuenta que
En consecuencia si , entonces los errores disminuyen con cada iteración.
TIPOS DE CONVERGENCIA:
Si se tiene que lo cual satisface la desigualdad:
Queriendo entonces, significar esto, que puede tomar signos diferentes,
generándose las dos posibles situaciones:
1. puede tomar valores positivos.
Entonces, aquí la convergencia se da, de manera Unilateral. Es decir, que del
extremo del intervalo que se escoja para iniciar el proceso iterativo, por ese lado la
función de iteración g( x ), converge o termina su convergencia hacia la raíz o
punto fijo, contenido en el intervalo de análisis.
2. ) puede tomar valores negativos.
Entonces, aquí la convergencia se da, de manera Alternante, Espiralizada u
Oscilante. Es decir, que de cualquier extremo del intervalo que se escoja para
iniciar el proceso iterativo, por él la función de iteración g( x ), converge o termina
su convergencia, con valores sucesivos generados cada vez de manera alternantes
respecto a la posición de la raíz o punto fijo contenido en el intervalo de análisis.

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Ejemplo. Téngase como función de estudio
Realizando una evaluación en enteros sucesivos entre ( -2 , 2 ) se tiene:
X ƒ ( x )
-2 -1.270670566
-1 -1.367879441
0 -1.000000000
1 +1.718281828
2 +13.7781122
Los resultados de la evaluación sucesiva de enteros, realizada anteriormente y en la que se
observa claramente, que el intervalo unitario comprendido entre (0,1) el cuál se tomará
para análisis del procedimiento, muestra la posible existencia de una raíz de la función
f(x); dada, a la evidencia clara, del cambio de signos en él.
(Aplicación del criterio del teorema del valor intermedio: (f(0) * f(1) < 0 ).
1) Una vez se plantee la ecuación, f( x ) = 0 , se procede a realizar el despeje de las
funciones de iteración x = g( x ), mediante simples manejos de tipo algebraico, así:
x1 = g1 ( x ) = e – x
x2 = g2 ( x ) = - ln ( x)
2) A la x1 = g1 ( x ) , se le aplican los criterios sobre el intervalo ( 0 , 1 ):
2 – I) Contracción:
x1 = g1 ( 0 ) = e – 0 = 1.0
x1 = g1 ( 1 ) = e – 1 = 0.367879441...
Nota: Es de aclarar, que los anteriores resultados deben tomarse, como los límites del
nuevo intervalo que irían a conformar (Lógicamente, dichos límites deben estar
ordenados); y luego, se deben confrontar o comparar con el intervalo de estudio.
( 0.367879441 , 1.0 ) pertenece a ( 0 , 1 ). OK, satisface el criterio. Luego X1 sirve.

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2 – II) Convergencia:
x1 = g’1 ( 0 ) = - e– 0
= - 1.0 entonces | -1.0 | = 1.0
El criterio no decide.
x1 = g’1 ( 1 ) = - e– 1
= - 0.367879441, entonces | -0.36787 | = 0.367879441 < 1.0
Según el criterio, por X0 = b = 1, se tiene convergencia y ésta es de tipo alternante. Por
tener signo negativo, la derivada de g’(x).
3) A la x2 = g2 ( x ) , se le aplican los criterios sobre el intervalo ( 0 , 1 ):
3 – I) Contracción:
x2 = g2 ( 0 ) = - ln (0) = - (-∞) = ∞ (infinito)
x2 = g2 ( 1 ) = - ln (1) = 0.0
Resultados, que deben tomarse, como los límites de la conformación de un nuevo
subintervalo (Lógicamente, dichos límites deben estar ordenados); y luego éste, se debe
confrontar o comparar con el intervalo inicial de estudio.
( 0, ∞ ) >> ( 0 , 1 ). No satisface al criterio, el intervalo se expande. Luego X2 no sirve,
y se descarta.
3 – II) Convergencia :
x2 = g’2 ( 0 ) = - 1 / 0 = - ∞ (infinito), entonces | - ∞ | = ∞ >> 1.0
Y según el criterio, se tiene divergencia.
X2 = g’2 ( 1 ) = - 1 / 1 = - 1, entonces |- 1 | = 1.0 = 1.0
Según el criterio, no se decide nada.
Lo anterior, muestra que la Función de Iteración X1, sirve para iniciar un proceso iterativo
que conduzca finalmente a la determinación del Punto Fijo, contenido en (0,1). También,
se puede apreciar, el caso cuando se tenga que descartar una Función de Iteración por
incumplir con los criterios, como es el caso de la X2.
4) Entonces, la función de Iteración queda como:
Xk+1 = g (Xk ) = eX k
, con X0 = 1.0